31.3 第2课时 相似三角形与四边形的综合应用-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

第2课时相似三角开 已知识要点扫描 相似三角形在特殊四边形中的应用的 侧重 (1)平行四边形：利用对边平行构造“A”字 或“X”字模型，是求解线段比例的基础. (2)矩形：常结合直角、折叠或内部垂直线 段（如“十字架”模型），利用等角或互余关系推 导相似。 (3)菱形：依托对角线平分内角、互相垂直及 四边相等的特性，常与角平分线结合证明相似. (4)正方形：作为特殊矩形和菱形，还常出 现“半角”模型（如45°角）等经典相似考点. 已经典例题剖析 【例】如右图，在□ABCD 中，F是AD上一点，CF交BD 于点E,CF的延长线交BA的延 长线于点G,EF=1,EC=3,则 GF的长为 A.4 B.6 C.8 D.10 【点拨】，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC,∴.△DEFO△BEC, 股既设号 GF 又：AF∥BC,.△GAFD△GBC,GC =AF2 GF 2 BC=3GF+4=3,解得GF=8. 【答案】C 已基础对点训练 知识点①相似三角形与非特殊四边形的综合 1.跨物理学科凸透镜成像的原理如图所示， AD∥l∥BC.若焦点F1到物体AH的距离 与到凸透镜的中心O的距离之比为6：5，物 体AH=4cm,则其像CG的长为(C) 多与四边形的综合应用 物体 实像 第1题图 5 24 A.3 cm B.3 cm C.cm D.cm 知识点② 相似三角形与平行四边形的综合 2.如图，四边形ABCD是平 D 行四边形，E是AD的中 点，连接BE,与AC相交 于点F.过点F作AD的 第2题图 平行线交AB于点G.若FG=2,则BC的长 是 (A) A.6 B.5 C.8 D.4 3.如下图，在平行四边形ABCD中，E为BA 延长线上一点，∠D=∠ACE.求证：AD· EC=AC·EB 证明：：四边形ABCD是平 行四边形， .AD=BC,∠D=∠B. ∠D=∠ACE,∠ACE =∠B. :∠AEC=∠BEC,∴.△ECAO△EBC, S-折c·BC=Ac,B, ,.AD·EC=AC·EB 知识点③相似三角形与矩形的综合 4.如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点， 且AE=2DE,BD与CE相交于点F,则 △DEF与△BCF的面积之比是 (D) 第4题图 A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 下册第三十一章 17△ 5.方程思想有五本形状为 长方体的书放置在矩形 书架中，如图所示，其中 B 四本竖放，第五本斜放， 第5题图 点G正好在书架边框上.每本书的厚度为 5cm,高度为20cm,书架的宽为40cm,则 40 FI的长为 17 cm 6.如下图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC =20cm,两只小虫P和Q分别从点A,B同 时出发沿AB,BC向终点B,C方向前进，小 虫P每秒走1cm,小虫Q每秒走2cm.它们 出发多少秒时，以P,B,Q为顶点的三角形 与△ABC相似？ 解：设它们出发1s时，以P, B,Q为顶点的三角形与 △ABC相似， 则BP=(10一t)cm,BQ= B→O 2!cm.分以下两种情况： ①：∠B=∠B当8-82时，△P0△AC 90-动=5，符合题意： ②∠B=∠B, 当C-器时，△Pa0n△-品 ∴1=2，符合题意. 综上所述，它们出发5s或2s时，以P,B,Q为顶点的 三角形与△ABC相似. 知识点④相似三角形与菱形的综合 7.如图，在边长为√3 的菱形纸片ABCD 中，∠B=30°，过点B EC 第7题图 A作AE⊥BC于 点E.现将△ABE沿直线AE翻折至 △AFE的位置，AF与CD交于点G,则CG 等于3一1 18 九年级数学RJ版 8.如右图，AB,AC是⊙O的两 条弦，且AB=AC,D是AO 延长线上一点，连接BD并延 B 长交⊙O于点E,连接CD并 延长交⊙O于点F. (1)求证：BD=CD. (2)若AB2=AO·AD,求证：四边形ABDC 是菱形. 