32.2.2 应用举例 第2课时（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

X 第2课时利用仰角、俯角，方位角，坡度、坡角解直角三角形 教材母题变式· 教材母题1与仰角、俯角有关的应用问题 例1（教材P55例6改编）如图，无人机爱好者小明在家附近放无人机，当无人机飞行到小明头顶 一定高度D点时，无人机测得楼房BC顶端点C处的俯角为30°，已知小明所在A处和楼房BC之 间的距离为36米，楼房BC的高度为123米.求此时无人机离地面的高度（结果保留根号）： 飞行方向 D30° 方法总结仰角、俯角的概念：如图，在视线与水平线所成的锐角中， ,视线 视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角是仰角； 仰角 水平线 俯角 视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角是俯角. 线 ·视线 教材母题2与方位角有关的应用问题 例2（教材P59T11改编)如图，海中有一小岛P,在距小岛16√2海里范围内有暗礁，一艘轮船自西 向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向，且A,P之间的距离为32海里.若轮船继 续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明.如果有危险，轮船自A处开始至少 向东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域？ 北 D 609 A M 113 方法总结方位角的概念：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转 到目标的方向所成的角（一般指锐角），通常表述为北（南）偏东（西）几度.如图，点A位于点O的 北偏东30°方向，点B位于点0的南偏东60°方向，点C位于点0的北偏西45°方向，也称为西北 方向. 30 459 A B 东 60° 教材母题3与坡度、坡角有关的应用问题 例3（教材P58T10改编）如图，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比(DE与AE的长度之比)为4： 3,背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE=20m,坝顶宽CD=10m,则大坝横截面的周长 为 m. 铅直 坡面 方法总结坡度、坡角的概念：如图，坡面与水平面的夹角叫作坡角，用字母 高度 必 表示；坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫作坡度（坡比），用字母i表示， 水平宽度 即7 h 课堂10分钟 1.如图，已知外婆家在小明家的正东方向，学校在外婆家的北偏西40°方向，外婆家到学校与小明家 到学校的距离相等，则学校在小明家的 () A.南偏东50°方向 B.南偏东40°方向 C.北偏东50°方向 D.北偏东40°方向 学校 光 4 小明家 外婆家 水平线00 第1题图 第2题图 2.如图，∠BCA=∠DEB=90°，FBDE∥AC. 从A看B的仰角是 :从B看A的俯角是 从B看D的俯角是 ;从D看B的仰角是 3.已知消防员在攀爬训练塔中使用的冲锋梯所在斜坡坡度为1：√3，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程 为10米，那么消防员攀爬时垂直上升的高度为米. 114教材母题变式 0.7265. 例1解：(1)CD⊥AB,.∠ADC=∠ACB=90°， 例6解：(1)∠A=3851'57”.(2)∠A=5118'11” .∠ACD=90°-∠A=∠B, (3)∠A=4123'58” AC CD AD 课堂10分钟 .sinB=sin∠ACD= AB BC AC 1.√22.30°3. 5 4.750 (2)在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=√AC-CD=4, AD 4 .sinB=sin∠ACD= AC 5 5解：原式=3x52x 2 -2× 2 +(3-1)= 2 例2√5例3④⑦ 6.解：.sin60°= 课堂10分钟 2心a+150=60°a=450, 1B234188 3 原式=2×2-1=2-1 第2课时锐角的余弦、正切 32.2解直角三角形及其应用 教材知识梳理 ①邻边②斜边③邻边④斜边⑤6⑥对边 32.2.1解直角三角形 ⑦邻边⑧对边⑨邻边⑩a 教材知识梳理 教材母题变式 ①三②两③a2+b2=c2④LA+LB=90⑤6 ⑥ 例12 例2222 4 ⑦6 ⑧边 例3解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, 教材母题变式 4行0子解得A80 例1解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得c=√a+b=4. 根据勾股定理，得BC=√AB-AC=√⑨2-6=35. ·sin4=a=25-V3 42∠A=60, BC√5 4B3.InA=BC /5 ②)sin3os8C月 .∠B=90°-60°=30° AC2 例2解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5, 课堂10分钟 1.C2.C3.D .∠B=60°，c=2a=10,.b=√c2-a=√102-5=55 4.证明：AD是BC边上的高，.∠ADB=∠ADC=90°. 例3解：：cosA= 2∠A=600 在R△ABD中，anB=40 BD ∠C=90°，.∠B=90°-∠A=30°， AD 在Rt△ACD中，cos∠DAC= .'AC=- AC AB=1BC=VAB-AC=3. 1 ADAD 课堂10分钟 tanB=cos DAC,BCBD=AC. 1.B 第3课时特殊角的三角函数值 2.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴.∠B=30° 教材知识梳理 c=85,.b=c·sin30°=45， .a=√c-6=√(83)2-(43)2=12. 2 ⑦1⑧5 教材母题变式 3解：在R△ACD中，：inC=4D3 AC5,4C=10, 例1(1)原式=1. 六AD=3AC=6,CD=√AC-AD=8 (2)原式=8 1 5 在Rt△ABD中，∠B=30°， 例2C例330°60° .AB=2AD=12,..BD=AB-AD=63, 例4解：由题意，得sinC-y50 20 2-sinB=0. .BC=BD+CD=63+8. 32.2.2应用举例 2sing-3 解得sinC= 2 第1课时解直角三角形的简单应用 ∠B,∠C都是锐角，∴.∠B=∠C=60° 教材母题变式 .·∠A+∠B+∠C=180°，..∠A=180°-∠B-∠C=60° 例1解：由题意，得CD=3.5m,∠A=∠B=30°， .'AC=BC=2CD=7 m 例5解：sin15o≈0.2588：cos20°≈0.9397：tan36°≈ 参考答案 tanA=tan30=CD 教材母题变式 例1D变式B例2D变式中心投影 CD ..AD= 3.575 (m),.AB=2AD=73m, 例3S,=S<S, tan30° 5 2 课堂10分钟 3 1.C2.D3.D4.B .AC+BC+CD+AB=7+7+3.5+7V5=(17.5+7W3)m. 5解：如解图所示，路灯位于点P处，此时小明在路灯下的影 答：需要(17.5+7√5)m的钢材. 子为AB. 例266 课堂10分钟 1B2.S0 小明 3 3.10.64.A,B两点之间的距离约为100米。 第2课时利用仰角、俯角，方位角，坡度、坡角解直角三角形 教材母题变式 33.2 三视图 例1解：如解图，过点C作CE⊥AD于点E, 33.2.1画物体的三视图 则∠ABC=∠BAE=∠AEC=∠DEC=90°， 教材知识梳理 .四边形ABCE是矩形， ①正面②水平面③侧面④主视图⑤俯视图 .AE=BC=12√3米， 飞行方向 ⑥左视图⑦长对正⑧高平齐⑨宽相等 CE=AB=36米. 30° 教材母题变式 由题意，得∠DCE=30°， 例1 DE=CE·ani0r=36xY =123(米)， B .AD=AE+DE=243(米)， 答：此时无人机离地面的高度为243米， 例2解：如解图，过点P作PB1 义 P O 局马 AM于点B. 例2C 变式A 在Rt△APB中，由题意，得 609 东 例3 解：三视图如解图所示 ∠PAB=90°-60°=30°， PB=】AP=16海里， 2 主视图 左视图 .·16<16√2，.轮船有触礁危险 为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离 主视图 左视图 不小于暗礁的半径162海里. 设安全航线为AC,过点P作PD⊥AC于点D. 俯视图 俯视图 由题意，得AP=32海里，PD=162海里， 例4B ∴.sin∠PAC= PD162√2 32=2∠PAC=450, 课堂10分钟 AP 1.A2.C3.略 ∴.∠BAC=∠PAC-∠PAB=45°-30°=15°. 33.2.2由三视图想象物体形状 答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险.轮船自 A处开始至少向东偏南15°方向航行，才能安全通过这一 第1课时 由三视图想象物体形状 海域 教材母题变式 例3(100+205) 例1正六棱柱变式B 课堂10分钟 例2解：这个物体是一个横放的空心圆柱，现实生活中像这 1.D2.∠BAC∠FBA∠FBD∠BDE3.5 种几何体的物体有：烟囱、水管等。 第三十三章投影与视图 例3A 课堂10分钟 33.1投影 1.B2.B3.D4.C5.6 教材知识梳理 第2课时由三视图确定立体图形的表面积或体积 ①物体的投影 ②投影线 ③投影面④平行投影 教材母题变式 ⑤中心投影⑥正投影 例1cab 参考答案