第三十一章 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

竖线 横线 ab be ac mn (mn,ab) (mn,bc) (mn,ac) nl (nl,ab) (nl,bc) (nl,ac) ml (ml,ab) (ml,bc) (ml,ac) 由表可知，共有9种等可能的结果，其中点A在所选 矩形内的结果有(mn,bc)、(ml,bc),(mn,ac),(ml, ac),共4种， “点A在所选矩形内的概率为 4 10.解：(1)20C (2)根据题意，列表如下： 第二名 第一名 甲 的 丁 (甲，乙)（甲，丙）（甲，丁） 乙 (乙，甲 (乙，丙)（乙，丁） (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) (丁，甲) (丁，乙)（丁，丙》 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两 名学生恰好被选中的结果有2种， 21 “甲，乙两名学生恰好被选中的概率为2一6 11.解：(1)100 (2)补全条形统计图如图. 个人数 50 % 30 10 0 运动娱乐阅读上网选项 144° (3)画树状图如图 开始 第一名同学 第二名同学男女女 男 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选出 一男一女的结果有8种，∴恰好选出一男一女的概率 学业质量自我评价 第三十一章学业质量自我评价 1.D2.B3.D4.C 5.B【解析】∠CBD=∠A十∠ACB,∠ACD= 450 九年级数学RJ版 ∠ACB+∠BCD,∴.∠A=∠BCD,.∠ACD =∠CBD. 又∠D=∠D,∴△ACD∽△CBD, AC DC AD DC AD 2 CB-DBCD,即DBCD1, ∴.DC=2BD,AD=2DC, .AD=4BD,∴.AB=3BD. 在Rt△ABC中，AB=√AC+BC=√5， .3BD=5, BD-5 3 6.C【解析】如图，设MN与BC交于点A. ,'BM∥CN,BM=CN, ∴.∠AMB=∠ANC, ∠ABM=∠ACN. 在△ABM和△ACN中， ∠AMB=∠ANC, BM=CN, ∠ABM=∠ACN, .△ABM≌△ACN(ASA), ..AB=AC,AM=AN. 设NH=2a,则AG=3a. :NH∥AG, .△NPH∽△APG, 邓治-层 设NP=2k,AP=3k,则AN=NP+AP=5k, ..AM=AN=5k, ∴.MP=AM+AN-NP=8k, 滞赞 7.1:48.75°9.0.64 10.台后【解折1：OA=2,BC- D OC,OA=OC,∴.B0=4. :OA⊥OC,.AB= √AO2+BOF=2√5. 如图，过点O作OE⊥AB于点E,则AD=2AE. ∠AEO=AOB=90°，∠A=∠A, ∴.△AEO∽△AOB, 能铝脚些 225' ∴AE=名后AD=2AE-台后. 1.号【解折：AD1CB.∠ADC=∠BDA=90 :∠CAB=90°，∴.∠B+∠C=∠C+∠CAD=90°， ∠B=∠CAD,.△ADC∽△BDA, 品品是 :∠EDF=90°=∠ADB, .∠ADE=∠BDF=90°-∠ADF. :∠B=∠CAD,△ADE∽△BDF, 部品 12.8.4或2或12【解析】若△ABP∽△PDC, 部况 设BP=x,则PD=14一x. AB=6,CD=4,BD=14, 6=14-x 4 解得x1=2,x2=12. 经检验，x1=2,x2=12均为原分式方程的解。 AB CD 若△ABP∽△CDP,BP-DP' 解得x=8.4.经检验，x=8.4是原分式方程的解. 综上所述，PB的长为8.4或2或12. 13.解：1设号-合-后- 则a=3k,b=2k,c=6k. .a+2b+c=26, ∴.3k+2×2k+6k=26,解得k=2, ∴.a=3×2=6,b=2×2=4,c=6×2=12. (2)AB∥CD, .△ABO△DCO, 品瓷即号180利00=6 ,AD⊥BC, ∴.∠DOC=90° 在Rt△OCD中，CD=√OC+OD=√62+92 313. 14.解：(1)如图，点D即为所求 15.解：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,∠A=∠C. ,∠BFE=∠A,∴.∠BFE=∠C 又I∠FBE=∠CBF, .△BFED△BCF, .BF BE ·BCBF' BF216 ·BC=BE=3' aAD=BC-号 16.解：（答案不唯一）①②③ 理由：·∠ADB=∠AEC,∠BAD=∠CAE, △ADB△ABC把-C8G :∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, .△ABC∽△ADE,.∠ABC=∠ADE, 17.证明：：在△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BD, .∠AED=∠BAD=90. ∠ADE=∠BDA,∴.△ADE∽△BDA, ..AD BD=DE DA. :D为AC的中点，AD=CD, ..CD BD=DE DC. ∠CDE=∠BDC,∴.