证明：(1)连接BC,OB,OC,如图. :AB,AC是⊙0的两条弦，且AB= AC,.点A在BC的垂直平分线上. .OB=0A=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上， .AO垂直平分BC,.BD=CD (2AB=A0·AD,A8=APX∠B40= ∠DAB,,△ABO△ADB,.∠OBA=∠ADB. OA=OB,∴∠OBA=∠OAB,∠OAB=∠BDA, ..AB=BD..'AB=AC,BD=CD, AB=AC=BD=CD,∴.四边形ABDC是菱形. 知识点⑤相似三角形与正方形的综合 9.如下图，在正方形ABCD中，M为BC上一 点，F是AM的中点，EF⊥AM,垂足为F, 交AD的延长线于点E,交DC于点N. (1)求证：△ABM∽△EFA. (2)若AB=8,BM=6,求AE的长， 解：(1)证明：，四边形ABCD D 是正方形，.AB=AD,∠B= 90°，AD∥BC, ∴∠AMB=∠EAF. B EF⊥AM,.∠AFE=90°， M ∴∠B=∠AFE,∴△ABM∽△EFA. (2):四边形ABCD是正方形，AB=8, .∠B=90°，AD=AB=8. .BM=6...AM=VAB+BM=10. F是AW的中点AF=AM=5, BM MA 由()得△ABM∽△EFA,FA=AE: 2531.3相似三角形的应用 第1课时相似三角形在测量中的应用 1.A2.A 3.解：(1)如图，过点E作EH ⊥CD于点H,交AB于点 J,则四边形EFBJ、四边形 EFDH都是矩形， ∴.FE=BJ=DH=1.5m, F BB FB=EJ=2 m,BD=JH= 23m,.EH=EJ十JH=2+23=25(m). AB=2.5m,.AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(m). ,AJ∥CH,∴.△EAJ∽△ECH, 品品需cH=125m… 12 ∴.CD=CH+DH=12.5+1.5=14(m), .大楼的高度CD为14m. (2)0.5 【解析】(2)如图，连接EG,过点A作AA'∥BD,交EG 于点A',过点A'作A'B'⊥BD于点B',交EH于 点R. AR/GH.△AERGEI10-器， 六.5-.5器R=25m 1 ER ∴.AA'=ER-EJ=2.5-2=0.5(m), .“标杆”AB应该向大楼方向移动0.5m. 4.B 5.解：如图，过点C作CE⊥PQ,交PQ的延长线于点E, 交AB的延长线于点D, AB∥PQ,∴.CD⊥AB. 设CD=xm,则CE=(60十x)m. AB∥PQ,∴.△ABC∽△PQC, 是治即千0惯 t+60180,解得x =300,∴.x+60=360, ∴.电视塔C到公路南侧PQ的距离是360m. 第2课时相似三角形与四边形的综合应用 1.C2.A 3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,∠D=∠B. ∠D=∠ACE,∴∠ACE=∠B :∠AEC=∠BEC,∴.△ECA∽△EBC, ÷品器c·C=ACEB, ,.AD·EC=AC·EB 4.D 40 5.17【解析】由题意，得C1=B1-BC=40-4×5=20 (cm),EF=20 cm,FG=5 cm. ,∠EFC+∠CEF=90°，∠EFC+∠GFI=90°， ∠CEF=∠IFG. ∠ECF=∠FIG=90°，.△GIF∽△FCE, 品器。 是动 ..CE=4FI. 在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE十CF=EF, 即(4FI)2+(20-FI)2=202, 40 解得F1=行或FI=0(舍去). 故FI的长为7cem. 40 6.解：设它们出发ts时，以P,B,Q为顶点的三角形与 △ABC相似， 则BP=(10-t)cm,BQ=2tcm.分以下两种情况： D:∠B=∠R,∴当熙-股时，△PB0n△AC 190-易4=5，符合题意： ②：∠B=∠B,当部-器时，△ACB1, 10-品1=2，作合题意 综上所述，它们出发5s或2s时，以P,B,Q为顶点的 三角形与△ABC相似. 7.