31.4 位似 第1课时（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

31.4位似 第1课时 位似图形 ·教材知识梳理 1.位似图形的概念：如图，如果一个图形上的点A,B,C,D,…,P,…与另一个图形上所有的点A',B', C,D',…,P',…分别对应，直线AA',BB,CC,DD',…,PP',…相交于一点O, 且04'-0B0C0D OP' OA OB OC OD OP=,那么这两个图形叫作① 点0叫作② 温馨提示(1)位似图形不仅相似，而且具有特殊的位置关系：(2)相似图形不 一定是位似图形，当相似图形的对应，点连线交于同一点（该点是位似中心）时，就是位似图形 方法总结判断两个图形是否为位似图形，需同时满足两个条件：(1)对应点的连线相交于一点； (2)位似中心与对应点所连线段成比例.（两个条件缺一不可) 2.位似图形的性质：(1)对应顶点的连线必过位似中心：(2)对应线段平行（或共线），且对应线段之 比等于相似比：(3)对应点到位似中心的距离之比等于相似比；(4)位似图形的周长比等于相似 比，面积比等于相似比的平方， 3.画位似图形的一般步骤：(1)定点：确定位似中心；(2)连线：连接图形的关键点或顶点与位似中 心；(3)取点：在(2)的线段或其延长线（或其反向延长线）上按相似比进行取点；(4)构图：顺次连 接上述各点，所得图形就是所求作的图形 温馨提示(1)位似中心可以在任何位置，在图形外部、图形内部、边上、顶，点处；(2)位似图形可 能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的异侧，不止一个，有时需要根据题意进行取舍 教材母题变式· 教材母题1位似图形的概念与性质 例1（教材P26探究改编）如图，△A,B,C,与△ABC是位似图形，且周长比为2：3，则下列结论错误 的是 A.点0为位似中心，相似比为2：3 B.AB1∥AB,AB1:AB=2:3 C.OA :0A=2:3 D.△A,B,C与△ABC的面积比为2：3 例2（教材P27探究改编)如图，四边形ABCD与四边形EFGH是以O为位似中心的位似图形，若 OE2,四边形EFGH的周长为12，则四边形ABCD的周长为 OA 1 A.3 B.6 C.24 D.48 99 教材母题2位似图形的画法 例3（教材P36T12改编）如图，在6×6的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，以点C为位似中 心，相似比为1：2，在该网格中将△ABC放大得到△A,BC1,请画出△AB,C· 课堂10分钟 1.下列各组图形中，不是位似图形的是 A B 2.如图，已知BC∥DE,则下列说法不正确的是 A.两个三角形是位似图形 B.点A是两个三角形的位似中心 C.AE:AD是相似比 D.点B和点D,点C和点E是对应点 3.平行透视是绘画中的基本技法.如图，点O是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的位似中心，若AB= 9,4'B'=5,则 的值是 'O B.S D. 5 4 9 第3题图 第4题图 4.如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB=4,则DE的长等于 5.如图，请画出△ABC的一个位似图形△A,B,C,使△ABC与△AB,C,以O为位似中心，且相似比 为2：1. 100教材母题变式 例496m例5212 例1(1)36(2)54W3 课堂10分钟 (3)解：如解图，连接OB,0C,作OG1 1.A2.A3.C4.12 BC于点G. 31.2相似三角形 易知△BOC是等边三角形， 31.2.1平行线分线段成比例 .∠OBC=60°，OB=BC=R, .:OG⊥BC于点G 教材知识梳理 1 ①相等②成比例③∽④k⑤成比例⑥平行 ·BG= 2 BC=- 2R,∠B0G=30, ⑦成比例⑧相似 教材母题变式 、在R△0BG中，0G=V0B-BG=R-(2R)=2R, 例15：33：5 例2(1)2 (2号 变式C例3 3 1 ∴.S△B0c= BC·OG= -XRX- -R= 2 -R, 2 4 例4DE=10。 3 cm. .正六边形ABCDEF的面积为6× TR- 2R,即s=33 R. 课堂10分钟 例2√3cm 1.B23 3.(1)EF=3.(2)BE=9. 例3解：(1)先画⊙0的内接正六边形，再在正六边形的基 31.2.2 三角形相似的判定 础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角 第1课时 三角形相似的判定（一） 形.如解图1，△DBF是⊙O的内接正三角形 教材知识梳理 (2)先画圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用直尺和 ①两②成比例③夹 圆规分别作与正方形相邻两边垂直的直径，即可作正八边 教材母题变式 形.如解图2，八边形AHBFCGDE是⊙O的内接正八边形. 例1证明：AB=AC,且∠BAC=120°， 米 .∴.∠ABD=∠ACB=30° .·∠ADE=30°，.∠ABD=∠ADE=30° ·.·∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB .∠EDC=∠DAB,.△ABD∽△DCE. 例2B例3B 解图1 解图2 例4解：相似理由如下： 课堂10分钟 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得AB=√2，DE=22 136°2.723.34.4424245 AB 1 小DE2 九年级下册 又4C-2-1ABAC DF42DE DF 第三十一章相似 又：∠BAC=∠EDF,.△ABC∽△DEF 例5证明：.·△CDP是等边三角形，..PC=PD=CD=3 31.1图形的相似 ∠PCD=∠PDC=60°， 教材知识梳理 .∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC ①形状②边数③相等④成比例⑤相似比⑥相等 120°，.∠ACP=∠PDB. ⑦成比例 .AC=2 PC_3 2 AC PC 教材母题变式 PD3'BD93PDBD.△ACP△PDB 例1(3)(5)(6)(1)(2)(4) 2 例2(1)它们是成比例线段. 例6C (2)它们不是成比例线段. 课堂10分钟 (3)d=20cm. 1.证明：CE=CD,.∠CED=∠CDE,.∠AEC=∠BDA, 变式22cm或，cm或2cn 又.·∠DAC=∠B,∴.△ACE∽△BAD AE AD 1 例3解：若小路内、外边缘所形成的两个矩形相似，则可以 2.证明：AB=2AD,AC=2AE,ACAB2 得到两个矩形长之比与宽之比相等， 又.·∠DAE=∠BAC,.△ADE∽△ABC. 9器降5 3.证明：.AB⊥BC,ED⊥CD,∴.∠B=∠D=90°， ∴.∠A+∠1=90° .当x为1.5时，小路内、外边缘所形成的两个矩形相似 又.∠1+∠2=90°，∴.∠A=∠2，.△ABC∽△CDE. 参考答案 第2课时三角形相似的判定（二） 31.3相似三角形的应用 教材知识梳理 教材母题变式 ①成比例②成比例 例1B例2B例312m 教材母题变式 例4解：·∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED, 例1解：(1)△ABC和△DEF不相似， 理由B),C-4C240BC4C 4B_AE.即4B=25 △AEBn△CED,·CDCE1.625AB=16, DE2'EF2'DF3·DEEF≠DF 答：教学楼的高度AB是16米. .△ABC和△DEF不相似. 课堂10分钟 (2)△ABC和△DEF相似. 1.A2.C3.D4.605.3 理由：AR_BC_AC1 DF EFDE2△ABC∽△DEF 31.4 位似 9 第1课时位似图形 变式它的男外两条边长是cm,4cm或4cm,cm 教材知识梳理 7 ①位似图形②位似中心 或4cm,2cm 教材母题变式 例2C 例1D例2B 课堂10分钟 例3略. 1.C2.C3.D 课堂10分钟 4.解：△ABC与△ADE相似.理由如下： 1.D2.C3.A4.6 在△ABC中，AB=25,BC=40,AC=20, 5.略 在△ADE中，AE=12,AD=15,DE=24, 第2课时平面直角坐标系中的位似 AB BC AC 5 ”AD DE AE3.△ABC∽△ADE. 教材知识梳理 ①(kx,y)或(-kx,-ky) 31.2.3相似三角形的性质 教材母题变式 教材知识梳理 例1(6，-2)(4,2)(2x,2y) 变式(3,1) ①相似比②相似比③相似比④相似比的平方 例2(6,2)或(-6，-2)变式(4,6) 教材母题变式 例3解：(1)如解图，△A,B,C,即为所求。 m 1(m(2 (4)2:3 例2证明：△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC, ∠A'B'C的平分线， BE AB BC PE AB BC,∠ABD=∠A'BD CD=2BD.C'D'=2B'D' C BD-c.BnrC即e指品 BD BC AB BD 0123456789x (2)由解图可得A1(6,6),B1(2,4),C1(8,2). 又：∠ABD=∠A'B'D',.△ABD∽△A'B'D', (3)由题意，得△ABC∽△A,BC,相似比为 AD AB AD BE AD ABA'D'B'E 1 例3解：△AC与△AgC的相似比为子 变式略。 SAueSaure=49SArE 课堂10分钟 1.C2.(-3,-1)或(3,1) Sac+SAc4See+SC=。rh 3.画图略.A,(-4,-2),P(-2m,-2n). .Saxwc =63. 第三十二章锐角三角函数 例416 32.1正弦、余弦与正切 课堂10分钟 第1课时锐角的正弦 1.222.4:34:33.(1)32cm(2)36cm24.3:4 教材知识梳理 =4. 5 S△DEF ①对边②斜边③对边④斜边⑤“ 参考答案