△CDE∽△BDC, ∠CBD=∠ECD. 18.解：(1)'∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC, ÷△ACDARC÷G-AC用是 解得AC=4(负值已舍去)，即线段AC的长为4. (2):∠BEF=∠A,∠B=∠B, ∴.△BEF∽△BAC, -()=(》-品 S△AC 9 .S△BEF 64×64=9. SACAD SACHD=AD BD=2:6=1:3, 1 SACAD=- 5a=×64=16， ∴.四边形CDFE的面积为S△ABC-S△EF一S△CAD 64-9-16=39. 19.解：如图，连接CD,则点C,D,O在 同一条直线上 由题意，得DO⊥BF,∴.∠DOE =90°. ,OD=OE=0.9,.∠DEB=45°. 由题意，得AB⊥BF,∴∠BAE=45°，∴AB=BE. 设AB=EB=xm. ,AB⊥BF,CO⊥BF,.AB∥CO △ABFAO88e x 即1.1+0.9 x+(3-0.9 3 ,解得x=4.2. 故围墙AB的高度是4.2m. 20.证明：(1)，AD∥BC,∴.∠DAE=∠ACF. ∠DAE=∠ACF, 在△DAE和△ACF中，AD=CA, ∠ADE=∠CAF, △DAE≌△ACF(ASA),.DE=AF. (2):△DAE≌△ACF, 51 下册详解详析 .∠DEA=∠AFC, .180°-∠AFC=180°-∠DEA,即∠AFB =∠CED, 又：∠B=∠CDE,∴.△ABF∽△CDE, 带腮 自.得DE-A架， ,.AF2=BF·CE 21.解：(1)理由：：太阳光下，纪念碑顶端A的影子落在 点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影 子落在点F处， 品限 ,标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE =DF,.'.CD=CA. (2)如图，连接BC,令BN与DE的交点为点H, FMD 则四边形BCDH和MNHD是矩形 DE=-2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m, .CD=BH,BC=DH=MN=1.2 m,NH=DM= 1m, .EH=DE-DH=0.9 m. 设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, .BH=CD=AC=(1.2+x)m, ,.NB=BH+NH=(2.2+x)m. EH∥AB,∴.△NEH∽△NAB, 甜 091 x=2.2+x,解得x=19.8. 故纪念碑AB的高度为19.8m. (3)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑 AB的高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为 19.8m,则小红的结果误差较大.原因：纪念碑AB位 于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位， 使得CD的长存在误差，影响计算结果（合理即可）. 22.解：(1)证明：：DE∥BC,∠B=∠ADE. 又∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE, 8AE即ADADHD AFRCE AD AE 肥是品能 (2)23 (3)证明：如图，过点A作AH∥DF,交BC的延长线 于点H. .AH∥DF, 52 九年级数学RJ版 品器蛋 品部·需器 CE FH BF CF CF H=1, HF EF 1 【解析】(2)：HE∥AC·A疗CE=2 又：AF=3,HF=EF, ∴.HF=EF=1,AH=CE=2. DEAc小0 =2, .BE=2CE=4, ∴.BF=BE-EF=3. 545 23.解：1)334 (2)证明：如图①，过点A作BCP 的平行线，交BD的延长线于 点P. PA∥BC,∴∠APD=∠CBD. 图① 又：BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD, .∠APD=∠ABD,.AB=AP. PA∥BC,∴.△PAD∽△BCD, .AD_PA.BA AD ·CD=BC·BC=DC (3)①过点A作△ABC的高AF交BE 于点G,如图②. 设CF=x,则13-x2=152-(14 x)2, 图② 解得x=5,.AF=√132-5=12. ②由(3)①可知CF=5,AF=12,则BF=9. AG BA 由(2)可知G部-B即设GF=y 2,-5解得y=4.5 y 经检验，y=4.5是原分式方程的解. ,EC⊥BC,∴.GF∥EC, .△BGF∽△BEC, 能腿、 ..EC= GF·BC4.5×14 =7 BF 9 第三十二章学业质量自我评价 1.C2.B3.C4.B 5.B【解析】如图，连接BC.,B是 劣弧AC的中点， ..AB=BC. .BM⊥AC, ∠AMB=90°，AM=MC=2AC=14.71cm.