2026-2027学年浙教版数学九年级上册 第3章 圆的基本性质 单元检测

浙教版（2024）九年级上册 第3章 圆的基本性质 单元检测 一、选择题 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是 （      ）  A．3π B． C．4π D．5π 2．如图，AB是☉O的直径，若∠BAC＝30°，则∠ADC等于 （      ）  A．40° B．60° C．70° D．80° 3．下列判断正确的是 （      ） A．两端点都在圆上的线段叫做直径 B．优弧的长度比劣弧的长 C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径 D．所有圆的直径都相等 4．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（    ） ①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE. A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 5．一个圆的半径为r,圆周长为；另一个半圆的半径为2r，半圆弧长为,那么下列结论中，成立的是(    ) A． B． C． D． 6．小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 7．如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC，DNMO均为矩形，BC=a，MD=b，则a，b的关系为 A．a>b B．a=b C．a<b D．a≤b 8．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 9．如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．如图，将正方形绕着点A逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．已知边长为4的等边，，分别是、的中点，将绕点顺时针旋转，与交于．当时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是__________ 14．如图，在半径为5的中，于点，则__________． 15．已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π cm，则扇形的面积为__________cm2． 16．如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为__________． 17．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点A、、均为格点，点为的三等分点（靠近点A），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是__________． 三、解答题 18．如图，AB是☉O的直径，点C，D是☉O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F. (1)求证：点D为\overset{̑}{AC}的中点； (2)若CB=6，AB=10，求DF的长； (3)若☉O的半径为5，∠DOA=80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值. 19．如图所示，是的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 20．如图，⊙O上依次有A，B，C，D四个点， ，连接AB，AD，BD，延长AB到点E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．求证：BF＝BD． 21．如图，在中，是直径，点C在圆上，，分别平分和，的延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 22．已知抛物线y=x2+kx+2k﹣4 （1）当k=2时，求出此抛物线的顶点坐标； （2）求证：无论k为任何实数，抛物线都与x轴有交点，且经过x轴一定点； （3）已知抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（A在B的左边），|x1|＜|x2|，与y轴交于C点，且S△ABC=15．问：过A，B，C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标． 浙教版（2024）九年级上册 第3章 圆的基本性质 单元检测（参考答案） 一、选择题 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD为直径的圆与AD交于点E，则的长是 （      ）  A．3π B． C．4π D．5π 【答案】C 【解析】如图，取CD的中点O，连接OE， ∵菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6， ∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3， ∴的长是＝4π. 2．如图，AB是☉O的直径，若∠BAC＝30°，则∠ADC等于 （      ）  A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【解析】∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°. 3．下列判断正确的是 （      ） A．两端点都在圆上的线段叫做直径 B．优弧的长度比劣弧的长 C．在同一圆中，两端点都在圆上的线段中，最长的是直径 D．所有圆的直径都相等 【答案】C 4．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝25°，下列结论中正确的有（    ） ①CE＝OE；②∠C＝40°；③＝；④AD＝2OE. A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E， ∴CE=DE，，， ∴∠BOC=2∠A=40°，， 即，故③正确； ∵∠OEC=90°，∠BOC=40°， ∴∠C=50°，故②正确； ∵∠C≠∠BOC， ∴CE≠OE，故①错误； 作OP∥CD，交AD于P， ∵AB⊥CD， ∴AE＜AD，∠AOP=90°， ∴OA＜PA，OE＜PD， ∴PA+PD＞OA+OE， ∵OE＜OA， ∴AD＞2OE，故④错误； 故选：B． 5．一个圆的半径为r,圆周长为；另一个半圆的半径为2r，半圆弧长为,那么下列结论中，成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意得：, , ∴, 故选C. 6．小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 【答案】A 【解析】小丽用圆规画的圆的半径为， 小丽用圆规画的圆的周长为：， 小丽与小杰所得的圆一样大， 故选：A． 7．如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC，DNMO均为矩形，BC=a，MD=b，则a，b的关系为 A．a>b B．a=b C．a<b D．a≤b 【答案】B 【解析】连接ON，OA，如图， ∵点A，N在半圆上， ∴ON=OA. ∵四边形ABOC，DNMO均为矩形， ∴ON=MD，OA=BC， ∴BC=MD，即a=b. 8．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【解析】∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°， 正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°， 正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°， 正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°， ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形， 故选A． 9．如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 10．如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 11．如图，将正方形绕着点A逆时针旋转得到正方形，点的对应点落在正方形的对角线上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵正方形， ∴，， ∴， ∵，正方形是由正方形绕着点A逆时针旋转所得， ∴， ∴， ∴的长， 故选：． 12．已知边长为4的等边，，分别是、的中点，将绕点顺时针旋转，与交于．当时，点运动的路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，作△ABC的外接圆O，OM⊥BC于M交O于N，连接OB，PB， ∵△ABC和△EBF是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠BAC＝∠EBF＝60°， ∴∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF中， AB＝ BC，∠ABE＝∠CBF， BE＝ BF， ∴△ABE≌△CBF， ∴∠BAE＝∠BCP， ∴A、B、P、C四点共圆， ∴∠BPC＋∠BAC＝180°， ∴∠BPC＝120°， ∴点P的运动轨迹是， ∵等边三角形的边长为4， ∴OB＝， ∴的长为：， 故选：D． 二、填空题 13．如图C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，，则阴影部分的面积是__________ 【答案】 【解析】设的中点为，连接，    ∵C、D在直径的半圆上，D为半圆弧的中点，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作，则：， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 14．如图，在半径为5的中，于点，则__________． 【答案】3 【解析】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，． 故答案为：3． 15．已知扇形的圆心角为150°，弧长为20π cm，则扇形的面积为__________cm2． 【答案】240π 【解析】解：设扇形的半径为R cm， 则由弧长公式得：20π＝， 解得：R＝24， 即扇形的面积是×20π×24＝240π（cm2）． 16．如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为__________． 【答案】 【解析】连接，，，， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴，， ∵恰好是⊙的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴的度数为84°. 17．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点A、、均为格点，点为的三等分点（靠近点A），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】如图，连接、、、， ∵每个小正方形的边长为，点为弧的三等分点（靠近点A）， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即的度数为， ∴是直角三角形， ∵点为的中点，， ∴， ∵点、分别是线段、上的动点，点为的中点， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：， 此时点为的中点，如图， ∵点为弧的三等分点（靠近点A），的度数为， ∴的度数为：，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是． 故答案为：． 三、解答题 18．如图，AB是☉O的直径，点C，D是☉O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F. (1)求证：点D为\overset{̑}{AC}的中点； (2)若CB=6，AB=10，求DF的长； (3)若☉O的半径为5，∠DOA=80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值. 【答案】(1)证明　∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵OD∥BC， ∴∠OFA=90°， ∴OF⊥AC， ∴\overset{̑}{AD}=\overset{̑}{CD}，即点D为\overset{̑}{AC}的中点. (2)解　∵OF⊥AC， ∴AF=CF，而OA=OB， ∴OF为△ACB的中位线， ∴OF=BC=3， ∴DF=OD-OF=5-3=2. (3)解　作C点关于AB的对称点C'，C'D交AB于P，连接OC，如图， ∵PC=PC'， ∴PD+PC=PD+PC'=DC'， ∴此时PC+PD的值最小. ∵\overset{̑}{AD}=\overset{̑}{CD}， ∴∠COD=∠AOD=80°， ∴∠BOC=20°. ∵点C和点C'关于AB对称， ∴∠C'OB=20°， ∴∠DOC'=120°. 作OH⊥DC'于H，则∠ODH=30°，C'H=DH. 在Rt△OHD中，OH=OD=， ∴DH=OH=， ∴DC'=2DH=5， ∴PC+PD的最小值为5. 19．如图所示，是的直径，图中的弦有哪些？哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？ 【答案】解：图中的弦有，，， 图中的劣弧有，， 图中的优弧有，． 20．如图，⊙O上依次有A，B，C，D四个点， ，连接AB，AD，BD，延长AB到点E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF．求证：BF＝BD． 【答案】证明：连接AC，OB，OD． ∵AB＝BE， ∴点B为AE的中点， ∵F是EC的中点， ∴BF为△EAC的中位线， ∴BF＝AC， ∵， ∴， ∴BD＝AC， ∴BF＝BD． 21．如图，在中，是直径，点C在圆上，，分别平分和，的延长线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】解：（1）∵，分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵是的直径， ∴， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ． 22．已知抛物线y=x2+kx+2k﹣4 （1）当k=2时，求出此抛物线的顶点坐标； （2）求证：无论k为任何实数，抛物线都与x轴有交点，且经过x轴一定点； （3）已知抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（A在B的左边），|x1|＜|x2|，与y轴交于C点，且S△ABC=15．问：过A，B，C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标． 【答案】解：（１）当＝２时，抛物线为＝＋， 配方：＝＋＝＋＋１－１， 得＝－１， ∴顶点坐标为（－１，－１）；（也可由顶点公式求得） （２）令＝０，有＋＋－4＝０， 此一元二次方程根的判别式， ⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝， ∵无论为什么实数，≥０， 方程＋＋－4＝０都有解， 即抛物线总与轴有交点． 由求根公式得＝， 当≥４时，＝， 1＝＝－２， 2＝＝－＋２； 当＜４时，＝， 1＝＝－＋２， 2＝＝－２． 即抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）， 而点（－２，０）是轴上的定点； （３）过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线有第四个交点． 设此点为Ｄ．∵|1|＜|2|，C点在y轴上， 由抛物线的对称，可知点Ｃ不是抛物线的顶点． 由于圆和抛物线都是轴对称图形， 过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形． ∵轴上的两点Ａ、Ｂ关于抛物线对称轴对称， ∴过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线的第四个， 交点Ｄ应与C点关于抛物线对称轴对称． 由抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）： 当－２＜－＋２，即＜４时， Ａ点坐标为（－２，０），Ｂ为（－＋２，０）． 即1＝－２， 2＝－＋２． 由|1|＜|2|得－＋２＞２，解得＜０． 根据Ｓ△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５． ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－， ＯＣ＝|２－４|＝４－２， ∴（４－）（４－２）＝１５， 化简整理得＝０， 解得＝７（舍去）或＝－１． 此时抛物线解析式为＝， 其对称轴为＝，Ｃ点坐标为（０，－６）， 它关于＝的对称点Ｄ坐标为（１，－６）； 当－２＞－＋２，由Ａ点在Ｂ点左边， 知Ａ点坐标为（－＋２，０），Ｂ为（－２，０）． 即1＝－＋２， 2＝－２． 但此时|1|＞|2|，这与已知条件|1|＜|2|不相符， ∴不存在此种情况． 故第四个交点的坐标为（１，－６）． 学科网（北京）股份有限公司 $