32.1 第3课时 特殊角的三角函数值-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

第3课时 特殊 色知识要点扫描 1.特殊角的三角函数值 根据正弦、余弦、正切的定义，可得特殊角 (30°，45°，60°)的正弦、余弦和正切值，如下表： 锐角a sin a cos a tan a 30° 1 √3 3 2 2 3 459 √2 √2 1 2 60° 3 2 2 √5 2.利用计算器求锐角三角函数值 (1)由锐角求三角函数值的按键顺序：先接 功能键sin、cos或tan,再输入角度值，最后按 =键.若角度值为度数的形式，则直接输入；若 角度值为度、分、秒的形式，可以使用°”键 (2)由三角函数值求锐角的按键顺序：先按 2ndF(或SHIFT)键，再按sin、cos或tan键，然后 输入函数值，得到的结果为度数的形式.若计算结 果要求为度、分、秒的形式，则继续按键即可。 已经典例题剖析 【例】计算： (1)sin60°·cos30°-1. (2)√2sin45°+3cos60°-4tan45°. 【点拨】代入正确的三角函数值，再按实数 的运算法则进行计算即可. 【解】(1)原式= x5-1=- 2 2 41 (2)原式=2× 1 +3× 2 -4X1=-3 已基础对点训练 知识点① 特殊角的三角函数值 1.(2026天津)√2sin30°一cos45的值等于 (B) A.1-√2B.0 C.1-② 2 D.2 角的三角函数值 2.如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点 O和y轴正半轴上一点B.若C是y轴右侧 ⊙A上一点，且∠C=45°，连接OA,AB,则 sin∠OBA的值为 (A) A号 B.2 2 D.√2 C(D) 第2题图 第4题图 3.下列运算中，值为4的是 (B) A.sin45°×cos45 B.tan45°-cos230° C.tan30° C0s60 D.(tan60°)- 4.三角板是我们数学学习中必不可少的工具， 利用三角板可以拼出很多角.现将两个含 45°角和30°角的三角板按图中所示的方式放 置，则sin2∠AOB的值为 5.计算： (1)2cos60°-√3tan30°+|1-sin2451. 解：原大=2x×+1-(别 11 =1-1+2=2 (2)sin45°cos45°+sin60°tan45 tan45an60+3tan230° +tan45° c0s30 3 解：2)原式=x+X1 x+x+3x(+号 32 2 +3x+25=1+1+ 3 23 3 3 2423 31 下册第三十二章 33 6.空间观念如图①，圆规两脚形成的∠α称为 圆规的张角.一个圆规的两脚长均为12cm, 最大张角为120°.用此圆规能否画出一个半 径为20cm的圆？请借助图②说明理由（参 考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈ 2.236). 120 图① 图② 解：能.理由如下： 120 如图，过点A作AD⊥BC于点D. ,△ABC是等腰三角形，∠BAC =120° 六∠B=∠C=2×(180°-120)=30. .'AB =12 cm, 六BD=AB·csB=12X 2=65(cm). ∴.BC=2BD=2X6√3≈20.8(cm). .20.8>20 ∴.能画出一个半径为20cm的圆. 知识点② 利用计算器求锐角三角函数值 7.已知sinA=0.9816,运用科学计算器求锐 角A时（在开机状态下），按下的第一个键是 (D) A. sin B. DMS C. ab/c D 2nd F 8.用科学计算器计算：√31+3tan56°≈ 10.02 (结果精确到0.01). 知识点③ 根据特殊角的三角函数值求角 9.在Rt△ABC中，AB=4,AC=22,∠C 90°，则∠A的度数为 (C) A.309 B.40° C.45 D.60° 34 九年级数学RJ版 10若∠A为锐角，且anA=,则nsA的 值为 (C) A.2 g号 D.√3 I1.在△ABC中，若sinA= 2,tan B=3 3,则 这个三角形一定是 (C) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 1 12.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= 则 A 1 sin 2- 2 13.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在 AC上.已知sn∠BDC三2，BD=102, AB=20,求∠A的度数. 解：在R△BDC中， BC sSin∠BDC=BD' BC=BD·sin∠BDC=10V2X 2=10. 在Rt△ABC中，sinA= 6-8}∠A=w 易错点误认为三角函数值的一半等于半 角的三角函数值 14.判断：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB A√3 =2,BC=5,则sin2=是否正确？ 如果不正确，请说明理由. 解：不正确.理由：snA=AB之 心∠A=60sin3=sin30=1≠3 245.D6.D 变式题2√2【解析】如图，连接 BC. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°. 由题意，得AB=6,AC=2, ∴BC=√AB-AC=V62-2=4√2. 