32.2.2 第2课时 利用仰(俯)角、方向角解直角三角形-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

第2课时 利用仰（俯） 巴知识要点扫描 1.仰角与俯角 进行高度测量时，在 视线 视线与水平线所成的角 铅 人仰角 水平线 中，当视线在水平线上方 线 又俯角 时叫作仰角，当视线在水 视线 平线下方时叫作俯角，如右图所示 2.方向角 指北或指南方向线与 目标方向线所成的小于90° C7060 的角叫作方向角 o 45 如右图所示的目标方 30 B 向线OA,OB,OC分别表 示北偏东60°、南偏东30°、北偏西70°.特别地， 若目标方向线与指北或指南的方向线成45°角 时，如OD,通常称为西南方向， 已经典例题剖析 【例1】如右图，无人机在空 中A处测得某校旗杆顶部B的 A309 60° 仰角为30°，底部C的俯角为 60°，无人机与旗杆的水平距离 AD为6m,则该校的旗杆高约 m(结果保留根号). 【点拨】在Rt△ABD,,'AD=6m, ∠BAD=30°， tan30°= BD_BD3 AD63,解得BD→ 23m. 在Rt△ACD,.AD=6m,∠CAD=60°， tan60°= =AD=6=3,解得DC 63m. 故该校的旗杆高约为BC=BD十DC 2√3+6√3=8√3(m). 角、方向角解直角三角形 【解】8√5 【例2】如右图，一艘 45 货轮以18√2 n mile/,h 的速度在海面上沿正东 方向航行.当行驶至A 处时，发现东南方向上有一灯塔B,货轮继续 向东航行30min后到达C处，发现灯塔B在 它的南偏东15°方向上，则此时货轮与灯塔B 之间的距离为 n mile. 【点拨】过点C作CE⊥AB,垂足为E,如图. C:N 北 45° 东 :AC=182×30 =9√2(n mile),∠CAB 60 =45°，∴.CE=AC·sin45°=9 n mile. 灯塔B在C处的南偏东15°方向上， ∴.∠B=180°-45°-90°-15°=30°. 在Rt△BCE中，BC=2CE=18 n mile.. 【解18 色基础对点训练 知识点①仰角、俯角问题 1.（2026绥化)如图，有一小型科 学探测器在空中A处探测到 地平面目标B,此时从探测器B 上看目标B的俯角α=30°，探 第1题图 测器飞行的高度AC=60√3m,则探测器到 目标B的距离AB约为（其中√3≈1.732，计 算结果精确到0.1) (A) A.207.8m B.207.9m C.208.8m D.208.9m 2.(2026江西样卷二)南昌八一大桥是双独塔 双索面扇形密索体系钢筋混凝土预应力斜 下册第三十二章 39 拉桥（如图①），是连接红谷滩区和东湖区的 过江通道，原称“中正桥”，始建于1936年. 某数学兴趣小组开展“测量主塔顶端距离水 面高度”的实践活动，其测量示意图如图② 所示.小组使用1m的标杆DF,EG在桥上 测得主塔AB顶端A的仰角分别为30°和 45°，两根标杆之间的水平距离DE=62m, 点D,F,E,G,A,B均在同一平面上，连接 FG并延长，交AB于点H.(结果取整数，参 考数据：√3≈1.732，sin6°≈0.105，c0s6°≈ 0.995,tan6°≈0.105) (1)求主塔在桥上的高度AC. (2)已知在标杆EG处测得主塔在水面B处 的俯角为6°，请求出主塔顶端距离水面的高 度AB. 048…H桥上 EB水面 图① 图② 解：(1)：用标杆DF,EG在桥上测得主塔AB顶端A 的仰角分别为30°和45°， ∠AFH=30°，∠AGH=45°，FH⊥AC,DF=GE= CH=1, ..AH=GH 在△AFH中，m30=沿 .FH=√3AH ∴.62+AH=3AH,解得AH≈85， ,∴.AC=AH+CH≈86. 枚主塔在桥上的高度AC约为86m (2)在R△GHB中，：am6°=B GH' ∴.BH≈0.105·GH=8.925, .AB=AH+BH≈85+8.92594 故主塔顶端距离水面的高度AB约为94m, 40 九年级数学RJ版 知识点②方向角 3.如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在 河岸边相距200m的P,Q两点分别测定对 岸一棵树T的位置.已知这棵树在点P的 正北方向，在点Q的北偏西50°方向，则河宽 (PT的长)可以表示为 (A) 200 A tan50°m B.200tan50°m C.200sin50°m P 200 m0 第3题图 200 D sin50°m 4.(教材变式)如下图，一艘轮船在小岛A的北 偏东60°方向上，距离小岛80 n mile的B处， 沿正西方向航行2h后，到达小岛的西北方向 上的C处.求该轮船航行的速度， 45： 60° 解：过点A作AQ⊥BC于G 0 点Q,如图所示. 45 由题意，得 AB =80 n mile. 在R1△AB0中，∠BAO=60°， ,∴.A0=AB·cos60°=40 n mile,BQ=AB·sin60°= 40.3 n mile. 在R1△A0C中，∠CA0=45°， ..C0=A0·tan45°=40 n mile, .'BC=BO+CO=(403+40)n mile, ∴该轮船航行的速度为0,5+0=(203十 2 20)n mile/h..∠ACD=75. ,AD是∠BAC的平分线， .∠DAB=30°， ∴.∠ADC=∠DAB+∠B=75°， ∴.∠ADC=∠ACD, .AD=AC=12. 9.2.7【解析】如图，过点B作BD⊥OA于点D,过点C 作CE⊥OA于点E,则四边形BCED是矩形， ∴.CE=BD 在△BOD中，∠BDO=90° B/C ∠DOB=45°， .∴.∠DBO=45°，∴.CE=BD =OD=2 cm. D 在△OCE中，∠COE=37°，∠CEO=90°， CE tan37-OE≈0.750E≈2.7cm, 即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是2.7cm. 10.解：(1)设DE=3.x. :sin∠BCD=5, 3 ..CD=5x.CE=CD2-DET=4x. CD=5, x=1, .CE=4 ∠B=45°， :BE=DE=3x, ∴.BC=BE+CE=7x=7. (2)如图，过点A作AF⊥BC于 点F, .DE∥AF ,D是AB的中点， .DE是△ABF的中位线， ..AF=2DE.BF=2BE. 由(1)可知，DE=BE=3, .AF=6,BF=6, ..CF=BC-BF=1, 六tan∠ACB=A CF=6. 32.2.2应用举例 第1课时解直角三角形的简单应用 1.A 2.C【解析】如图，在Rt△ABC中， 80m ∠BAC=32°，AC=80m,.AB AC 80 C0s32° cos32m,这两根标杆 80 在坡面上的距离为 132c cos 326 m. 4 九年级数学RJ版 3.7.44.80 5.2msin0【解析】如图，连接AB,过点O作 OC⊥AB,垂足为C OA=OB=m,OC⊥AB, ∠A0C=2∠A0B=0.AB=2AC 在Rt△OAC中，AC=OA·sin∠AOC= AL. msin0,∴.AB=2AC=2msin0,∴.A,B之间的距离为 2msin 0. 6.解：(1)在Rt△ABC中，，∠C=90°，AB=54.5m,BC =5.2m, 5.2 .sinA=54.5 ≈0.095， ..∠A≈5.45° 故∠A的度数约为5.45°. (2)sin A-AB' BC .BC=AB·sinA, ∴.BC=54.5·sin5.01°≈4.742(m), .5.2-4.742≈0.46(m). 故此时塔顶中心点B到塔基中心垂直线AC的距离与 1972年的相比，约减少了0.46m. 第2课时利用仰（俯）角、方向角解直角三角形 1.A 2.解：(1)，用标杆DF,EG在桥上测得主塔AB顶端A 的仰角分别为30°和45°， ∴.∠AFH=30°，∠AGH=45°，FH⊥AC,DF=GE= CH=1, ∴.AH=GH 在Rt△AFH中，tan30°=AH FH ..FH=3AH, ∴.62+AH=√3AH,解得AH≈85， .AC=AH+CH≈86. 故主塔在桥上的高度AC约为86m. (2)在R△GHB中，tan6°=BH GH' .BH≈0.105·GH=8.925, .AB=AH+BH≈85+8.925≈94. 故主塔顶端距离水面的高度AB约为94m. 3.A 4.解：过点A作AQ⊥BC于G 点Q,如图所示. 45 由题意，得AB=80 n mile.. 60 在Rt△ABQ中，∠BAQ =60°， ∴.AQ=AB·cos60°=40 n mile,.BQ=AB·sin60°= 40√3 n mile. 在Rt△AQC中，∠CAQ=45°， ,∴.CQ=AQ·tan45°=40 n mile, .BC=BQ+CQ=(403+40)n mile, ·该轮船航行的速度为405+40=(205十 2 20)n mile/h. 解题方法专题构造基本图形解直角三角形 h.1 1.解：1)由题意可知，当d=100m时，1O0<8,解得h <12.5, ∴.h至少需要小于12.5m. (2)如图所示，过点B作建筑物的垂线，垂足为D,则 BD=d,CD=h-a. B 观测场 在Rt△BCD中，sin0=BC CD h-a BD d 0=BC= ..h=a+bsin 0,d=bcos 0, 培8 2.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 设AD=x,则由题意得BD=60 一x. 在Rt△ADC中，∠BAC=42°， CD tan A-AD' 42 6 河岸D ∴.CD=tanA·AD≈0.9x. CD 在Rt△CDB中，∠ABC=61,tanB=BD.1.8 0.9x 60-x' 解得x=40.经检验，x=40是分式方程的解，且符合 题意， .CD≈0.9×40=36. 故此河流的宽度约为36m. 3.解：设AB=x AB⊥BC,.∠B=90 .在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=60°， AB BD=ian∠ADB-an60=3, ,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°， ..BC AB tan∠ACB tan45=x. .CD=BC-BD=12. ..-3 x=12,解得x=18+65, ,.AB=18+6√3， 即孔子雕像的高度AB为(18+6√5)m. 4.解：在Rt△ADC中，∠DAC=30°，AC=30m, DC=AC·tan30°=30X5 =10√3(m). 3 .AB=10 m, ,∴.BC=AC-AB=20m. 在Rt△BCE中，∠EBC=48°， .EC=BC·tan48°≈20×1.111=22.22(m), ∴.DE=EC-DC≈22.22-103≈4.9(m). 故广告牌DE的高度约为4.9m. 5.解：根据题意，得∠AOE=90°. AO :在Rt△AOD中，tam∠ODA=DO∠ODA=42, AO .'.DO= tan 42. :在Rt△AOE中，tan∠OEA= AO EO'∠OEA=35°， AO ∴.EO= tan 35 .EO-DO=DE=9, AO AO tan35° tan 42=9, A0 9Xtan35°Xtan42°9X0.7X0.9=28.35. tan42°-tan35° 0.9-0.7 如图，过点C作CH⊥DE,垂足为H. ,在Rt△CDH中，sin∠CDH= CH CD,∠CDH=12°，CD=22, Bh ,∴.CH=CD·sin∠CDH=22X ..D E sin12°≈22×0.2=4.4. :∠CBO=∠BOH=∠OHC=90°， ,.四边形BCHO是矩形， .∴.BO=CH≈4.4， ∴.AB=AO-BO≈28.35-4.4≈24， 即引滦入津工程纪念碑AB的高度约为24m. 难点探究专练三角函数与几何、 函数的综合（跨单元） 1.A 2.10【解析】，四边形ABCD、四边形BEFG均为正 方形， ∴.∠A=∠BGF=∠D=90°， .∠AGB+∠DGH=90°，∠AGB+∠ABG=90°， ∴.∠DGH=∠ABG, tan∠DGH=tan∠ABG=2 ,正方形ABCD的边长为8， ..AB=AD=CD=BC=8. =4 在R△ABG中，AG=AB·tan∠ABG=8X2 ∴.DG=AD-AG=4.在Rt△DGH中，DH=DG· 下册详解详析 15y