31.2.1 平行线分线段成比例-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

详解详析 第三十一章 相似 第2课时相似三角形的判定的预备定理 31.1图形的相似 1.A2.B3.C4.33 1.D2.C3.②③ 5.证明：MN∥CD,∴△AOM∽△ACD,△BON 4.A5.C6.C7.C8.B 100 80 9.1.2【解析】根据题意，得100十380十2x,解得x △BDC,·CD-AD'DC-BC OM AM ON BN AM BN 1.2.经检验，x=1.2是原分式方程的解.故当x=1.2 :AB/∥CD∥MNAD-BC' 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似. .OM_ON ② CD-CDOM-ON. 变式题 【解析】：E为□ABCD的边AD的 31.2.2三角形相似的判定 中点， 第1课时相似三角形的判定定理1、2 1 ·AE=2AD=2BC. 1.A2.B ,□ABFE与□ADCB相似， 39 【解析】：AB=AC=5,∠ABC=∠ACB. 设铝福 ∠PBA=∠PCB,∴.∠PBC=∠PCA. 又∠PAC=∠PCB,∴.△ACP∽△CBP, AB· 贤猥 .2BC2=AB2..BC2=2 :pA=2iPC-9 4.3【解析】：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠ADC=∠ACB=90° 又，∠A=∠A,.△ABC△ACD. 10.A11.A 12.解：四边形A'B'C'D'与四边形ABCD相似.理由： 同理可得△ACDP△CBD,△ABCP△CBD, .共有3对相似三角形. A',D'是OA,OD的中点， 5.证明：，四边形ABCD是平行四边形 ADAD.AD'=2AD,即AD- AD=2· ∴.AD∥BC,.∠ADC+∠C=180°，∠ADF 理需C智 =∠DEC. :∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠ADC, :A'D'∥AD,.∠OA'D'=∠OAD,∠OD'A'= ∴.∠C=∠AFD,∴△ADF∽△DEC. ∠ODA.同理，两个四边形的其他对应角分别相等， ◆一题多解法 ∴.四边形A'B'CD'与四边形ABCD相似 :四边形ABCD是平行四边形， 13.10攻号 ∴AD∥BC,∴.∠ADF=∠DEC. ,∠AFE=∠ADC,且∠AFE=∠ADF+ 31.2相似三角形 ∠DAF,∠ADC=∠ADF+∠CDE, ∴∠DAF=∠CDE,∴△ADF∽△DEC. 31.2.1平行线分线段成比例 第1课时平行线分线段成比例 6.D7,B8,D9.2cm或号cm 1.C2.A变式题B .BD 3.解：：EF∥AB,BF:FC=2:3, 10.1 【解析】：BD=2CD,CD 2.“E是AD的中 腮-号瓷-号 点aD=2DE0-2 BD AD CD-DE=2. E…品-瓷品- 又：AD⊥BC,∠ADB=∠EDC=90°，△ADB .BD=9. nABc设-8 =2.AB=2..EC=1. 下册详解详析 》一题多解法 10.证明：，CD,C'D'分别是两个三角形斜边上的高， 如图，过点E作EF∥AB,交 .∠ADC=∠A'DC'=90 BC于点F.,E是AD的中 又：CD:C'D'=AC:A'C' 点，BF=DF,EF是 .Rt△ADCORt△A'D'C',∴∠A=∠A' △ABD的中位线，.EF=B 又：∠ACB=∠A'C'B'=90°， .△ABC∽△A'B'C'. 2AB=1.BD 2CD, 1 解题模型专练相似三角形的基本模型 ∴DF=CD.AD⊥BC,DE所在直线垂直 平分CF,.EC=EF=1. 1.解：(1)证明：在△AOB和△DOC中， ∠ABO=∠DCO, 11.解：示例：选择① ∠AOB=∠DOC, 证明：：△ACD∽△A'C'D', OA=OD. ∠c-∠AC00. ∴.△AOB≌△DOC(AAS) (2).'△AOB≌△DOC,.AB=DC=2. ∴∠ADB=∠A'D'B' ,EF∥CD,∴.△BCD∽△BEF, 0器0品 0距即屏3F- 23 ÷B0-0△ABD△AB 2.C【解析】：DE是△ABC的中位线， 12.2或8或5【解析】根据题意，可分以下情况：①当 ∴.DE∥BC,DE= AD PD 4 PD PC-BC时，△APD∽△PBC,即10-PD 解 ∴△DEF∽△BMF, .·EDF2BF 得PD=2或PD=8:@当识-P咒时，△PAD BFBF =2 CM-BC+BM-15 3 .BM= △PBC,即手=10PD解得PD=5.综上所述，Dp 的长度是2或8或5. 3证明：南者A字型)：DH/F小品能 第2课时相似三角形的判定定理3 AF FH 1.C2.A3.D ,AD是BC边上的中线，.CD=BD, 4.B【解析】，长120cm的木条与三角形木架的最长边 相等，.