课外拓展提高 31.1 图形的相似&课外拓展提高 31.2.1 平行线分线段成比例-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

第三十一 31.1图形的相伦 1.已知2x一3y=0,则下列等式成立的是 (C) A=2 B.-y=1 y 3 C.xy5 D.x+13 y+12 2.下列说法中，正确的是 (A A.任意两个等边三角形都相似 B.任意两个直角三角形都相似 C.任意两个菱形都相似 D.任意两个矩形都相似 3.有四组线段，每组线段的长度如下：①2,1， 22;②3,2,6,4：③215,2；④1,3， 5,7.其中线段成比例的是 (B) A.①③B.①②C.①②③D.②③④ 4.如图，连接正方形ABCD各边中点，得到一 个新的正方形EFGH,则新正方形EFGH 与原正方形ABCD的相似比为 (B) 1 A.2 √2 B. 1 C.√2 0. 第4题图 第7题图 5.给出下列各组图形：①两个平行四边形； ②有一个内角是80°的两个等腰三角形； ③两个正五边形；④有一个内角是100°的两 个等腰三角形.其中一定是相似图形的是 ③④（填序号） 章相似 (建议用时：30分钟) 6,两个相似多边形的相似比是，其中一个多 边形的最长边是21，则另一个多边形的最长 边是49或9 7.矩形OABC与矩形ODEF相似，且它们的相 3 似比为)，这两个矩形在平面直角坐标系中的 位置如图所示.已知点B的坐标为(9,6)，则 点E的坐标为（一4，一6） 8.(1)如图①，An系列矩形纸张的规格特征： ①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以 得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张 A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张 A(n十1)纸.根据An系列纸张规格特征，求 该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比， (2)如图②，已知矩形ABCD中，AB=1,在 BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折 叠，使点B落在AD上的点F处.若四边形 ECDF与矩形ABCD相似，求AD的长. A2 13 图① 图② 解：(1)设A1纸的长和宽分别是m,n(m,n均人于0)，则 心纸的长和宽分别为，，小骨=亡则骨=正， 2m 即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为√2：1， (2):沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上 的点F处，四边形ABEF是正方形. 设AD=x.,AB=1,.FD=x一1，FE=1 :四边形ECDF与矩形ABCD相似，一FD=AB .EF AD 2t= 2（舍去).经 检验，x=2是原分式方程的解，即AD=5+上 5+1 2· 下册课外拓展提高 77 31.2相似三角形 31.2.1平行线分线段成比例 目第1课时平行线分线段成比例（建议用时：30分钟） 1.某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其 6.如下图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC 中AB∥CD∥EF∥GH,AC=30,CE=40, 边上的高，点E,F分别在边AC,CD上，且 DF=50,则BD的长度是 (B) ∠1=∠2. 00 C.3 (1)求证：AD∥EF. A.37 B.37.5 D.38.5 (2)当CE：AE=3:5,CF=6时，求BC 的长 D' 解：(1)证明：：AB=AC,AD是BC D/ 边上的高， BE ∴BD=DC,∠1=∠CAD 第1题图 第2题图 ∠1=∠2，∴∠CAD=∠2，. 2.在△ABC中，点M在边AB上，且AM= AD∥EF. (2)EF∥AD,FD=EA CF CE 2 AB.根据如图所示的作图痕迹，一定可以 63 推出的结论是 (A) CE:AE=3:5,CF=6,心D=3,解得FD=10, A.AN2 ..CD=CF+DF=6+10=16,.BC=2CD=32. AN2 B. NC5 MN 2 C.BC3 N3 P. BC 7.如下图，在□ABCD中，E为边BC上一点， 3.(2026吉林)如图，在△ABC 4 连接AE并延长，交DC的延长线于点M, 中，AC>AB,点D为边AB D 交BD于点G.过点G作GF∥BC,交DC于 上一点，AD=2,BD=1.以 B DF 3 第3题图 点C为圆心，AD长为半径画 点F,C2 弧，交AC于点E,连接DE.若DE∥BC,则 (1)若BD=20,求BG的长. AE=4· (2②求8觉的值 4.如图，点D,F在线段AB上，点E,G在线段 AC上，DE∥FG∥BC,AD：DF：FB=2:3: DF DG 解：1)GE∥BCFC=BG 4.如果EG=3,那么AC的长为 =3BG2 2“BD5 BD=20,.BG=8. 