31.2.2 三角形相似的判定 第2课时（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年新教材九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

X 第2课时 三角形相似的判定（二） 教材知识梳理 1.三边① 的两个三角形相似， 2.直角三角形相似的判定定理：斜边和一直角边② 的两个直角三角形相似， 温馨提示(1)两个三角形必须都是直角三角形才能使用该定理；(2)注意分清楚直角边的对应 关系，若没有明确说明，则需要分类讨论；(3)相似三角形的判定定理同样适用于直角三角形相似 的判定 教材母题变式 教材母题1由三边成比例判定两个三角形相似 例1（教材P14T1改编）已知△ABC和△DEF,根据下列条件判断它们是否相似，并说明理由. (1)AB=3,BC=4,AC=6,DE=6,EF=8,DF=9; (2)AB=4,BC=8,AC=10,DE=20,EF=16,DF=8. 变式要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三条边长分别为6cm,7cm, 8cm,另一个三角形框架的一边长为3cm,则它的另外两条边长是多少？ 方法总结利用三边成比例判定三角形相似的步骤： (1)将每个三角形的三条边长按从小到大的顺序排列： (2)分别计算两条最短边的比、中等边的比、最长边的比； (3)判断三组边长的比是否相等，若相等，则相似；反之，则不相似 93 教材母题2直角三角形相似的判定 例2（教材P16T4改编）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件中不能判定这两个 三角形相似的是 () A.∠A=55°，∠D=35° B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8 C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 D.AB=10,AC=8,DE=15,EF=9 方法总结直角三角形相似的判定方法有三种： (1)一个锐角相等的两个直角三角形相似： (2)两组直角边成比例的两个直角三角形相似； (3)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 课堂10分钟· 1.把△ABC经过下列变形后得到的三角形与△ABC相似的是 A.各边长都加2 B.各边长都减2 C.各边长都乘2 D.各边长都平方 2.如图，在△ABC中，高BD,CE相交于点F,图中与△ABD相似的三角形有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.可以判定△ABC∽△A'B'C'的条件是 () AB AC A.∠A=∠A1 BAC且∠C=∠C B. C.ABAC CAB-C且∠B=∠B AB AC BC D. A'B A'C B'C' 4.如图，AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24.判断△ABC与△ADE是否相似，并说明 理由。 94教材母题变式 例496m例5212 例1(1)36(2)54W3 课堂10分钟 (3)解：如解图，连接OB,0C,作OG1 1.A2.A3.C4.12 BC于点G. 31.2相似三角形 易知△BOC是等边三角形， 31.2.1平行线分线段成比例 .∠OBC=60°，OB=BC=R, .:OG⊥BC于点G 教材知识梳理 1 ①相等②成比例③∽④k⑤成比例⑥平行 ·BG= 2 BC=- 2R,∠B0G=30, ⑦成比例⑧相似 教材母题变式 、在R△0BG中，0G=V0B-BG=R-(2R)=2R, 例15：33：5 例2(1)2 (2号 变式C例3 3 1 ∴.S△B0c= BC·OG= -XRX- -R= 2 -R, 2 4 例4DE=10。 3 cm. .正六边形ABCDEF的面积为6× TR- 2R,即s=33 R. 课堂10分钟 例2√3cm 1.B23 3.(1)EF=3.(2)BE=9. 例3解：(1)先画⊙0的内接正六边形，再在正六边形的基 31.2.2 三角形相似的判定 础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角 第1课时 三角形相似的判定（一） 形.如解图1，△DBF是⊙O的内接正三角形 教材知识梳理 (2)先画圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用直尺和 ①两②成比例③夹 圆规分别作与正方形相邻两边垂直的直径，即可作正八边 教材母题变式 形.如解图2，八边形AHBFCGDE是⊙O的内接正八边形. 例1证明：AB=AC,且∠BAC=120°， 米 .∴.∠ABD=∠ACB=30° .·∠ADE=30°，.∠ABD=∠ADE=30° ·.·∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB .∠EDC=∠DAB,.△ABD∽△DCE. 例2B例3B 解图1 解图2 例4解：相似理由如下： 课堂10分钟 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得AB=√2，DE=22 136°2.723.34.4424245 AB 1 小DE2 九年级下册 又4C-2-1ABAC DF42DE DF 第三十一章相似 又：∠BAC=∠EDF,.△ABC∽△DEF 例5证明：.·△CDP是等边三角形，..PC=PD=CD=3 31.1图形的相似 ∠PCD=∠PDC=60°， 教材知识梳理 .∠ACP=180°-∠PCD=120°，∠PDB=180°-∠PDC ①形状②边数③相等④成比例⑤相似比⑥相等 120°，.∠ACP=∠PDB. ⑦成比例 .AC=2 PC_3 2 AC PC 教材母题变式 PD3'BD93PDBD.△ACP△PDB 例1(3)(5)(6)(1)(2)(4) 2 例2(1)它们是成比例线段. 例6C (2)它们不是成比例线段. 课堂10分钟 (3)d=20cm. 1.证明：CE=CD,.∠CED=∠CDE,.∠AEC=∠BDA, 变式22cm或，cm或2cn 又.·∠DAC=∠B,∴.△ACE∽△BAD AE AD 1 例3解：若小路内、外边缘所形成的两个矩形相似，则可以 2.证明：AB=2AD,AC=2AE,ACAB2 得到两个矩形长之比与宽之比相等， 又.·∠DAE=∠BAC,.△ADE∽△ABC. 9器降5 3.证明：.AB⊥BC,ED⊥CD,∴.∠B=∠D=90°， ∴.∠A+∠1=90° .当x为1.5时，小路内、外边缘所形成的两个矩形相似 又.∠1+∠2=90°，∴.∠A=∠2，.△ABC∽△CDE. 参考答案 第2课时三角形相似的判定（二） 31.3相似三角形的应用 教材知识梳理 教材母题变式 ①成比例②成比例 例1B例2B例312m 教材母题变式 例4解：·∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED, 例1解：(1)△ABC和△DEF不相似， 理由B),C-4C240BC4C 4B_AE.即4B=25 △AEBn△CED,·CDCE1.625AB=16, DE2'EF2'DF3·DEEF≠DF 答：教学楼的高度AB是16米. .△ABC和△DEF不相似. 课堂10分钟 (2)△ABC和△DEF相似. 1.A2.C3.D4.605.3 理由：AR_BC_AC1 DF EFDE2△ABC∽△DEF 31.4 位似 9 第1课时位似图形 变式它的男外两条边长是cm,4cm或4cm,cm 教材知识梳理 7 ①位似图形②位似中心 或4cm,2cm 教材母题变式 例2C 例1D例2B 课堂10分钟 例3略. 1.C2.C3.D 课堂10分钟 4.解：△ABC与△ADE相似.理由如下： 1.D2.C3.A4.6 在△ABC中，AB=25,BC=40,AC=20, 5.略 在△ADE中，AE=12,AD=15,DE=24, 第2课时平面直角坐标系中的位似 AB BC AC 5 ”AD DE AE3.△ABC∽△ADE. 教材知识梳理 ①(kx,y)或(-kx,-ky) 31.2.3相似三角形的性质 教材母题变式 教材知识梳理 例1(6，-2)(4,2)(2x,2y) 变式(3,1) ①相似比②相似比③相似比④相似比的平方 例2(6,2)或(-6，-2)变式(4,6) 教材母题变式 例3解：(1)如解图，△A,B,C,即为所求。 m 1(m(2 (4)2:3 例2证明：△ABC∽△A'B'C',BE,B'E'分别是∠ABC, ∠A'B'C的平分线， BE AB BC PE AB BC,∠ABD=∠A'BD CD=2BD.C'D'=2B'D' C BD-c.BnrC即e指品 BD BC AB BD 0123456789x (2)由解图可得A1(6,6),B1(2,4),C1(8,2). 又：∠ABD=∠A'B'D',.△ABD∽△A'B'D', (3)由题意，得△ABC∽△A,BC,相似比为 AD AB AD BE AD ABA'D'B'E 1 例3解：△AC与△AgC的相似比为子 变式略。 SAueSaure=49SArE 课堂10分钟 1.C2.(-3,-1)或(3,1) Sac+SAc4See+SC=。rh 3.画图略.A,(-4,-2),P(-2m,-2n). .Saxwc =63. 第三十二章锐角三角函数 例416 32.1正弦、余弦与正切 课堂10分钟 第1课时锐角的正弦 1.222.4:34:33.(1)32cm(2)36cm24.3:4 教材知识梳理 =4. 5 S△DEF ①对边②斜边③对边④斜边⑤“ 参考答案