精品解析：四川广元中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性测试数学试题

广元中学高2026级高一上期第一次阶段性测试 数学试题 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上均无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（     ） A. B. C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 3. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 6. 已知不等式的解集是或，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 以下命题正确的有（    ） A. 已知全集，，，那么； B. 若集合，且，则m的值为0或1； C. 若集合A满足：⫋，则这样的集合A有7个； D. 集合，，若，则实数的取值集合为. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 11. 设，，，则（     ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则________． 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是___________． 14. 已知，，则的取值范围是__________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，全集. （1）求，； （2）求. 16. 求下列关于x的不等式的解集． （1）解不等式 ． （2）解关于x的不等式.其中是常数. 17. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 18. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广元中学高2026级高一上期第一次阶段性测试 数学试题 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上均无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（     ） A. B. C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原题“”是存在量词命题， 其否定为：. 2. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为且，所以， 因为，所以且，所以. 3. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 4. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（ ） A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人 【答案】D 【解析】 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30，  可得：  ，解得， 因此只看的人数为人. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ，，， 所以 当且仅当 ，即 时取等号； 即，时，的最小值为8. 选项A正确. 6. 已知不等式的解集是或，则不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集可判断的正负，并求出方程的根，由韦达定理得出，，的关系，将其代入不等式中即可求解. 【详解】因为不等式的解集是或， 所以且方程的根为或， 由韦达定理得：，， 即，， 将其代入不等式中得： ， 即， 解得或， 所以不等式的解集是或. 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：集合是集合的真子集， 则，且等号不同时成立，解得， 当时，集合是集合的真子集； 当时，集合是集合的真子集. f故实数的取值范围是. 8. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对不等式分离参数可得，进而求解参数范围即可. 【详解】对于，变形得， 因为，所以不等式等价为， 即存在，使不等式成立， 对于式子，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即，符合条件， 所以在上的最大值为，所以. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分. 9. 以下命题正确的有（    ） A. 已知全集，，，那么； B. 若集合，且，则m的值为0或1； C. 若集合A满足：⫋，则这样的集合A有7个； D. 集合，，若，则实数的取值集合为. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查集合的基本运算、元素与集合的关系、集合间的包含关系，需结合集合元素互异性、空集的性质逐一分析选项. 【详解】对于A，因为且，所以， 则，，所以，故A正确； 对于B，因为集合，且，所以或， 若，则，此时，与集合中的元素具有互异性不符，舍去； 若，解得（舍去）或，此时，，符合题意，所以的值为1，故B错误； 对于C，由 可知，必含元素，剩余元素从中选取且不能全选，即求集合的真子集的个数， 由求集合真子集的个数的公式可得，满足条件的集合有个，故C正确； 对于D，时，无解，即，符合， 若，对于一元一次方程来说有且仅有一个解，又，所以或， 当时，，解得，当时，，解得， 综上所述，实数的取值集合为，故D错误. 10. 下列选项中，正确的是（ ） A. 不等式的解集为或 B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】解出各选项中的不等式后可判断． 【详解】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而是的真子集，D正确． 故选：ABD． 11. 设，，，则（     ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，消去变量并利用二次函数性质判断即可；对于B，对原式合理变形后利用基本不等式可求最值；对于C，直接应用基本不等式可求的最值；对于D，先将目标式子平方化简，再用基本不等式求最值. 【详解】对于A，已知，故. 因为 ，所以， 代入得, 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, 可得当时，取最小值，代入得，故A正确. 对于B，由题意得， 当且仅当，即时取等， 可得最小值为，故B正确， 对于C，由，变形得， 当且仅当，即，时等号成立， 当趋近于0时，趋近于，趋近于0，因此没有最小值，故C错误. 对于D，， 当且仅当，即，时等号成立，所以， 得到最大值为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】集合、均为平面点集，求交集等价于联立两个对应的方程，求解公共解构成的集合. 【详解】集合是直线上所有点构成的集合，集合是反比例函数上所有点构成的集合， 因此为两个图象公共点构成的集合， 联立方程如下：，整理得， 解得，， 将代入，得；将代入，得， 经检验，两组解均满足原方程组， 因此直线和反比例函数图象的公共点为和， 故. 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将原假命题转化为其否定是真命题，再分和两种情况讨论，进而结合一元二次不等式的解法即可求解． 【详解】由命题“，使得”是假命题， 则其命题的否定“，使得”是真命题， 当时，不等式，即恒成立，符合题意； 当时，要不等式恒成立，即，解得， 综上，实数的取值范围是． 14. 已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据换元法及不等式的性质求解即可. 【详解】令，，则，， 所以，. 则. 又，则；又，则. 所以，即. 故的取值范围是. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1）； （2）；或 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以或， 可得，或. 16. 求下列关于x的不等式的解集． （1）解不等式 ． （2）解关于x的不等式.其中是常数. 【答案】（1）； （2）当时解集为，当时解集为，当时解集为，当时解集为，当时解集为. 【解析】 【分析】（1）因式分解后用"开口向上、取两根之外"写出解集； （2）先把左边分解为，再按、、分类，其中时还需按与的大小关系细分，逐种情形写出解集. 【小问1详解】 原不等式即，相应方程的两根为与，又二次项系数， 所以解集为. 【小问2详解】 原不等式可化为. 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式等价于，又，解集为； 当时，不等式等价于，此时： 若，则，解集为； 若，则，不等式为，解集为； 若，则，解集为. 综上所述，当时解集为， 当时解集为， 当时解集为， 当时解集为， 当时解集为. 17. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【小问1详解】 命题为真，即存在使得成立， 二次函数的图象开口向上，故需判别式， 所以  ，解得，因此集合； 【小问2详解】 由得， 将代入对应方程得：  ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； 【小问3详解】 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得：  ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 18. 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； 【小问2详解】 由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $