5.3.1函数的单调性（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

本高中数学讲义聚焦“函数的单调性”核心知识点，系统梳理利用导数判断单调性的基本原理，含参函数单调性的分类讨论方法，以及已知单调性求参数的转化策略，构建从基础应用到综合问题的学习支架，衔接导数概念与后续极值等知识。 该资料通过“即学即练+典例精析+变式巩固”的结构化设计，如含参讨论中“首项系数含参数，先论系数零正负”的口诀，培养学生数学思维与逻辑推理能力。课中辅助教师系统授课，课后学生可通过分层练习查漏补缺，发展数学应用意识与问题解决能力。

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.1 函数的单调性 知识点一 利用导数判断函数的单调性 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数； 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数． 【注意】对于函数，若，则为增函数（减函数）；反之，若为增函数（减函数），则恒成立，且不恒等于零． 即学即练 1．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数定义域并令其导函数大于零，解不等式即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为，, 又，令，解得时， 所以函数的单调递增区间为 故选：C 知识点二 含参函数单调性的求法 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式和分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”． (2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”． (3)注意：讨论两个根的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”． 即学即练 1．（25-26高二下·全国·课后作业）求函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】先对函数求导，然后分三种情况讨论求解． 【详解】的定义域为．． 当时，，故在上单调递增． 当时，，故在上单调递减． 当时，令，解得． 则当时，时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上知，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减． 知识点三 已知单调性求参数 已知函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围，常见的有： 1、将问题转化为恒成立问题，恒成立问题分区间恒成立与R上恒成立，常用的方法有参变分离、讨论求最值，二次函数R上恒成立讨论等。 2、将问题转化为存在性问题，可通过参变分离或讨论最值来解决。 即学即练 1．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 题型01 利用导数求函数的单调性（不含参） / 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根； 第三步：把函数在间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； 第四步：确定在各个小区间的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间的增减性. 【注意】 1 函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式； 2 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“”连接，可用“，”或“和”连接. 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，再求出导函数的值大于0的不等式解集即可. 【详解】函数，求导得， 由，解得或， 所以所求递增区间是. 故选：A 2．（26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，根据，解不等式计算即可求解. 【详解】求导可得， 令，则，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】 【分析】根据函数求导，使导函数大于0，求解不等式即得函数的递增区间. 【详解】因的定义域为， 求导得，由可得，解得. 故函数的单调递增区间是． 故答案为：. 题型02 利用导数讨论含参函数的单调性 / 求导定号：先求导函数，再判断导数的正负（重点关注含参部分）。 分类讨论： 导函数类型：若导数为一次型，讨论根的位置；若为二次型，讨论开口、判别式、根的大小。 参数分界：以导数为零的点（即参数临界值）为界划分区间。 列表定调：在定义域内划分区间，列表判断各区间导数的正负，从而得出单调区间。 注意事项： 定义域优先：讨论单调性必须在原函数定义域内进行，勿忘分母不为零、对数真数大于零等限制。 参数虚实：二次型导数需先判断判别式，无实根时导数恒正或恒负，无需讨论根的大小。 端点取舍：单调区间的分界点（导数为零的点）通常包含在单调区间内，但需考虑定义域边界。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，对m进行分类讨论即可得结果. 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】先确定函数定义域，求导后根据分子二次函数的判别式对参数分情况讨论导数符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】先求导，分、两种情况讨论的正负性即可. 【详解】当时，，定义域为， 得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 3．（2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间； 【答案】答案见解析 【分析】求导，分与讨论即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型03 根据函数的单调性求参 / 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集． 典｜例｜精｜析 1．（多选）（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，利用函数在区间内的单调性转化为不等式能成立问题，结合基本不等式求解． 【详解】函数定义域为，求导得， 函数在区间上存在单调递增区间， 在区间上有解，即在区间上有解， 即在区间上能成立，故， 又，当且仅当时取等号， ，故实数的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：利用导数的运算法则得，根据函数单调时导数恒正或恒负，分离参数后求函数最值确定的取值范围；解法二：利用补集思想，先求函数不单调时的取值范围，再取补集得到单调时的取值范围. 【详解】（解法1）因为在区间上是单调函数， 所以，对，有， 或者恒成立， 所以，对有或者恒成立， 利用二次函数性质求解可得：或者， 设，定义域为，， 当时，，所以， 即在上单调递减，则， 又因为时，， 且时，， 所以，则或者， 所以. （解法2）若在区间上不单调， 则在内存在极值点， 所以，在内存在变号实根， 即在内存在变号实根， 化简得：在内存在变号实根， 所以，直线与函数在上的图像有交叉点， 又由解法一可知，，所以，化简得：， 若在区间上是单调函数，则. 故选：D. 3．（25-26高三上·甘肃天水·月考）已知函数是上的增函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】求出导函数，由题意恒成立，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 因为是上的增函数，所以恒成立． 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，要使恒成立， 则时，即恒成立，所以， 时，即恒成立，所以， 因为，所以， 综上，得． 故答案为： 题型04 导数判断单调性比较大小 / 通过求导判断单调性来比较数的大小问题： 1、构造函数：根据式子结构，将比较对象挪到同一侧，构造一个新函数。 2、求导定调：判断构造函数的导数符号，确定其单调性（增或减）。 3、变量代回：利用单调性，由自变量的大小关系推出函数值的大小关系。 注意事项： 自变量一致：确保比较的两个值是同一函数在不同点处的取值，不能张冠李戴。 定义域约束：构造函数后先看定义域，比较的点必须在定义域内。 变形技巧：有时需要取对数、作差或作商后再构造，目的是让导数形式更简洁。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导函数可知在上单调递增，由可得，代入得，再根据的单调性可知，结合和的单调性可比较的大小，同理. 【详解】由已知可得，，，且， 若，则，，此时，故，同理， 构造函数，其中，， 则原等式等价于，，， 对求导得， 因为且，所以，，， 所以，即在上单调递增， 由可得， 所以， 令，则， 由指数函数和对数函数的单调性可得，， 所以，单调递增，所以， 所以， 因为且在上单调递增，所以， 同理由可得， 所以， 同理可得， 因为且在上单调递增，所以， 综上， 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 2．（25-26高三上·广西·期末）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 3．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知实数，若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性计算即可. 【详解】条件可化为， 令，则， 易知时，， 时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则，故， 又，所以， 则，即. 故选：C 题型05 导函数与原函数的图像判断 / 通过导函数与原函数的关系来判断图像问题： 1、正负定增减：导函数在某区间大于零，原函数递增；小于零，原函数递减。 2、零点定极值：导函数图像穿过横轴（正负变号）处，原函数取极值（左正右负为极大，左负右正为极小）。 3、陡缓定变化率：导函数值越大（图像越高），原函数图像越陡（增长越快）；导函数值为零处，原函数切线水平。 注意事项： 勿混图像：看清横纵坐标，区分题目给的是原函数还是导函数图像，推理方向不可逆推。 零点非拐点：导函数为零但不变号处，原函数只是切线水平，并非极值点（如平台期）。 趋势一致：导函数的单调性（增减）对应原函数的凹凸性，而非原函数的增减速度。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 【答案】D 【分析】根据原函数和导函数的关系逐一判断即可. 【详解】若曲线为函数的图象，当时，，所以在上单调递增，而曲线在上先减后增 ，不合题意， 所以曲线为函数的图象，所以曲线为函数的图象，故A错误； 由A可知在上单调递减且为偶函数，所以，故B错误，D正确； 在上先增后减，故C错误； 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 2．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，得到单调递增，再分析各选项中与的距离变化情况是否符合的单调即可. 【详解】令，又，则，在定义域上单调递增， 对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误， 对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故B正确， 对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确， 对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故D正确， 故选：A. 3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】A 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 题型06 利用导函数解不等式 / 解不等式问题的条件中，出现导函数的条件时，可以构造原函数，利用导函数的条件来判断构造出来的原函数的单调性，从而解不等式。具体方法如下： 1、观察结构：看所给不等式或条件式的形式，是“乘积型”“商型”还是“和差型”。 2、构造原函数：根据导数运算法则反推，加法对应的乘积型，减法对应商型，可适当的乘除一些多项式来变形（如, ）。 3、利用单调性：利用构造出的原函数的单调性（由导数的正负决定），将函数值关系转化为自变量关系求解。 注意事项： 系数匹配：若式子中有系数，需先配凑成标准形式，再构造函数。 常数隐藏：有时原函数需添加常数，可通过条件中的特殊点（如）确定该常数。 定义域约束：构造出的原函数需考虑原函数的定义域，解不等式时不可忽略分母不为零、真数大于零等条件。 典｜例｜精｜析 1．25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据已知条件，可判断，所以在上单调递增.据此可判断，进而得出，，选出正确答案. 【详解】因为，所以. 由，得， 所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，即 即. 所以. 因为不能判断的取值，所以A错误，B,C不能确定，只有D选项一定正确. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数，结合题目所给条件可得单调性及其奇偶性，再利用，可得，则可得及时的的取值范围，再分与计算即可得解. 【详解】令，则， 由时，，故， 即在上单调递减，又为偶函数，则， 则也是定义在的偶函数， 由，则， 则当时，，且， 当时，，且， 令，则有或， 对，解得；对，解得， 故的解集为. 