专题01 实数的综合（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 以实数核心概念为统领，通过七类题型系统覆盖平方根、立方根、实数分类与运算等考点，形成从概念辨析到综合应用的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根、立方根的定义|10题|聚焦概念辨析与性质应用，含真题判断与计算|从定义出发，构建实数概念基础| |小数点移动规律|10题|结合数据观察与规律推导，强化数感|延伸概念性质，培养抽象能力| |解方程|10题|逆向运用定义解决方程问题，含实际应用|概念的直接应用，提升运算能力| |有理数、无理数识别|10题|通过分类与辨析深化实数概念，融入新定义|概念辨析，发展推理意识| |实数大小比较|10题|结合数轴与估算方法，含几何应用|性质应用，培养几何直观| |无理数整数、小数部分|10题|通过估算确定范围，强化数感|估算能力训练，提升数学眼光| |实数化简与运算|10题|综合定义与性质进行计算，含新运算定义|知识综合应用，发展应用意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 实数的综合 参考答案 题型一：平方根、立方根的定义 1.D 2.D 3.B 4.D 5.4,4,±3 6.19 7.-2 8.141 9.±√409或±7 10.±3 题型二：平方根、立方根小数点移动规律 1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.D 7.5230000 8.15.21 9.1.0545 10. 【答案】(1)15.6,154,0.152 (2)154,V23857-154 (3)306 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由表格可知，15.6=243.36， .√243.36=15.6； 1542=23716 ∴.V23716=154: 0.1522=0.023104, .√0.023104=0.152 故答案为：15.6,154,0.152： (2)解：由表格知1542=23716,1552=24025， 1542<23857<1552 154<√23857<155， .√23857的整数部分是154，小数部分是V23857-154, 故答案为：154，√23857-154： (3)解：对153<Vn<154两边同时平方可得1532<n<154, 计算可得1532=23409,1542=23716， ∴.1的取值范围是23409<n<23716, 则满足条件的整数n的个数为23716-23409-1=306个. 故答案为：306 题型三：利用平方根、立方根定义解方程 1.c 2.D 3.D 4.C 5.【答案】x= 2或x=2 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案： 【详解1解：c+-学。 25,5 x+1=± = 4 2, 2/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 术+1 2或x+1=- 2, 3 7 . 2或x= 2 【分析】利用直接开平方法计算即可. 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键. 【详解】解：：(3x+=寻（2x-1, e+n旷-[---引 3x1=别 2或3r+1= 1 :3x+1=x x, 3 1 解得x= 4, 8 5、6 7.【答案】(1)x 5 (2)6+1 【详解】(1)解：25x2-36=0, .25x2=36 x2=36 5 、6 6 六x=5或= 5 (2解：-=3 .(x-1)3=6 x-1=6 x=6+1 8.【答案】(1)x=6或x=-4 (2)x=3 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：(x-1}=25 .x-1=5或x-1=-5 解得：x=6或x=-4 (2)解：(x+1)°-64=0 .（x+1)3=64 .x+1=4 解得：x=3 9.【答案】(1)25 (2)2秒 【详解】(1)解：由题意得(a+2)+(2a-1山)=0，解得：a=3, .a+2=3+2=5,2a-11=2×3-11=-5, ∴.（±5）=25，即这个数为25. 2)解：当g=98:=196时，196=98w:解得：1-212合东) 答：这个物体到达地面所需的时间为2秒. 10.【答案】(1)10cm (2) 解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片. 理由如下： 设长方形纸片的长为2xcm,宽为xCm,根据题意得2x·x=72,解得x=6或x=-6(负值，舍去)，即长 方形的长为6×2=12cm,宽为6cm, 10<12,不符合题意， ∴，小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片 【详解】(1)解：用两个面积为50Cm'的小正方形纸片拼成一个大正方形， :大正方形的边长为V50+50=V100=10(cm): (2)略 题型四：有理数、无理数的识别 1.C 2.A 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.D 4.3 5.-V8 6.③④ 7.【答案】整数集合{-6,0) 分数集合{-3.14) 2 无理数集合(3，-0.50050005.（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）】 【详解】解：0，-√16=-4是整数，-3.14是分数：3，-0.50050005. (每相邻两个5之间0的个数逐渐 多1)是无理数. 8.【答案】(1)3 20,2026,-27:30.3 【详解】(1)解：由题可知，“无理数”有：元，V8,0.101001… 则共有无理数3个. (2)解：由题可知：“整数”席为：0,2026，-27； “分数”席为：303 9.【答案】(1)-i (2)1 x=-1 31y=1 (4)i-1 【详解】(1)解：=i=-1i=-i: (2)解：复数m-1+(m+)i(m是实数)是纯虚数， .m2-1=0,m+1≠0. .m=1或m=-1,且m≠-1， m=1: (3)解：：xy为实数，且满足(x-2y+3)+(x+2y-1)i=0, 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「x-2y+3=0 1x+2y-1=0 x=-1 解得y=1· (4)解：=i, 2=-1, =2.i=-i, 产=(2）=(-12=1， 的=4i=i, =i4.=1×(-1)=-1, …， ∴.每4个一组循环， 2026=4×506+2, .i+i2+i3+i+…+i2026 =506×(i-1-i+1）+i2025+2026 =506×0+2024.i+2024.2 =0+i-1 =i-1. 10.【答案】(1)无理数 (2) 解：∵2g是偶数， p是偶数 ∴P是偶数， 设p=2r(r是正整数)， .(2r)°=2g,即q2=4r3, 4r3是偶数， q是偶数， 9是偶数， 卫，9都是偶数，与假设矛盾， 即2不是有理数： 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)-4 【详解】(1)解：V3是无理数： (2)略 (3)解：：2+m是无理数，且与2互为相反数， ·2+m+2=0, “2+m=-2=-2, .2+m=-2, .m=-4 题型五：实数的大小比较 1.A 2.B 3.m2<m< m 4.< 5.> 6.223<5<2 4 7.【答案】3.06 【详解】解：：25=20,52=50,4v2=V32,3V3=√27 25-52<0,42-35>0, .25-5v2+4v2-35 =5√2-2W5+4V2-35 =9√2-25-3√5 ≈9×1.414-2×2.236-3×1.732 =12.726-4.472-5.196 ≈3.06 8.【答案】(1)长方形彩纸的长为28cm,宽为2lcm: (2)解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为rcm,由题意得：3r2=291,解得：r=V97, 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :圆形纸胚的直径为2r=2、√97，长方形彩纸的宽为21cm, 且(2V97=388,212=441, .21>297, ∴能够裁出来 【详解】(1)解：设长方形彩纸的长为4xcm,宽为3xcm,由题意得： 4x3x=588, 解得：x=7(负根舍去)， ∴.长方形彩纸的长为4×7=28cm,宽为3×7=21cm; (2)略 9.【答案】(1)80 (2)铁丝够用。 理由：设长方形纸片的长为5xcm,宽为3xcm,长方形的周长为2×(5x+3)=16xcm 依题意得：5x·3x=360, 解得：x=±V√24， x>0, x=24, 长方形的周长为2×(5x+3x)=16xcm=16W24cm, 24<V25=5, .1624<80, ∴.用这根80cm的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用 【详解】(1)解：由题意得大正方形的面积为2×200=400(cm2), 设大正方形的边长为acm, 则a2=400, 、a=20(舍去负值)， ∴.大正方形的边长为20cm。 ∴.这根铁丝长度最少为20cm×4=80cm (2)略 10.【答案】(1)①<②<③< 2)i证明：100>V99>√98>…>V2>1,且V100=10, 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 南*好*+00品+0品， 1+品 11 1 100 0x100=10g (3)a=2,b=5,c=10或a=3,b=4,c=6: 11 【详解】(1)①解：：n+1>m小n中元 ②解：V4>V3>V2, 11.11113 迈+5+42+迈22： ③解：分母最大为19，最小为10， ,1,1,1,111,1,1 1 10+7+2++18+i90+10+i0++0 十…十 =1 10 (2)略 (3)解：a<b<c, .1、1、1 a b c' .11,2.1 .121 .一<二 .+一=1<二+二+ aa b c aa a' 1<1< 4 a a' ∴.1<a<4, 根据题意，得a,b,c是三个正整数， ∴a=2或a=3; 测+2+1， 当a=2时，则2+6+。 12.113 bb c 2 b' ∴.2<b<6, ∴.b=3或b=4或b=5, 211 当b=3时5+。>2，不成立，含去： 2+1-1+1-1 当b=4时，4.2.2，不成立，舍去： 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 211 当b=5时，5+c2, .1541 c101010 解得c=I0;满足a<b<c且都是正整数； 1+2+1=1. 当a=3时，则3+bc 2,12 故6.3， .12.123 bb c 3 b .1.5<b<4.5, b=3或b=4, 2+1>2 当6=3时，3十。>不成立，舍去： 2,12 当6=4时，4+。3 十一 .1.12 2+。3 .1211 c326' 解得c=6;满足a<b<c且都是正整数： 故a=2,b=5,c=10或a=3,b=4,c=6: 题型六：无理数的整数、小数部分 1.A 2.C 3.2. 4.13 5.1 6.4 7.3v2 8. 【答案】(1)-2a-2b+c (2)1 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：由数轴知c<a<0<b,a+b>0, .原式=-a-(a+b)-(b-c) =-a-a-b-b+c =-2a-2b+c; (2)解：2<V7<3,3<<4, ∴a=V7-2,b=3, ∴.a+b-√7=V7-2+3-V7=1. 9.【答案】(1)V7-2 (2)±12 【详解】(1)解：：4<V万<5， 2<7<3, .V7的小数部分为：√万-2. (2)解：100<115<121， .100<115<121, .10<V115<11, .110<100+V115<111. :100+V115=x+y,其中x是整数，且0<y<1, :x=110,y=100+15-110=V15-10 x+15+24-y=110+5+24-(15-10)=144, 、x+15+24-y的平方根是±12. 10. 【答案】(1)-V2,√2 (2)V5 (3)±4 【详解】(1)解：，小正方形边长为1， ∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为√2. :0A=0B=√2 ∴A表示的数为-√2，B表示的数为V2 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：-V2,√2 (2)解：：大正方形面积为：(1+2=9，两个小长方形面积为：2×1×2=4， ∴.小正方形面积为：9-4=5」 故长方形对角线长度为：√5. (3)解：4a+5=32=9,3a+b-9=23=8, ∴.a=1,b=14. 2<5<3, c=2, ∴.4a+b-c=4+14-2=16 故±V4a+b-c=±4. 题型七：实数的化简与运算 1.【答案】0 【详解】解：-8+V4=-2+2=0. 2.【答案】V2-3 【详解】解：由a+b=2,得b=2-a,代入a=5-V2,得b=2-(5-2)=2-5+V2=-3+2 故答案为：V2-3. 3.=7或x= 7 2 4.1-5 5.【答案】3 【详解】解：原式=3-3+1-2 =3-3+3 =3 6.【答案】3-V5 【详解1解原式计子05-5+2-3-5 7.【答案】3-V5 【详解】解：原式=5+V5-2+(-2) 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =3+2-V5-2 =3-V5」 7 8.【答案】12 49 64 25 【详解】解：原式 3 27+V144, 74.5 3312 =1+ 5 2’ 17 =12: 9.【答案】(1)是 (2)-8 【详解】解：(1)：3×6=18，V18=3W2≠12,3×12=36,36=6,6×12=72，√72=62≠3， .3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是： (2)如果-2、4是“组合平方数”， 当√-2n=4时， 解得，n=-8: 当V-2×4=√-8时，被开方数小于0，不符合题意，舍去： 当√4n=-2时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去： 故答案为：-8： √5+V2+V3 10.【答案】(1) 3 6 (2)x=3或6 3)x=-1或V5 【详解】（解：M5,2,v3=5+2+而 3 :V6≈2.45，元≈3.14,5≈3.87， :min{N6,z,5=v6, 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5+2+3 故答案为： 'V6 (2)解：M{2,4,=2+4+x-+6 3 3 分情况讨论： 当4时，m血45=，则6=，解得-3符合4 当4<：5时，mm5,=4则64，解得=6不符合4<≤5舍去， 当5时，m45对4：则号6=4，解得=6~符合x5 综上，x=3或x=6: (3)解：x+2<x+3, min{x+33,x+2}为x+2或3， 分情况讨论： 当x+2≤3，即x≤1时，min{x+3,3,x+2}=x+2, x2=x+2,即x2-x-2=0, (x-2)(x+1)=0 解得x=2(舍去，因为x≤1)或x=-1 当x+2>3,即x>1时，min{x+3,3,x+2}=3, x2=3, 解得x=V5或x=-√3（舍去，因为x>1). 综上，x=-1或x=V3. 14/14 专题01 实数的综合 题型一 平方根、立方根的定义 题型二 平方根、立方根小数点移动规律 题型三 利用平方根、立方根定义解方程 题型四 有理数、无理数的识别 题型五 实数的大小比较 题型六 无理数的整数、小数部分 题型七 实数的化简与运算 题型一： 平方根、立方根的定义 1．如果一个正数的平方根是和，则a的值是（     ） A．81 B．9 C．18 D．3 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 4．列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 5．16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 8．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 10．已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 题型二：平方根、立方根小数点移动规律 1．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 4．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 5．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 6．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 8．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 10．（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 题型三：利用平方根、立方根定义解方程 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）求该式子中x的值． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． 7．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）解方程 (1) (2) 8．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）计算： (1) (2) 9．（24-25七年级下·云南昆明·期中）一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 10．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 题型四：有理数、无理数的识别 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．π D． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 4．（25-26八年级上·上海·期中）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 5．（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 6．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 7．把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 8．数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 9．我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 10．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 题型五：实数的大小比较 1．在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 2．如图，数轴上点M表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 3．已知，比较、、的大小并用“”连接：______． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 5．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接：________． 7．计算：．（精确到） 8．广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 9．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 10．对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 题型六：无理数的整数、小数部分 1．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 2．（25-26八年级上·上海·期中）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 3．大于且小于的整数的和是___________． 4．已知为正整数，且，是的小数部分，则_____． 5．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 6．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 7．