长120cm的木条不能作为一边. .CH=FH-CF 设从长120cm的木条上截下的两段分别长xcm, ycm(x<y,x十y≤120)，易得长60cm的木条不能与 DEFH1CE CF· 长75cm的一边对应. (构造“X”字型)AD是BC边上的中线， 鸡长60cm的木条与长100cm的一边对应时，有石 高-品=45y=72,行合题意， D-号C DK∥AC,∴.△BDK△BCF,△DEK∽△AEF, 当长60cm的木条与长120cm的一边对应时，有亏 ÷肥-0能k-号 CF, 0-0x=37.5y=50,符合题意.故不同的截 y60 AF AF2AF DK 1 h CF 法有两种 4.B 5.一定6.2 7.证明：：∠ACB=90°，E,F分别为AD,AB的中点， 【解析】：AD=4,BD=5,AC=6..AC=6 AD 4 CE-TAD.CF-TAB.EF-7DB. -告5%0：∠caD=∠BC 2'AC6 器器那 △ABC△ACD.S设-景CD=3,BC .△CEFc∽△ADB,∴.∠CFE=∠B. 9 8.A9.C变式题3.6 2 九年级数学RJ版31.2相似三角形 31.2.1平行线分线段成比例 第1课时平行线分线段成比例 知识要点扫描 知识点② 平行线分线段成比例 1.相似三角形 2.如图，直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥ (1)相似三角形：三个角分别相等，三条边 CD.若B0=2,0E=1,EC=2,则的值 成比例的两个三角形叫作相似三角形 (2)相似三角形的相似比：相似三角形对应 为 (A) 边的比叫作相似比， 3 A. c 2.平行线分线段成比例的基本事实及推论 (1)基本事实：两条直线被一组平行线所 截，所得的对应线段成比例. (2)推论：平行于三角形一边的直线截其他 第2题图 变式题图 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例. AB 5 变式题 已经典例题剖析 如图，l1∥L∥LBC ,DF= 24,则EF的长为 (B) 【例】(2026眉山)如右图，11A1D A.8 B.9 ∥L2∥L3,AB=3,DE=5,BC= C.12 D.15 6,则DF的长度是 【点拨】.l1∥L2∥l3, 3.如右图，在△ABC中，D, 提器居品 E,F分别是AB,AC,BC 边上的点，且DE∥BC,EF ∴.EF=10, ∥AB.若BF:FC=2:3, ∴.DF=DE+EF=15. AB=15,求BD的长. 【解】15 解：：EF∥AB,BF:FC=2:3, 已基础对点训练 既-瓷-瓷- 知识点① 相似三角形 服0-瓷品- 1.如图，△ABC∽△AED,∠ADE=80°，则 .BD=9 ∠C的度数为 (C) 第1题图 A.40° B.60°C.80° D.100° 下册第三十一章 3企 第2课时相似三角形的判定的预备定理 已知识要点扫描 A.2 c D. 5 相似三角形的判定的预备定理 判定三角形相似的定理：平行于三角形一 边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似。 由平行线截得的两种图形是相似三角形 D 中的基本图形，图①称为“塔”型（或“A”字型）， 第1题图 第2题图 图②称为“叉”型（或“X”字型） 2.如图，AB∥CD,点E在AB上，点F在CD 上，AC,BD,EF相交于点O,则图中相似三 角形共有 (B) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.如图，在□ABCD中，EF∥AB,DE:EA= 图① 图② 已经典例题剖析 2：3,EF=4,则CD的长为 (C) A.6 B.8 C.10 D.16 【例】如右图，在口AB- CD中，对角线AC,BD相 mrpummmm 交于点O,E为OC的中B uiutab 14 1 点，EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF 第3题图 第4题图 的长为 4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A= A号 B.1 C.3 4 D.2 60°.直尺的一边与BC重合，另一边分别交 【点拨】，四边形ABCD是平行四边形， AB,AC于点D,E.点B,C,D,E处的读数 分别为15,12,0,1，则直尺宽BD的长为 1 ∴0C=2AC.:E为0C的中点CE 23 3 20C- 4AC.'EF∥AB,.△CEF 5.如下图，在梯形ABCD中，MN经过对角线 EF CEEF 1 ACAB·ABCA易 4=4EF=1. 的交点O,AB∥CDMN.求证：OM=ON. 证明：MN∥CD,.△AOM 【答案】B △ACD,△BONC∽△BDC, 已基础对点训练 0-0-0 知识点相似三角形的判定 AB/CD/MN. 1.如图，在△ABC中，已知D,E分别是AB, .OM_ON AC边上的点，且DE/BC,若把号，则 CD-CD.OM-ON. DE BC (A) 九年级数学RJ版