九年级数学RJ版下册 学业质量自我评价 第三十一章学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）】 1.下列长度的四条线段是成比例线段的是 (D) A.a=4,b=6,c=5,d=10 B.a=1,b=2,c=3,d=4 C.a=√2，b=3,c=2,d=√3 D.a=2,b=√5，c=2√3，d=√15 2.如图，已知AD∥BE∥CF,它们分别交直线l1,l2于点A,B,C和点D,E,F.若 AB 2 BC=3,DE=4,则EF的长为 (B) A.4 B.6 C.8 D.10 A D d=36 B E 1=12 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中，错误的是 (D) A.DE∥BC B.△ADEC∽△ABC 1 C.BC=2DE D.SAADE-SAAIC 4.如图，△ABO与△A'B'O是位似图形，其中AB∥A'B',那么A'B'的长y与AB 的长x之间满足的函数关系的图象大致是 (C) A B C 5.(2026铜陵二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB的延长线上， ∠DCB=∠A,AC=2,BC=1,则BD的长为 (B) ,35 C.6 D 25 3 M B 图① 图② 第5题图 第6题图 6.(2026宜春袁州区一模)图①所示的是一个立方体纸盒的示意图，图②是该立方 体纸盒的表面展开图，连接MN,GH交于点P,则的值为 (C) 1 1 A.2 b.9 c 1 D. 444444 129 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的面积的比为1：4 8.已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是45°，60°，那么另 一个三角形的最大内角是75° 9.如图，一油桶高0.8m,桶内有油，一根木棒长1m,从桶盖小口斜插入桶内，一 端到桶底，另一端到小口.抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m,则桶内油面的 高度为0.64m. 第9题图 第10题图 10.(2026合肥庐江二模)如图，在⊙O中，半径OA⊥OC,OA=2,延长半径OC到 点B,使BC=OC,连接AB交⊙O于点D,则AD= 11.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=3,AB=4,过点A作AD⊥CB于点 D,以D为顶点作一个直角，其两边分别与边AC,AB交于点E,F,点F不与 AF 点B重合，则BF一 3 4 、D B 第11题图 第12题图 12.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动.当以 P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时，PB的长为8.4或2或12· 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.1已知线段a,6c满足号-台-5，且a+2b+c=26,求线段a6c的长 解：4)设号=号-6 b_c=k,a=3k,b=2k,c=6k. a十2b+c=26,∴.3k+2×2k+6k=26,解得k=2. ∴.a=3×2=6,b=2×2=4,c=6×2=12. (2)如下图，AB∥CD,AD⊥BC于点O,OA=6,OD=9,BC=10.求CD的长. 解：(2)AB∥CD, 1 .△AB0C∽△DCO. :04=OB 0D0,即9=0C,解得00=6. .610-0C AD⊥BC, .∠D0C=90. 在R△OCD中，CD=√OC2+OD=/62+9=3/13. 14.下图所示的是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫作格 点，△ABC的顶点均在格点上. (1)请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求作图（不写作法，保留作图 痕迹)：在△ABC的边BC上确定一点D,连接AD,使△ABDC∽△CBA. (2)(1)中ミ△4m= 1 S△cBA 5 15.如下图，在□ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE= ∠A.若BF=4,BE=3,求AD的长. 解：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,∠A=∠C. ∠BFE=∠A,∴∠BFE=∠C. 又：∠FBE=∠CBF,∴△BFEO△BCF, 8C-8-E- 16 =BE=3AD=BC= 3 16.如右图，D,E为△ABC外两点，给出下列信息：①∠BAD =∠CAE;②∠ADB=∠AEC;③∠ABC=∠ADE. 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条 作为结论组成一个真命题，并说明理由.