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 8．解答题 (1)实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 9．（25-26八年级上·上海·期中）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 10．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． (1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________． (2)某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． (3)若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根． 题型七：实数的化简与运算 1．计算______． 2．若，其中，则b的值为_____________． 3．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 4．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 5．计算：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）计算∶ 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 8．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数的综合 题型一 平方根、立方根的定义 题型二 平方根、立方根小数点移动规律 题型三 利用平方根、立方根定义解方程 题型四 有理数、无理数的识别 题型五 实数的大小比较 题型六 无理数的整数、小数部分 题型七 实数的化简与运算 题型一： 平方根、立方根的定义 1．如果一个正数的平方根是和，则a的值是（     ） A．81 B．9 C．18 D．3 【答案】D 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴的平方根是． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，根据定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：A选项：3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是B说法错误； C选项：的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 4．列说法正确的是（    ） A．的立方根是3 B． C．25的平方根是5 D．的算术平方根是2 【答案】D 【详解】解：选项A：，的立方根是，A错误； 选项B：表示16的算术平方根，结果为，即，B错误； 选项C：，的平方根是，C错误； 选项D：，的算术平方根是，的算术平方根是，D正确． 5．16的算术平方根是_______，4的立方根是_______，的平方根是_______． 【答案】 4 【分析】本题考查算术平方根、立方根和平方根，根据算术平方根、立方根和平方根的定义和性质求解即可． 【详解】解：16的算术平方根是4，；4的立方根是；的平方根是； 故答案为：4，， 6．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知，则的立方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 8．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是________． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·期中）已知和是同一个正数的平方根，的立方根为，求的平方根？ 【答案】或 【分析】本题考查了平分根与立方根，熟悉理解平分根与立方根是解题的关键． 根据平分根的概念分两种情况分析：当和互为相反数时，当和互为相等时，求出的值，根据立方根的概念求出的值，代入运算即可． 【详解】解：∵和是同一个正数的平方根， ∴当和互为相反数时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； 当和相等时， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的平方根为：； ∴的平方根为或． 10．已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】 【分析】先从“平方根是它本身”确定为零，再根据立方根和算术平方根的定义分别列出关于和的方程并求解，最后将的值代入目标代数式，求其平方根． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 题型二：平方根、立方根小数点移动规律 1．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 3．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 4．若，，那么等于（ ） A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 6．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 7．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知，如果，则_____． 【答案】5230000 【分析】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键． 通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解． 【详解】解：已知，且． 所以． 故答案为：5230000． 8．（25-26八年级上·上海崇明·期末）如果，，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的性质．根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就移动一位，即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为： 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）已知：，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，利用平方根的性质和给定的近似值，通过小数点移动的关系求解． 