32.1 第1课时 正弦-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

△ACE△ABD,.∠AEC=∠ADB. ,∠AEC=∠BEF,∴∠BEF=∠BDA. :∠FBE=∠ABD,∴.△BEF∽△BDA, 小照-货服-球-8 过点F作FH⊥AB于点H,如图所示， BH-EH-7BE-1. ∴.FH=BF2-BH2=22, 1 S△Ar=2AB·FH=8,E. 24.3 第三十二章锐角三角函数 32.1正弦、余弦与正切 第1课时正弦 1.B BC 2.D【解析】在R△ABC中，sinA-AB在R△ACD中， 血A-0 ∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°， 六∠A=∠BCD,∴sinA=Sn∠BCD=BD. BC CD 在R△BCD中，sinB=BC: ,∠A≠45，∠A≠∠B, CD .sinA≠BC 3. 4.1)1,2)2) 5 1 3 【解析1K1)由题意，得y=21+2解得行 x=1, y=2x, y=2, ∴.点B的坐标为(1,2). (2)如图，过点B作BC⊥x轴于 点C,则OC=1,BC=2. 把y=0代人y-+解得： =一3，则点A的坐标为（一3,0）， ..OA=3,..AC=OA+OC=4, ∴.AB=√AC2+BC=√42+2=2√5， sin∠BAC=AB255,即s1 ZBAO=Y5 5.解：(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°. :∠ADC+∠ADE=180°，∴.∠ABC=∠ADE. ,AB=AC,.∠ABC=∠ACB. ,∠ADB=∠ACB,∴.∠ADB=∠ADE. (2)如图，作直径BF,连接FC,则 ∠BCF=90. ,⊙O的半径为2，.BF=4. BC=3,∠BAC=∠BFC, .sin∠BAC=sin∠BFC= BC BE 3 4 6.A 7.12【解析】在Rt△POH中，.OP=5,sin∠POH= -号PH=8OH=VOp-PF=4点 P的坐标为(4,3).把P(4,3)代入y=,解得k=12, &.②T 5 【降折1∠C-0由A-号g-设 BC=2k,则AB=5k.由勾股定理，得AC= AC=2Ik=√2I √AB-BC=V2k,.sinB=AB 5k 5 9.解：如图，∠AOB即为所求. ☑B TT 0 图① 图② 图③ OH 1 10.解：在Rt△AHO中，，sin∠OAH= 0A=20A =2OH. 在R△BH0中.：n∠0BH-8证-日i0B =3OH. 又，OA+OB=AB=4m,即2OH+3OH=4m, .OH=0.8m. 第2课时余弦和正切 1.D2.D3.B 4.解：：∠C=90°，MN⊥AB, ∴.∠C=∠ANM=90°. 又：∠A=∠A,∴.∠AMN=∠B. AN=3,AM=4,.MN=AM-AN=√7， ∴cosB=cos∠AMN-MN-. 》一题多解法 :∠C=90°，MN⊥AB,∴.∠C=∠ANM=90° 又5∠A=∠A,∴△ABC∽△AMN,AG AN 3 AM=4: 设AC=3.x,则AB=4x. 由勾股定理，得BC=√AB-AC=√7x 在Rt△ABC中，cosB= BC_F7z_ AB 4x 4' 下册详解详析 △ 5.D6.D 变式题2√2【解析】如图，连接 BC. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. 由题意，得AB=6,AC=2, ∴BC=√AB-AC=V62-2=4√2. 又5∠D=∠A.anD=tanA-C=42=22, 8.8√3【解析】，A(0,3),∴.OA=3. m∠AB0-0-5∴0B=尽. 由勾股定理，得AB=√OA+OB=2√5，.菱形 ABCD的周长=4AB=8√3. 9.号【解析】如图D,设等腰直角三角形MVQ的直角 边为a,则小正方形的边长为a, ∴.MP=2a. 212 图① 图② 如图②，∠BAC=∠CAF=45°，AB=CD=4a,BE= a,AF=2a, .∠EAF=90°，AE=AB-BE=3a, m∠AF-A证-二台 10解：1片 (2)如图所示，∠CBD即为所求. D A 11.B【解析】，∠C=90°，AC=2BC,∴.由勾股定理，得 AB=√AC+BC=√5BC. sin A= BC_5 AB=5,故①错误： AC 25 cos A= AB 5 ,故②错误； BC 1 tanA=AC-2,故③正确. 综上，正确的个数为1 412 九年级数学RJ版 12.解：(1)AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， :.cos∠ABC=AB=5 BC 3 (2)OE⊥AC,∴.E是AC的中点. 0是AB的中点0E=BC=-号 (3)AC=√AB2-BC=√52-32=4， .tan∠ADC=tan∠ABC=BC=3 AC 4 13.2或号 【解析】①当点P在线段DC上时，如图①. 'CD=2,DP=1,.PC=1. 又，BC=2,∠C=90°， m∠BPC-%-2 ②当点P在CD的延长线上时，如图②. DP=1,DC=2,∴.PC=3. BC 2 又：BC=2,∠C=9o°，tan∠BPC=Pc=3 2 综上所述，tan∠BPC的值为2或 图① 图② 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.A3.B 4.2 5解：1)原式=2x号-后×+1-（图） =1-1+2 1 1 2 2)原式-9×2 号×号++×停》+痘+ 2 ,1,23 2+3×3+ 3 =1+1+25=2+2 3 3 6.解：能.理由如下： ×120 如图，过点A作AD⊥BC于点D. B △ABC是等腰三角形，∠BAC D =120°， ÷∠B=∠0=2×180-120)=30 'AB=12 cm,第三十二章 锐角三角函数 32.1正弦、余弦与正切 第1课时正弦 知识要点扫描 .'sin A= CD√21 AC 5 锐角A的正弦 (1)如右图，在Rt△ABC 【解 中，∠C=90°，我们把∠A的对 边与斜边的比叫作∠A的正孩， 色基础对点训练 记作sinA,即sinA=∠A的对边=a 知识点① 求锐角的正弦值 斜边 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=√2BC,则 (2)正弦是在直角三角形中定义的，其本 质是两条线段的比值.∠A的正弦只与∠A的 sinB的值为 (B) 度数有关，与所在直角三角形的大小无关， A B② D.1 已经典例题剖析 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若CD是 【例1】如右图，在□ABCD 斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值不 中，连接BD.若AD⊥BD,AB= 等于sinA的是 (D) 3 4,sinA=则口ABCD的面积为 A BD c船 CD D.BC 【点拨】在Rt△ABD中，AB=4,sinA 名=三，六BD=3,AD=√AB2=BD3 AB 16-9=√7，∴.SOABCD=AD·BD=3√7. 【解】3√7 第2题图 第3题图 【例2】如右图，在△ABC 3.如图，点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上，BD DE 中，CD⊥AB,BE⊥AC, 与OB是⊙A的两条弦，则sin∠OBD的值为 BC 3 则sinA的值为 2 1 【点拨】CD⊥AB,BE⊥AC,易证 4.如图，直线y= 2+3 △ACD△ABE,A06PC-据 AD AE 与x轴交于点A,与直线 y=2x交于点B. 又.∠A=∠A,△AED∽△ABC, (1)点B的坐标为 第4题图 把8器-多 (1,2) 设AD=2a,则AC=5a. 5 (2)sin∠BAO的值为 5 根据勾股定理，得CD=√21a, 下册第三十二章 29 5.如右图，四边形ABCD是⊙O 9.用无刻度的直尺作图： 的内接四边形，连接AC, 在如图所示的正方形网格中，以OA为边， BD,延长CD至点E. 作∠AOB=a,且使sn&的值分别为号， (1)若AB=AC,求证： ∠ADB=∠ADE. 和①0 (2)若BC=3,⊙O的半径为2，求sin∠BAC. 10· 解：(1)证明：：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°. ∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE. AB=AC,∠ABC=∠ACB. 0 A O 图① 图② A01 图3 ∠ADB=∠ACB,∠ADB=∠ADE, 10.已知一个不等臂跷跷板AB长4m,支撑柱 (2)如图，作直径BF,连接FC,则 ∠BCF=90. OH垂直于水平地面.如图①，当AB的一 :⊙0的半径为2， 端A着地时，AB与地面夹角的正弦值为 ∴.BF=4 :BC=3,∠BAC=∠BFC. 2:如图②，当AB的另一端B着地时，AB BC 3 sin∠BAC=sin∠BFC=BF= 与地面夹角的正弦值为3求支撑柱OH 的长 0 H H 图① 图② 知识点② 已知锐角的正弦值的应用 解：在t△AH0中，sim∠O4H=OH=1 0=204 2 =20H 6.在△ABC中，∠C=90°，BC=2,sinA= 3 在Rt△BH0中，sin∠OBH=OB三3，OB 则边AC的长为 (A) =30H. 4 A.√5 B.3 C. D.√13 又，0A十0B=AB=4m,即20H+30H=4m, .0H=0.8m. 7.如图，P是反比例函数y= -(x >0)图象上的一点，PH⊥x轴 于点H.若OP=5,sin∠POH 第7题图 行，则k=12 8.在R△ABC中，∠C=90.若sinA=号，则 21 sin B= 30 九年级数学RJ版