第31章 章末对点导练-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

章未对 已单元考点整合 考点①平行线分线段成比例 1.如图，D,E两点分别在△ABC的AB,BC 边上，DE∥AC.若AB=5,AC=4,DE=3, 则AD的长为 (A) A 6 6 20 D. AC/ EF /D B 第1题图 第2题图 2.如图，直线11∥12∥l3,直线AB分别交11， l2,l3于点A,F,B,直线CD分别交11，l2, l3于点C,E,D,AB与CD相交于点O.若 直线l1,l2,l3之间的距离相等，EO=OC,则 下列比例式中，不成立的是 (C) AC 1 OC 1 A.DB3 B.DC4 OC 1 EF C.D0-0c=3 D.AC+DB4 3.如图，已知AB∥CD∥EF,AD: AF=3:5,BE=12,那么CE的 D 长是 24 E F 5 第3题图 考点②三角形相似的判定 4.如图，在△ABC中，AG平分∠BAC,点D在边 AB上，线段CD与AG交于点E,且∠ACD ∠B,则下列结论中，错误的是 (D) A.△ACDP△ABCB.△ADEP△ACG C.△ACE△ABGD.△ADEC△CGE 第4题图 第5题图 点导练 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD 平分∠ABC,DE∥BC,连接CE交BD于点 O,则图中与△ABC相似的三角形有(A) A.5个B.4个 C.3个 D.2个 6.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， 过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E. 添加下列条件仍不能判定△CEB与△CAD 相似的是 (D) A.∠CBA=2∠A B.B是DE的中点 CE BE C.CE.CD-CA.CB D.CA-DA 第6题图 第7题图 7.分类讨论思想如图，在Rt△ABC和 Rt△ACD中，∠ACB=∠D=90°，AC=√6， AD=2,则当AB的长为3或32 时，Rt△ABC与Rt△ACD相似 8.如右图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D是BC边上 的动点，连接AD.将△ADC 绕点A旋转至△AEB,使点C与点B重合， 连接DE交AB于点F.作EG∥BC交AB 于点G,连接CG交AD于点H.求证： (1)∠1=∠2. (2)△AGH∽△AFD. 证明：(1)EG∥BC,.∠2=∠ABC. :AB=AC,.∠ABC=∠ACB. 由旋转的性质得∠1=∠ACB,∴.∠1=∠2. (2)∠1=∠2，∴.EB=EG. 山旋转的性质得CD=BE,.EG=CD, :GE∥CD,∴四边形DCGE是平行四边形， .GH∥FD,.△AGH∽△AFD. 下册第三十一章 25 9.如下图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直 径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连接 AD,BE.求证： (1)D是BC的中点. (2)△BEC∽△ADC. 证明：(1)，AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BC 又AB=AC, ∴BD=CD,D是BC的中点 (2),AB为⊙0的直径， ∴.∠AEB=∠ADB=90°， .∠BEC=∠ADC=90. 又∠C=∠C, ,.△BEC∽△ADC 考点③相似三角形的性质 10.如图，已知△ABC△ADE,S△Ac· S四边形BDBc=1:3.若BC=√2，则DE的长 为 (B) A.√6 B.22 C.3√2 D.42 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，D是AB边上的点， ∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC 与△ABC的面积比是 (D) A.1:√2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 12.若两个相似三角形的对应边上的中线之比 为2：3，周长之和为20，则较小三角形的周 长为 8 26 九年级数学RJ版 13.如右图，在□ABCD中， E是线段AB上一点，连 接AC,DE交于点F.若 器-号二 S△ADF的值. 解：5=子，设AE=2a,则EB=30,4B 5a.:四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD,AB AE EF 2 =CD=5a,△AEFn△CDF,CD=DF=5 、S△E= 5 S2 14.如右图，在□ABCD中，E 为边DC的中点，连接 AE,AE的延长线和BC 的延长线相交于点F. (1)求证：BC=FC. (2)连接AC,BE,两线相交于点G.若 △CEG的面积为2，求□ABCD的面积. 解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥DC,AB=DC,.△FECC∽△FAB. E为边C的中点DE=CE=DC=AB, 告-指-}牌F8=CC=C (2):四边形ABCD是平行四边形，E为边DC的中 点，∴AB∥DC,AB=2EC, .△CEGC△ABG, 漂-(0)4 :△CEG的面积为2， .SaG=4S△ac=4X2=8. :△CEGO△ABG,小GAB=2' .GC CE 1 x8=4 S=2Sa= S△c=S△AG十S△c=8+4=12, S:AD=2S△Ac=2X12=24. 考点④相似三角形的应用 15.如图，一个箱子沿着斜面向上运动，箱高 AB=1.3m.当BC=2.6m时，点B离地 面的距离BE=1m,则此时点A离地面的 距离AD是 (A) A.2.2mB.2m C.1.8mD.1.6m 于 北岸 八分个个个个个 南岸 p 第15题图 第16题图 16.如图，一条河的两岸有一段是平行的.在河的 南岸边每隔5m有一棵树，在河的北岸边每隔 50m有一根电线杆.小丽站在离南岸15m的 点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆 恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之 间还有四棵树，则河的宽度为15m. 17.游客小张站在地面上观赏眼前的山.山的山 体可以看作垂直于地面的线段CD(C为山 脚，D为山顶)如下图.在小张与山之间有一 棵古松EF(E为树顶，F为树根)，古松恰好 遮挡住了山的一部分.已知小张的眼睛G距 离地面的高度GA=1.6m,古松的高度EF =12m,山的高度CD=80m.小张站在点A 处，测得他与古松的水平距离AF=20m,此 时他的视线恰好经过树顶E看到山顶D. (1)求小张与山的水平距离AC. 解：(1)如图①，过点G D 作GM⊥CD于点M 交EF于点N.山题 意，得GN=AF= 20 m,EN=EF-NF= EF-GA=12-1.6= C 10.4(m),DM=CD-CM=CD -GA=80-1.6=78.4(m). ,EF∥CD,∴.△GNE∽ GN EN △GMD.GMDw,GS 78.4解得G1=20×78.4 10.4 10.4 150.8(m),.AC=GM≈150.8m. (2)若小张后退了10m到达点H(C,F,H 三点在同一直线上)，此时他的眼睛I(IH =1.6m)看向山，求这时山被古松遮挡部 分的高度.（结果保留一位小数） 解：(2)如图②，设此时视线1E延长线交CD于点K. 过点I作IP⊥CD于点P,交EF于点Q. h题意，得CP=H=1.6m, D 10=30m,1P≈160.8m, E0=10.4m. EF∥CD,∴.△IQE∽ △PK,层=聚即 图② 3010.4 160.8PK 解得PK≈10.4X160.8≈55.7(m. 30 .CK=PK+CP≈55.7+1.6=57.3(m). 故这时山被古松遮挡部分的高度约为57.3m. 考点⑤位似图形 18.如图，四边形ABCD与四边形A'B'CD'是 以原点O为位似中心的位似图形.若 B'(2,0),B(4,0),A'B'=5,则AB= (B) A.3 B.25 C.4 D.3√5 D B B B'CC 0 第18题图 第19题图 19.如图，△ABC与△A'BC'是以点O为位似 中心的位似图形，且点B',C',O在同一直 线上.若OC=4,OC‘=3,则下列结论中，错 误的是 (D) A.∠BAC=∠B'A'C'B.AB∥A'B' c指-号 D S△ABC=4 S△A'B'C' 下册第三十一章 27 考点⑥相似三角形性质和判定的综合运用 20.