0 M (2):四边形ABCD是平行四边形， 0 ∴.AB∥CD,AB=CD, .DM DG AB GB 第4题图 第5题图 5.如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度 .2器-w- 线，图中的虚线互相平行，则点M表示的数 200 是 6 78 九年级数学RJ版 目第2课时相似三角形的判定 1.如图，在△ABC中，D,E分别为边AB,AC 的中点，连接DE.下列结论错误的是(B) A.△ADE∽△ABC B.△ADE与△ABC的相似比是2 C.DE BC=1:2 D.∠ADE=∠B C E 第1题图 第2题图 2.如图，E是□ABCD的边BC的延长线上的 一点，AE和CD交于点G,AC是□ABCD 的对角线，则图中的相似三角形共有(C) A.2对B.3对C.4对D.5对 3.(2026巢湖二模)如图，在△ABC中，BD平分 ∠ABC交AC于点D,DE∥AB交BC于点E. 若AB=9,BC=6,则DE的长为 (A) B.4 c D.5 E D 第3题图 第4题图 4.如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，EF ∥CD.若AE:EC=2:3,EF=2,则AB= 10 5.如图，在△ABC中，若BD：DC=CE：EA =2:1,AD与BE交于点F,则AF：FD= 3 第5题图 的预备定理（建议用时：30分钟） 6.如下图，点E为□ABCD的边BC延长线上 一点，AE与BD交于点F,与DC交于点G. (1)求证：△ABE∽△GDA (2)若BC=2CE,BD=15,求DF的长度. 解：(1)证明：四边形AB- CD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥DC, ,.△GDAp△GCE,△GCE ∽△ABE,.△ABE△GDA. (2)设CE=a,则BC=2CE=2a,BE=BC+CE=3a. ,四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC=2a,AD ∥BC, ÷△ADFD△EBF,BF=EB DF AD AD=2a,BE=3a,BD=15,小15=DF=3a=3' DF 2a 2 .DF=6 7.如下图，在□ABCD中，点E,F分别在边 AD,BC上，且∠ABE=∠CDF. (1)试探究四边形BEDF的形状，并说明 理由. (2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连 AG 2 接BD交AC于点O,若OC-3,AE=4,则 BC的长为 16 解：(1)四边形BEDF为平行 四边形.理山如下： :四边形ABCD为平行四边 形，.∠ABC=∠ADC. B ∠ABE=∠CDF,∴∠EBF=∠EDF ,四边形ABCD为平行四边形，AD∥BC, .∠EDF=∠DFC=∠EBF,.BE∥DF, ∴.四边形BEDF为平行四边形. 4444 下册课外拓展提高 7915解：1号 (2)记“乾、坤、震、巽”分别为a,b,c,d. 画树状图如图. 开始 第一卦象 第二#6个个个个 由树状图可得总共有12种可能的结果，每种结果出 现的可能性相同. 其中满足条件的结果有(a,c),(a,d),(c,a),(c,d), (d,a),(d,c),共6种 故抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率为 61 122 16.解：(1)② (2)画树状图如图。 开始 第一个盲盒 第二个言盒B CD A C D A BD A B C 由树状图可以看出一共有12种等可能结果，其中抽 取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果 有2种，∴P(抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东 海水晶”)=26 21 课外拓展提高 第三十一章相似 31.1图形的相似 1.C2.A 3.B【解析】1：√2=√2：2，∴.长度为2,1，√2，√2的四 条线段成比例，①符合题意.2：3=4：6，∴.长度为 3,2,6,4的四条线段成比例，②符合题意.：2：1≠ 1 巨：5∴长度为子1w52的四条线段不成比例， .③不符合题意.1：3≠5：7，长度为1,3,5,7的 四条线段不成比例，∴④不符合题意.综上，线段成比 例的是①②. 4.B【解析】设正方形ABCD的边长为2a. ,E,F,G,H分别为正方形ABCD各边的中点， .'.AE=AH=a. ∠A=90°，∴EH=VAE+AH=√2a, ∴.新正方形EFGH与原正方形ABCD的相似比= EH_2a_2 AB 2a 2 5.③④ 6.49或9【解析】设另一个多边形的最长边是x,则3： 7=21:x或3：7=x:21,.x=49或9. 7.(一4，一6)【解析】：矩形OABC与矩形ODEF相 3 OA OC 3 似，且它们的相似比为2心ODOF=2 96 :点B的坐标为(9,6)，…0A=9,0C=6,OD-OF 一号0D=6,0F=4,点E的坐标为(-4，-6 8.