31.4 位 似 题型专练 2025--2026学年人教版九年级数学下册

人教版（2024）九年级下册 31.4 位 似 题型专练 【题型1】位似图形的判断及相关概念 【典例】大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中做了记载.如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换 （      ）  A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【举一反三1】如图，E，P，F分别是AB，AC，AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD __________ (填“是”或“不是”)位似图形. 【举一反三2】如图，已知B'C'∥BC，C'D'∥CD，D'E'∥DE. (1)求证：四边形BCDE位似于四边形B'C'D'E'； (2)若＝3，S四边形BCDE＝20，求S四边形B'C'D'E'. 【举一反三3】如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心. (1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？ (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？ 【题型2】位似作图 【典例】如图所示，△DEF是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的个数是 （      ）  A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三1】如图，在正方形网格图中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是点__________ . 【举一反三2】如图，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上，每个小网格的边长为1. (1)画出位似中心点O； (2)△ABC与△A'B'C'的相似比为　　　　，面积比为　　　　. 【题型3】坐标系中对两个位似图形求解 【典例】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△BDE的位似中心是原点O，已知点A(1，0)，B(3，0)，则点D的坐标是 （      ）  A．(6，0) B．(7，0) C．(9，0) D．(10，0) 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是__________ ． 【举一反三2】如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，求两个正方形的位似中心的坐标. 【题型4】坐标系中的位似作图 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　）            A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ）            A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有(     )                         A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是__________．                    【举一反三4】如图，的顶点坐标分别为，，．                    (1)绕原点逆时针旋转得到，按照要求画出； (2)以点为位似中心画，使它与位似，且位似比为． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4） （1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1，在图①中画出△AB1C1，并求出在旋转过程中△ABC扫过的面积； （2）在图②中以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，并写出点C的对应点的坐标．                             【题型5】用性质求比值 【典例】如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，位似中心是点O，若四边形ABCD的面积是18，四边形EFGH的面积是8，则EF∶AB等于 （      ）  A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4 【举一反三1】如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是 （      ）  A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 【举一反三2】如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA∶OA1＝1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是 （      ）  A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶ 【举一反三3】如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心. (1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？ (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？ 【举一反三4】如图是由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…，正△AnBnCn组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1的中点，点A2是OA1的中点，点A3是OA2的中点，…，点An是OAn-1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，…，Cn都在边B1C1上. (1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心； (2)求出第n个△AnBnCn(n≥2)的周长. 【题型6】用性质求边长或周长或角度 【典例】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2∶3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是 （      ）  A．16 B．9 C．6 D．4 【举一反三1】如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，对应边CD＝2，C'D'＝3.若位似中心O到A的距离为3，则O到A'的距离为__________ . 人教版（2024）九年级下册 31.4 位 似 题型专练（参考答案） 【题型1】位似图形的判断及相关概念 【典例】大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中做了记载.如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换 （      ）  A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【举一反三1】如图，E，P，F分别是AB，AC，AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD __________ (填“是”或“不是”)位似图形. 【答案】是 【解析】∵E，P，F分别是AB，AC，AD的中点， ∴PF，EP分别是△ACD，△ABC的中位线， ∴PF∥CD，EP∥BC， ∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC， ∴四边形AEPF∽四边形ABCD， ∴根据位似图形的定义，得四边形AEPF和四边形ABCD是位似图形. 【举一反三2】如图，已知B'C'∥BC，C'D'∥CD，D'E'∥DE. (1)求证：四边形BCDE位似于四边形B'C'D'E'； (2)若＝3，S四边形BCDE＝20，求S四边形B'C'D'E'. 【答案】(1)证明 ∵B'C'∥BC，C'D'∥CD，D'E'∥DE， ∴， 又∵四边形B'C'D'E'和四边形BCDE对应顶点的连线相交于点A， ∴四边形B'C'D'E'位似于四边形BCDE. (2)解 ∵＝3，∴， 又∵四边形B'C'D'E'和四边形BCDE是位似图形， ∴四边形B'C'D'E'和四边形BCDE的相似比为3∶4，面积比为9∶16， ∵S四边形BCDE＝20， ∴S四边形B'C'D'E'＝20×. 【举一反三3】如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心. (1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？ (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？ 【答案】解 (1)∵PI∶PA＝6∶2＝3∶1， ∴正方形IJKL与正方形ABCD的相似比为3. (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形， ∴相似比为. (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为＝2. 【题型2】位似作图 【典例】如图所示，△DEF是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的个数是 （      ）  A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】第一个图形的位似中心为点A，第二个图形的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形的位似中心为点O，第四个图形的位似中心为点O，共4个. 【举一反三1】如图，在正方形网格图中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点A的对应顶点，则点B的对应顶点是点__________ . 【答案】N 【解析】∵OA＝1，OD＝3， ∴△ABC与其位似图形的相似比为1∶3， ∴点B的对应点是点N. 【举一反三2】如图，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上，每个小网格的边长为1. (1)画出位似中心点O； (2)△ABC与△A'B'C'的相似比为　　　　，面积比为　　　　. 