又5∠D=∠A.anD=tanA-C=42=22, 8.8√3【解析】，A(0,3),∴.OA=3. m∠AB0-0-5∴0B=尽. 由勾股定理，得AB=√OA+OB=2√5，.菱形 ABCD的周长=4AB=8√3. 9.号【解析】如图D,设等腰直角三角形MVQ的直角 边为a,则小正方形的边长为a, ∴.MP=2a. 212 图① 图② 如图②，∠BAC=∠CAF=45°，AB=CD=4a,BE= a,AF=2a, .∠EAF=90°，AE=AB-BE=3a, m∠AF-A证-二台 10解：1片 (2)如图所示，∠CBD即为所求. D A 11.B【解析】，∠C=90°，AC=2BC,∴.由勾股定理，得 AB=√AC+BC=√5BC. sin A= BC_5 AB=5,故①错误： AC 25 cos A= AB 5 ,故②错误； BC 1 tanA=AC-2,故③正确. 综上，正确的个数为1 412 九年级数学RJ版 12.解：(1)AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， :.cos∠ABC=AB=5 BC 3 (2)OE⊥AC,∴.E是AC的中点. 0是AB的中点0E=BC=-号 (3)AC=√AB2-BC=√52-32=4， .tan∠ADC=tan∠ABC=BC=3 AC 4 13.2或号 【解析】①当点P在线段DC上时，如图①. 'CD=2,DP=1,.PC=1. 又，BC=2,∠C=90°， m∠BPC-%-2 ②当点P在CD的延长线上时，如图②. DP=1,DC=2,∴.PC=3. BC 2 又：BC=2,∠C=9o°，tan∠BPC=Pc=3 2 综上所述，tan∠BPC的值为2或 图① 图② 第3课时特殊角的三角函数值 1.B2.A3.B 4.2 5解：1)原式=2x号-后×+1-（图） =1-1+2 1 1 2 2)原式-9×2 号×号++×停》+痘+ 2 ,1,23 2+3×3+ 3 =1+1+25=2+2 3 3 6.解：能.理由如下： ×120 如图，过点A作AD⊥BC于点D. B △ABC是等腰三角形，∠BAC D =120°， ÷∠B=∠0=2×180-120)=30 'AB=12 cm, :.BD=AB cos B-12X (cm), 2 ∴.BC=2BD=2×6√3≈20.8(cm). ,20.8>20,.能画出一个半径为20cm的圆. 7.D8.10.029.C10.C11.C 12.号【解析】∠C=90,simB=乞 1 1 ∠B=30°， ∠A=60°， A 1 六.sin2=sin3o°=2 13.解：在R△BDC中，sin∠BDC=BD' BC .BC=BD·sin∠BDC=10V2X2=10. BC101 在Rt△ABC中，sinA=AB-20-2' ∴.∠A=30° BC 3 14,解：不正确.理由：sinA=AB2 ∠A=60°， A :sin 2 15 =sin30=2≠4 32.2解直角三角形及其应用 32.2.1解直角三角形 1.C 2.C【解析】如图，过点A作AD⊥ BC于点D. :∠ABD=45°，AB=2V2, ∴.AD=BD=AB·cos45°=2. ∠ACB=60°，∴.CD= AD223 tan 603 3 ·BC=BD+CD=2+2,3 3 3.43 4.5【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,sinB =号S=号AB=10“D为AB的中点， CD-2AB-5. 变式题12【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为AB的中点，CD=10,∴.AB=2CD=20.:cosB= 6-专%-音BC=16AC=VAg-C =√/202-162=12. 5.解：AB=13,AC=12,∠ACB=90°， ∴.BC=√AB-AC=√132-12=5， BC 5 sin∠BAC=AB=13 如图，过点B作BD⊥MC于点D. 设点B到直线MC的距离为d,则 BD=d. ,∠BCM=∠BAC, M .sin∠BCM=sin∠BAC=i3' 5 .sin∠BCM=BC-i3 d 5 即45 号-品d-得 故点B到直线MC的距离为得 6.解：(1)，∠A=60°，∠ABE=90°，.∠E=30°. 在Rt△ABE中，：AB=6,tanA=E, ∴.BE=AB·tanA=6Xtan60°=63. :∠CDE=90°，CD=4,sinE= CD CE' ..CE= CD=4=8BC=BE-CE=65-8. sin ET 2 (2∠ABE=90,AB=6nA-能-言 BE 4 .设BE=4x,则AE=5.x, ∴.AB=√AE2-BE=3.x, ∴.3x=6,解得x=2,∴.BE=8,AE=10, mE-说-g-8e-正e- 3 .AD=AE-DE=10-3=3 1614 7.A【解析】如图，过点C作CD⊥AB 于点D. CD 在R△BCD中.sinB=CBCD D =CB·sinB, Sam=7AB·CD=AB·CB·snB=2X3X 1 2Xsin60°= 8.B【解析】如图，过点C,D分别 作AB的垂线，垂足分别为F,E. 在Rt△CFB中，：∠B=45°， ∴.CF=BF=BC·cosB=6√6X √2 2 =6√5. 在Rt△ACF中，，∠FAC=60°，.AC= CF sin∠FAC 63一12. 3 在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°， 下册详解详析 13个