如右图，矩形ABCD 的对角线AC,BD相 交于点F,延长BC到 点E,使CE=BC,连接DE,连接AE分别 交BD,CD于点G,H (1)求证：四边形ACED是平行四边形 (2)求证：DG=FG·BG (3)若AB=20,BC=24,求线段GH的长. 解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形。 .AD∥BC,AD=BC. 'CE=BC...AD=CE ,∴.四边形ACED是平行四边形. (2)证明：，四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .△ADG∽△EBG, 8 :四边形ACED是平行四边形， .AC∥DE, ∴△AGF∽△EGD, 瓷品 DG FG 六BG=DGDG=FG·BG. (3)四边形ACED是平行四边形，AB=20,BC= 24..DH-DC=TAB-10,AD-CE-WC-24. 山勾股定理，得AH=√AD+D=26, ,.AE=2AH=52. :△ADGO△EBG, .AG AD I EGEB2 ∴AG=2EG, 1 AG=AE=号 3 GH=AH-AG=26-号- 28 九年级数学RJ版 已中考真题演练 21.(2026内江)如图，在△ABC中，DE∥BC. 若AD:AB=1:3,则△ADE与△ABC 的面积之比为 (D) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 D G H 第21题图 第22题图 22.(2026山西)如图，在正方形ABCD中，对 角线AC,BD交于点O.将线段AD沿射线 AB方向平移，点A,D的对应点分别为点 E,F,线段EF分别与OA,OD交于点G, GH H.当点G是OA的中点时，AB的值为 (A) 1 A.2 c 23.(2026天津)如图，在△ABC中，AB=8, AC=6,将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △ADE,使点C的对应点E落在边AB 上，点B的对应点为D,连接CE并延长， 与BD相交于点F.若BF=3,则△ABF 的面积为 (C) A.2√55B.4√10C.8√2 D.72 第23题图 第24题图 24.(2026南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，AB=10,AC=8.分别以点A,C为 圆心，大于2AC长为半径作孤，两弧交于 M,N两点，直线MN分别交AC,AB于点 D,E,则DE的长为3·9+3b+c=0, (b=一5， 解得 c=6, c=6, 二次函数的解析式为y=x2-5.x+6. A(3,0),B(0,6), ∴.AO=3,OB=6. 设P(m,m2-5m+6). :PD⊥y轴，∴点D的坐标为(0，m2-5m+6) .PD=Iml,OD=m2-5m+61. PD ①当△PD0∽△BO4时00光，即 1m-5m+6,解得m=2或m=4 3 3 PD OD 回当△PD0D△AOB时，AO=B0即m 3 m-5m十6l,解得m=1或m=6. 6 综上所述，符合条件的点P的坐标为（受，是）或(4,2) 或(1,2)或(6,12)」 9.D10.2:3 11.证明：，CD是⊙O的直径， ∴.∠DBC=90°，∠DAC=90. ∠DBC的平分线交CD于点E,交⊙O于点A, .∠ABD=∠ABC=45. 由同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD= ∠ABC=∠ADC=45°，∴.∠ABC=∠ACE. 又∠EAC=∠CAB, AC AE 六△EACD△CAB.AB-ACAC=AE·AB. 章末对点导练 1.A2.C 3酷【标：ABCD/E,是-S Bc-曾cE=BE-c=12-普器 4.D 5.A【解析】DE∥BC,∴.△AED∽△ABC.AB= AC,∠A=36°，BD平分∠ABC,.∠DBC=∠DBE =36°=∠A,∠ACB=∠ABC=∠CDO=∠CEB= ∠BOE=∠COD=72°，∴.△AED∽△BCDO △CBE∽△BOE∽△COD∽△ABC.故图中与△ABC 相似的三角形有5个. 6.D【解析】，CE⊥CD,∴.∠ECD=90 ∠BCA=90°， ∴.∠BCE=∠DCA=90°-∠BCD. ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴.DC=DB=DA,.