解：(1)设A1纸的长和宽分别是m,n(m,n均大于0)， 则2纸的长和宽分别为如心是-则 2m √2，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为√2：1. (2)·沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上 的点F处，.四边形ABEF是正方形. AD=x..'AB=1,.'.FD=x-1,FE=1. ,四边形ECDF与矩形ABCD相似， 哪裙 1 x 解得x=5十.x,三)5（舍去）. 2x2= 经检验，x51是原分式方程的解，即AD =5+1 21 31.2相似三角形 31.2.1平行线分线段成比例 第1课时平行线分线段成比例 1.B2.A3.4 4.9【解析】，DE∥FG∥BC,AD:DF：FB=2:3:4, 0能号阴-C-景：G=8小5 厂3，C=,AE=2,GC=4,AC=AE+EG+GC =2+3+4=9. 5.6【解析】如图，：BD∥0D4M MC,OD=4,OC=3,OB 0 =2 808即0-号 42 .OM=6, 即点M表示的数是6. 6.解：(1)证明：，AB=AC,AD是BC边上的高， .BD=DC,∠1=∠CAD. :∠1=∠2，∴.∠CAD=∠2，AD∥EF. FAD需器 63 :CE:AE=3:5.CF=6,FD=5,解得FD=10, ,.CD=CF+DF=6+10=16,.BC=2CD=32. 下册详解详析 25Λ 1解：1G/C-瓷-号0-号 BD=20,.BG=8. (2)四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD, 0 02器20 .DM_3 CM cD=2心CD=2 第2课时相似三角形的判定的预备定理 1.B 2.C【解析】四边形ABCD是平行四边形，.AD∥ BC,AB∥CD,∴.△ADGD△ECG,△ECG∽△EBA, △ADG∽△EBA.由平行四边形的性质可得△ABC∽ △CDA.故共有4对相似三角形. 3.A【解析】：DE∥AB,∴.∠BDE=∠ABD,△CDE ∽△CAB, 限8-号 ,BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBE, ∠DBE=∠BDE,∴BE=DE,BE=、 BC=6BE=号BC-=5DE-号 4.10【解析】AE:EC=2:3,.AE:AC=2:5. EF∥CD,.AE:AC=EF:CD. 又EF=2,.CD=5. 在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴.AB=2CD =10. 5 【解析】如图，过点D作DH∥ BE交AC于点H, 00-2En-2nc. B EH-CE. .'BD:DC=CE:EA=2:1, AE-cE-子E, 1 部品是 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥DC, ,∴.△GDA∽△GCE,△GCE∽△ABE,.△ABE ∽△GDA. (2)设CE=a,则BC=2CE=2a,BE=BC+CE=3a. 四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC=2a,AD ∥BC, DF AD △ADF∽△EBF,·BF-EB 26 九年级数学RJ版 DF 2a 2 :AD=2a,BE=3a,BD=1515=DF=3a=3' .DF=6 7.解：(1)四边形BEDF为平行四边形.理由如下： ,四边形ABCD为平行四边形，∴.∠ABC=∠ADC. ,∠ABE=∠CDF,∴.∠EBF=∠EDF .四边形ABCD为平行四边形，.ADBC, ∴.∠EDF=∠DFC=∠EBF,∴.BE∥DF, ∴.四边形BEDF为平行四边形 (2)16 【解析】(2)设AG=2a,则OG=3a,∴.AO=5a. :四边形ABCD为平行四边形，∴.AO=CO=5a, ..AC=10a,CG=8a :AD/BC,∴△AGEn△CGB,2能-2C- 1 4 ,AE=4,∴.BC=16. 31.2.2三角形相似的判定 第1课时相似三角形的判定定理1、2 1.D2.C 3.A【解析】，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC= AC ∠ADE,∴△ABCO△ADE,∠BAC=∠DAE,AE -A8AS-AS∠BAC+∠BAE-∠AE+ ∠BAE,即∠CAE=∠BAD,∴.△ACE∽△ABD, ÷需-A6:AC:C-3:∠ACB-90. .AC:BC:AB=3:4:5,.BD:CE=5:3. 4.C【解析】如图，连接AA'. 根据旋转的性质可知，∠A'C'B= ∠ACB=90°，A'C'=AC=4,BC'= BC=3,AB=A'B. 根据勾股定理，得AB=√AC+BC=5, .A'B=AB=5,∴.AC'=AB-BC'=5-3=2. 在Rt△AA'C中，根据勾股定理，得AA'=√22+4= 25. ..BC_BC ·BA-BA7,∠C'BC=∠A'BA, .△CBC'∽△ABA', ..BC_cc n 3 CC' BxAA,即亏2后' CC'-66 51 48 5.5cm 6.45°【解析】如图，·AB是⊙O的直径， .∠APB=90°. 当∠APB=∠AOP=90时， ∠BAP=∠PAO,