你选择的补充条 件是①②，结论是③·（填序号）（答案不唯一） 解：理山：'∠ADB=∠AEC,∠BAD=∠CAE, △A0△AC,把-提8-S :∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE, ∴.△ABCO△ADE,∴.∠ABC=∠ADE. 17.如下图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为AC的中点，AE⊥BD,垂足为E.求 证：∠CBD=∠ECD. 证明：，在△ABC中，∠BAC=90°，AE⊥BD, .∠AED=∠BAD=90°. ∠ADE=∠BDA,.△ADEO△BDA, .'.AD BD=DE DA. D为AC的中点，AD=CD,CD:BD=DE:DC. ,∠CDE=∠BDC,∴.△CDEC∽△BDC,·∠CBD=∠ECD. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如下图，在△ABC中，AC<BC,点D在边AB上，且∠ACD=∠B.已知AD =2,BD=6. (1)求线段AC的长. (2)点E在边BC上，BE=3,作∠BEF=∠A,EF交BD于点F.若△ABC的 面积为64，求四边形CDFE的面积. 解：(1)，'∠ACD=∠B,∠CAD=∠BAC, △ADn△AC小6-2脚，6= AC AD 解得AC=4(负值已舍去)，即线段AC的长为4. (2)∠BEF=∠A,∠B=∠B,.△BEFO△BAC, 9 .'SACAD:SACD=AD BD=2:6=1:3, 5m=m=号×64=16， ∴.四边形CDFE的面积为S△Ae一S△r一S△cD=64-9-一16=39. 1441419 130 19.如下图，小明家窗外有一堵围墙AB,由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户 的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进 房间的地板E处.小明测得窗子距地面的高度OD=0.9m,窗高CD=1.1m, 并测得OE=0.9m,OF=3m.求围墙AB的高度. 解：如图，连接CD,则点C,D,O在同一条直线上 由题意，得D0⊥BF,.∠DOE=90 0D=0E=0.9,∴.∠DEB=45°. 由题意，得AB BF,∴.∠BAE=45°，∴.AB=BE. 设AB=EB=xm. AB⊥BF,CO⊥BF,.AB∥CO, △8F△m288部 甲0g=+80》,解得=2 3 故围墙AB的高度是4.2m. 20.如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC,点F,E分别在线段BC,AC上，且∠FAC =∠ADE,AC=AD. (1)求证：DE=AF. (2)若∠B=∠CDE,求证：AF=BF·CE, 证明：(1)，AD∥BC,.∠DAE=∠ACF. ∠DAE=∠ACF, 在△DAE和△ACF中，AD=CA, ∠ADE=∠CAF: △DAE≌△ACF(ASA),.DE=AF. (2)'△DAE≌△ACF,.∠DEA=∠AFC ∴.180°-∠AFC=180°-∠DEA,即∠AFB=∠CED X5∠B=∠CDE,△ABFO△CDE,E=E, .AF BF ),得DE=AF,心CE=AF=BF,CE. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位 于纪念园南部的中心广场.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记 录如下. 活动主题测量纪念碑的高度 实物图和 E 测量示意图 N C 图① 图② 如图②，纪念碑AB位于有台阶的平台上.太阳光下，其顶端A的影 子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在 测量说明 点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N,点V,E,A在 同一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上 测量数据 DE=2.1 m,DF=2.1 m,DM=1 m,MN=1.2 m 备注 点F,M,D,C在同一水平线上 根据以上信息，解决下列问题： 131 (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说明理由. (2)求纪念碑AB的高度. (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为 18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m.请判断小红的结果和 (2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）. 