第3章 圆的基本性质 单元练习题 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版九年级数学上册第3章 圆的基本性质单元练习题 一、单选题 1．如图，在中，直径与弦相交于点，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，连接正五边形的对角线可得到我们常见的五角星图案，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（　　） A． B． C． D．2n° 6．已知⊙O的半径为6，点A到圆心O的距离为7，则点A与圆的位置关系为（　　) A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 7．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　) A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法确定 8．如图，是半圆的直径，是的中点，连接交于点，为的中点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．某小组在“中国扇中的数学美”的项目化实践中发现，某折扇（如图）张开的角度为时，扇面面积为；该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．如图，四边形内接于，，连接和．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知的直径为8，若，则点与的位置关系是　 　． 12．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM∶CM＝5∶18，则⊙O的周长为　 　． 13．如图，菱形的对角线、相交于点，以为斜边在的右侧作，连接，若菱形的面积为36，，则线段长度的最大值为　 　． 14．如图，F 为正方形ABCD 的边CD 上一动点，AB=2，连接BF，过点A 作AH⊥BF 交BC于点H，交BF 于点G，连接CG，当CG 的值最小时，CH 的长为　 　. 三、解答题 15．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 16．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果D是中弦的中点，连接并延长交于点C，并且，，求的半径． 17．如图，在扇形中，半径，圆心角，求的长度．（结果保留π） 18．利用素材解决：《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 图形 任务 （1）如图，我们通过尺规作图作所在圆的圆心，得出结论：不在同一条直线上的______个点确定一个圆． （2）求所在圆的半径． （3）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 19．如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 20．为参加学校“温州非遗传承”实践活动，小芳制作了如图1所示的一面瓯绣团扇，象征着团圆和吉祥．这把团扇的圆形扇面面积为，手柄长为．为了展示，小芳设计了一个长、宽比为，面积为的团扇展示框，如图2所示． （1）求该圆形扇面的半径； （2）求团扇展示框的长和宽； （3）该团扇展示框能装得下这面团扇吗？请说明理由． 21．如图，在中，，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：． （2）若弧，求的度数． （3）过点D作于点F，若，，求DF的长． 22．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆 （1）求∠BAF的度数 （2）连接OC，OD，作OG⊥CD.若劣弧CD的长为π，求OG的长 23．【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，， ∴ 故选：C． 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出答案. 4．【答案】B 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE ∵OB=OC ∴∠OCB=∠CBO=n° ∴∠BOC=180°-∠B-∠OCB=180°-2n° ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=150°-(180°-2n°)=2n°-30° ∴ ∴∠ADC=180°-∠E=180°-(n°-15°)=195°-n° 故答案为：C 【分析】连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，根据等边对等角可得∠OCB=∠CBO=n°，根据三角形内角和定理可得∠BOC，再根据角之间的关系可得∠AOC，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E，再根据圆内接四边形性质即可求出答案. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，点A到圆心O的距离为7， ∴点A与圆的位置关系为：点A在圆外。 故答案为：C. 【分析】 直接利用点与圆的位置关系点到圆心的距离大于半径，点在圆外解答即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），且点O为原点， ∴OP5， 又∵⊙O的半径为5， ∴OP等于圆的半径， ∴点P在⊙O上． 故选：C． 【分析】先根据勾股定理求出OP的长，即点P到圆心O的距离，再与的⊙O的半径比较：若OP>r，则点P在⊙O外；若OP=r，则点P在⊙O上；若OP<r，则点P在⊙O内. 8．【答案】C 9．【答案】C 【解析】【解答】解∶设该扇子外圆所在圆的半径为，内圆所在圆的半径为， ， ， 该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ， ， ， ， 是的正比例函数， ， 它的图象是过原点的一条线段， 故答案为∶ C． 【分析】设扇子所在圆的半径为，根据扇面的面积表示出，然后表示n°的扇面面积，得到m与n的关系解题即可． 10．【答案】B 11．【答案】点在外 【解析】【解答】解：∵的直径为8， ∴的半径为， 又∵， ， ∴点与的位置关系是点在外． 故答案为：点在外． 【分析】根据点与圆的位置关系即可求出答案. 12．【答案】13π； 13．【答案】 14．【答案】3－ 【解析】【解答】解：如图1，取AB的中点O，连接OG，OC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°. ∵AB＝2， ∴OB＝OA＝1， ∴OC＝＝＝. ∵AH⊥BF， ∴∠AGB＝90°. ∵AO＝OB， ∴OG＝AB＝1. ∵CG≥OC－OG， ∴当O，G，C三点共线（如图2）时，CG的值最小，最小值为－1. ∵OB＝OG＝1， ∴∠OBG＝∠OGB. ∵AB∥CD， ∴∠OBG＝∠CFG. ∵∠OGB＝∠CGF， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CF＝CG＝－1. ∵∠ABH＝∠BCF＝∠AGB＝90°， ∴∠BAH＋∠ABG＝90°，∠ABG＋∠CBF＝90°， ∴∠BAH＝∠CBF. ∵AB＝BC， ∴△ABH≌△BCF（ASA）， ∴BH＝CF＝－1， ∴CH＝BC－BH＝2－（－1）＝3－. 故答案为3－. 【分析】本题主要考查了将军饮马(动点到定点距离最小)、勾股定理、全等三角形的判定与性质。先在Rt△OBC中由OB=1、BC=AB=2得OC=√5；在Rt△ABG中由中线性质OG=1；当O、G、C共线时CG最小=OC-OG=-1；再证△ABH≌△BCF(ASA)得BH=CF=CG=-1；故CH=BC-BH=3-. 15．【答案】（1） （2） 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】（1）3；（2）所在圆的半径为20米；（3）函数解析式为 19．【答案】（1）解：△BDE为等腰直角三角形 理由： ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC ∴∠BAE=∠CAD=∠CBD， ∠ABE=∠EBC. ∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠CBE， ∴∠BED=∠DBE. ∴BD = ED ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90 ∴△BDE是等腰直角三角形 （2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F. ∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD. ∴BD= DC. ∵OB=OC. ∴OD 垂直平分BC. ∵△BDE是等腰直角三角形， ∴AB=10， ∴OB=OD=5. 设OF=t，则DF=5-t. 在Rt△BOF和Rt△BDF中， 解得 t=3， ∴BF=4 ∴BC=8 【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可知，∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC，所以∠BED=∠DBE，所以 BD=ED，因为AB为直径，所以∠ADB=90°，所以△BDE是等腰直角三角形； (2)连接OC、CD、OD，OD交BC于点F，因为∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，所以BD=DC，因为OB=OC、所以OD垂直平分BC，由△BDE是等腰直角三角形，，可得，因为OB=OD=5，设OF=t，则DF=5-t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，，解出t的值即可. 20．【答案】（1）解：设该圆形团扇的半径为， 团扇面积为， ， 解得，（舍去）. （2）解：设团扇展示框长为，宽为， ， 解得（舍去） 该团扇展示框的长为，宽为. （3）解：能 ，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ，， 这个长方体盒子能装得下这面团扇． 【解析】【分析】（1）根据扇形的面积公式列出方程，即可求解． （2）根据展示框的长宽比值，可设团扇展示框长为，宽为，再利用矩形的面积法公式列出方程，即可求解． （3）先求出圆形团扇的直径进和其总高度，再与长方体的长和宽比较大小，即可判断． （1）解：设该圆形团扇的半径为， 团扇面积为， ， 解得，（舍去） （2）解：设团扇展示框长为，宽为， ， 解得（舍去） 该团扇展示框的长为，宽为； （3）解：能 ，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ，， 这个长方体盒子能装得下这面团扇． 21．【答案】（1）证明：如图，连接， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD. （2）解：连结OD、OE， ∵ ∴∠DOE＝50°， ∴∠DAC∠DOE＝25° ∵∠ADC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠DAC＝65°， ∴∠C的度数是65°． （3）解：由（1）得∠ADB＝90°，BD＝CD， ∵AB＝10，BC＝8， ∴BDBC＝4 在中，由勾股定理得 ∵DF⊥AB于点F， ∴ ∴. 【解析】【分析】（1）连结AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，所以BD＝CD． （2）连结OD、OE，由，得∠DOE＝50°，则∠DAC∠DOE＝25°，而∠ADC＝90°，则∠C＝90°﹣∠DAC＝65°． （3）由（1）得∠ADB＝90°，BD＝CD，因为AB＝10，BC＝8，所以BDBC＝4，求得，而DF⊥AB于点F，所以求得. 22．【答案】（1）解：∵n边形内角和为：180°（n-2）， ∴正六边形的每一个内角==120°， 即 ∠BAF的度为120°. （2）解：正六边形的每个中心角为 =60°，即∠COD=60°， ∵OC=OD， ∴△COD为等边三角形， ∴CO=OD=CD=π， ∵ OG⊥CD ， ∴GD=CD=π， ∴由勾股定理知：OG=. 【解析】【分析】⑴根据正n边形每一个内角=计算即可. ⑵根据正n边形每一个中心角=得∠COD=60°，从而知△COD是等边三角形，再结合等边三角形“三线合一”及勾股定理计算出OG的长. 23．【答案】解：（1）在△AMD和△AND中， ， ∴△AMD≌△AND（SSS）， ∴∠AMD=∠AND； （2）选择①为条件，②为结论， 在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示： ∵AD平分∠MAN， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD和△AND中， ， ∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴∠AMD=∠AND，MD=ND， ∵∠AMD=2∠C， ∴∠AND=2∠C， ∵∠AND=∠NDC+∠C， ∴∠NDC=∠C， ∴ND=NC， ∴CN=MD， ∵AC=AN+CN， ∴AC=AM+MD； 选择②为条件，①为结论 在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示： ∵AD平分∠MAN， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD和△AND中， ， ∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴∠AMD=∠AND，MD=ND， ∵AC=AN+CN， 又∵AC=AM+MD， ∴CN=MD， ∴CN=DN， ∴∠NDC=∠C， ∵∠AND=∠NDC+∠C=2∠C， ∴∠AMD=2∠C； （3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，如图所示， ∵∵， ∴AB=BC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AC为的直径， ∴∠ABC=90°， ∵点F是AE的中点， ∴AE=2AF=2BF， ∴AF=BF， ∴∠BAF=∠ABF， ∵∠BAF=∠BCD，∠DBC=∠DAC， ∴∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC， 在△ABF和△BCD中， ， ∴△ABF≌△CBD（AAS）， ∴AF=CD， ∴AE=2CD. 【解析】【分析】（1）直接利用证明△AMD≌△AND即可得出结论； （2）选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再结合∠AMD=2∠C可得∠NDC=∠C即可得出ND=NC，进而即可得出结论；选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再根据AC=AM+MD即可得出ND=NC，进而得到∠NDC=∠C，即可得出结论； （3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据，可得，根据AC为的直径， ∠ABC=90°，根据中点定义和直角三角形的性质可得∴AE=2AF=2BF，根据圆周角定理可得∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，进而可证明△ABF≌△CBD，从而得到AF=CD，即可得出结论． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $