31.2.2三角形相似的判定（分层作业，15大题型）数学新教材人教版九年级下册

分层作业 31.2.2 三角形相似的判定 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用两角对应相等判定相似 题型02 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型03 利用三边对应成比例判定相似 题型04 判断两个三角形是否相似 题型05 确定与已知三角形相似的三角形 题型06 相似三角形的证明 B组 能力进阶 题型01 黄金分割 题型02 由黄金分割求值 题型03 黄金分割的应用 题型04 选择或补充条件使两个三角形相似 题型05 裁剪使两个三角形相似 题型06 尺规作图使两个三角形相似 题型07 格点中判断两三角形相似 题型08 确定相似三角形的对数 C组 思维拔高 题型 三角形相似的判定·创新性问题 利用两角对应相等判定相似题型01 1．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在边上时，的延长线恰好经过点，则的长为（  ） A．1 B． C．-1+ D． 【答案】C 【分析】根据AB=AC可得∠B=∠ACB，由旋转性质可得DE=AB=2，∠ECD=∠ACB，∠E=∠B，进而可得∠E=∠ACD，因为∠EAC是公共角，可证明△DAC∽△CAE，所以，解方程可得AD的值，由于AD>0，即可得答案. 【详解】∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵将绕点逆时针方向旋转得到， ∴DE=AB=2，∠ECD=∠ACB，∠E=∠B， ∴∠E=∠ACD， ∵∠EAC=∠EAC， ∴△DAC∽△CAE， ∴， ∴22=AD（AD+2）， ∴AD2+2AD-4=0， 解得：AD== =-1， ∵AD>0， ∴AD=-1+， 【点睛】本题考查旋转的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则______，______． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，由，E为的中点，，得，所以，再证明，所以，则，可证明，得，则，而，所以，再证明，得，求得，设，则，，于是得，求得符合题意的m值为，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ，E为的中点，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 3．已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 【分析】利用有两角对应相等的两个三角形相似，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．如图，若，．求证： ． 【答案】 证明：， ， ， ， ． 【分析】利用相似三角形的判定条件即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定相似三角形的条件是解题关键． 5．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】略 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似题型02 1．在与中，，，， ， ， ，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】解：∵，， ， ， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 2．（25-26九年级上·上海·月考）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 3．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】 证明：，，， ，， ， ， 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【详解】略 4．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】 证明：， ， 即， ， ， ． 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】略 5．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 【答案】(1)①；②； (2) 解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长，交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； (3)，或． 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长，交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 利用三边对应成比例判定相似题型03 1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．在中，，，在中，，，则当________时，． 【答案】 【分析】根据相似三角形的顶点对应顺序确定对应边，利用相似三角形对应边成比例计算比值． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，，， ∴，． ∴． 即． 3．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． ，，，，，． 【答案】相似，理由见解析 【分析】通过计算两个三角形对应边的比值，判断是否满足三边对应成比例的相似三角形判定定理． 【详解】解：相似，理由如下： ∵， ， ， ∴， ∴． 4．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】 证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】略 5．如图，，．请找出图中的相似三角形，并说明理由． 【答案】 解：． 理由如下：设． 根据勾股定理，得，，． ∵，，， ∴． ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，设．结合勾股定理计算可得，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 判断两个三角形是否相似题型04 1．如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板绕点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ） A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据已知条件可得出，，再结合三角形的内角和定理可得出，从而可判定两三角形一定相似． 【详解】解：由已知条件可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 继而可得出， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键． 2．在和中，如果，，，，，，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________． 【答案】 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似 【分析】先计算出=，=，得到=，加上∠A=∠A′=34°，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似． 【详解】∵AC=5cm,AB=4cm,A′C′=2cm,A′B′=1.6cm， ∴==,=， ∴=， 而∠A=∠A′=34°， ∴△ABC∽△A′B′C′. 故答案为△ABC∽△A′B′C′；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 3．（24-25九年级上·上海·月考）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分类思想的运用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．如图，分两种情况讨论，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，再利用两边对应成比例，且夹角相等可得两个三角形相似，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4，先利用勾股定理求解另一直角边，可得夹直角的两边不成比例，从而可判断两个三角形不相似，从而可得答案． 【详解】解：这两个直角三角形不一定相似． 理由如下： 如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似； 如图，当一个直角三角形的斜边长为6，直角边长为3时，另一个直角三角形的两条直角边分别为2和4， 根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似． 综上：这两个直角三角形不一定相似； 故答案为：不一定． 4．有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？ 【答案】相似．理由见解析 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：相似，因为两个直角三角形有一个锐角相等，那另外一个锐角也相等了，三个角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 5．如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 【答案】 与相似．理由如下： 设正方形的边长为． 是的中点，， ，，， ，，， ， ． 【分析】利用表示三角形各边长度，再判断三角形的三边是否成比例. 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 确定与已知三角形相似的三角形题型05 1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(    )    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案． 【详解】∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°， ∴∠C=75°，∠A=30°， A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°， B选项中三角形各角的度数都是60°， C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°， D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大． 2．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得三角形的三边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，判断解答即可． 【详解】解：在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上， ，，， A. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； B. 三角形的最小边的长为，较长的边长为3，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； C. 三角形的最小边的长为，较长的边长为4，最长的边长为， 此时， 故 三边对应成比例，此三角形与相似； D. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为4，此时， 三边不成比例，此三角形与不相似． 3．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与相似． 故选：A． 4．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1) 证明：∵等边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2)，，， 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，推出，角的和差关系，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的判定方法证明，，进而推出，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上：与相似的三角形有，，，． 相似三角形的证明题型06 1．张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴． A．③②④①⑤ B．②④①③⑤ C．③①④②⑤ D．②③④①⑤ 【答案】B 【分析】由，，得出，，证出． 【详解】证明：②∵， ④∴， ①又∵， ③∴， ⑤∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，是，上的高， ∴， ∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由，得到，结合夹角相等，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 4．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽． 【答案】 证明：，、分别为边、上的中线， ∴， ∴∽ ∴． 又∵， ∴∽． 【分析】根据可得，则可证明∽，即可推出，再根据，则可证明∽． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 5．P为ABC内一点，连接在和中，如果存在两个三角形相似，那么称P是的内相似点． 【概念理解】 （1）如图①，在ABC中，，P是ABC的内相似点．直接写出的度数． 【深入思考】 （2）如图②，P是ABC内一点，连接，从下面①②③中选择一个作为条件，使P是ABC的内相似点，并给出证明． ①；②；③． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，．求作一点P，使P是ABC的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）或或；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）分3种情况分别讨论求解即可； （2）选择一种情况，证明三角形相似即可； （3）画出图形，作简单说明即可． （1）解：∵， ∴， ∴， 若，则，， 则， ∴， 若，则，， 则， ∴， 若，则， 则， ∴， ∴， 综上可知，的度数为或或； （2）选择①， 证明：如图②，延长得到射线． ∵，， ∴． ∴． 又， ∴． 又， ∴． 又， ∴，即P是的内相似点． 选择②， 证明：如图②，延长得到射线． ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． 又， ∴，即P是的内相似点． 选择③， 如图②，延长得到射线 ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴． 又， ∴． 无法证明或， ∴条件③无法证明P是的内相似点； （3）方法不唯一．如图，作法如下： ①作的垂直平分线，与交于点D； ②作的垂直平分线，与交于点O； ③以O为圆心，为半径作，与交于点E； ④连接，与交于点P，点P即为所求． 【点睛】此题考查了主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的相关性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 黄金分割题型01 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点定义，利用黄金分割数解答即可． 【详解】解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形， 故选：A． 2．如果点P是线段的黄金分割点，且，则下列命题，①，②，③，④，其中正确的是____________（填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴根据线段黄金分割的定义得：，． 故答案为②④． 3．如图，点是线段的黄金分割点，即，若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为____． 【答案】 【分析】本题考查比例线段，黄金分割，正方形和矩形的面积公式，熟练掌握相关知识是关键． 由可得，，因此正方形的面积和矩形的面积相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形的面积为100， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形的面积． 故答案为：． 4．宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】 是，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形 是矩形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点F是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴矩形是黄金矩形． 【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案． 【详解】略 5．（25-26八年级·福建南平·期中）阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； (3)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据黄金分割点的意义得，由点是线段的中点得，根据可得结论； （2）设，则，由勾股定理得，求出，计算出即可得出点是线段的黄金分割点； （3）证明四边形和四边形是矩形，得，再证明得，从而得四边形是正方形，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵由（2）知， ∴ ∴四边形是黄金矩形． 由黄金分割求值题型02 1．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案． 【详解】解：线段，点是线段的黄金分割点， ， ， 点是线段的黄金分割点， ， ， ． 所以线段的长度是， 故选：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点；其中，并且线段的黄金分割点有两个． 2．点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 【答案】或 【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点， ， 故答案为：． 3．顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边与腰的比为黄金比．若黄金三角形腰长为2，则底边长为______． 【答案】或 【分析】根据黄金三角形的定义，得到底边与腰的比为黄金比，结合已知腰长，利用比例关系即可求出底边长． 【详解】解：设黄金三角形的底边长为， 由题意可知，黄金三角形底边与腰的比为黄金比，黄金比为，已知腰长为，因此可得： ， 解得：， 即底边长为． 4．（26-27九年级·上海·学情自测）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 【答案】或 【分析】点为线段的黄金分割点，未指明与的大小关系，需分两种情况结合黄金分割的定义计算的长度． 【详解】解：当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ． 当时， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ． 5．如图，在五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，．求的长． 【答案】 【分析】利用黄金分割可得：，设，得到关于的方程求解即可. 【详解】解：，都是线段的黄金分割点， ． ，， 设，则． ， ， 解得，即． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 黄金分割的应用题型03 1．（24-25上·山东滨州·期末）我们中国的国旗是长方形的，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比，则它们的比值是（   ） A． B．0.618 C．6.18 D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比进行作答即可． 【详解】解：依题意，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比， 则它们的比值是0.618， 故选：B 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：方法1：设书的宽为x， 则有， 解得cm． 方法2：书的宽为cm． 故选：A． 3．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】或 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，再根据求解即可． 【详解】∵支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉． 初识定义：一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，线段与的比叫做黄金比． (1)计算黄金比：如图1，已知点是线段的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令，请求出的值． (2)简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高，肚脐到脚底的高度是，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到）．（可能用到的数值：，，） (3)迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中），，剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明． 【答案】(1) (2)方案：穿高跟鞋，高跟鞋的高度为 (3) 解：矩形是黄金矩形，理由如下： 根据左右两个图的面积相等得：， 解得：， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形． 【分析】本题主要考查了黄金分割： （1）设，根据黄金分割点的定义，列出方程，即可求解； （2）设高跟鞋的高度为，根据黄金比的定义，列出方程，即可求解； （3）根据等面积可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：设，则 ， 解得：，（舍去） ∴； （2）解：方案：穿高跟鞋， 设高跟鞋的高度为，则 ， 解得：， 经检验，是该方程的解， 所以高跟鞋的高度为； （3）略 选择或补充条件使两个三角形相似题型04 1．（24-25九年级上·福建·期末）如图，能使成立的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．在与中与是公共角，只要再有一组角对应相等就可以证明两三角形相似． 【详解】解：在与中与是公共角， ， A选项：只有，一组角对应相等不能证明，故A选项不符合题意； B选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故B选项不符合题意； C选项：只能说明是等腰三角形，不能说明，故C选项不符合题意； D选项：在与中与是公共角，，所以可证，故D选项符合题意． 故选： D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）已知，点在边上，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 【详解】解：A．∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．∵两边对应成比例，但不能说明对应的夹角相等， ∴不能判断，故此选项符合题意； D．∵，， ∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　） A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点 C．CE•CD＝CA•CB D．＝ 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】∵CE⊥CD， ∴∠EDC＝90°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠BCE＝∠DCA＝90°-∠BCD， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴DC＝DB＝DA， ∴∠DAC＝∠A， ∴∠BCE＝∠DCA＝∠A， ∵∠CBA＝2∠A，∠CBA+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCE＝∠DCA＝30°，∠CBA＝60°， ∴∠E＝∠CBA-∠BCE＝30°， ∴∠BCE＝∠DCA＝∠E＝∠A， ∴△CEB∽△CAD， ∴A不符合题意； ∵点B是DE的中点， ∴BE＝BC， ∴∠BCE＝∠E， ∴∠BCE＝∠E＝∠DCA＝∠A， ∴△CEB∽△CAD， ∴B不符合题意； ∵CE•CD＝CA•CB， ∴． ∵∠BCE＝∠DCA， ∴△CEB∽△CAD， ∴C不符合题意； 由，由于∠E和∠A不能判断相等，故不能判断△CEB与△CAD相似， ∴D符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查判断三角形相似，直角三角形的性质．掌握判定三角形相似的条件是解题关键． 4．如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可． 【详解】解：∵∠A=∠A， ∴添加或或（答案不唯一）． 5．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____ 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 裁剪使两个三角形相似题型05 1．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．图（1）根据三角形的内角和定理，即可求得各自的第三角，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定（1）中的两个三角形相似；图（2）根据图形中的已知数据即可证得，又有对顶角相等，即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得相似． 【详解】解：图（1）由和得另一个角为，由和得另一个角为，则两三角形全等； 图（2）∵，，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（2025·贵州贵阳·模拟）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质，难度不大，运用空间想象判断是解题的关键．根据题意可得，即一组角相等，选项A、C，都可以利用平行证明另一组角相等，选项D直接给出另一组角相等，从而可以证明相似，选项B不能证明三角形相似，从而得解． 【详解】解：连接， ∵与在一条直线上， ∴点B，C，E，F四点共线， ∵， ∴， A、如下图，过点E作，交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项A正确，不符合题意； B、如下图，取的中点M，连接， 无法证明，，因此无法证明，选项B错误，符合题意； C、如图在线段和上分别取点M、N，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项C正确，不符合题意； D、如下图，在上取一点G，使得， ∵，， ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 3．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 4．如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（　　） A．2 B．3 C．3或4 D．4 【答案】D 【分析】分别利用当DF∥BC时，当∠ADE=∠B时，当DN∥AB时，当∠CDM=∠B时求出相似三角形，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：当DF∥BC时，则△AFD∽△ABC， 当∠ADE=∠B时，则△ADE∽△ABC， 当DN∥AB时，则△CDN∽△CAB， 当∠CDM=∠B时，则△CDM∽△CBA． 这样的直线可以画4条． 故选择：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，利用分类讨论得出相似三角形是解题关键． 5．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________ 【答案】或． 【分析】先画草图借草图分析．如图 重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值． 【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论： 第一种情况 如图1 当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点． ∵∠BCA=90° ∴∠MNC=∠BCA 又由对折知：∠MCN=∠A ∴△MCN∽△ABC 由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得 （㎝）； 第二种情况 如图2 当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点． ∵∠C=90° ∴∠C=∠NMB 又由对折知∠A=∠NBM ∴△ABC∽△BNM ∴ 又由对折知 ∴（㎝）． 综上分析得MN=㎝或㎝． 故答案为：或． 【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之． 尺规作图使两个三角形相似题型06 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，点D即为所求． 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定定理，掌握作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：作的平分线交于点D，则点D即为所求． 理由：∵平分 ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ 3．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，过点A作AD⊥BC于D，AD为所作． 【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由一个图形放大或缩小得到，解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似进行作图． 4．如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【答案】(1) 如图所示，取格点D，则射线即为所求； (2) 如图所示，即为所求； 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则射线即为所求； （2）取格点，使得即可 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 5．在中，点P位于直角边上，且与点A、C不重合，试过点P作直线截，使截得的三角形与原相似，画出所有可能的图形，并说明理由． 【答案】如图，作交于点D，作交于点F，交于点E，则，，与原相似． 理由如下： ， ，， ； 同理，， ，， ； ， 又， ． 【分析】根据相似三角形的判定定理，构造两组对角相等，即可得到与原相似的三角形． 【详解】略 格点中判断两三角形相似题型07 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【详解】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴是相似三角形的是①和④． 故选D． 2．（24-25九年级上·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定．通过构造辅助线，利用等腰直角三角形的性质求出一个角的度数，再通过计算三角形三边的长度，根据三边对应成比例证明两个三角形相似，最后利用相似三角形对应角相等的性质求出目标角的度数． 【详解】 解： 取格点P，连接、，则． ∴． 设正方形网格中的每个小正方形的边长都是m，则． 由勾股定理得：，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． 故选B 3．（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 4．如下图，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：的度数为_________，_________． (2)判断与是否相似，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)相似．证明见解析 【分析】（1）先在中根据等腰直角三角形的性质求出的度数，再根据即可得出的度数；在中利用勾股定理即可求出的长． （2）利用格点三角形的知识求出，及，的长度，，然后根据相似三角形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：如图， 是等腰直角三角形， ， ， ； ∵在中，， ． （2）解：相似． 证明：根据题意及勾股定理，得，，，， ， ． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图4正方形方格中的两个和的顶点都是格点． (1)求证：； (2)在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与相似且面积最小． 【答案】(1) 解：设网格中每个小正方形的边长为1，则 ，，，，，， ∴， ∴； (2) 解：如图，就是所求的三角形． ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定． （1）利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明； （2）同（1）作出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 确定相似三角形的对数题型08 1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·联考）如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有4对； 故选C． 3．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 4．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（    ）    A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是理解相似三角形的判定定理，同时主要不要有所遗漏． 5．如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组． 【答案】3 【分析】根据，即可得到△DEA∽△FGA∽△BCA，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴△DEA∽△FGA∽△BCA， ∴一共有3组相似三角形， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法． 三角形相似的判定·创新性问题题型 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【答案】 解：已知：如图，在与中，，， 求证：． 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 根据题意写出已知，求证，然后通过设元，将问题转化为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”证明即可． 【详解】略 2．（25-26八年级·吉林长春·期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，点在边长为正方形中边上一点，． (1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）； (2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立． 【答案】(1) 如下图：作的垂直平分线，交于点，为中点，为所求； (2) 由题意得：， 【分析】（1）作的中点即可求出； （2）根据题意分别表示出各边长度，再根据三边成比例即可求出； 本题主要考查尺规作图，三角形相似的判定，熟练掌握尺规作图技巧和三角形相似的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2026·山西临汾·学情自测）综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形； （2）先证明，则，则，解方程即可； 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下 ， ， 四边形是菱形，是的平分线， ， ， ， 四边形为平行四边形， 由旋转的性质可知， 平行四边形为菱形； （2）解：如图3，由题意可得， 设， 在菱形中，， ∴在中，， 又， ， 是的外角， ∴ 在和中， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 5．（24-25九年级上·广西南宁·月考）纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是），定义了 A、B、C三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为 ； (2)探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点 E．求的值 ． (3)拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．（即） 【答案】(1) (2) (3) 如图，延长、相交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故G是的黄金分割点． 【分析】（1）设纸较长边的长为a，较短边长为b，易求得第一次折痕长为，根据第1次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （2）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导出即可； （3）延长、相交于点P，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明得到，进而可求得，即可证得结论． 【详解】（1）解：设纸较长边的长为a，较短边长为b， 由题意，第一次折痕长为， ∵第1次的折痕与纸较长的边重合， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：由（1）得，设，， 由折叠得，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即； （3）解：略． 【点睛】本题考查矩形与折叠性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、黄金分割等知识，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 6．（25-26九年级上·广东深圳·期末）定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) 证明：设， ∵轴于点， ∴， ∵点在图像上，点在图像上， ∴点纵坐标为，点纵坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； (3) 是定值，为，理由： 由得，当时，， ∴与轴相交于点， 由，解得：， ∴， ∴，， ∴． 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）根据“互倒一次函数”定义即可求解； （）设，求得，，所以，，则，，所以，又，则； （）由得，当时，，所以与轴相交于点，由，解得：，得，则，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：由定义可得，的一个互倒一次函数为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）略 （3）略 7．综合与实践 在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题． 观察猜想： （1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______． 探究证明： （2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1）； （2）①证明：∵点分别是边的中点， ， ∵绕点按顺时针方向旋转得到， ， ， ， ； ② 【分析】（1）如图1，根据旋转的性质得到，则根据等边三角形的判定方法可判断为等边三角形得到，再由即可求出答案； （2）①由于点分别是边的中点，所以，再根据旋转的性质得到，，所以，从而可判断；②先利用勾股定理计算出，则5，过点作于点，如图2，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后在中利用勾股定理可计算出的长． 【详解】解：（1）如图1，∵绕点按顺时针方向旋转得到 ，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ② ， 过点作于点，如图2， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键，也考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质； 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 【答案】(1) (2) 解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠知：，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ， 在矩形中，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：， 由（1）可知，，， 四边形是菱形， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 即或， 或， ，或， 综上可知，的长度是或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 31.2.2 三角形相似的判定 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用两角对应相等判定相似 题型02 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型03 利用三边对应成比例判定相似 题型04 判断两个三角形是否相似 题型05 确定与已知三角形相似的三角形 题型06 相似三角形的证明 B组 能力进阶 题型01 黄金分割 题型02 由黄金分割求值 题型03 黄金分割的应用 题型04 选择或补充条件使两个三角形相似 题型05 裁剪使两个三角形相似 题型06 尺规作图使两个三角形相似 题型07 格点中判断两三角形相似 题型08 确定相似三角形的对数 C组 思维拔高 题型 三角形相似的判定·创新性问题 利用两角对应相等判定相似题型01 1．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在边上时，的延长线恰好经过点，则的长为（  ） A．1 B． C．-1+ D． 2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则______，______． 3．已知： 如图，在中，D是AB上一点， 且，求证：． 4．如图，若，．求证： ． 5．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似题型02 1．在与中，，，， ， ， ，可证，其判定依据为______． 2．（25-26九年级上·上海·月考）在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 3．（24-25九年级下·江西宜春·月考）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 4．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在和中，已知，．求证：． 5．（25-26九年级上·河南新乡·月考）如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现 ①线段与线段之间的数量关系是________， ②直线与直线之间的位置关系是________ (2)探究 若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明． (3)应用 在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到B，E，F在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）． 利用三边对应成比例判定相似题型03 1．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 2．在中，，，在中，，，则当________时，． 3．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． ，，，，，． 4．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 5．如图，，．请找出图中的相似三角形，并说明理由． 判断两个三角形是否相似题型04 1．如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板绕点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ） A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断 2．在和中，如果，，，，，，那么这两个三角形能否相似的结论是________，理由是________． 3．（24-25九年级上·上海·月考）现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”） 4．有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？ 5．如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 确定与已知三角形相似的三角形题型05 1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(    )    A．   B．   C．   D．   2．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 相似三角形的证明题型06 1．张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（　　） 已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 证明：①又∵，②∵，③∴，④∴，⑤∴． A．③②④①⑤ B．②④①③⑤ C．③①④②⑤ D．②③④①⑤ 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 3．如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 4．如图，在与中，、分别为边、上的中线，且．求证：∽． 5．P为ABC内一点，连接在和中，如果存在两个三角形相似，那么称P是的内相似点． 【概念理解】 （1）如图①，在ABC中，，P是ABC的内相似点．直接写出的度数． 【深入思考】 （2）如图②，P是ABC内一点，连接，从下面①②③中选择一个作为条件，使P是ABC的内相似点，并给出证明． ①；②；③． 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，．求作一点P，使P是ABC的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 黄金分割题型01 1．（24-25八年级下·广东江门·月考）黄金矩形在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，比如古希腊的帕特农神庙，其外观就采用了黄金矩形，展现出独特的美感．宽与长的比是黄金分割数（   ）的矩形叫做黄金矩形． A． B． C． D． 2．如果点P是线段的黄金分割点，且，则下列命题，①，②，③，④，其中正确的是____________（填序号）． 3．如图，点是线段的黄金分割点，即，若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为____． 4．宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 5．（25-26八年级·福建南平·期中）阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； (3)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 由黄金分割求值题型02 1．如图,线段,点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),点是线段的黄金分割点(),..,依此类推,则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 2．点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 3．顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，其底边与腰的比为黄金比．若黄金三角形腰长为2，则底边长为______． 4．（26-27九年级·上海·学情自测）已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为__________． 5．如图，在五角星中，，且C，D都是的黄金分割点，．求的长． 黄金分割的应用题型03 1．（24-25上·山东滨州·期末）我们中国的国旗是长方形的，这个长方形被誉为最美长方形，宽与长的比符合黄金比，则它们的比值是（   ） A． B．0.618 C．6.18 D． 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 3．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 4．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为______． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）天文学家开普勒说：勾股定理和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉． 初识定义：一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，线段与的比叫做黄金比． (1)计算黄金比：如图1，已知点是线段的黄金分割点，为简单起见，且不失一般性，令，请求出的值． (2)简单应用：艺术家早就发现人的肚脐到地面的高度与头顶到地面的高度之比为黄金比时最美，此时肚脐是理想的黄金分割点，令人失望的是只有极少数人的身体是符合这种黄金比．有一位美女身高，肚脐到脚底的高度是，现在开动你的脑筋设计一个方法使得这位美女的肚脐是黄金分割点，并算出方案中的具体数据（结果精确到）．（可能用到的数值：，，） (3)迁移拓展：（剪拼中的黄金分割）在数学上，称宽与长的比等于黄金比的矩形为黄金矩形．如图2，将左边的正方形沿图中虚线（其中），，剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成右边的矩形（非正方形），请在图2左边的正方形中找出一个黄金矩形，并证明． 选择或补充条件使两个三角形相似题型04 1．（24-25九年级上·福建·期末）如图，能使成立的条件是（　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）已知，点在边上，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断△CEB与△CAD相似的是（　　） A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点 C．CE•CD＝CA•CB D．＝ 4．如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 5．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____ 裁剪使两个三角形相似题型05 1．数学实践活动课上，小明和小强分别剪了一对三角形，他们经过测量得到相关数据，并标记在图形上．如图，对于他们剪的两组三角形的说法，正确的是（    ） A．都相似 B．只有图①相似 C．只有图②相似 D．都不相似 2．（2025·贵州贵阳·模拟）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 3．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知在△ABC中，AB＝14，BC＝12，AC＝10，D是AC上一点，过点D画一条直线l，把△ABC分成两部分，使其中的一个三角形与△ABC相似，这样的直线有几条（　　） A．2 B．3 C．3或4 D．4 5．已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________ 尺规作图使两个三角形相似题型06 1．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 4．如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 5．在中，点P位于直角边上，且与点A、C不重合，试过点P作直线截，使截得的三角形与原相似，画出所有可能的图形，并说明理由． 格点中判断两三角形相似题型07 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 2．（24-25九年级上·期末）如图，在正方形网格中：，的顶点都在正方形网格的格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·月考）如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是________（写出一个即可）．    4．如下图，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：的度数为_________，_________． (2)判断与是否相似，并证明你的结论． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图4正方形方格中的两个和的顶点都是格点． (1)求证：； (2)在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与相似且面积最小． 确定相似三角形的对数题型08 1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（25-26九年级上·安徽安庆·联考）如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 3．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 4．如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（    ）    A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 5．如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组． 三角形相似的判定·创新性问题题型 1．（25-26九年级上·福建三明·期中）学完《图形的相似》这一单元后，小明发现，两个三角形相似的判定方法和两个三角形全等的判定方法很像，于是突发奇想，是否也存在类似于“”的方法判定两个直角三角形相似呢？即：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．于是他开始画图证明．请你帮小明完成证明，分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 2．（25-26八年级·吉林长春·期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如图，点在边长为正方形中边上一点，． (1)请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹、不写作法）； (2)根据图中点的位置，证明（1）中结论成立． 4．（2026·山西临汾·学情自测）综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度． 5．（24-25九年级上·广西南宁·月考）纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．这个标准最初是被魏玛共和国在1922年纳入（编号是），定义了 A、B、C三组纸张尺寸． (1)观察发现：如图1，将纸2次折叠，发现第1次的折痕与纸较长的边重合，由此可求出纸较短边与较长边的比为 ； (2)探究迁移：如图2，将一张纸沿对角线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点B的直线折叠，使点A落在上（O为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点 E．求的值 ． (3)拓展应用：如图3，利用一张纸经过裁剪获得一张边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明：G是的黄金分割点．（即） 6．（25-26九年级上·广东深圳·期末）定义：我们把称为（，，为常数）的互倒一次函数． (1)请你写出的其中一个互倒一次函数___________； (2)如图，与是一对互倒一次函数，点是在第一象限图像上的任意一点，过点作轴于点，交于点．求证：； (3)如图，与相交于点，与轴相交于点，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 7．综合与实践 在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，已知在中，．请解答下面的问题． 观察猜想： （1）如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为______． 探究证明： （2）如图2，D，E分别是边的中点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接． ①求证：； ②若，，求的长． 8．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 试卷第1页（共3页） 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