课外拓展提高 32.2.2 第2课时 利用仰(俯)角、方向角解直角三角形-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E. DE 3 在Rt△BED中，tanB=BE=4' ∴.设DE=3y,则BE=4y. B D .BE+DE2=BD2, (3)+(4)P=,解得y=号（负值已舍去 3 DE=gme-形26 DE5√2 7.解：(1)如图，作CD⊥AB于点D, ∴.CD=AC·sinA=8Xsin30°=4， .AD=AC·cosA=8×cos30°=4√3. 在Rt△BCD中，∠B=45°， ∴.∠BCD=90°-45°=45°=∠B ..BD=CD=4,..AB=AD+BD=4J3+4. (2)如图，作PE⊥BC于点E,则 ∠B=∠EPB=45°，.PE =EB. :tan∠APC=2=PD, CD .PD=2 ∴.PB=BD-PD=4-2=2. nB设s, -sin B-4,PE-PB sin B=, ..BC CD ∴BE=PE=√2， .CE=BC-BE=3√2， .tan∠BCP=CE=3 PE1 32.2.2应用举例 第1课时解直角三角形的简单应用 1.A 2.B【解析】如图，过点C作CE⊥AB,垂足为E,过点 D作DF⊥AB,垂足为F.由题意得CE=DF=3m, △ACP和△BDP都是 天花板 B 等腰三角形，BP∥MN, ∴.∠APC=∠PCM=3m a☑ 45°，∠BPD=∠PDMM CB D =30°. 地板 CE 在Rt△PCE中，PE= tan450=3m, AP=2PE=6m.在Rt△PDF中，PF=,DF tan30° 3=35(m),BP=2PF=65m,.AB=BP- 3 AP=(6√3一6)m,.光斑移动的距离AB为(6√3一 6)m. 3.(6-2√3)【解析】如图，延 长DC交直线l于点H. AE⊥I,∠BAE=60°， .∠BAH=30. 又.AB⊥CD,∴.∠BHA=60° 在Rt△ABH中，AB=12,∴.BH=12×tan30°=4√3. BC=4,∴.CH=43-4, :Cp=CH·in60°=(45-4)×5=6-2. 2 ∴.点C到水平线l的距离CF为(6一2√3)dm. 4.解：(1)ABCD,AB与水平地面所成的角的度数 为35°， ∴.CD与水平地面所成的角的度数为35° 过点C作点D所在铅垂线的垂线，垂足为M,则 ∠DCM=35°」 CD=30, .CM=CD·cos∠DCM≈30X0.82=24.6, ∴.显示屏所在部分的宽度约为24.6cm (2)如图，连接AC,作AH⊥MC的延长线于点H. AB=40,O为中点， B 0 .∴.A0=20. A .CD=30,CE=2ED,..CE=20. .dM CD∥AB,OE⊥AB,.四边形 ACEO为矩形，AC=OE=10, ∴.∠DCM+∠ACH=∠CAH +∠ACH, 地面 ∴.∠DCM=∠CAH=35°， .AH=AC·cos35°≈10×0.82=8.2， ∴.镜头A到地面的距离为60+8.2≈68.2(cm). 第2课时利用仰（俯）角、方向角解直角三角形 1.A【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点F.:G为 BC的中点，EG∥AB, .EG为△ABC的中位线，.AB= 2EG=30m. D 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-a r =30°，.BC=AB·tan∠BAC=AB am30=30X号10B(m).在 B Rt△AFD中，DF=BC=10W3m,∠ADF=B=30°， AF=DF·tm∠ADF=I0v5XS-10(m, ∴.CD=BF=AB-AF=30-10=20(m). 2.B【解析】如图，过点D作DF⊥ AB于点F,易得四边形DEBF 为矩形.由题意，得∠ADF=28°，D28 CD=45 m,BC=60 m. DE :斜面坡度=1：0.75∴…EC 下册详解详析 35个 0.7石=3.设DE=4xm,则EC=3xm.在Rt△DEC 14 中，由勾股定理，得CD=5xm. 又CD=45m,.x=9, ∴.EC=27m,FB=DE=36m,∴.DF=BE=BC+EC =60+27=87(m).在Rt△ADF中，AF=tan28°· DF≈0.53×87=46.11(m), ∴.AB=AF+FB≈46.11+36≈82.1(m). 3.27m【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点 B作水平线的垂线，垂足为E. B D 由题意，得AB=4×10=40(m),∠ACE=75°，∠BCE =30°，AB∥CE, .∴.∠ACB=∠ACE-∠BCE=45°，∠ABC=∠BCE =30°. 在R1△ABD中，AD=2AB=20m, BD=AB·cos∠ABC=20V3m. AD 在Rt△ACD中，CD tan∠ACB=20m, ∴.BC=BD+CD=(20√3+20)m. 1 在RABCE中，BE5)BC=20V3十20=10V3+10 2 ≈27(m). 故这架无人机的飞行高度大约为27m. 4.(6√3十6)【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H. ,∠DAC=60°，∠CBE=45°，.∠CAH=90° ∠DAC=30°，∠CBH=90°-∠CBE=45°， .∠BCH=90°-45°=45°=∠CBH,.BH=CH E 60° A 在Rt△ACH中，∠CAH=30°，AH=AB+BH=12 +CH,tan30°=CH AH .CH- 3(12+CH),解得CH=63+6. 故渔船与灯塔C的最短距离是(6√3十6)n mile 5.解：如图，过点A作AM⊥CD于点M,过点B作BN ⊥CD于点N,则AM=BN=90m,AB=MN 下交M C60° 阅览室A “篮球场 由题意，得∠C=60°，∠D=42°. 436 九年级数学RJ版 在R△AMC中，amC=即m0=80 90 ..CM= 90 =30√/5(m). 3 DN,即tan42°=90 B 在Rt△BDN中，tanD DN' DN≈0. 90 =100(m). :CD=300m,∴.AB=MN=CD-CM-DN≈300- 30√/3-100≈148(m). 故桥AB的长度约为148m. 6.解：(1)由题意，得PN=15m,tan∠MCN= 3.PML √ AM,.∠MCN=30°. :VC=12m,.MN=NC·sin30°=6m, .PM=PN+MN=21 m. 故无人机距河面的高度PM为21m. (2)由题意，得∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3°. 由(1)可知，PM=21m. 在Rt△PMB中，BM= PM 21 tan52.4≈1.30≈16.2(m. 在Rt△PMA中，AM= PM 21 tan42.3≈0.97≈23.1m. AB=AM-BM≈7m. 故两艘皮划艇之间的距离AB约为7m. 7.解：(1)过点B作BE⊥AC于点E,如图. ,∠ABE=57.7°，AB=120m, 在R△MBE中，m∠ABE-话- ≈0.85， BE BE cos∠ABE=AB-120≈0.53， ∴.AE≈102m,BE≈63.6m. ∠CBE=70.2°， 作△cBE巾m∠cBE能-怎28 .CE≈176.8m,∴.AC=AE+CE≈279(m), ∴.桥东头与振兴大厦的水平距离AC的长约为279m. (2)设振兴大厦顶端为点D,连接AD,CD,如图. 由(1)知，AC≈279m. ∠CAD=9.3°， CD CD ∴.在Rt△ACD中，tan∠CAD= AC≈279≈0.16， .∴.CD≈44.6m ,点C距离地面2m, .44.6+2≈47(m), .振兴大厦的高度约为47m D目第2课时利用仰（俯）角、方向角 1.如图，在两栋建筑物之间有一根旗杆，高为 15m.在点A处观测，视线经过旗杆顶部E 恰好到达矮建筑物的底部点C,此时俯角α 为60°，且在点A处观测点D时的俯角3为 30°.若旗杆底部G为BC的中点，则矮建筑 物的高度CD为 (A) A.20mB.10√3mC.15√3mD.5√6m D289 B G C B 第1题图 第2题图 2.如图，在某居民楼AB的底部点B左侧60m 的点C处有一个山坡，斜面坡度i=1：0.75 是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比，山坡坡底点C到坡顶点D的距离CD= 45m,在坡顶点D处测得居民楼楼顶点A 的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面 在同一平面内，则居民楼AB的高度约为 (结果保留一位小数，参考数据：sin28°≈ 0.47,cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)(B) A.76.9m B.82.1m C.94.8m D.112.6m 3.如图，某活动小组利用无人机航拍校园.已 知无人机的飞行速度为4m/s,从A处沿水 平方向飞行至B处需10s.若在地面C处测 得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则 这架无人机的飞行高度大约为 27m(结果精确到1m,参考数据： √2≈1.41，√3≈1.73). 2 .B 60 459 水平线 A 第3题图 第4题图 解直角三角形（建议用时：45分钟) 4.如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它 的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行 12 n mile到达点B处，测得灯塔C在它的 北偏东45°方向.若渔船继续向正东方向航 行，则渔船与灯塔C的最短距离是 (6√3+6)n mile.. 5.(2026眉山)人工智能的快速发展给我们的 工作和生活带来了很多便捷.如下图，在公 园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了 方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖 桥AB.为确定跨湖桥AB的长度，无人机在 桥上方点C处，测得点C距地面的高度为 90m,同时测得桥头点A处的俯角为60°；从 点C处沿AB方向水平飞行300m到达点 D处，测得桥头点B处的俯角为42°.求桥 AB的长度（结果精确到1m,参考数据： sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈ 0.90,√3≈1.73). 9 C60 阅览室A “…篮球场 解：如图，过点A作AM⊥CD于点M,过点B作BN⊥ CD于点N,则AM=BN=90m,AB=MN. C60 ……i8D 阅览室代 由题意，得∠C=60°，∠D=42°. 在Rt△AMC中，tamC=AW 90 =CN,即tan60=C CM=90 305(m).在R△BDN中，tanD=BN /3 DN 90 即an42=%,DN≈。0=100(m). CD=300m,∴.AB=MN=CD-CM-DN≈300- 30/3-100148(m). 做桥AB的长度约为148m. 下册课外拓展提高 95 6.(2026巴中，有改动)“观四龛福城，赏巴河逐 浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马 拉松世界杯于5月23日在巴河之胖举行.如 下图，一架无人机在巴河河堤上N点处竖直 升空，当升至距地面15m的空中P点时，测 得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B 的俯角分别为42.3°和52.4°（点M,C,B,A 在一条直线上).已知河堤斜坡VC的长为 12m,坡比为1：√3（计算结果保留整数，参 考数据：sin42.3°≈0.67，cos42.3°≈0.74， tan42.3°≈0.91，sin52.4°≈0.79，cos52.4° ≈0.61，tan52.4°≈1.30). (1)求无人机距河面的高度PM. (2)求两艘皮划艇之间的距离AB. 解：(1)由题意，得PN=15m, D an∠McwN=S 3,PM LAM,. 2 河堤。 ∠MCN=30°. M CBA河面 ,NC=12m,∴.MN=NC·sin30°=6m, .'PM=PN+MN=21 m. 故无人机踵河面的高度PM为21m. (2)山题意，得∠PBM=52.4°，∠PAM=42.3 h(1)可知，PM=21m. PM 21 在Rt△PMB中，BM= tan52.≈1.30≈16.2(m). 在R△PMA中，AM=,PW21 tan42.3≈0.91≈23.1m. AB=AM-BM≈7m. 故两艘皮划艇之间的距离AB约为7. 96 九年级数学RJ版 7.(2026赣州南康区一模)小明居住在安居工 程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧 有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如 图，人行桥AB长120m,乡村振兴大厦点C 在点A的正西方，点B在点A南偏西57.7° 方向，点C在点B北偏西70.2°方向.（结果 精确到整数，参考数据：sin57.7°≈0.85， cos57.7°≈0.53，sin70.2°≈0.94，tan70.2° ≈2.78，tan9.3°≈0.16，tan13.6°≈0.24) G 人行桥 安居工B 程小区 (1)求桥东头与振兴大厦的水平距离AC 的长 (2)已知测量点A,B,C在同一水平面上，且 点C距离地面2m,在A处测得振兴大厦顶 端的仰角为9.3°，在B处测得振兴大厦顶端 的仰角为13.6°.求振兴大厦的高度， 解：(1)过点B作BE⊥AC于点E,如图： .∠ABE=57.7°，AB=120m, AE AE 六在Rt△ABE中，sin∠ABE=AB=20≈0.85， m∠AE-8器-需-a ,.AE≈102m,BE≈63.6m. ∠CBE=70.2°， 六在R△CBE中，an∠CBE=CE、CE BE63.6≈2.78， .CE≈176.8m,,AC=AE+CE≈279(m), ∴桥东头与振兴大厦的水平距离AC的长约为279m. (2)设振兴大厦顶瑞为点D,连接AD,CD,如图. 由(1)知，AC≈279m. ∠CAD=9.3°， 在R△ACD中，an∠CAD=CD、CD A0≈279≈0.16， ∴.CD≈44.6m. 点C距离地面2m,∴.44.6十2≈47(m), ∴.振兴大厦的高度约为47m. Dr-.