∠DCA=∠A, ∴.∠BCE=∠DCA=∠A. ,∠CBA=2∠A,∠CBA=∠E+∠BCE, ∴.∠E=∠A, ∴.△CEB△CAD,∴.A选项不符合题意 ,B是DE的中点，CE⊥CD, .BE=BC,∴.∠BCE=∠E, .∠BCE=∠E=∠DCA=∠A, ∴△CEB∽△CAD,.B选项不符合题意. CE.cD=cAGB需器 :∠BCE=∠DCA,.△CEB∽△CAD, ∴C选项不符合题意. CE_BE “CADA,∠E不一定等于∠A, .不能判定△CEB与△CAD相似， .D选项符合题意. 7.3或3√2【解析】：∠ACB=∠D=90°，AC=√6，AD =2.CD=C-D-V6-2-E.当0 A方可R入AB∽AD层号—2·之Ag √6 3:当ABAC CA-CD时，Rt△ABC∽R△CAD,AB=E √6√2 ∴AB=3√2.故当AB=3或3√2时，Rt△ABC与 Rt△ACD相似. 8.证明：(1).EG∥BC,.∠2=∠ABC. ,AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. 由旋转的性质得∠1=∠ACB,∴.∠1=∠2. (2).∠1=∠2，.EB=EG. 由旋转的性质得CD=BE,∴.EG=CD. ,GECD,.四边形DCGE是平行四边形， ∴.GH∥FD,.△AGH△AFD. 9.证明：(1).AB为⊙O的直径， ,∴.∠ADB=90°，即AD⊥BC 又，AB=AC,BD=CD,.D是BC的中点. (2),AB为⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°， ∴.∠BEC=∠ADC=90°. 又：∠C=∠C,.△BEC∽△ADC 10.B11.D 12.8【解析】设较小三角形的周长为C1,较大三角形的 周长为C由题意，得CC,=2:3C=C. 又C+C=20C,+2C=20解得C=8,即 较小三角形的周长为8. 13.解：话-号设AE=2a,则EB=3aAB 5a.:四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB -CD=5a△AEF△CDF.号-那-号 - 14.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 下册详解详析 9 .AB∥DC,AB=DC,.△FEC∽△FAB. :E为边DC的中点，DE=CE=2DC=2AB. ÷货-器-名即FB=pCC-C (2):四边形ABCD是平行四边形，E为边DC的中点， .AB∥DC,AB=2EC,∴.△CEG∽△ABG (AB)? CE =4. △CEG的面积为2，∴.S△AG=4S△=4X2=8. ,△CEG∽△ABG, 紧器-合sx-5-×8- 1 ∴.S△ABc=S△ABc十S△C=8+4=12, SDAUCD =2SAABC =2X12=24. 15.A【解析】由题意可得AD∥EB,.△CDF∽ △CEB,∠AFB=∠CBE. 又，∠ABF=∠CEB=90°， ,∴.△CBE∽△AFB, 器紧器 ,BC=2.6m,BE=1m, .EC=√2.62-1=2.4(m), 12.62.4 六FB-AF=1.3 郭得FB-号，AF 120m. :△CDF∽△CEB, 3 、DFCF 2.6-24 EBCB即1 2.6 解得DF=19 m, ·AD=AF+DF=169+19 120+24=2.2(m). 16.15 17.解：(1)如图①，过点G作GM⊥CD于点M,交EF于 点N. 由题意，得GN=AF=20m, EN=EF-NF=EF-GA= 12-1.6=10.4(m), DM=CD-CM=CD-GA= 80-1.6=78.4(m). :EF∥CD, 图① ,∴.△GNE∽△GMD, 器品 ,2010.4 解得GM=20×78.4 10.4 ≈150.8(m), .AC=GM≈150.8m. (2)如图②，设此时视线IE延长线交CD于点K. 过点I作IP⊥CD于点P,交EF于点Q. 由题意，得CP=IH=1.6m,IQ=30m,IP≈ 10 九年级数学RJ版 160.8m,EQ=10.4m. ,EF∥CD, .△IQE∽△IPK, 9最 图② 3010.4 即160.8PK' 解得PK≈10.4X160,8≈5.7(m. 30 ∴.CK=PK+CP≈55.7+1.6=57.3(m). 故这时山被古松遮挡部分的高度约为57.3m. 18.B 19.D【解析】，△ABC与△A'BC'是以点O为位似中 心的位似图形， .