【详解】解：由，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·期中）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1) ， ， ， (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若，则满足条件的整数有 个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【详解】（1）解：由表格可知， 故答案为∶ ； （2）解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； （3）解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 题型三：利用平方根、立方根定义解方程 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．5的平方根是 B．5的平方根是 C．5的算术平方根是 D．5的算术平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．根据题意，求出，，再依次进行判断即可． 【详解】解：∵方程的解分别为a，b，且， ∴，， ∴5的平方根是，故A，B错误，5的算术平方根是，故C正确，D错误． 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个正方体的棱长为，根据已知表面积列方程求解即可． 【详解】解：设这个正方体的棱长为， ∵正方体的表面积为， ∴， ∴， ∴这个正方体的棱长为． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 5．（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）求该式子中x的值． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：， ， 或， ∴或． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 7．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用平方根解方程，立方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用平方根进行解方程，即可作答． （2）方程两边同时乘，再运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴或； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 8．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程； （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据立方根的定义解方程，即可求解． 【详解】（1）解：                   ∴ 或                               解得：或 （2）解： ∴ ∴ 解得： 9．（24-25七年级下·云南昆明·期中）一个正数有两个平方根，它们互为相反数例如：若，则或． (1)如果一个正数的平方根分别为和，求这个正数； (2)已知自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系为，表示重力加速度，其标准值为米/秒若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查了平方根、平方根的运用等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数可得到关于的等式，解得的值，进而求得这个正数即可； （2）把和的值代入等式得到关于t的方程，然后根据平方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：， ∴，， ，即这个数为． （2）解：当，时，，解得：（舍弃）． 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 10．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2) 解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）略 题型四：有理数、无理数的识别 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【详解】解：∵ 0是整数，也是整数， ∴ 二者均属于有理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是分数， ∴ 属于有理数． 2．（25-26八年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．有限小数一定是有理数 B．无限小数一定是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数两类 D．数轴上的所有点都对应有理数 【答案】A 【分析】本题考查的是实数的分类．根据实数的分类对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、有限小数一定是有理数，故本选项说法正确，符合题意； B、无限不循环小数一定是无理数，原说法错误，故本选项不符合题意； C、实数可以分为正实数和负实数和0，原说法错误，故本选项不符合题意； D、数轴上的所有点都对应实数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何数都有平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．任何实数不是正实数就是负实数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【分析】根据平方根，无理数，实数与数轴的关系，解答即可. 本题考查实数的基本概念，包括平方根、无理数的性质、实数的分类以及实数与数轴的关系. 【详解】解：∵ 负数没有平方根， ∴ A错误； ∵两个无理数的和不一定是无理数，如， ∴ B错误； ∵ 0是实数，但既不是正实数也不是负实数， ∴ C错误； ∵ 实数与数轴上的点一一对应， ∴ D正确， 故选：D. 4．（25-26八年级上·上海·期中）在 ，， （每两个6之间依次多1个1），，0，中，有理数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的定义，整数与分数统称有理数，无限不循环小数是无理数，只需逐个判断各数，即可得到有理数的个数，即可求解． 【详解】解： 是有限小数，属于分数，是有理数； 是分数，是有理数； （每两个之间依次多 个 ）是无限不循环小数，是无理数； 中 是无限不循环小数，故是无理数； 是整数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； 综上，有理数共有 个． 5．（25-26八年级上·上海松江·期末）实数，，，，（“27”依次不断出现）中，其中无理数是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的化简，求一个数的立方根． 