【答案】解　(1)如图，点O为位似中心. (2)因为AB∶A'B'＝OA∶OA'＝12∶6＝2∶1，所以△ABC与△A'B'C'的相似比为2∶1， 面积比为4∶1. 【题型3】坐标系中对两个位似图形求解 【典例】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△BDE的位似中心是原点O，已知点A(1，0)，B(3，0)，则点D的坐标是 （      ）  A．(6，0) B．(7，0) C．(9，0) D．(10，0) 【答案】C 【解析】∵△ABC与△BDE的位似中心是原点O，点A(1，0)，B(3，0)， ∴△ABC与△BDE的相似比为1∶3， ∴点D的横、纵坐标分别是点B(3，0)的横、纵坐标的3倍， ∴点D的坐标是(9，0). 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是__________ ． 【答案】或 【解析】∵以原点为位似中心，相似比为，把放大，点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或， 即的坐标为或， 故答案为：或． 【举一反三2】如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，求两个正方形的位似中心的坐标. 【答案】解 ∵在正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)， ∴E(－1，0)，G(0，－1)，D(5，2)，B(3，0)，C(5，0). (1)当点E和点C是对应顶点，点G和点A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点， 设AG所在直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 代入A，G两点坐标得 解得 ∴AG所在直线的解析式为y＝x－1，当y＝0时，x＝1，∴AG与EC的交点坐标是(1，0)，即位似中心的坐标是(1，0)； (2)当点A和点E是对应顶点，点C和点G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点， 设AE所在直线的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，代入A，E两点坐标得 解得 ∴AE所在直线的解析式为y＝x＋； 设CG所在直线的解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0)，代入C，G两点坐标得 解得 ∴CG所在直线的解析式为y＝x－1， 联立两直线解析式得 解得 故AE与CG的交点坐标是(－5，－2)，即位似中心的坐标是(－5，－2). 综上所述，位似中心的坐标是(1，0)或(－5，－2). 【题型4】坐标系中的位似作图 【典例】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　）            A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵与是位似图形， 连接并延长，交于点，则点即为位似中心，如图所示： 由图可知：； 故选B． 【举一反三1】如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ）            A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接，，，并延长如图所示，         ， ∴的位似图形是， 故选：C． 【举一反三2】如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.则图中与成轴对称的格点三角形有(     )                         A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】符合题意的三角形如图所示：              满足要求的图形有6个 故选：C 【举一反三3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是__________．                    【答案】图见解析，（4，2）或（﹣4，﹣2）． 【解析】如图△A1B1C1使或△A′1B′1C′1为所求图，点B的对应点B1的坐标为 （4，2）或（﹣4，﹣2）．                   【举一反三4】如图，的顶点坐标分别为，，．                    (1)绕原点逆时针旋转得到，按照要求画出； (2)以点为位似中心画，使它与位似，且位似比为． 【答案】解：（1）如图所示，即为所作，                （2）如图所示，即为所作， 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4） （1）将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1，在图①中画出△AB1C1，并求出在旋转过程中△ABC扫过的面积； （2）在图②中以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，并写出点C的对应点的坐标．                             【答案】解：（1）如图所示：△AB1C1即为所求，             △ABC扫过的面积为：； （2）如图所示：△A′B′C′以及△A″B″C″即为所求，           C点对应点为：（2，﹣2）或（﹣2，2）． 【题型5】用性质求比值 【典例】如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，位似中心是点O，若四边形ABCD的面积是18，四边形EFGH的面积是8，则EF∶AB等于 （      ）  A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，面积比为18∶8＝9∶4， ∴四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为3∶2， ∴EF∶AB＝2∶3. 【举一反三1】如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是 （      ）  A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F 【答案】B 【解析】∵正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似， ∴DE∶MN＝AB∶FG＝2∶3， ∴3DE＝2MN. 【举一反三2】如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA∶OA1＝1∶2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是 （      ）  A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶ 【答案】A 【解析】∵△ABC与△A1B1C1位似， ∴△ABC∽△A1B1C1，AC∥A1C1， ∴△AOC∽△A1OC1， ∴， ∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1∶2. 【举一反三3】如图，正方形EFGH，IJKL都是正方形ABCD的位似图形，点P是位似中心. (1)哪个图形与正方形ABCD的相似比为3？ (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形吗？如果是，求相似比； (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比是多少？ 【答案】解 (1)∵PI∶PA＝6∶2＝3∶1， ∴正方形IJKL与正方形ABCD的相似比为3. (2)正方形IJKL是正方形EFGH的位似图形， ∴相似比为. (3)正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为＝2. 【举一反三4】如图是由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…，正△AnBnCn组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1的中点，点A2是OA1的中点，点A3是OA2的中点，…，点An是OAn-1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，…，Cn都在边B1C1上. (1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心； (2)求出第n个△AnBnCn(n≥2)的周长. 【答案】解 (1)∵△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1的中点，点A2是OA1的中点， ∴正△A2B2C2的边长为， 正△A3B3C3的边长为， 正△A10B10C10的边长为，正△A7B7C7的边长为， ∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比 ＝；它们的位似中心为点O. (2)∵第n个△AnBnCn(n≥2)的边长为(n≥2)， ∴第n个△AnBnCn(n≥2)的周长为(n≥2). 【题型6】用性质求边长或周长或角度 【典例】如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2∶3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是 （      ）  A．16 B．9 C．6 D．4 【答案】D 【解析】∵△ABC和△DEF是位似图形，位似比为2∶3， ∴△ABC和△DEF的相似比为2∶3， ∴△ABC的周长＝×△DEF的周长 ＝×6＝4. 【举一反三1】如图，与是位似图形，是位似中心，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵与是位似图形，是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【举一反三2】如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ， 又∵的周长为，． 故选：C． 【举一反三3】如图，若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，对应边CD＝2，C'D'＝3.若位似中心O到A的距离为3，则O到A'的距离为__________ . 【答案】5 【解析】∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'位似，CD＝2，C'D'＝3，∴OA∶OA'＝CD∶C'D'，∴3∶OA'＝2∶3，解得OA'＝4.5. 学科网（北京）股份有限公司 $