解：(1)理由：：太阳光下，纪念碑顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放 置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，心CD一DF CA DE 标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF,∴.CD=CA. (2)如图，连接BC,令BN与DE的交点为点H, 则四边形BCDH和MNHD是矩形. 'DE=2.1m.DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m, .'CD=BH,BC=DH=MN=1.2 m,NH=DM=1 m, ∴.EH=DE-DH=0.9m 设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, FMD ..BH=CD=AC=(1.2+x)m,..NB=BH+NH=(2.2+x)m. EnA,△NEH△M,g-沿”-2+解得=98 故纪念碑AB的高度为19.8m. (3)纪念碑的实际高度为19,64m,小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m, (2)中纪念碑AB的高度为19.8m,则小红的结果误差较大.原因：纪念碑AB 位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差， 影响计算结果（合理即可）. 22.【课本节选】 如图①，把1：看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结 论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对 应线段成比例。 图① 图② 图③ 图④ 【证明结论】(1)为了证明该结论，小明画出了图形，如图②，并写出了“已知”和 “求证”.请你完成证明过程. 已知：在△ABC中，DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E. AD AE 求证：BD一EC 【知识应用】(2)如图③，在△ABC中，DE∥AC,点F在BC上，AF交DE于点 H,且0--若HF=EF,AF=3,则EC的长为？，BF的长 为3 解：(1)证明：DE∥BC,∴∠B=∠ADE. 又：∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE, 8-即”即-t平， AD AE BDCE.AD AE 小AD-AEBDEC 【类比探究】(3)如图④，在△ABC中，DF与AB,AC分别交于点D,E,点F在 C的延长线上求证品·F·蛋1 证明：(3)证明：如图，过点A作AH∥DF,交BC的延长线 于点，品-高-货 .AD BE.CE_FH BF CF “BD`CF'EA=BF‘CF‘FH=1. 六、解答题（本大题共12分） 23.小明和小亮在复习“三角形的角平分线”的有关定理时，产生了探究“三角形的 角平分线分对边所得的两条线段和三角形的另外两边的关系”这一想法，于是 决定一起来研究. 【特例感知】(1)情景一：如图①，在等腰三角形ABC中，BA=BC,BD是 BA AD △ABC的角平分线，可知AD=CD,发现BC=DC, 情景二：如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线.若AC 5 =3,BC=4,则AD= ,CD= 4 AD 3 3'DC= 4,发现 C=(填“>“<”或“=”)AD BA DC 【猜想验证】(2)两人猜想：三角形的一个角的平分线将其对边分为两段，这两 条线段与该角的两边对应成比例.于是给出命题： 如图③，在△ABC中，若BD是△ABC的角平分线，则有BC一DC BA AD 合作分析：两人发现结论是一个比例式，认为可以尝试用相似三角形来证明， 于是便过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点P.请按他们的思路帮他 们写出证明过程. 【知识应用】(3)如图④，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15,BE平分 ∠ABC,EC⊥CB. ①求△ABC中BC边上的高； ②求EC的长 图① 图② 图③ 图④ 解：(2)证明：如图①，过点A作BC的平行线，交BD的延P 长线于点P.:PA∥BC,∠APD=∠CBD. 又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD, ∠APD=∠ABD,.AB=AP. PA/BC,△PADn△BCD,小CD=BCBC=DC .AD PA BA AD (3)①过点A作△ABC的高AF交BE于点G,如图②. 设CF=x,则132-x2=152-(14-x)2, 解得x=5,∴AF=13-5=12. ②h(3)①可知CF=5,AF=12,则BF=9. h(2)可如2答-8能设c=y 12-y=15 y =),解得y=4.5 经检验，y=4.5是原分式方程的解.：EC⊥BC,.GF∥EC, △n△r受--_5X-7 BF 2111419 132