精品解析：四川省仁寿县铧强中学2026-2027学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

铧强中学2026级高一（上）第一次教学质量检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， . 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有存在量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论． 【详解】命题“，”的否定为“，”． 3. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】选项A：当时，由得， 当时，由得，故A错误； 选项B：因，故与的大小不确定，故不一定成立，故B错误； 选项C：当时，由得， 当时，由得，故C错误； 选项D：因为，所以，所以．因为，所以，故D正确， 故选：D 4. 已知，则“是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】取，满足，但，即“”不能推出“”； 所以“”不是“”的充分条件， 由，得，可得， 所以“”是“”的必要条件. 故“”是“”的必要不充分条件. 5. 不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】原不等式移项，得，即， 因为，所以. 原不等式等价于，解得， 结合，故原不等式的解集为. 6. 已知集合，为全集的子集，，，，则下列选项正确的为（     ） A. B. C. D. 的不同子集的个数为8 【答案】D 【解析】 【详解】由且，得. 因为，且，， 所以. 因为，所以. 结合且，得. A项：，错误； B项：，错误； C项：，错误； D项：有个元素，不同子集个数为，正确. 7. 设，，若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】命题：“，”是假命题，即，需要讨论集合是否为空集进行运算求解. 【详解】因为命题：“，”是假命题，所以， 集合， ①当时，则，符合条件； ②当时，则， 当时，，满足，则， 当时，，满足，则， 综上所述，实数的取值范围是. 8. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令并求出方程的根，然后对进行分类讨论，得出在不同情况下不等式的解集，并求出此时满足题意的的取值范围. 【详解】令，，，， （1）当时，，不等式的解集为， 由解集中恰有个整数，这个整数为，，， ，. （2）当时，，不等式无解，不满足题意. （3）当时，，不等式的解集为， 由解集中恰有个整数，这个整数为，，， ，. 综上所述，实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求解不等式的解集，再根据充分不必要条件的逻辑性质：若是的充分不必要条件，则对应的集合是对应集合的真子集，逐项判断即可． 【详解】分析不等式，解得，解集为， 求不等式中可以作为的一个充分不必要条件，即求集合的真子集， 对于A，的解集为，，A正确； 对于B，的解集为，，B正确； 对于C，的解集为，，是充要条件，C错误； 对于D，不等式解集为，，D正确． 10. 已知关于的不等式的解集为则（   ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理、不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】已知关于的不等式的解集为可知， 且方程 的两个根为和， 由韦达定理可知，则， 对于A选项，由上述推导可知，A错误； 对于B选项，不等式， 因为，所以不等式两边除以得，解得，B正确； 对于C选项，由上述推导可知是方程的根，所以，C错误； 对于D选项，不等式可转化为， 两边同时除以得，，解得，所以不等式解集为，D正确． 11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，即可判断A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD. 【详解】由的两实根为，可得， 故，或， 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，由，，可得， 则，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于选项C，由可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于选项D，由可得，故，当且仅当，即时等号成立，故D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______. 【答案】14 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 13. 已知实数，满足，，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先构造，解出，，再结合不等式的性质求的取值范围. 【详解】令，，，. ， 由，，由 ，， ，. 的取值范围为. 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用取整函数性质，把，整体当作，转化为普通绝对值不等式求解. 【详解】设得，，因为表示不超过的最大整数，所以， 故，得，得，得， 故原不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据集合的交并运算即可求解； （2）根据题意可得：集合是集合的真子集，需要讨论集合是否为空集，当集合时，利用集合间的基本关系进行列式求解. 【小问1详解】 当时,集合， 则，； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得：； 当时，需满足，解得：； 综上所述，. 16. 解答以下问题： （1）已知实数为正数，且，求的最小值，并说明取到最小值时，的值； （2）已知实数满足条件，求的最大值，并说明取到最大值时的值； （3）已知实数，求的最大值，并说明取到最大值时的值． 【答案】（1）最小值为，此时. （2）最大值为，此时. （3）最大值为，此时 【解析】 【小问1详解】 ，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，此时. 【小问2详解】 ，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，此时. 【小问3详解】 ，，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，此时. 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）由，因式分解得，再从分类讨论即可； （3）由不等式的解集为，且，可得对任意的，不等式恒成立，分离参数得恒成立，在分离常数结合基本不等式求出的最大值即可. 【小问1详解】 当时，即，则由 ，得，不合题意， 当，即时，由不等式的解集为得 ，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 因为，所以，即， 当，即时，解得，所以不等式的解集为， 当，即时，， 因为，所以不等式的解集为， 当，即时，， 因为，所以，所以， 所以不等式的解集为， 综上，当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为不等式的解集为，且， 所以对任意的，不等式恒成立， 即， 因为， 所以恒成立， 令，则，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设 ①在上恒成立，则； ②在上恒成立，则； ③在上恒成立，则； ④在上恒成立，则. 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等号．利用此结论解决下列问题： （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）解决如下问题：如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ （3）当且时，证明：． 【答案】（1）若，，…，，则有，，， 当且仅当时取等号． 所以当时，， 当且仅当时取等号. （2）切去的正方形边长为1时，盒子的容积最大. （3）因为，所以，，均为正数. 因为， 所以，当且仅当时取等号. 同理，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号. 以上三式相加得，. 又，当且仅当时取等号. 所以. 所以. 【解析】 【分析】（1）令，根据条件即可得到相关结论. （2）先设切去的正方形边长为，表示出盒子的体积，利用不等式可求盒子体积的最大值即对应的. （3）利用基本不等式，得，，，再将三式相加，再利用基本不等式，即可证明结论. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 设切去的正方形边长为，. 则盒子的容积为， 当且仅当即时取等号. 所以切去的正方形边长为1时，盒子的容积最大. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铧强中学2026级高一（上）第一次教学质量检测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 6. 已知集合，为全集的子集，，，，则下列选项正确的为（     ） A. B. C. D. 的不同子集的个数为8 7. 设，，若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（    ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为则（   ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则______. 13. 已知实数，满足，，则的取值范围为_____. 14. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则关于的不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 解答以下问题： （1）已知实数为正数，且，求的最小值，并说明取到最小值时，的值； （2）已知实数满足条件，求的最大值，并说明取到最大值时的值； （3）已知实数，求的最大值，并说明取到最大值时的值． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 18. 已知函数． （1）若不等式的解集是空集，求m的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为D，若，求m的取值范围． 19. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．也即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等号．利用此结论解决下列问题： （1）写出时算术平均数与几何平均数之间的关系，并写出取等号的条件（无需证明）； （2）解决如下问题：如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ （3）当且时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $