31.1 图形的相似&31.2 相似三角形-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级数学单元检测卷（人教版·河南专版）

5.C【解析】由题意，得∠OCP=∠OCD=90°，.C0=CD .∴.∠CD0=∠C0D=45°，.∴.∠A0C=135°..0A=0C, ∠0CA=22.5°，.∠PCA=67.5°，故选C. 6.C7.A 8.64°【解析】连接AC.∠ADC=90°，.AC是⊙0的直 径..：EA与⊙O相切于点A,.∠EAC=90°..四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，∴.∠BAD=180°-∠BCD= 52%.DC=BC,.DC=BC,.L CAD=LBAC=1 2∠BAD =26°，∴.∠DAE=∠EAC-∠CAD=64° 922【解析1作APL直线y=子+3，垂足为P,作⊙A 的切线PQ,切，点为Q,,PQ2=PA2-1,∴，当PA最小时 此时切线长PQ也最小，A的坐标为(-1,0)，设直线与 x轴，y轴分别交于C,B,B(0,3),C(4,0),.0B=3, AC=4,.∴.BC=√/0B2+0C2=5,∴.AC=BC,在△APC与 I∠APC=∠B0C=90° △BOC中，{∠ACP=∠BCO ,∴.△APC≌△B0C (AC=BC (AAS),∴.AP=0B=3,.PQ=√32-1=22.最小值为 2√2 10.10 11.(1)连接0C.0C=0A,.∠0CA=∠0AC.AC平分 ∠MAD,∴.∠OAC=∠DAC,∴.∠OCA=∠DAC,∴.AD∥ OC,∴.∠OCM=∠ADC.AD⊥MC,.∠ADC=∠OCM= 90°，∴.OC⊥MC..OC是⊙0的半径，∴.MC是⊙0的 切线： (4分) (2):AB=BM,AB是⊙0的直径，∴AB=BM=20C,设 ⊙0的半径0C=r,则0M=3r.:0C⊥MC,MC=26,∴. 由勾股定理得(3r)2-2=(26)2,解得r1=√3,2=-√3 (舍)，.⊙0的半径为5. (10分) 【方法总结】切线的证明方法：(1)当一条直线与圆有公 共点时，常连接这个点与圆心，说明这条直线与半径垂 直，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线（筒称“连半径，证垂直”）；(2)当不知道这条直 线与圆是否有公共点时，常过圆心作垂直于这条直线的 垂线段，然后说明这条垂线段等于半径（简称“作垂直， 证相等”). 12.(1)证明：连接0E,并过点0作0F⊥CD.BC切⊙0 于点E,∴.OE⊥BC,OE=OA. (2分) 又.AC为正方形ABCD的对角线，∴.∠ACB=∠ACD: OF⊥CD,∴.OF=OE.∴.CD是⊙0的切线；(4分) (2)解：正方形ABCD的边长为10，.AB=BC=10, ∠B=90°，∠ACB=45°，.AC=√AB2+BC2=10N2; (6分) .·OE⊥BC,∴.OE=EC,设OA=r,则OE=EC=r,∴.OC= √/OE2+EC2=2r (8分) 0A+0C=AC,∴.r+√2r=10W2,解得r=20-102. （10分) 三角形的内切圆及正多边形与圆 1.D2.A 3.C【解析】由题可得∠BAF=(6-2)×180 =120°..正 6 六边形ABCDEF内接于⊙0，∠COD=360 =60°，∴ 120°-60°=60°，故选C. 4.C【解析】连接OD,OF,由题意，得AB⊥OD,AC⊥OF, .∠ODA=∠OFA=90°.LDEF=53°，∴.∠D0F= 2∠DEF=106°，∴.∠A=360°-∠ODA-∠OFA-∠D0F= 74°，故选C. 5.A【解析】连接OA,OC.设正多边形的边数为n. ∠A0C=2LABC=40°，400=360 -,n=9.故选A. 追梦之旅铺路卷·九年 6.C【解析】连接OD,0E,OF,设⊙0半径为r,LC= 90°，AC=4,BC=3,.AB=√AC2+BC=5,⊙0是 △ABC的内切圆，分别与AC,BC,AB相切于点D,E,F, AC⊥OD,AB⊥0F,BC⊥OE,且OF=OD=OE=r,∴.四 边形OECD是正方形，∴.CE=CD=OD=T,∴.AD=AF=AC -CD=4-r,BF=BE=BC-CE=3-r,.AF+BF=AB=5,..3 -r+4-r=5,∴.r=1.∴.OD=CD=1,.AD=3,.A0= WAD+0D=10.故选C. 7.122°8.30 9.1【解析】x2-7x+12=0,(x-3)(x-4)=0,x-3=0或x 4=0,所以x1=3,x2=4,:两直角边AC,BC的长分别为 3,4,∴.斜边AB=√32+4=5，设Rt△ABC的内切圆的半 径为r,7×(3+4+5)×=×3×4,解得1=1，即 Rt△ABC的内切圆的半径为1. 10.20°【解析】连接0C.点I是△ABC的内心，.A平 分∠BAC.:∠CA=35°，.∠BAC=2∠CAI=70°.点 0是△ABC外接圆的圆心，.∠B0C=2LBAC=140°. 0B=0C,∠0BC=L0CB=2×(180°-LB0C)= 20°. 11.解：：△ABC的内切圆⊙0与BC,CA,AB分别相切于点 D,E,F,..AE=AF,BF=BD,CE=CD. （2分) 设AF=x,则AE=x,BF=BD=18-x,CE=CD=26-x, BC=BD+CD=18-x+26-x=28,解得x=8, (8分) .'AF=8cm,BD=10cm,CE=18cm. (9分) 12.解：(1)如图，正六边形ABCDEF即为所求； (4分) E D B C (2)四边形BCEF是矩形. (5分) 理由：连接OE,:六边形ABCDEF是正六边形，∴.AB= AF=DE=DC,FE=BC,:.AB=AF=DE=DC,.BF=CE, ∴.BF=CE,∴.四边形BCEF是平行四边形..∠EOD= 360 6 -=60°，OE=OD,.△E0D是等边三角形，.∠OED =∠ODE=60°，∴.∠EDC=∠FED=2∠ODE=120°.. 路 DE=DC,∴.∠DEC=∠DCE=30°，∴.∠CEF=∠DEF- LCED=90°，.四边形BCEF是矩形. (9分) 13.解：(1)∠F0E为正六边形的中心角，∴.∠F0E=60°. 答 E0=FO,∴.△EOF是边长为r的等边三角形，EF= 案 CSE大SE方形rwF(6X)·. 2）7=33:2； (4分) (2)·OF=EF=FG,∴.△OFG是等腰三角形.，∠EFG =90,L0FE=60°，L0FG=150°，.∠0GF= 3+ (180°-150°)=15°. (9分) 第三十一章相似 图形的相似 1.D2.C3.B 4.B【解析】根据题意得23=x:6,解得x=4.故选B. 5.A6.B 7.B【解析】小四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似， 4BC AB h祝8C品分故选取 4 8.5 9.5 级·RJ·数学第28页 108【解折1设矩形长为，则完为5，：矩形ABCD 的用长为85+82x(5气)85+8，解得8 11.解：(1)83° (3分) (2):四边形ABCD一四边形A'BC'D,:==9 8116 33 解得x=12,y=2 (10分) 相似三角形 1.C 2.B 【知识总结】相似三角形的判定：1.两角分别相等的两个 三角形相似；2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相 似；3.三边成比例的两个三角形相似.4.斜边和一直角 边成比例的两个直角三角形相似. 3B【每折小提SSA1 GDF,∠p ∠C,∠A=70°，∠B=60°，.∠C=180°-70°-60°= 50°，.∠F=50°.故选B. 4.C【解析】小：DE∥BC,.∠AED=∠C,EF∥AB,.∠A LCEF AAED△BCP,心(2，Sae ECF 元22 16,S8c=4,4 AC3,:DE/BC,△ADE △ABC, =(0=5a=165a=36, ..S e=36-16-4=16.故选C. 5.B【解析】小：CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠DCB,:DM∥ CB,∴.∠MDC=∠DCB,∴.∠MDC=∠ACD,∴.MD=MC, :DM∥BC,.△ADM~△ABC,DM=AMDM BC=AC,3 2-DN=号放选B 2 6.D 7.B【解桥：DE/Bc0格22,1EA0 CA 3'BC AB 路 3AF:FC=1:2,AF:AC=1:3,.AF=EF=EC, 手 EG:BC=1:2.设EG=m,则BC=2m,DE=4m 3 m,DG= 3m-m=3m DG:CE=In 4 1 3mm=13.故选B. 8.√2+19.9 10.3或4.8【解析】设运动时间为x秒，根据题意：AD= xcm,CE=2xcm,则AE=(12-2x)cm,当△ADE△ABC, 0=4BL名-22，解得x=3;当△ADB∽△ACB 六ABAC 40AB·=12-2x,解得x=4.8 AC AB'126 11.(1)解：如图，点D是所求作的点， (4分) A -7 -- 1A21-11-19 (2)证明：AB=√T2+22=√5，BC=5,BD=1, BD BA √5BA5,BDBA 5’BC=5·BABC (8分) ∠DBA=∠ABC,∴.△ABD△CBA. (10分) 12.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，.∠C+∠B= 180°，∠ADF=∠DEC..·∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE= 追梦之旅铺路卷·九年 ∠B,∴LAFD=LC,△ADFn△DEC; (5分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形，.CD=AB=8. E△ADF△DECA=CDE=AD.GO-6V3X8 AF 4/3 =12. (10分) 13.解：(1)∠A=40°，∠B=60°，∠ACB=180°-60°- 40°=80°，∴△ABC不是等腰三角形，CD平分 ∠ACB,.∴.∠ACD=∠BCD=40°，∴.∠ACD=∠A=40°，. △ACD为等腰三角形，.·∠DCB=∠A=40°，∠CBD= ∠ABC,∴.△BCD∽△BAC,∴.CD是△ABC的完美分割 线 （3分) (2)①当AD=CD时，∠ACD=∠A=48°，.'△BDC∽ △BCA,∴.∠BCD=∠A=48°，∴.∠ACB=∠ACD+∠BCD =96°. (4分) ②当AD=AC时，∠ACD=∠ADC=180,48”=66°， 2 △BDCM△BCA,∴.∠BCD=∠A=48°，.∠ACB= ∠ACD+∠BCD=114°. (5分) ③当AC=CD时，∠ADC=∠A=48°，△BDC∽△BCA, .∠BCD=∠A=48°，但∠ADC>∠BCD,∴.矛盾，舍弃. .∠ACB=96°或114°. (6分) (3):△BCD△BAC,-BABC BC BD 设BD=x,.(2)2= x(x+2),:>0,x=5-1.△BCD△BAC,AC CD 8D-51cD=6-2 (10分) BC2 相似三角形的应用 1.B 2.C【解析】.·∠D=∠D,∠DEF=∠DCB,∴.△DEF∽ △D0B华-总甲号温解释6C-0mAC- 150cm,.AB=AC+BC=550cm,即树高550cm.故选C. 3.B4.B5.B 6.B【解析：AB/CE,△ABD∽△ECD,CDED, BD AD BC=3米，CD=5米，AE=1.5米，.BD=3+5=8(米)，AD =(DE+1.5)米，5= S03,解得DE=25米.故选 B. 7.10 8.4【解析】根据题意可得△EOF∽△EDC,△AB0∽ CD DE CD OD △GD0,四边形AB0F是矩形，F00E·A80B=2, OF=AB,即DE-120E-=2,解得OB=4em,即凸透镜MN OEOE 的焦距OE的长为4cm. 9.24【解析】设正方形零件的边长为acm,AD交HM于点 、O,HM∥BC,△AHM一△ABC,B=A%,即2%= 80 60-a 60,a=24,.正方形的边长为24cm. 10.解：(1)设DE=xcm,则AD=(8-x)cm,根据题意得：3×3 ×(8-)+分×3x3x=3x3x6,解得x=4,DE=4em (4分) (2).:∠E=90°，DE=4cm,CE=3cm,∴.CD= √DE2+CE=√42+3=5(cm),∠BCE=∠DCF= 90°，·.∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB,∴.∠DCE= ∠BCF. （6分) :∠DEC=∠BFC=90°，∴.△CDEM△CBF,∴. CE CD CF CB' 即3、5 CF8.∴.CF=cm (8分) 级·RJ·数学第29页第三十 图形 测试时间：25分钟 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.下列各组图形中，不是相似图形的是( &姿 C.( D.( 2.如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大， 则放大前后两个图形之间属于( A.轴对称变换 B.平移变换 C.相似变换 D.旋转变换 3.下列说法正确的是() A.矩形都是相似图形 B.正方形都是相似图形 C.各边对应成比例的多边形是相似多边形 D.相似多边形对应角的比叫作相似比 4.若长度分别为2,3，x,6的四条线段是成比 例线段，则x的值为() A.3B.4 C.6 D.9 5.如图，矩形ABCD∽矩形EFGH,若AB 2cm,EF=3cm,则矩形ABCD与矩形EF GH的相似比为( B A.2:3 B.3:2 C.49 D.9:4 6.图中，有三个矩形，其中相似的是( 2 1.512.5 1.51 丙 A.甲和乙 B.甲和丙 C.乙和丙 D.没有相似的矩形 7.如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩 形若要使每一个矩形与原矩形相似，则 C 的值为() 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 章相似 的相似 测试分数：40分 A A写 B.2 3 二、填空题（每小题3分，共9分） b+d 9.“碧波深处藏珍宝，珠城扇贝名远扬”，如图 是两个形状相同的扇贝图案，则图中x的值 为 cm. 8 cm 4 cm 10cm xcm 10.新定义如果一个矩形的宽与长之比等于 黄金数，就称这个矩形为黄金矩形 若矩形ABCD为黄金矩形，矩形ABCD的 周长为8√5+8，则矩形的长为 三、解答题（共10分）》 11.(10分)如图，四边形ABCD∽四边形A'B' C'D'. (1)= (2)求边xy的长度. C D C 9 6/140° 8 A62°75以 y A 11 B 九年级·RJ·数学第27页 相似三 测试时间：40分钟 一、选择题（每小题3分，共21分） 1.已知△ABC△A,B,C,且A5=-?若 A B 3' △ABC的周长为8，则△A1B1C1的周长 是() A.4 B.8 C.12 D.18 2.如图所示，若△DAC∽△ABC,则需满 足() A.CD2=AD·DB B.AC2=BC·CD C.AC_AB CD BC D. ·CDBC DAAC D B 第2题图 第4题图 3已知△ABC和△DBF满足CAC DE-EF-DR,且 ∠A=70°，∠B=60°，则∠F=() A.60° B.50° C.70° D.60°或50° 4.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,若 SAADE=16,SAEFC=4,则SODRFE=(） A.9 B.12 C.16 D.20 5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,交AB于 点D,过D作BC的平行线交AC于M,若 BC=3,AC=2,则DM=() 4 6 4 0.3 D B 第5题图 第6题图 6.学习情境·课堂讨论如图，在△ABC纸板 中，AC=4,BC=8,AB=11,P是BC上一点， 追梦之旅铺路卷·铺路帮手 三角形 测试分数：60分 沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的 小三角形纸板.针对CP的不同取值，甲、乙 两人的说法如下.下列判断正确的 是() 甲：若CP=4,则有3种不同的剪法； 乙：若CP=2,则有4种不同的剪法。 A.甲错，乙对 B.甲对，乙错 C.甲和乙都错 D.甲和乙都对 7.如图，已知在△ABC中，点 D,E分别在边AB,AC上， D G DE∥BC,AD:BD=2:1,点 F在AC上，AF:FC=1:2,连接BF,交DE于 点G,那么DG:GE等于() A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5 二、填空题（每小题3分，共9分） 8.在△ABC中，MN∥BC,S AAMN=S四边形MCg:则 AM MB 第8题图 第9题图 9.如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线 BD平移到△EFG,阴影部分面积记为S,若 [48G=16,则S3 10.如图所示，在三角形ABC 中，AB=6cm,AC=12cm,B 点D从点A出发以1cm/s的速度运动到 点B停止，点E从点C出发以2cm/s的速 度运动到点A停止，如果两点同时开始运 动，那么以点A,D,E为顶点的三角形与 △ABC相似时，运动时间为 S. 九年级·RJ·数学第28页 三、解答题（共30分） 11.（10分)如图，A,B,C三点均在边长为1的 小正方形网格的格点上 (1)请在BC上标出点D,连结AD,使得 △ABD∽△CBA; (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA. B 12.（10分)如图，在平行四边形ABCD中，E 为BC边上一点，连接DE,F为线段DE上 一点，且∠AFE=∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC; (2)若AB=8,AD=6W3,AF=43,求DE 的长 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 13.（10分)从三角形（不是等腰三角形）一个 顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交 点之间的线段把这个三角形分割成两个小 三角形，如果分得的两个小三角形中一个 为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我 们把这条线段叫作这个三角形的完美分 割线 (1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线， ∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的 完美分割线 (2)在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC 的完美分割线，且△ACD为等腰三角形， 求∠ACB的度数 (3)如图2，△ABC中，AC=2,BC=√2，CD 是△ABC的完美分割线，且△ACD是以 CD为底边的等腰三角形，求完美分割线 CD的长， 图1 图2 九年级·RJ·数学第29页