△ABC∽△A'B'C',AB∥A'B', ∴铝-瓷-音∠Bc-∠BAC. SAAWC- 8)-5 故A,B,C选项不符合题意，D选项符合题意. 20.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,AD=BC. CE=BC,..AD=CE, 四边形ACED是平行四边形. (2)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC, △Ac△EGCe ,四边形ACED是平行四边形， AC∥DE, AG FG △AGF∽△EGDEG-DG 、DGFG ÷BG-G…DG=FG·BG. (3),四边形ACED是平行四边形，AB=20,BC=24, 1 DH-DC-AB=10.AD=CE-BC=24 由勾股定理，得AH=√AD+DH=26, ∴.AE=2AH=52. ,△ADG∽△EBG, 小船器-号AG=G. AG AD 1 1 52 AG-3AE-3 GH=AH-AG=26-52_26 33 21.D22.A 23.C【解析】由旋转的性质可知AC=AE=6,AB= AD=8,∠CAE=∠BAD, 铝招-是服=AB-AE=2 △ACE△ABD,.∠AEC=∠ADB. ,∠AEC=∠BEF,∴∠BEF=∠BDA. :∠FBE=∠ABD,∴.△BEF∽△BDA, 小照-货服-球-8 过点F作FH⊥AB于点H,如图所示， BH-EH-7BE-1. ∴.FH=BF2-BH2=22, 1 S△Ar=2AB·FH=8,E. 24.3 第三十二章锐角三角函数 32.1正弦、余弦与正切 第1课时正弦 1.B BC 2.D【解析】在R△ABC中，sinA-AB在R△ACD中， 血A-0 ∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°， 六∠A=∠BCD,∴sinA=Sn∠BCD=BD. BC CD 在R△BCD中，sinB=BC: ,∠A≠45，∠A≠∠B, CD .sinA≠BC 3. 4.1)1,2)2) 5 1 3 【解析1K1)由题意，得y=21+2解得行 x=1, y=2x, y=2, ∴.点B的坐标为(1,2). (2)如图，过点B作BC⊥x轴于 点C,则OC=1,BC=2. 把y=0代人y-+解得： =一3，则点A的坐标为（一3,0）， ..OA=3,..AC=OA+OC=4, ∴.AB=√AC2+BC=√42+2=2√5， sin∠BAC=AB255,即s1 ZBAO=Y5 5.解：(1)证明：，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°. :∠ADC+∠ADE=180°，∴.∠ABC=∠ADE. ,AB=AC,.∠ABC=∠ACB. ,∠ADB=∠ACB,∴.∠ADB=∠ADE. (2)如图，作直径BF,连接FC,则 ∠BCF=90. ,⊙O的半径为2，.BF=4. BC=3,∠BAC=∠BFC, .sin∠BAC=sin∠BFC= BC BE 3 4 6.A 7.12【解析】在Rt△POH中，.OP=5,sin∠POH= -号PH=8OH=VOp-PF=4点 P的坐标为(4,3).把P(4,3)代入y=,解得k=12, &.②T 5 【降折1∠C-0由A-号g-设 BC=2k,则AB=5k.由勾股定理，得AC= AC=2Ik=√2I √AB-BC=V2k,.sinB=AB 5k 5 9.解：如图，∠AOB即为所求. ☑B TT 0 图① 图② 图③ OH 1 10.解：在Rt△AHO中，，sin∠OAH= 0A=20A =2OH. 在R△BH0中.：n∠0BH-8证-日i0B =3OH. 又，OA+OB=AB=4m,即2OH+3OH=4m, .OH=0.8m. 第2课时余弦和正切 1.D2.D3.B 4.解：：∠C=90°，MN⊥AB, ∴.∠C=∠ANM=90°. 又：∠A=∠A,∴.∠AMN=∠B. AN=3,AM=4,.MN=AM-AN=√7， ∴cosB=cos∠AMN-MN-. 》一题多解法 :∠C=90°，MN⊥AB,∴.∠C=∠ANM=90° 又5∠A=∠A,∴△ABC∽△AMN,AG AN 3 AM=4: 设AC=3.x,则AB=4x. 由勾股定理，得BC=√AB-AC=√7x 在Rt△ABC中，cosB= BC_F7z_ AB 4x 4' 下册详解详析 △