31.2.2 第1课时 相似三角形的判定定理1、2-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

31.2.2三角形相似的判定 第1课时 相似三角形的判定定理1、2 已知识要点扫描 【解】.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD 1.相似三角形判定定理1 是斜边AB上的中线， 两角分别相等的两个三角形相似. CD=AB=AD,∠CAD=∠ACD. 用符号语言表示：如下图，在△ABC和 .AE⊥CD于点H,.∠AHC=90°， △A'BC'中，∠B=∠B',∠C=∠C', .∠CAH+∠ACD=90°. ∴.△ABC∽△A'B'C'. 又.∠B+∠CAD=90°， .∠CAH=∠B. .∠ACE=∠BCA,△ACE∽△BCA, AC CE BCC4AC2=CE·BC 2.相似三角形判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形 已基础对点训练 相似。 知识点① 用两组角判定三角形相似 用符号语言表示：如下图，在△ABC和 1.下列结论：①所有等腰直角三角形相似； △AC中，侣=AC∠A=∠A AC ②所有直角三角形相似；③所有等腰三角形 相似；④所有等边三角形相似.其中正确的 ∴.△ABCp△A'B'C 是 (A) A.①④ B.②④ C.②③ D.①③ 2.在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=58°， 经典例题剖析 ∠B=50°，∠A'=58°，∠C'=72°，则这两个 【例】如右图，在Rt△ABC 三角形 (B) 中，∠ACB=90°，CD是斜边 A.不一定相似 B.一定相似 AB上的中线，过点A作AE C.全等 D.无法判定 ⊥CD于点H,AE交CB于点E.求证：AC2= 3.新定义题定义：如果△ABC内有一点P,满 足∠PAC=∠PCB=∠PBA,那么称P为 CE·BC △ABC的“布罗卡尔”点.如图，在△ABC中， 【点拨】由直角三角形斜边上的中线等于 若AB=AC=5,BC=8,P为△ABC的“布罗 斜边的一丰，可知CD=AB=AD,进而可得 16 卡尔”点，且PA=2,则PC= ∠CAD=∠ACD,再利用余角的性质，得 ∠CAH=∠B,可证△ACE∽△BCA,进而可 得AC=CE BCC,最后即可证明结论. 第3题图 下册第三十一章 5△ 4.(教材变式)如图，在△ABC 9.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=105°， 中，∠ACB=90°，CD⊥AB AC=4 cm,AB=6 cm,DE=3 cm,DF= 于点D,则图中的相似三角 第4题图 2m或号m 时，△ABC与△DEF 形共有3对. 5.一题多解法如下图，在口ABCD中，E为 相似. 10.一题多解法如图，在△ABC中，已知AB BC上一点，连接DE,AE,点F在线段DE 上，且满足∠AFE=∠ADC.求证：△ADF =2,AD⊥BC,垂足为D,BD=2CD.若E 是AD的中点，则EC=1 ∽△DEC. 证明：：四边形ABCD是平行四 11.条件开放题如下图，在△ABC与△A'B'C 边形， 中，点D,D'分别在边BC,B'C'上，且△ACD .AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°， ∽△A'C'D'.若 ,则△ABD∽ ∠ADF=∠DEC. △A'B'D'. :∠AFE+∠AFD=I80°，∠AFE=∠ADC, AB AB' .∠C=∠AFD,.△ADF△DEC 请认B部®05®侣 知识点②用两边和夹角判定三角形相似 B CD 6.如图，已知△ABC,则下列四个三 BD一CD7这3个选项中选择1个作为 角形中，与△ABC相似的是(D)66 条件（写序号），并加以证明. B40°c 第6题图 70° B'D' 3 解：示例：选择①.