根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：，其中是无理数，因此是无理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数． 是有限小数，是有理数． 是无限循环小数，是有理数． 综上所述，无理数是． 故答案为：． 6．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是_________（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 7．把下列各数填在相应的括号内：，，，0，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）． 整数集合｛                              } 分数集合｛                              } 无理数集合｛                             } 【答案】整数集合｛， ｝ 分数集合｛｝ 无理数集合｛，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）} 【分析】先将化简，再根据实数的分类，填入相应的集合即可求解． 【详解】解：0，是整数，是分数；，（每相邻两个5之间0的个数逐渐多1）是无理数． 8．数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（   ）； “分数”席：（    ）． 【答案】(1)3 (2)； 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有： 则共有无理数3个． （2）解：由题可知：“整数”席为：； “分数”席为：． 9．我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）将拆分为，代入完成化简． （2）根据纯虚数定义，联立实部等于0、虚部不等于0的不等式组，求解实数的值． （3）复数等于0时实部、虚部均为0，据此列出二元一次方程组，解方程组得到的值． （4）先计算前四项的和寻找循环周期，利用周期规律求出2026项包含的完整周期个数与剩余项，再计算最终结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵复数（是实数）是纯虚数， ∴，， ∴或，且， ； （3）解：∵为实数，且满足， ∴， 解得． （4）解：， ， ， ， ， ， …， 每4个一组循环， ， ． 10．阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2) 解：∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）略 （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型五：实数的大小比较 1．在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 2．如图，数轴上点M表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设表示的数为，由图可知，点 在 和 之间，且靠近 ， ， ， ，故排除 C， D ； ， ， 点 表示的数可能是 ． 3．已知，比较、、的大小并用“”连接：______． 【答案】 【分析】根据已知的范围，利用求差法比较三个代数式的大小即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴，， ∴，即； ， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）比较大小：_____（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 通过比较平方即可比较两数的大小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 5．若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）将下列各数、、用“”连接：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 7．计算：．（精确到） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 8．广东剪纸有着区别于其他地域剪纸的独特气质，兼具细腻灵动的技法与浓郁的岭南特色，为学习剪纸艺术，王芳要把一张面积为，长、宽比为的长方形彩纸剪成如图形状． (1)请帮王芳求出长方形彩纸的长和宽； (2)王芳想从中裁出面积为的完整圆形纸胚，她能够裁出来吗？试说明理由．（取3） 【答案】(1)长方形彩纸的长为，宽为； (2)解：能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为，由题意得：，解得：， ∵圆形纸胚的直径为，长方形彩纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来. 【分析】（1）设长方形彩纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设长方形彩纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴长方形彩纸的长为，宽为； （2）略 9．综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 10．对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 【答案】(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【分析】（1）①根据，利用结论，求解即可； ②根据，解答即可； ③，求解即可． （2）根据分母最大为10，结合性质，证明即可． （3）根据结论，转化成不等式，求整数解，解答即可； 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 题型六：无理数的整数、小数部分 1．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】A 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 即 ， ， 即 ， 因此 的值在1到2之间． 2．（25-26八年级上·上海·期中）设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，确定其范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．大于且小于的整数的和是___________． 【答案】 2 【分析】本题主要考查无理数的估算、有理数的加法，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 先估算 和 ，确定符合条件的整数，再求和． 【详解】∵ ，， ∴大于 且小于 的整数有 ， ∴这些整数的和为 ． 