第32章 难点探究专练 三角函数与几何、函数的综合(跨单元)-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

难点探究专练 三角函数与几何、函数的综合（跨单元） 题型① 三角函数与三角形的综合 题型③ 三角函数与圆的综合 1.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点 4.(2026新余分宜期中)如右 D,E在边BC上.若∠DAE=30°，tan∠EAC 图，AB为⊙O的直径，C -号则BD的长为 为⊙O上一点，D是BC的 (A) 中点，BC与AD,OD分别 A.3-√3 B.3+3 交于点E,F C.3√3 D.√3 (1)求证：DO∥AC. (2)求证：DE·DA=CD (3)若an∠CAD-2,求sin∠DA的值， 解：(1)i证明：：D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD, 即∠CAB=2∠BAD. ∠BOD=2∠BAD B D 第1题图 第2题图 ∠CAB=∠BOD,.DO∥AC (2)证明：：CD=BD,∴∠CAD=∠DCB. 题型②三角函数与四边形的综合 又∠CDE=∠ADC,△DCE△DAC, 2.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG, .CD_DE AD-DCDE DA=CD'. 点G在AD上，GF与CD交于点H, (3)如图，连接BD,则BD=CD tan∠ABG=2,正方形ABCD的边长为8， ∠DBC=∠CAD. 山△DCE∽△DAC,得∠DCE 则BH的长为10 =∠CAD. 3.如下图，在□ABCD中，对角线AC与BD :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°，∠ACB=90 相交于点O,∠CAB=∠DAC,E是AC上 一点，且AE=AD. tan∠cAD2,tan∠DBE=E=DE=1 BD CD 2 (1)求证：AC⊥BD. 设DE=a,则CD=2a. AE (2)若AB=6,cos∠CAB 由DE·DA=CD,得AD=4a,六AE=3a,一DE 求线段OE的长. 2 =3. D0∥AC,∴.△AEC∽△DEF, 解：(1)证期：四边形ABCD是平行四边形， .△AEC和△DEF的相似比为3. .AB∥CD,.∠DCA=∠CAB. 设EF=k,则CE=3k,CF=4k. ∠CAB=∠DAC,.∠DAC=∠DCA,.DA=DC. 又ACD0,0为AB的中点， ∴，四边形ABCD是菱形，∴AC上BD. F为BC的中点，则BC=8k, (2):四边形ABCD是菱形，∴.AE=AD=AB=6. AC⊥BD,∴.∠AOB=90°.在Rt△AOB中， 在R△ACE中，m∠CE=恶-}，CE=3欢， w∠0B-8g-号AB=6.0=4 4C=6k。 在R△ABC中，AC=6k,BC=8k,∴.AB=10k,.sin AE=6,.OE=AE一0A=6-4=2. ∠CDA=sin∠CBA=AC-=3 下册第三十二章 43 题型④三角函数与一次函数综合 (2)过点A作直线l∥x轴与直线y=一2x 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=一2x +4交于点C,求sin∠OCA的值， 十4与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直 解：(2)在函数y=一2x+4中，当y=2时，x=1 .点C的坐标是(1,2)，0C=√+2=5， 线y=kx交于点C(4,n),则tan∠OCB的 22月 值为 (A) .sin∠OCA= 55· 3 B. 7 0.8 题型⑥三角函数与二次函数综合 8.如右图，已知二次函数y =a.x2+2ax-3的图象与 D x轴交于点A,B,与y轴 交于点C,其顶点为D,直 第5题图 第6题图 线DC的函数解析式为y 题型⑤三角函数与反比例函数综合 6.如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y =kx-3,sin∠OBC= 2 =(x<O)的图象上，顶点B,C在第一象 (1)求二次函数的解析式和直线DC的解 x 析式. 限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形 (2)连接BD,求△BCD的面积. OABC的面积是6，cos∠OAC=名，则k 解：(1)二次函数y=ax2+2ax一3的图象与y轴交 于点C,点C的坐标为(0，一3)，则OC=3. - sin∠OBC= 2,∠0BC=45,易得0B=0C=3, 7.如右图，在平面直角坐标系 点B的坐标为（一3,0）. ”二次函数y=ax2+2ax一3的图象与x轴交于点 xOy中，反比例函数y= k A,B, .将B(一3,0)代入y=ax2+2ax一3，得a=1, (k为常数且k≠0)图象上有 .二次函数的解析式为y=x2+2x一3. 一点A(一3，m),且与直线 ,y=x2+2x一3=(x+1)2-4. y=一2x十4交于另一点B(n,6). 点D的坐标为（一1，一4）. (1)求k与m的值. 将D(一1，一4)代入y=kx一3，得k=1, .直线DC的解析式为y=x一3 解：(1)点B(n,6)在直线y=一2x十4上，.一2n+ (2)如图，过点D作DE⊥y轴于 4=6,解得n=一1，∴.点B的坐标是（一1,6） 点E. ”点B(一1,6)在反比例商数y=上的周象上4一 B(-3,0).C(0,-3),D(-1 -4),.OB=3,DE=1,OE=4,CE 6 一6，，反比例函数的解析式为y=一 =1. :点A(一3，m)在反比例函数y=一毛的图象上， .S△D=Se形0wE一S么e一S△CE= 2 ×(1+3)×4 .m=2. 2X3×3-2×1X1=3. 九年级数学RJ版,∴.CQ=AQ·tan45°=40 n mile, .BC=BQ+CQ=(403+40)n mile, ·该轮船航行的速度为405+40=(205十 2 20)n mile/h. 解题方法专题构造基本图形解直角三角形 h.1 1.解：1)由题意可知，当d=100m时，1O0<8,解得h <12.5, ∴.h至少需要小于12.5m. (2)如图所示，过点B作建筑物的垂线，垂足为D,则 BD=d,CD=h-a. B 观测场 在Rt△BCD中，sin0=BC CD h-a BD d 0=BC= ..h=a+bsin 0,d=bcos 0, 培8 2.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 设AD=x,则由题意得BD=60 一x. 在Rt△ADC中，∠BAC=42°， CD tan A-AD' 42 6 河岸D ∴.CD=tanA·AD≈0.9x. CD 在Rt△CDB中，∠ABC=61,tanB=BD.1.8 0.9x 60-x' 解得x=40.经检验，x=40是分式方程的解，且符合 题意， .CD≈0.9×40=36. 故此河流的宽度约为36m. 3.解：设AB=x AB⊥BC,.∠B=90 .在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=60°， AB BD=ian∠ADB-an60=3, ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， ..BC AB tan∠ACB tan45=x. .CD=BC-BD=12. ..-3 x=12,解得x=18+65, ,.AB=18+6√3， 即孔子雕像的高度AB为(18+6√5)m. 4.解：在Rt△ADC中，∠DAC=30°，AC=30m, DC=AC·tan30°=30X5 =10√3(m). 3 .AB=10 m, ,∴.BC=AC-AB=20m. 在Rt△BCE中，∠EBC=48°， .EC=BC·tan48°≈20×1.111=22.22(m), ∴.DE=EC-DC≈22.22-103≈4.9(m). 故广告牌DE的高度约为4.9m. 5.解：根据题意，得∠AOE=90°. AO :在Rt△AOD中，tam∠ODA=DO∠ODA=42, AO .'.DO= tan 42. :在Rt△AOE中，tan∠OEA= AO EO'∠OEA=35°， AO ∴.EO= tan 35 .EO-DO=DE=9, AO AO tan35° tan 42=9, A0 9Xtan35°Xtan42°9X0.7X0.9=28.35. tan42°-tan35° 0.9-0.7 如图，过点C作CH⊥DE,垂足为H. ,在Rt△CDH中，sin∠CDH= CH CD,∠CDH=12°，CD=22, Bh ,∴.CH=CD·sin∠CDH=22X ..D E sin12°≈22×0.2=4.4. :∠CBO=∠BOH=∠OHC=90°， ,.四边形BCHO是矩形， .∴.BO=CH≈4.4， ∴.AB=AO-BO≈28.35-4.4≈24， 即引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m. 难点探究专练三角函数与几何、 函数的综合（跨单元） 1.A 2.10【解析】，四边形ABCD、四边形BEFG均为正 方形， ∴.∠A=∠BGF=∠D=90°， .∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°， ∴.∠DGH=∠ABG, tan∠DGH=tan∠ABG=2 ,正方形ABCD的边长为8， ..AB=AD=CD=BC=8. =4 在R△ABG中，AG=AB·tan∠ABG=8X2 ∴.DG=AD-AG=4.在Rt△DGH中，DH=DG· 下册详解详析 15y 1 tan∠DGH=4×2=2, .CH=CD-DH=8-2=6. 在Rt△BCH中，BH=√JCH+BC=√62+8=10. 3.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB. ∠CAB=∠DAC,.∠DAC=∠DCA,∴.DA DC. .四边形ABCD是菱形，∴，AC⊥BD. (2).四边形ABCD是菱形， ..AE=AD=AB=6. .AC⊥BD,∴.∠AOB=90°. OA 2 在Rt△AOB中，：cos∠OAB= AB=3,AB=6, .OA=4. ,AE=6,.OE=AE-OA=6-4=2. 4.解：(1)证明：：D是BC的中点，∴.∠CAD=∠BAD, 即∠CAB=2∠BAD. :∠BOD=2∠BAD, .∠CAB=∠BOD,∴.DO∥AC. (2)证明：：CD=BD, ∠CAD=∠DCB. 又∠CDE=∠ADC,.△DCE∽△DAC, ÷品nEn4=D (3)如图，连接BD,则BD=CD, ∠DBC=∠CAD 由△DCE)△DAC,得∠DCE =∠CAD. :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，∠ACB=90. :am∠CAD=2ian∠DBE=PDE=DE-1 1 BD CD 2 设DE=a,则CD=2a. AE 由DE·DA=CD,得AD=4a,AE=3a心DE =3. .DO∥AC,.△AEC∽△DEF, ∴.△AEC和△DEF的相似比为3. 设EF=k,则CE=3k,CF=4k. 又，AC∥DO,O为AB的中点， ∴.F为BC的中点，则BC=8k. 在Rt△ACE中，tan∠CAE=AC=2,CE=3k .'.AC=6k. 在Rt△ABC中，AC=6k,BC=8k,∴.AB=10k, a∠CDA=n∠CBA-AG-号 5.A【解析】如图所示，过点O作OG⊥AB于点G,过点 C作CD⊥y轴于点D. 416 九年级数学RJ版 在y=-2x十4中，令x=0,则y= 4,.B(0,4). 令y=0,则x=2,A(2,0). 当x=4时，y=一4， .n=-4,C(4,-4). :tan∠OBA=OB-BG=2' OA OG 1 ∴.设OG=x,则BG=2x, 则有x+(2x)2-4,解得x=45 5 06=1g5Bc-86 5 ,CD=4,DB=8,.BC=√4+82=45， 0G1 CG12.an∠OcB} CG3 6-号 7.解：(1)：点B(n,6)在直线y=-2x+4上，∴.-2n十 4=6,解得n=一1， ∴点B的坐标是（一1,6）. “点B(-1,6)在反比例函数y=冬的图象上k= 一6心反比例函数的解析式为y=一6 :点A(一3，m)在反比例函数y=一。的图象上m =2. (2)在函数y=一2x十4中，当y=2时，x=1, ∴点C的坐标是(1,2)，∴.OC=√2+2=√5， sin∠0cA=2=25 55 8.解：(1)，二次函数y=a.x2十2a.x-3的图象与y轴交 于点C,.点C的坐标为(0，一3)，则OC=3. sn∠OBC号.ZOBC=45,易得OB=OC3 .点B的坐标为（一3,0） ,二次函数y=a.x2+2a.x一3的图象与x轴交于点 A,B. .将B(-3,0)代入y=a.x2+2a.x-3,得a=1, 二次函数的解析式为y=x2十2x一3. y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴点D的坐标为(-1，一4). 将D(-1,-4)代入y=k.x-3,得k=1, .直线DC的解析式为y=x-3. (2)如图，过点D作DE⊥y轴于 点E. B(-3,0),C(0,-3),D(-1, -4),∴.OB=3,DE=1,OE=4,CE =1. .SaD=S形0E-S△e-S△cDE=2X(1+3)X4 1 2×3×3-2×1×1=3. 章末对点导练 1.C2.B 3.A【解析】：在矩形ABCD中，E, F是BC边上的三等分点，AB=4, BC=6, ..AD=BC=6,CD=AB=4.AD //BC,BE=EF=FC=2,EC=4, ∴.△AGD∽△FGE, .EG_EF_2 1 DG DA 63 路 如图，过点G作GH⊥BC,则GH∥CD, .△GHE∽△DCE, 腿0脱 ∴EH=EC=×4=1.GH=}CD=是X4=1. 1 .CH=CE-EH=4-1=3, GH1 :tan∠GCF=CH=3 4(号0）【解标】设Ca,0)∴0c=a A(1,0),B(0,-3), ..OA=1,AC=a-1,0B=3,..BC=Va+9. 在R△0AB中，m∠0BA-88-号 :tan∠ABC=3,∠OBA=∠ABC. 如图，过点C作CD∥y轴交BA的延长 线于点D, .∠OBA=∠D,∠AOB=∠ACD, .△OBAp△CDA,∠ABC=∠D, .CD-BC. 腮器 3 1 Wa+9a-1' 解得a,=0(舍去)a,=是C(是0) 9 5.解：(1)由题意，得BD=CD, .CAABD=AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB +AC. :AB=CE,∴.C△Am=AC+CE=AE=1. (2)设AD=.AD=号BDBD=3. ,BD=CD,∴.AC=AD十CD=4x. 在Rt△ABD中， AB=√BD-AD=√(3.x)2-x=2√2x, AC 4x ..tan∠ABC AB2√2x =2. 6.C7.30 8.解：1)原式=3-1+2× 2+4 =2√3+3. (2原式=2x(号)-1+× =2×21+1 =1. 9.A 10.D【解析】如图，过点A作AD⊥BC,垂 足为D,则∠ADB=∠ADC=90. cos B=BD4 AB=5,AB=5, .BD=4, ∴.AD=√AB-BD=3. mc-28-. .CD=√5， .AC=√AD+CD=√32+(W3)=23. 变式题14【解析】如图，过点A作AH ⊥BC于点H.在Rt△ABH中，cosB= 5,AB=5, 3 BH=AB·cosB=5X5=3, ∴.AH=√AB2-BH=4. 在R△ACH中，：sinC=2 2 .∠C=45°， ∴.CH=AH=4, .BC=BH+CH=3+4=7, Sa=7BCAH=7x7X4=14 11.25 12号 【解析】，BC=6,sinA= AB=10, ∴.AC=√102-6=8. D是AB的中点， ∴AD=2AB=5. :∠A=∠A,∠ADE=∠ACB, .△ADE∽△ACB, ÷器-把些-号解得E- 41 下册详解详析 17