第31章 解题模型专练 相似三角形的基本模型-【学海风暴】2026-2027学年九年级下册数学同步教学(教师用书)(人教版·新教材)

解题模型专练 相似三角形的基本模型 题型① “A”字型及其变形 2.如图，DE是△ABC的 基本模型 中位线，点F在线段 “A”字型：如图①，DE∥BC→△ADE DB上，DF=2BF.连接 △ABC;如图②，∠1=∠C或∠2=∠B→ EF并延长，与CB的延 △AED∽△ABC. 长线相交于点M.若BC 第2题图 =6,则线段CM的长 (C) A号 B.7 c号 D.8 图① 图② 3.一题多解法如图，在△ABC中，AD是BC 1.如下图，AC与BD交于点O,OA=OD, 边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延 AE 2AF ∠ABO=∠DCO,E为BC延长线上一点， 长，交AC于点F.求证：DE=CF 过点E作EF∥CD,交BD的延长线于 证法一（构造“A”字型）：如图①，过点D作 点F DH∥BF,交AC于点H(请把证明过程补 (1)求证：△AOB≌△DOC. 充完整) (2)若AB=2,BC=3,CE=1,求EF的长. CH CD AE 解：(1)证明：在△AOB和 证明：：DH∥BF,Fm=BD·DE △D0C中， ∠ABO=∠DCO. =品 图① ∠AOB=∠DOC, AD是BC边上的中线，CD=BD OA=OD, CH=FH=1 ∴.△AOB≌△DOC(AAS) (2):△A0B≌△D0C,.AB=DC=2 说-”兴 CF EF∥CD,.△BCD∽△BEF, 、CDBC 8 证法二（构造“X”字型）：如图②，过点D作 DK∥AC,交BF于点K(请把证明过程补充 题型② “X”字型及其变形 完整). 证明：：AD是BC边上的中线 基本模型 “X”字型：如图①，AB∥CD→△ABO D-C △DCO;如图②，∠A=∠C或∠B=∠D :DK∥AC,∴△BDKC∽△BCF, 图② △DEK△AEF, →△ABOp△CDO. 肥-0-欲-能诚= -CF. 六A=AF=AF-2AF 2 CFCF. D=D= 图② 下册第三十一章 9 题型③“母子”型 (2)求证：BA·AF=AC·DF. 基本模型 证明：(2)由(1)，得△CBAC∽△ABD, BAAC.BABD 如图①，∠ACD=∠B或∠ADC= ·∠C=∠FAD,BD=DA心ACDA ∠ACB→△ADC∽△ACB;如图②，AC1 :E为AC的中点，AD⊥BC, BC,CD⊥AB→△ADC∽△ACB∽ ,.ED=AE=EC,.∠EDC=∠C=∠FAD. ∠FDB=∠EDC,∴∠FDB=∠FAD. △CDB(此为图①的特例). 又：∠F=∠F,∴△DBF△ADF, AFAC.DF. 图① 图② 题型④ “一线三等角”型 4.如图，D是△ABC的边BC上一点.已知 基本模型 AB=6,AD=3,AC=4,∠DAC=∠B,则 如图，∠1=∠2=∠3→△APC∽△BDP BD的长为 (B) A.4 B.6 C.8 D.9 图① 图② 7.如图，点E在矩形ABCD的 第4题图 第5题图 E 5.如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接 边AB上，将△ADE沿DE CD.已知AD=4,BD=5,AC=6,CD=3,那么 翻折，点A恰好落在BC边 B F 上的点F处.若CD=3BF, 第7题图 线段BC的长度是 2 BE=4,则AD的长为 (C) 6.如右图，在Rt△ABC中， A.9 B.12 C.15 D.18 ∠BAC=90°，AD⊥BC于点 8.如右图，梯形ABCD中，AD∥ A E D D,E为直角边AC的中点， BC,AB DC AD =6, 连接ED并延长，交AB的 ∠ABC=70°，点E,F分别在B 延长线于点F. 线段AD,DC上，且∠BEF=110°.若AE (1)若AB=6,AC=8,求BD的长 3,求DF的长 解：(1)在R△ABC中，BC=√AB+AC=√G+8=10. 解：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,∠ABC ∠BAC=90°，AD⊥BC,.∠CAB=∠ADB. =70°， 义'∠CBA=∠ABD,△CBA△ABD, .∠D=∠A=180°-∠ABC=180°-70°=110°， 8-C脚0-投0=36 ∴∠DFE+∠DEF=180°-110°=70. ”∠BEF=110°， ∴.∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°， .∠DFE=∠AEB,.△DFE△AEB, :DF=ED H DF_6-3 3 AE=A即3=6，解得DF=2 10 九年级数学RJ版◆一题多解法 如图，过点E作EF∥AB,交 BC于点F.,E是AD的中 点，BF=DF,EF是 △ABD的中位线，.EF=B 2AB=1.BD 2CD, 1 ∴.DF=CD.AD⊥BC,DE所在直线垂直 平分CF,∴.EC=EF=1. 11.解：示例：选择①. 证明：△ACD∽△A'C'D', ∠Ac-∠ADC,品品. ∴.∠ADB=∠A'D'B' 0000 ÷B0-0△ABD△ABn 12.2或8或5【解析】根据题意，可分以下情况：①当 AD PD 4 PD PC=BC时，△APD∽△PBC,即10-PD=4,解 得PD=2或PD=8:②当AC=P2时，△PAD △PBC,即4=1O-PD解得PD=5.综上所述，Dp 的长度是2或8或5. 第2课时相似三角形的判定定理3 1.C2.A3.D 4.B【解析】，长120cm的木条与三角形木架的最长边 相等，∴.长120cm的木条不能作为一边. 设从长120cm的木条上截下的两段分别长xcm, ycm(x<y,x+y≤120)，易得长60cm的木条不能与 长75cm的一边对应. 当长60cm的木条与长10cm的一边对应时，有元 y60 120-100x=45,y=72,符合题意： 当长60cm的木条与长120cm的一边对应时，有7污 y60 100-120x=37.5,y=50,符合题意.故不同的截 法有两种. 5.一定6.2 7.证明：：∠ACB=90°，E,F分别为AD,AB的中点， CE-TAD.CF-TAB.EF-DB, 需器器 .△CEFc∽△ADB,∴.∠CFE=∠B. 8.A9.C变式题3.6 42 九年级数学RJ版 10.证明：，CD,C'D'分别是两个三角形斜边上的高， .∠ADC=∠A'D'C'=90°」 又CD:C'D'=AC:A'C, .Rt△ADC∽Rt△A'D'C',∴∠A=∠A'. 又：∠ACB=∠A'C'B'=90°， .△ABC∽△A'B'C'. 解题模型专练相似三角形的基本模型 1.解：(1)证明：在△AOB和△DOC中， (∠ABO=∠DCO, ∠AOB=∠DOC, OA=OD. ∴.△AOB2△DOC(AAS). (2)'△AOB≌△DOC,.AB=DC=2. ,EF∥CD,.△BCD△BEF, 品能即品3EF= CD BC ,23 2.C【解析】，DE是△ABC的中位线， DE/BC,DE=专BC=×6=3, .△DEFp△BMF, DE DF 2BF 六BMBF=BF=2, 2·CM=BC士BM-5, 3 .BM=- 3证明，（将查A字型）：DH/B小留品能 器 AD是BC边上的中线，∴.CD=BD, CH-FH-7CF, 能mC正 CF· (构造“X”字型)，AD是BC边上的中线， ∴BD=2BC DK∥AC,∴.△BDK∽△BCF,△DEK∽△AEF, ÷批8识能Dx-c. 能架- 2Ch CF· 4.B 5.2【解析】：AD=4,BD=5,AC=6.AC=6 9 3AB_4+5_=3.:AC=AB.:∠CAD=∠BAC, 2'AC62…AD=AC △ABCn△ACD.S设-台CD=3,BC 9 2 6.解：(1)在Rt△ABC中，BC=√AB2+AC=√62+8 =10. :∠BAC=90°，AD⊥BC, ∴.∠CAB=∠ADB. 又：∠CBA=∠ABD,∴.△CBA∽△ABD, 8断即品-日0-6 (2)证明：由(1)，得△CBA∽△ABD, 、BAAC.BABD ∴∠C=∠FAD·BDDA·ACDA E为AC的中点，AD⊥BC, ∴.ED=AE=EC, ∴.∠EDC=∠C=∠FAD ∠FDB=∠EDC,.∠FDB=∠FAD. 又：∠F=∠F,∴.△DBF∽△ADF, 册E器 .BA·AF=AC·DF. 7.C【解析】：四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,∠A=∠EBF=∠BCD=90° 将矩形ABCD沿DE折叠， .AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90°， ,∴.∠BFE+∠DFC=∠BFE十∠BEF=90°， ∠BEF=∠CPD.△BEF∽△CFD5-E CD=3BF...CF=3BE=12. 设BF=x.CD2十CF2=DF2, .(3x)2+12=(x十12)2，解得x1=3,x2=0(舍去)， ..AD=BC=3+12=15. 8.解：在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC,∠ABC=70°， ∴.∠D=∠A=180°-∠ABC=180°-70°=110°， ,∴.∠DFE+∠DEF=180°-110°=70°. ,∠BEF=110°， ∴.∠AEB+∠DEF=180°-110°=70°， ∴.∠DFE=∠AEB,∴.△DFE∽△AEB, ÷E-欲即四-8号解得DF-2 31.2.3相似三角形的性质 1.C2.B3.D .AB 3 4.解：AB=15cm,A'B'=10cm心AB=2 AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线， △AC△ABC0-滑-2 又：AD+A'D'=15cm,.AD=9cm,A'D'=6cm. 5.B6.A 7.30【解析】由题意，得℃A。3 1C大三角形=5 设大三角形的周长为5.xcm,则小三角形的周长为 3x cm, .5x-3x=12,解得x=6,.5.x=30. 故大三角形的周长为30cm. 8.D【解析】，DE∥BC,∴.△ADE△ABC. 沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分， ,∴.△ADE的面积是原△ABC面积的一半， 1 2 S△Ac2' .AD AB 22 9.1510.411.10变式题3 12.解：(1)证明：：∠DAC=∠B,∠C=∠C, ∴.△DACc∽△ABC. (2)设△DAC的面积为S. ,△ABD的面积为15， .△ABC的面积为15+S. 又.'△DAC∽△ABC, (验)=()- 1 即15十s=4,解得S=5, ∴.△DAC的面积为5. 13.5+1 4 解题方法专题作相似三角形的常用辅助线 1.解：如图，过点E作EH∥AC交BD于点H, ÷△BEHO△BCD,08 EH 3EC 3 :BE=3EC,小CD-4EC4 D是AC的中点，∴AD=CD 器 :EH∥AD,.△AFD∽△EFH,心EF=EH=3 AF AD 4 2.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AB∥CD,∴.∠OAE=∠OCF. ∠OAE=∠OCF, 在△AOE和△COF中，OA=OC, ∠AOE=∠COF, .∴.△AOE≌△COF(ASA), ∴.OE=OF. (2)如图，过点O作ON∥BC交AB 于点N,则△AON∽△ACB, 台器0 0A=0c8 下册详解详析 3