第32章 解题方法专练 构造基本图形解直角三角形-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

解题方法专题 构造基本图形解直角三角形 题型① 构造单一直角三角形模型解决实际 题型② 构造“个”式模型解决实际问题 问题 2.(2026芜湖期中)小明和小军两位同学对某 1.(2026上海)如下图，小明正在确认某一建筑 河流的宽度进行测量.如下图所示，两人分 物与栏杆是否安全，栏杆AB与建筑物的底 别站在同侧河岸上的点A,B处，选取河对 端处在同一水平面上，规定建筑物高度h与 岸的一块石头C作为测量点（点A,B,C在 栏杆到建筑物的距离d满足身<日即为 同一水平面内).小明同学在点A处测得 ∠BAC为42°，小军同学在点B处测得 安全 ∠ABC为61°，两人之间的距离AB为 60m.求此河流的宽度（参考数据：sin42°≈ 0.67,tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61° 观测场 ≈1.80) (1)当d=100m时，h至少需要小于多 解：如图，过点C作CD⊥AB于 少米？ 点D 设AD=x,则由题意得BD=60 (2)若在观测场测得AB的长是a,BC的长 河岸 为b,在B处观测C的仰角为，求 (用含 在R1△ADC中，∠BAC=42°， d tanA=CD ' a,b,0的代数式表示). ,.CD=tanA·AD≈0.9x. 解：)山题意可知，当d=100m时，00<g,解得h 在Rt△CDB中，∠ABC=61°， <12.5. 0.9x anB=,1.80, .h至少需要小于12.5m. 解得x=40. (2)如图所示，过点B作建筑物的垂线，垂足为D,则 经检验，x=40是分式方程的解，且符合题意， BD=d,CD=h一a, ∴.CD≈0.9X40=36. 故此河流的宽度约为36m。 观测场 CD h-a BD d 在Rt△BCD中，sin8= BC b cos 0= .'.h=a+bsin 0,d=bcos 0, 、ha+bsin0 bcos 0 下册第三十二章 41△ 题型③ 构造“”式模型解决实际问题 题型⑤ 构造多个直角三角形模型解决实际 3.(2026内江)某地生态文旅景区内矗立着一 问题 座孔子雕像（如图甲）.某数学实践小组开展 5.(2026天津)综合与实践活动中，要用测角仪测 实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度 量引滦入津工程纪念碑AB的高度（如图①）. 如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 像顶端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像 A,B,C,D,E在同一平面内，AB⊥BC,BC∥ 行走12m到达观测点D处，测得雕像顶端 DE,AB的延长线与水平线DE相交于点O A的仰角为60°，雕像底端B与观测点D,C 从地面C处沿步道CD(看作斜坡)前行，至平 在同一条水平直线上，且AB⊥BC.求孔子 台DE,CD=22m;在平台D处测得纪念碑 雕像的高度AB(结果保留根号). 顶部A的仰角（∠ODA)为42°，斜坡CD的倾 解：设AB=x 斜角（∠ODC)为12°；在平台E处测得纪念碑 AB⊥BC,.∠B=90°. 顶部A的仰角（∠OEA)为35°，DE=9m.根 在R△ABD中，∠ABD =90°，∠ADB=60°，∴BD 60°45° 据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程 D C AB 纪念碑AB的高度（结果取整数，参考数据： =an∠ADB-am60 tan35°≈0.7，tan42°≈0.9，sin12°≈0.2). 3.在R1△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45, AB tan ZACB=tan5=x CD BC-BD= ..BC= 12- 3x=12,解得x=18十63，AB=18+ D 图① 图② 63,即孔子雕像的高度AB为(18+63)m, 解：根据题意，得∠AOE=90°.在Rt△AOD中，tan 题型④构造“”式模型解决实际问题 D0∠0DA=42,∴D0= A AO ∠ODA= n42.在R 4.如下图，为测量某大楼CD顶部广告牌DE的 AO △AOE中，tan∠OEA= 0·∠0EA=35°，∴E0= 高度，在距离大楼30m的A处用测角仪器测 AO AO AO 得∠DAC=30°.从A处向大楼方向走10m到 an35…E0-D0=DE=9,小an35-an42=9, 达B处，测得∠EBC=48°，测角仪器的高度忽 A0= 9Xtam35°Xtan42°、9X0.7×0.9=28.35. tan42°-tan35°- 0.9-0.7 略不计.求广告牌DE的高度（结果保留小数点 如图，过点C作CH⊥DE,垂足为H. 后一位，参考数据：√3≈1.732，sin48°≈0.743， ,在Rt△CDH中，sin∠CDH= CH cos48≈0.669，tan48°≈1.111). CD∠CDH=12°，CD=22,CH 解：在Rt△ADC中，∠DAC= =CD·sin∠CDH=22Xsin12°≈i- 30°，AC=30m,.DC=AC· 22×0.2=4.4. 3 :∠CB0=∠BOH=∠OHC=90, tan30=30×号=105(m). 30°人489 ,.四边形BCHO是矩形 .'AB=10 m,.BC=AC-AB A B .B0=CH≈4.4， =20m.在Rt△BCE中，∠EBC=48°，∴.EC=BC· .AB=A0-B0≈28.35-4.4≈24， 1an48°≈20×1.111=22.22(m),,∴.DE=EC一DC≈ 即引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m. 22.22-10/3≈4.9(m). 故广告牌DE的高度约为4.9m. 42 九年级数学RJ版,∴.CQ=AQ·tan45°=40 n mile, .BC=BQ+CQ=(403+40)n mile, ·该轮船航行的速度为405+40=(205十 2 20)n mile/h. 解题方法专题构造基本图形解直角三角形 h.1 1.解：1)由题意可知，当d=100m时，1O0<8,解得h <12.5, ∴.h至少需要小于12.5m. (2)如图所示，过点B作建筑物的垂线，垂足为D,则 BD=d,CD=h-a. B 观测场 在Rt△BCD中，sin0=BC CD h-a BD d 0=BC= ..h=a+bsin 0,d=bcos 0, 培8 2.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 设AD=x,则由题意得BD=60 一x. 在Rt△ADC中，∠BAC=42°， CD tan A-AD' 42 6 河岸D ∴.CD=tanA·AD≈0.9x. CD 在Rt△CDB中，∠ABC=61,tanB=BD.1.8 0.9x 60-x' 解得x=40.经检验，x=40是分式方程的解，且符合 题意， .CD≈0.9×40=36. 故此河流的宽度约为36m. 3.解：设AB=x AB⊥BC,.∠B=90 .在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=60°， AB BD=ian∠ADB-an60=3, ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， ..BC AB tan∠ACB tan45=x. .CD=BC-BD=12. ..-3 x=12,解得x=18+65, ,.AB=18+6√3， 即孔子雕像的高度AB为(18+6√5)m. 4.解：在Rt△ADC中，∠DAC=30°，AC=30m, DC=AC·tan30°=30X5 =10√3(m). 3 .AB=10 m, ,∴.BC=AC-AB=20m. 在Rt△BCE中，∠EBC=48°， .EC=BC·tan48°≈20×1.111=22.22(m), ∴.DE=EC-DC≈22.22-103≈4.9(m). 故广告牌DE的高度约为4.9m. 5.解：根据题意，得∠AOE=90°. AO :在Rt△AOD中，tam∠ODA=DO∠ODA=42, AO .'.DO= tan 42. :在Rt△AOE中，tan∠OEA= AO EO'∠OEA=35°， AO ∴.EO= tan 35 .EO-DO=DE=9, AO AO tan35° tan 42=9, A0 9Xtan35°Xtan42°9X0.7X0.9=28.35. tan42°-tan35° 0.9-0.7 如图，过点C作CH⊥DE,垂足为H. ,在Rt△CDH中，sin∠CDH= CH CD,∠CDH=12°，CD=22, Bh ,∴.CH=CD·sin∠CDH=22X ..D E sin12°≈22×0.2=4.4. :∠CBO=∠BOH=∠OHC=90°， ,.四边形BCHO是矩形， .∴.BO=CH≈4.4， ∴.AB=AO-BO≈28.35-4.4≈24， 即引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m. 难点探究专练三角函数与几何、 函数的综合（跨单元） 1.A 2.10【解析】，四边形ABCD、四边形BEFG均为正 方形， ∴.∠A=∠BGF=∠D=90°， .∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°， ∴.∠DGH=∠ABG, tan∠DGH=tan∠ABG=2 ,正方形ABCD的边长为8， ..AB=AD=CD=BC=8. =4 在R△ABG中，AG=AB·tan∠ABG=8X2 ∴.DG=AD-AG=4.在Rt△DGH中，DH=DG· 下册详解详析 15y