故答案为： 2． 4．已知为正整数，且，是的小数部分，则_____． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，确定正整数的值，再根据无理数小数部分的定义得到，最后代入计算即可． 【详解】解：，，且， ， 即， 为正整数，且， ， 是的小数部分， ， ． 5．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则，， 则． 6．任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 【答案】4 【分析】本题考查取整函数与算术平方根的运算．按照题目定义的操作规则，对520连续进行取平方根后向下取整的操作，直至结果为1，统计操作次数即可． 【详解】由于，∴ 故第1次操作：， 同理，第2次操作：， 第3次操作：， 第4次操作：， 对520进行4次操作后变为1． 7．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的意义． 根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出 ；根据立方根等于本身的数且大于 0，求出 ；估算 的整数部分得到 ；代入求值后求算术平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 8．解答题 (1)实数在数轴上的位置如图所示，化简代数式． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴上的位置，判断出，，的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到、的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：由数轴知， 原式 ； （2）解：， ， ． 9．（25-26八年级上·上海·期中）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 10．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． (1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________． (2)某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． (3)若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了在数轴上表示无理数、平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根以及图形面积公式，是解答本题的关键． （1）结合题干可知图中半圆的半径长为，结合数轴即可作答； （2）先求出大正方形的面积，再减去二个长方形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解； （3）先利用平方根和立方根的定义及无理数的估算求得a，b，c，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵小正方形边长为1， ∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为． ∴． ∴A表示的数为，B表示的数为． 故答案为：，． （2）解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：， ∴小正方形面积为：． 故长方形对角线长度为：． （3）解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故． 题型七：实数的化简与运算 1．计算______． 【答案】0 【详解】解：． 2．若，其中，则b的值为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【详解】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 3．在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 4．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 5．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方，再算绝对值，然后算加减即可． 【详解】解：原式 ． 6．（25-26八年级上·上海·期中）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 7．（25-26八年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据算术平方根的定义，立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26八年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，立方根求值，绝对值化简，平方根求解等．先将每项化简，再从左到右计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 9．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【答案】（1）是 （2） 【分析】本题主要考查算术平方根的运用，理解题意，正确列式计算是关键． （1）根据“组合平方数”的定义，分类计算即可求解； （2）根据“组合平方数”的定义，结合算术平方根中被开方数的特点，算术平方根的结果，分类计算即可求解； 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； 10．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数：用表示这三个数中最小的数．如：，． (1)填空：________，________； (2)如果，求的值． (3)解方程． 【答案】(1), (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了平均数的计算、数的大小比较、解一元二次方程，熟练掌握平均数公式、分情况讨论的方法是解题的关键． （1）第一空根据平均数公式计算三个数的平均数；第二空比较三个数的大小得出最小值． （2）先根据平均数公式表示出，再分情况讨论，结合等式求解 （3）先分析的取值情况，再分情况解方程． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， 故答案为：,； （2）解：， 分情况讨论： 当时，，则，解得，符合 当时，，则，解得，不符合，舍去． 当时，，则，解得，符合 综上，或； （3）解：∵， ∴为或， 分情况讨论： 当，即时，， ∴，即， ， 解得（舍去，因为）或 当，即时，， ∴， 解得或（舍去，因为）． 综上，或 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $