32.1正弦、余弦与正切（第1课时）（分层作业练题型）数学新教材人教版九年级下册

**基本信息** 以正弦概念为核心，通过基础概念理解、运算深化、综合应用三层递进设计，适配新授课知识巩固需求，培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正弦概念理解|直接考查定义（如第1题）及性质（如第2题边长缩放对正弦值影响），强化抽象能力| |提升层|求角的正弦值|结合直角三角形（第3题）、网格（第4题）、赵爽弦图（第5题）等情境，发展几何直观与运算能力| |拓展层|已知正弦值求边长|通过栏杆旋转（第8题）、圆（第9题）、四边形（第10题）等实际问题，体现模型意识与应用意识|

分层作业 32.1正弦、余弦与正切（第1课时） 目 录 1 正弦的概念 1 求角的正弦值 1 已知正弦值求边长 2 3 4 5 正弦的概念题型01 1．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025-2026·九年级下·期末）在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 求角的正弦值题型02 3．（2025·广西·中考）在中，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024-2025·九年级上·山东枣庄·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川资阳·中考）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 第6题图 6．如图，在半径为的中，直径与弦相交于点E，连接，，若，则_____． 7．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的值为________． 已知正弦值求边长题型03 8．如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 9．如图，是的弦，是的直径，，于，如果，则_____． 10．（2025-2026·九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点E在的延长线上，连接，，若，，则的长为______． 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 11．（2025-2026·九年级下·江苏南京·学情调研）如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径．若，则的长为_______． 1．（2025·江苏南通·中考）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 第1题图 第2题图 2．（2022·上海·中考）对于一个不大于的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角，我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”．（如图的“分角正弦比”为）．在矩形中，，被分的“分角正弦比”为，则矩形的面积为___________ 3．（2025-2026·九年级上·河南濮阳·月考）如图，在中，，点D在边上，连接，．请你用尺规作图法在边上找一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4．如图，如果中是锐角，，．证明：． 1．如图，为的直径，点C在延长线上，点D在上，连于E交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． (1)根据以上条件结合材料中的结论，求的值； (2)求的面积． 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 1．（2025·江苏常州·中考）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 第1题图 第2题图 2．（2025·广东深圳·中考）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 3．（2025·四川广元·中考）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 4．（2026·四川自贡·中考）如图，在中，，，，与的角平分线分别交于点，，与相交于点，连接，则的值为（     ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 32.1正弦、余弦与正切（第1课时） 目录 A组巩固过关 …1 正弦的概念… .1 求角的正弦值.2 已知正弦值求边长… .4 B组能力进阶 7 C组 思维拔高 9 拓展 链接中考 .12 A组 巩固过关 颗型01 正弦的概念 1.如图，已知△ABC,AD⊥BC,则sin∠ABD=() D a甜 AD B.BD C. AC D. AC AB B 【答案】A 【详解】解：，△ABC,AD⊥BC .∠ADB=90°， sin∠ABD=AD AB 故选A. 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025-2026九年级下，期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍， 则∠A的正弦值() A.扩大为原来的3倍 B。缩小为原来的 C.不变 D.不能确定 【答案】C 【详解】在RtA ABC中，∠C=90°，sinA=BC AB ,三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为3BC,斜边变为3AB, .'.sin A= _3BC BC 3AB AB =sin A, .∠A的正弦值不变. 故选：C 颗型02 求角的正弦值 (2025广西中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=3,则sinB=() 1 A. B.7 C.10 D.7 【答案】B 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=3, ..sinB=AC_3 AB 7 故选：B 4. (2024-2025九年级上·山东枣庄·月考)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A, B,C都在格点上，则sinB的值为() B 2V13 3V13 2 5 A.13 B.13 C.3 D. 4 【答案】A 【详解】解：如图：连接AD, 由题意得：AD2=2+2=8, 2/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD2=32+32=18, AB2=12+52=26, ..AD2+BD2=AB2, ∴△ABD是直角三角形， .∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，AD=V8=2V2,AB=V26, :.sin B=AD-2V2_2V13 AB /26 13 故选：A. 5.（2024四川资阳中考)第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心的图案来 源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE, △BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=1:3,则 sin∠ABE=() 图1 图2 5 4 2V5 A.5 B.5 C.5 D. 5 【答案】C 【详解】解：根据题意，设EF=X,则AH=3X, .△ABE△ DAH,四边形EFGH为正方形， ∴.AH=BE=3x,EF=HE=X, ..AE=4x, ∠AEB=90° ..AB=VAE2+BE2=5x, sin∠ABE=AE=4x-4 AB 5x 5, 故选：C 6.如图，在半径为2.5的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=3,则sinD= 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4 【答案】50.8 【详解】解：连接BC, .'∠A和∠D是BC所对的圆周角， B ∴∠A=∠D, E .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，AB=5, D .BC=VAB2-AC=V52-3=-4, ∴sinD=sinA=BC-4 AB5· 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A-2,1、B-3,2、C-1,4. V 上x (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△AB,C1: (2)直接写出点C1的坐标为 sin∠A1C,B1的值为 【详解】(1) VA B (2)点C1的坐标为-2,8： 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题意知，∠A1CB1=∠ACB AB=-2--3+1-22=2,BC=-3--1+2-42=22 AC=-2--1+1-42=/10, ..AB2+BC2=AC2, .∠ABC=90°， ÷sin∠A,C,B,=sin∠ACB=AB=2=5 AC 910 5 题型03 已知正弦值求边长 8.如图所示，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到AB的位置，已知AO的长为4米.若 栏杆的旋转角∠AOA=0c,则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为米 A A O.B B 【答案】4sino 【详解】利用正弦的定义求解即可. 解：如图，过点A作AC⊥AO,垂足为C,则AC为栏杆A端升高的高度， A0=4米， ∴A0=4米， '.'sing=AC=A'C A04 acO.B B ∴.AC=4sina米. )灰图，AB是O0的弦，CD是⊙O的直径，CD=15,CD⊥AB于M,果sin∠ACB-号.则AB 【答案】9 5/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：连接OA,OB, .直径CD⊥AB, ∴AD=BD,AB=2MB, ∠AOM=∠BOM=号<AOB, C :∠ACB-∠AOB. 2 ∴.∠BOM=∠ACB, sinCB=sin∠MOB=ME_3 B OB 5' D 3 ∴.MB=二OB 0B=号CD=15 2 MB=3x15=9 522’ ∴.AB=2BM=9, 10.(2025-2026九年级下·陕西西安·期中)如图，在四边形ABCD中，∠C=∠BAD=90°，AB=AD, 点2在CB的延长线上，连接A卫，sinE号，者CD=4,BC=2,则BE的长为一 EB 【答案】2 【详解】解：如图：过A作AF⊥BC于F,过D作DG⊥AF于G,则∠AGD=∠AFB=90°， .∠ADG+∠GAD=90°， ∠BAD=90°， ∴.∠BAF+∠GAD=90°， ∴.∠BAF=∠ADG, ..AB=AD, .△AFB≌△DGA ASA, ∴，BF=CD=4,AF=CF, EB F .'.AF=CF=BC-BF=12-4=8, 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtA AEF中，sinE=4 AF_484 AE5,即AE亏，解得：AE=10, ∴EF=AE2-AF2=6, ∴.BE=EF-BF=6-4=2. 11.(2025-2026九年级下·江苏南京·学情调研)如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,BC 是OO的直径.若PA=BC=2,则AC的长为 0 【答案】 5 5 【详解】解：如图：连接OA、OP、AB交PO于点M,则OA=OB, PA,PB是⊙O的切线， ∴.∠PAO=∠PBO=90°， .OP=OP. .Rt△PAO≌R tPBO HL, P ∴.PB=PA=2,∠APO=∠BPO, .BC=2,BC是⊙O的直径， ∴.OA=OB=0C=1, ∴.OP=VPA2+0A2=V22+1=5, PB=PA=2,∠APO=∠BPO, .PM⊥AB,AM=BM, sin∠OPA=A0=AM OPAP’ ÷52,解得：AM=25 1AM 5 :AB=45 5 BC=2,BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90° 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴AC=BC2-AB2=22- 45225 5 B组 能力进阶 1.(2025江苏南通中考)如图，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线，把网 格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为 【答案】4 -V2 【详解】解：如图，在图中标注C,D 设NC=X, .AD NB .∠MAD=∠ANC .∠MDA=∠ACN, ,△ANC-△MAD, .AC=AD=1, :MD= x' :△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都是1， .S△AMD+SAANC=3-1=2, 号MDAD+号NCAC=-2, 号安1+分12 …2X x+=4, 解得，飞1=2+3，x2=2-3(舍去)， .AN2=AC2+NC2 .AN2=1+2+3}=8+43=V2+V62, 8/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AN=V2+V6: sin∠MNB=-sin ANC= /6-2 2+V64 6-V2 故答案为： 4 2.(2022上海中考)对于一个不大于90°的角，从顶点出发在角的内部有一条线把这个角分成两个角， 我们把这两个角的正弦值的比叫做“分角正弦比”.（如图∠AOB的“分角正弦比”为 sin∠AOC:sin∠COB).在矩形ABCD中，AC=10,∠BAD被AC分的“分角正弦比”为3：1，则 矩形ABCD的面积为 【答案】25V3 【详解】解：由题意得sin∠BAC:sin∠CAD=V3:1, .BC.CD=3:1,BC:CD=3:1, ·ACAC 设BC=3x,则AB=CD=x, 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,即x2+3xP=102, 解得，X=5或x=-5(舍去) .AB=5,BC=5V3, .S知形ABCD=AB×BC=5×53=25V3】 3.(2025-2026九年级上·河南濮阳·月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，连接BD, ∠ABD=∠C,请你用尺规作图法在BC边上找一点B,连接DE,使得sin∠CDE=A (不写作法， 保留作图痕迹) 【答案】如图所示，点E即为所求： 9116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由作图得∠DEC=90°， .∠A=90 ∴.∠DEC=∠A=90°， .'∠ABD=∠C,∠ADB=180°-∠A-∠ABD,∠CDE=180°-∠DEC-∠C, .∠CDE=∠ADB, sin∠CDE=sin∠ADB=AB BD 4如图.如果△ABC中∠C是锐角，BC=a,AC=b.证：明SABc=)absinC, B 【详解】证明：如下图所示，作BC边上的高AD, 则AD=ACsinC=bsin C, S△ABC=AD-BC=2 absinC. C组 思维拔高 I.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB延长线上，点D在⊙O上，连BD、AD,OF⊥BD于E交CD 于F,∠BDC=∠BOF (1)求证：CD是⊙O的切线： 10/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②若sinC 5, AD=14,求EF的长. 【详解】(1)证明：如图：连接OD, OF⊥BD, ∴.∠OEB=90°， ∴.∠BOF+∠OBD=90°. .∠BDC=∠BOF, ∴.∠BDC+∠OBD=90° .OB=OD. ∴.∠ODB=∠OBD. ,∠ODB+∠BDC=90°， ∴.∠ODC=90°， .OD⊥DC, OD为⊙O的半径， ∴.CD是⊙O的切线. ②)解：：sinc=3 在RtA ODC中，sinC=OD=2 0C51 设0D=2x,则0C=5x, ∴.OB=OD=OA=2X, ..CB=OC-OB=5x-2x=3x,CA=OA+OB+BC=7x .AB为⊙O的直径， ∴.∠BDA=90°， AD⊥BD, OF⊥BD, ∴.OF‖AD ∴.△COF一△CAD, OF_OC_5x=5 AD CA 7x 7' AD=14 OF5 14=7,解得：0F=10. OF⊥BD 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BE=DE, .OA=OB, .OE为△ABD的中位线， OE=号AD=7, .EF=OF-OE=10-7=3 2.【问题背景】如图1，在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,C,过A作 ADL BC于点D,则sinB=c一，sin C=A0 -6,即AD=cB,AD=bsmC,于是cnB=bnC, C c_a a_b a_b_c 即sin Bsin C,同理有sinC5inA,sinAsin B,所以sinA sin BsinC, B D a 图1 【简单应用】如图2，在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,C,若∠A=45°，∠B=30°， a=10. b 图2 (1)根据以上条件结合材料中的结论，求b的值； (2)求△ABC的面积. 【综合应用】 (3)在某次巡逻中，如图3，甲船在C处测得岛A在甲船的北偏西30°的方向上，随后以40 n mile/h的速度按 北偏东30°的方向航行，一个半小时后到达B处，此时又测得岛A在北偏西7°的方向上，求此时甲船距岛 A的距离AB.(结果精确到0.01，V6≈2.449) 12/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30° 30 图3 6 【详解】(I)解：由题意得sinAsin B a 10 b sin45°sin30° 解得=5V2! (2)解：过点C作CD⊥AB于点D, ..sin A=CD_CD AC b' .CD=bsin A= 2x52=5, 2 .∠A=45°， ∴AD=CD=5, ∠B=30°， ∴.∠BCD=60°， sin∠BCD=BD BC =sin60-BD 10 :BD=in60x10-g5×10=55. a ∴.AB=AD+BD=c=5+5V3, S=号ABxCD=-号x15+5V3x5-251+3 2 2 (3)解：由题意可得，BC=40×1.5=60,∠ACB=60°，∠BAC=75°-30°=45°， B 由题意得 _60 in60°sin45°， AB=30/6≈73.47. 答：AB≈73.47 n mile. 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.(2025江苏常州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,则sinB的值是() 3 A. B子 c.5 D. 3 【答案】C 【详解】解：，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4, ..BC=AB2+AC2=5, ..sin B=AC_4 BC-5· 故选：C 2.(2025广东深圳中考)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA 的值为() 2V2 2 A.3 B.3 C.4 D. 【答案】D 【详解】解：BC长为10米，斜道AC长为30米， ·根据题意得： mA-9- 故选：D 3.(2025四川广元中考)如图，CD是⊙O的弦，过圆心O作0A⊥CD于点H,交⊙0于点A, OH:HA=3:2,点M是CBD上异于C,D的一点，连接CM,DM,则sin∠CMD的值是() B H 14/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 A. 3 B.5 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：连接OD,如图， .CD是⊙O的弦，OA⊥CD, ∴.AC=AD, ∴.∠COA=∠DOA, ∠COA=∠COD, B 2 .'∠COD和∠CMD所对的弧都为CD, ∠CMD=方<C0D, H ∴.∠CMD=∠COA, 设0H=3x, .OH:HA=3:2,OA=OC, ∴.0C=5x,CH=V5x2-3x2=4x, siCOA=CH_4 0C5 siCMD=sin∠C0A=4 故选：B, 4.(2026四川自贡，中考)如图，在口ABCD中，AB=8,AD=6,∠D=60°，∠DAB与∠ABC的 角平分线分别交CD于点E,F,AE与BF相交于点P,连接CP,则sin∠PCF的值为() E A.2-V3 3 3 B. 3 C.2 【答案】D 【详解】解：在口ABCD中，∠D=60°，AB‖CD,则∠BAD=120°，∠ABC=60°， .AE平分∠BAD, ∴.∠DAE=∠BAE=∠BAD=60° 15/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在口ABCD中，AB‖CD,则∠DEA=∠BAE=60°，DC=AB=8, 在△ADE中，∠D=∠DAE=∠AED=60°，则△ADE是等边三角形， .∴.AE=DE=AD=6,则EC=DC-DE=8-6=2, .BF平分∠ABC, ∠ABF=∠CBF-3∠ABC=30P, 在△ABP中，∠PAB=60°，∠PBA=30°，则∠APB=90°， 在R△APB中，∠ABP=30,AB=8,则PA=AB=×8=4, ∴.PE=AE-AP=6-4=2, ∴.PE=CE=2,则∠PCE=∠CPE, .'∠PEF是△PEC的一个外角，且∠PEF=60°， .∠PCF=∠PEF=30°， 2 siPCF-sin30- 16/16函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 32.1正弦、余弦与正切（第1课时) 目录 A组巩固过关 正弦的概念… .1 求角的正弦值.2 已知正弦值求边长… …4 B组能力进阶 7 C组 思维拔高 9 拓展 链接中考 .12 A组 巩固过关 颗型01 正弦的概念 1.A 2.C 题型02 求角的正弦值 3.B 4.A 5.C 508 6. 7.(1) 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B (2)点C1的坐标为-2,8： 由题意知，∠A1C1B1=∠ACB, AB=1-2--3}+1-22=2,BC=-3--1+|2-42=-2V2, AC=1-2--1+|1-42=-V10, ∴AB2+BC2=AC2, ∴.∠ABC=90°， sin∠A1C,B,=sin∠ACB=AB- 25 AC V10 5 颗型03 已知正弦值求边长 8.4sina 9.9 10.2 25 11.5 B组 能力进阶 6-2 1.4 2.25/3 3.由作图得∠DEC=90°， :∠A=90 .∴.∠DEC=∠A=90°， ,'∠ABD=∠C,∠ADB=180°-∠A-∠ABD,∠CDE=180°-∠DEC-∠C, 2/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠CDE=∠ADB .sin∠CDE=sin∠ADB=AB BD 4.证明：如下图所示，作BC边上的高AD, 则AD=ACsin C=bsin C, S△ABC-AD-Bc=号 absin C. C组 思维拔高 1.(1)证明：如图：连接OD, OF⊥BD, ∴.∠OEB=90°， ∴.∠BOF+∠OBD=90°， ∠BDC=∠BOF, ∴.∠BDC+∠OBD=90° ··OB=OD ∴.∠ODB=∠OBD, D ∴，∠ODB+∠BDC=90°， ∴.∠0DC=90°， E .OD⊥DC, ⊙ OD为⊙O的半径， .CD是⊙O的切线. (2)解：sinC=2 在RtA ODC中，sinC=OD-=2 0C5 设0D=2x,则0C=5x, ∴.OB=OD=OA=2X ..CB=OC-OB=5x-2x=3x,CA=OA+OB+BC=7x ,AB为⊙O的直径， 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BDA=90°， ,AD⊥BD. .OF⊥BD, .OF‖AD ∴.△COF~△CAD, ,OP-0C=5x=5 AD CA 7x 7' .AD=14 .OF_5 147,解得：OF=10. OF⊥BD, ..BE=DE, .OA=OB, ∴.OE为△ABD的中位线， 0E=AD=7, 2 .EF=OF-0E=10-7=3. b 2,(1)解：由题意得inAs0B 10b sin45°sin30°' 解得b=52. (2)解：过点C作CD⊥AB于点D, ∴sinA=CD-CD AC b, .CD=bsinA=2- x52=5, .∠A=45°， ..AD=CD=5, ∠B=30°， ∴.∠BCD=60°， :sin∠BCD-BD=sin60°=BD BC 10, a ∴.BD=sin60°×10= x10=53, 2 B CD 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AB=AD+BD=c=5+53, 53 ABxCD=号×15+531x5=251+93 (3)解：73.47 n mile. 拓展 链接中考 1.C. 2.D 3.B 4.D 5/5