证明：△ACD∽△ACD' 5 30 5403 ∠c=∠nC,0-0, 5 ∠ADB=∠A'D/B'. C 又BD=B'D BD CD 7.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D= CD=cD心BD=CD 60∠E=80,8B则∠B的度数是 ÷品-8△D△g0, (B) A.40° B.60° C.80° D.100° 8.如图，D是△ABC的边AB上一点，要使 △ACDp△ABC,必须具备的条件可以是 易错点 文字表述相似，对应边、角不确 (D) 定，未分类讨论 品提 CD BC 12.分类讨论思想如图， B.ADAB 矩形ABCD中，AD C.CD2=AD·DBD.AC2=AD·AB 4,AB=10,P为CD 第12题图 边上的动点.当DP= 2或8或5时，△ADP与△BCP 相似. 第8题图 第10题图 九年级数学RJ版◆一题多解法 如图，过点E作EF∥AB,交 BC于点F.,E是AD的中 点，BF=DF,EF是 △ABD的中位线，.EF=B 2AB=1.BD 2CD, 1 ∴.DF=CD.AD⊥BC,DE所在直线垂直 平分CF,∴.EC=EF=1. 11.解：示例：选择①. 证明：△ACD∽△A'C'D', ∠Ac-∠ADC,品品. ∴.∠ADB=∠A'D'B' 0000 ÷B0-0△ABD△ABn 12.2或8或5【解析】根据题意，可分以下情况：①当 AD PD 4 PD PC=BC时，△APD∽△PBC,即10-PD=4,解 得PD=2或PD=8:②当AC=P2时，△PAD △PBC,即4=1O-PD解得PD=5.综上所述，Dp 的长度是2或8或5. 第2课时相似三角形的判定定理3 1.C2.A3.D 4.B【解析】，长120cm的木条与三角形木架的最长边 相等，∴.长120cm的木条不能作为一边. 设从长120cm的木条上截下的两段分别长xcm, ycm(x<y,x+y≤120)，易得长60cm的木条不能与 长75cm的一边对应. 当长60cm的木条与长10cm的一边对应时，有元 y60 120-100x=45,y=72,符合题意： 当长60cm的木条与长120cm的一边对应时，有7污 y60 100-120x=37.5,y=50,符合题意.故不同的截 法有两种. 5.一定6.2 7.证明：：∠ACB=90°，E,F分别为AD,AB的中点， CE-TAD.CF-TAB.EF-DB, 需器器 .△CEFc∽△ADB,∴.∠CFE=∠B. 8.A9.C变式题3.6 42 九年级数学RJ版 10.证明：，CD,C'D'分别是两个三角形斜边上的高， .∠ADC=∠A'D'C'=90°」 又CD:C'D'=AC:A'C, .Rt△ADC∽Rt△A'D'C',∴∠A=∠A'. 又：∠ACB=∠A'C'B'=90°， .△ABC∽△A'B'C'. 解题模型专练相似三角形的基本模型 1.解：(1)证明：在△AOB和△DOC中， (∠ABO=∠DCO, ∠AOB=∠DOC, OA=OD. ∴.△AOB2△DOC(AAS). (2)'△AOB≌△DOC,.AB=DC=2. ,EF∥CD,.△BCD△BEF, 品能即品3EF= CD BC ,23 2.C【解析】，DE是△ABC的中位线， DE/BC,DE=专BC=×6=3, .△DEFp△BMF, DE DF 2BF 六BMBF=BF=2, 2·CM=BC士BM-5, 3 .BM=- 3证明，（将查A字型）：DH/B小留品能 器 AD是BC边上的中线，∴.CD=BD, CH-FH-7CF, 能mC正 CF· (构造“X”字型)，AD是BC边上的中线， ∴BD=2BC DK∥AC,∴.△BDK∽△BCF,△DEK∽△AEF, ÷批8识能Dx-c. 能架- 2Ch CF· 4.B 5.2【解析】：AD=4,BD=5,AC=6.AC=6 9 3AB_4+5_=3.:AC=AB.:∠CAD=∠BAC, 2'AC62…AD=AC △ABCn△ACD.S设-台CD=3,BC 9 2