32.2.1 解直角三角形-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

:.BD=AB cos B-12X (cm), 2 ∴.BC=2BD=2×6√3≈20.8(cm). ,20.8>20,.能画出一个半径为20cm的圆. 7.D8.10.029.C10.C11.C 12.号【解析】∠C=90,simB=乞 1 1 ∠B=30°， ∠A=60°， A 1 六.sin2=sin3o°=2 13.解：在R△BDC中，sin∠BDC=BD' BC .BC=BD·sin∠BDC=10V2X2=10. BC101 在Rt△ABC中，sinA=AB-20-2' ∴.∠A=30° BC 3 14,解：不正确.理由：sinA=AB2 ∠A=60°， A :sin 2 15 =sin30=2≠4 32.2解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 1.C 2.C【解析】如图，过点A作AD⊥ BC于点D. :∠ABD=45°，AB=2V2, ∴.AD=BD=AB·cos45°=2. ∠ACB=60°，∴.CD= AD223 tan 603 3 ·BC=BD+CD=2+2,3 3 3.43 4.5【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,sinB =号S=号AB=10“D为AB的中点， CD-2AB-5. 变式题12【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为AB的中点，CD=10,∴.AB=2CD=20.:cosB= 6-专%-音BC=16AC=VAg-C =√/202-162=12. 5.解：AB=13,AC=12,∠ACB=90°， ∴.BC=√AB-AC=√132-12=5， BC 5 sin∠BAC=AB=13 如图，过点B作BD⊥MC于点D. 设点B到直线MC的距离为d,则 BD=d. ,∠BCM=∠BAC, M .sin∠BCM=sin∠BAC=i3' 5 .sin∠BCM=BC-i3 d 5 即45 号-品d-得 故点B到直线MC的距离为得 6.解：(1)，∠A=60°，∠ABE=90°，.∠E=30°. 在Rt△ABE中，：AB=6,tanA=E, ∴.BE=AB·tanA=6Xtan60°=63. :∠CDE=90°，CD=4,sinE= CD CE' ..CE= CD=4=8BC=BE-CE=65-8. sin ET 2 (2∠ABE=90,AB=6nA-能-言 BE 4 .设BE=4x,则AE=5.x, ∴.AB=√AE2-BE=3.x, ∴.3x=6,解得x=2,∴.BE=8,AE=10, mE-说-g-8e-正e- 3 .AD=AE-DE=10-3=3 1614 7.A【解析】如图，过点C作CD⊥AB 于点D. CD 在R△BCD中.sinB=CBCD D =CB·sinB, Sam=7AB·CD=AB·CB·snB=2X3X 1 2Xsin60°= 8.B【解析】如图，过点C,D分别 作AB的垂线，垂足分别为F,E. 在Rt△CFB中，：∠B=45°， ∴.CF=BF=BC·cosB=6√6X √2 2 =6√5. 在Rt△ACF中，，∠FAC=60°，.AC= CF sin∠FAC 63一12. 3 在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°， 下册详解详析 13个 .∠ACD=75. ,AD是∠BAC的平分线， .∠DAB=30°， ∴.∠ADC=∠DAB+∠B=75°， ∴.∠ADC=∠ACD, .AD=AC=12. 9.2.7【解析】如图，过点B作BD⊥OA于点D,过点C 作CE⊥OA于点E,则四边形BCED是矩形， ∴.CE=BD 在△BOD中，∠BDO=90° B/C ∠DOB=45°， .∴.∠DBO=45°，∴.CE=BD =OD=2 cm. D 在△OCE中，∠COE=37°，∠CEO=90°， CE tan37-OE≈0.750E≈2.7cm, 即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是2.7cm. 10.解：(1)设DE=3.x. :sin∠BCD=5, 3 ..CD=5x.CE=CD2-DET=4x. CD=5, x=1, .CE=4 ∠B=45°， :BE=DE=3x, ∴.BC=BE+CE=7x=7. (2)如图，过点A作AF⊥BC于 点F, .DE∥AF ,D是AB的中点， .DE是△ABF的中位线， ..AF=2DE.BF=2BE. 由(1)可知，DE=BE=3, .AF=6,BF=6, ..CF=BC-BF=1, 六tan∠ACB=A CF=6. 32.2.2应用举例 第1课时解直角三角形的简单应用 1.A 2.C【解析】如图，在Rt△ABC中， 80m ∠BAC=32°，AC=80m,.AB AC 80 C0s32° cos32m,这两根标杆 80 在坡面上的距离为 132c cos 326 m. 4 九年级数学RJ版 3.7.44.80 5.2msin0【解析】如图，连接AB,过点O作 OC⊥AB,垂足为C OA=OB=m,OC⊥AB, ∠A0C=2∠A0B=0.AB=2AC 在Rt△OAC中，AC=OA·sin∠AOC= AL. msin0,∴.AB=2AC=2msin0,∴.A,B之间的距离为 2msin 0. 6.解：(1)在Rt△ABC中，，∠C=90°，AB=54.5m,BC =5.2m, 5.2 .sinA=54.5 ≈0.095， ..∠A≈5.45° 故∠A的度数约为5.45°. (2)sin A-AB' BC .BC=AB·sinA, ∴.BC=54.5·sin5.01°≈4.742(m), .5.2-4.742≈0.46(m). 故此时塔顶中心点B到塔基中心垂直线AC的距离与 1972年的相比，约减少了0.46m. 第2课时利用仰（俯）角、方向角解直角三角形 1.A 2.解：(1)，用标杆DF,EG在桥上测得主塔AB顶端A 的仰角分别为30°和45°， ∴.∠AFH=30°，∠AGH=45°，FH⊥AC,DF=GE= CH=1, ∴.AH=GH 在Rt△AFH中，tan30°=AH FH ..FH=3AH, ∴.62+AH=√3AH,解得AH≈85， .AC=AH+CH≈86. 故主塔在桥上的高度AC约为86m. (2)在R△GHB中，tan6°=BH GH' .BH≈0.105·GH=8.925, .AB=AH+BH≈85+8.925≈94. 故主塔顶端距离水面的高度AB约为94m. 3.A 4.解：过点A作AQ⊥BC于G 点Q,如图所示. 45 由题意，得AB=80 n mile.. 60 在Rt△ABQ中，∠BAQ =60°， ∴.AQ=AB·cos60°=40 n mile,.BQ=AB·sin60°= 40√3 n mile. 在Rt△AQC中，∠CAQ=45°，32.2解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 知识要点扫描 已基础对点训练 1.解直角三角形 知识点① 解直角三角形 由直角三角形中除直角外的已知元素，求 1.在△ABC中，若∠C=90°，∠B=20°，AC= 出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形， 5,则AB的长度为 (C) 2.解直角三角形中常用的边角关系 A.5sin20° B.5tan20° 如右图，在Rt△ABC中， B 5 ∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对 C. 'sin 20 D.- 0s20° 的边分别为a,b,c,则有 2.如图，一副直角三角尺拼成如图所示的图 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定 形.若AB=2√2，则BC的长为 (C) 理)： (2)两锐角之间的关系：∠A十∠B=90°； A.2√2 B.3 (3)边角之间的关系：sinA= -cos A= C2+23 3 D.23+2 c tan A= b 已经典例题剖析 【例】如右图，在Rt△ABC D 第2题图 第3题图 中，∠C=90°，AC=8cm,AB N 3.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AC⊥BC,AC= 的垂直平分线MN交AC于 /D 4,∠D=30°，则BC的长为43 点D,连接BD.若cos∠BDC 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 5,则BC的长为 6,simB若D为AB的中点，则CD的 A.3 cm B.4 cm C.5cm D.6 cm 长为5 【点拨】，MN是AB的垂直平分线 .'BD=AD..'AC=8 cm,.'.CD+AD= CD+BD=8 cm. :cos∠BDC=CD-3 第4题图 变式题图 BD=5'∠C=90, 变式题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD 3 六g-CD=5,解得CD=3cm,.BD= D为AB的中点.若CD=10,0sB= 5,则 5cm,∴.BC=√BD-CD2=4cm. AC的长为 12 【答案】B 下册第三十二章 35 5.如右图，∠ACB=90°，AB 知识点② 解锐角三角形或钝角三角形 =13,AC=12,∠BCM= 7.在△ABC中，若AB=3,CB=2,∠B=60°， ∠BAC.求sin∠BAC的 B 则△ABC的面积等于 (A) 值和点B到直线MC的M A. R C.3 D.33 距离 解：AB=13,AC=12,∠ACB= 8.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B= 90°，.BC=AB-AC= 45°，BC=6√6，AD平分∠BAC交BC于点 VB-12=5,sm∠BAC=C AB M D,则线段AD的长为 (B) A.6√6 B.12 C.63 D.6 如图，过点B作BD⊥MC于点D.设点B到直线MC R/C 的距离为d,则BD=d. 4 :∠BCM=∠BAC,∴sin∠BCM=sin∠BAC=i 5 d 5 d5 25 第8题图 第9题图 六sin∠BC1=BC=6即5=id= 13 9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在 25 放点B到直线MC的距离为B 一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重 合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点 6.如右图，已知四边形ABCD B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将 中，∠ABC=90°，∠ADC= 37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与 D 90°，AB=6,CD=4,BC的 尺上沿的交点C在尺上的读数是 延长线与AD的延长线交BC 2.7cm(结果精确到0.1). 于点E. 10.如下图，在△ABC中，∠B=45°，CD是AB (1)若∠A=60°，求BC的长. 边上的中线，过点D作DE⊥BC,垂足为 (2)若sinA=求AD的长 E,CD=5,sin∠BCD= 5 解：(1)∠A=60°，∠ABE=90°，.∠E=30 (1)求BC的长. 在R△ABE中，？AB=6,amA=BE (2)求∠ACB的正切值. AB ∴.BE=AB·tanA=6Xtan60°=6√3. 3.DE3 解：(1)设DE=3x.,sin∠BCD= 5CD = 5 CD ∠CDE=90°，CD=4,sinE= CE' ∴CD=5x,CE=√CD-DE=4x.CD=5,.x .CE-CD-4-8.BC-BE-CE-6/3-8. =1,.CE=4.∠B=45°，.BE=DE=3x,∴.BC sin E1 =BE+CE=7x=7. 2 (2)如图，过点A作AF⊥BC于点F, BE 4 (2)∠ABE=90°，4B=6,sinA= E=5, DE∥AF.D是AB的中点， DE是△ABF的中位线，，AF= 设BE=4x,则AE=5x,.AB=AE-BE=3x, 2DE,BF=2BE.h(1)可知，DE=B4 ∴.3x=6,解得x=2,.BE=8,AE=10, BE=3,..AF =6,BF=6,.CF BC-BF =1, ∴.tanE= 能-g-8品-陇-9 3 tan∠ACB=A CF=6. 1614 ∴AD=AE-DE=10-3=3 36 九年级数学RJ版