√3-1【解析】在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=√3， ·AE二S,由勾股定理，得BE=AB=AE 、号·根据翻折的性质可得BF=2BE=3,∴CF=3 AD 5.:AD∥CF,.易证△ADG∽△FCG,FC 即B--cG DG 3-5=CG,解得CG=3-1. 8.证明：(1)连接BC,OB,OC,如图. :AB,AC是⊙O的两条弦，且AB =AC, ∴点A在BC的垂直平分线上. .OB=OA=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上， ∴AO垂直平分BC,.BD=CD. (AB-AO AD. 又：∠BAO=∠DAB,△ABO∽△ADB,∴.∠OBA =∠ADB. OA=OB,∴.∠OBA=∠OAB,∴∠OAB=∠BDA, .'.AB=BD. .AB=AC,BD=CD, ∴AB=AC=BD=CD,.四边形ABDC是菱形. 下册详解详析 5△ 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AB=AD ∠B=90°，AD∥BC, .∠AMB=∠EAF ,EF⊥AM,.∠AFE=90°， .∠B=∠AFE,∴.△ABM∽△EFA. (2),四边形ABCD是正方形，AB=8, .∠B=90°，AD=AB=8. :BM=6,.AM=√AB+BM=10 :F是AM的中点AF=号AM=5. 由(I)得△ABM∽△EFA..N=AE, 3 重难题型专练三角形内接特殊四边形问题 19 2.解：(1)在Rt△ABC中，AB=V√BC-AC= √152-92=12. 1 SmAANC =7AB·AC=2BC·AD AD=AB·AC_12X9_36 BC 1551 (2)如图，设AD与EH交于点M. :四边形EFGH是正方形， .EH∥BC, .△AEH∽△ABC, ..AM_EH AD BC ,∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， .四边形EFDM是矩形，∴EF=DM. 设正方形EFGH的边长为x, 36 180 一=访，解得x=37 正方形EFGH的边长为9 3.D【解析】如图，过点F作FH⊥AC 于点H,∴∠FHE=90°=∠C, ∴.∠EFH+∠FEH=90, .四边形DEFG是矩形， G .∠DEF=90°，∴.∠DEC+∠FEHB =90°， ∴∠EFH=∠DEC,∴.△EFH∽△DEC, 開瓷 EH=3x,FH=4x,DC=3y,EC=4y, ∴.FE=√EH+FH=5x,DE=√DC+EC=5y. ∠C=90°，AC=BC=4,∴.∠A=45°， 6 九年级数学RJ版 ∴.△AFH是等腰直角三角形， ∴.AH=FH=4x,∴.AC=4x+3x+4y=4, y=47 4 ,矩形DEFG的面积=DE·FE=25.xy=25x· -}+。 4 ∴当=号时，矩形DEPG的面积最大，最大值为写 2 4.1:3【解析】：四边形EFGH和四边形HGNM均为 正方形，∴.EF=EH=HM,EM∥BC, △AEMO△ABCS ,∠PEF=∠EFD=∠FDP=9O°， .四边形EFDP为矩形，.EF=PD, .5-EF_2EF 5 0,解得EF=5 EM=5, ,S△AEM=（ EM\21 ·S△ABC BC)=4, .S网边形ME=S△ABC一S△ABM=3S△AM ∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3. 5.2 【解析】如图，设AD交EH于点 M.,四边形EFGH是矩形，∴.EH∥ BC,∴.△AEH∽△ABC. ,AD⊥BC,AM⊥EH, AM EH AD=BC.设EH=3x, 2-2x= 则EF=2x,AM=AD-EF=2-2x小2 3 1 3 3,解得x=2EH=3x= 、12 6.解：(1)5 (2)如图①，过点C作CM⊥AB于 点M,交DG于点N.由(1)得CM E M F ,四边形DEFG是矩形， 图① .四边形DEMN是矩形，DG∥AB, .MN=DE,CN⊥DG,△CDG∽△CAB, .DG CN ·ABCM 12 60 设DE=DG=x,则名512，解得，6 37 5 矩形DEFG的周长为4X37=37 60240 【解析】(3)过点C作CM⊥AB于点M,交 DG于点N,如图② ,矩形DEFG的周长是DE长的8倍，