故选：A. 3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，构造函数，由条件判断在R上单调递减，由奇函数求出，将所求不等式转化为，利用单调性即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∴，设，则在R上单调递减， ∵为奇函数，∴，∴， ∴，不等式， 即，解得.即该不等式的解集为. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.1 函数的单调性 知识点一 利用导数判断函数的单调性 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是增函数； 如果函数在的某个开区间内，总有，则在这个区间上是减函数． 【注意】对于函数，若，则为增函数（减函数）；反之，若为增函数（减函数），则恒成立，且不恒等于零． 即学即练 1．（25-26高二上·重庆·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 知识点二 含参函数单调性的求法 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式和分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需知晓”． (2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”． (3)注意：讨论两个根的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”． 即学即练 1．（25-26高二下·全国·课后作业）求函数的单调区间． 知识点三 已知单调性求参数 已知函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围，常见的有： 1、将问题转化为恒成立问题，恒成立问题分区间恒成立与R上恒成立，常用的方法有参变分离、讨论求最值，二次函数R上恒成立讨论等。 2、将问题转化为存在性问题，可通过参变分离或讨论最值来解决。 即学即练 1．（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型01 利用导数求函数的单调性（不含参） / 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实根； 第三步：把函数在间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； 第四步：确定在各个小区间的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间的增减性. 【注意】 1 函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式； 2 当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“”连接，可用“，”或“和”连接. 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．和 D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·陕西渭南·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·重庆·期末）函数，则函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 . 题型02 利用导数讨论含参函数的单调性 / 求导定号：先求导函数，再判断导数的正负（重点关注含参部分）。 分类讨论： 导函数类型：若导数为一次型，讨论根的位置；若为二次型，讨论开口、判别式、根的大小。 参数分界：以导数为零的点（即参数临界值）为界划分区间。 列表定调：在定义域内划分区间，列表判断各区间导数的正负，从而得出单调区间。 注意事项： 定义域优先：讨论单调性必须在原函数定义域内进行，勿忘分母不为零、对数真数大于零等限制。 参数虚实：二次型导数需先判断判别式，无实根时导数恒正或恒负，无需讨论根的大小。 端点取舍：单调区间的分界点（导数为零的点）通常包含在单调区间内，但需考虑定义域边界。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，当时，讨论函数的单调性. 3．（2026高三·北京·专题练习）已知函数．讨论的单调区间； 题型03 根据函数的单调性求参 / 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立． （2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集． 典｜例｜精｜析 1．（多选）（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上存在单调递增区间，则实数k的取值范围是 ． 2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·甘肃天水·月考）已知函数是上的增函数，则的值为 ． 题型04 导数判断单调性比较大小 / 通过求导判断单调性来比较数的大小问题： 1、构造函数：根据式子结构，将比较对象挪到同一侧，构造一个新函数。 2、求导定调：判断构造函数的导数符号，确定其单调性（增或减）。 3、变量代回：利用单调性，由自变量的大小关系推出函数值的大小关系。 注意事项： 自变量一致：确保比较的两个值是同一函数在不同点处的取值，不能张冠李戴。 定义域约束：构造函数后先看定义域，比较的点必须在定义域内。 变形技巧：有时需要取对数、作差或作商后再构造，目的是让导数形式更简洁。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广西·期末）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知实数，若， 则（    ） A． B． C． D． 题型05 导函数与原函数的图像判断 / 通过导函数与原函数的关系来判断图像问题： 1、正负定增减：导函数在某区间大于零，原函数递增；小于零，原函数递减。 2、零点定极值：导函数图像穿过横轴（正负变号）处，原函数取极值（左正右负为极大，左负右正为极小）。 3、陡缓定变化率：导函数值越大（图像越高），原函数图像越陡（增长越快）；导函数值为零处，原函数切线水平。 注意事项： 勿混图像：看清横纵坐标，区分题目给的是原函数还是导函数图像，推理方向不可逆推。 零点非拐点：导函数为零但不变号处，原函数只是切线水平，并非极值点（如平台期）。 趋势一致：导函数的单调性（增减）对应原函数的凹凸性，而非原函数的增减速度。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数与其导函数的图象如图所示，则（   ）    A．曲线为函数的图象 B． C．在单调递增 D．在单调递减 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（   ）      A．   B．   C．   D．   2．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递增 题型06 利用导函数解不等式 / 解不等式问题的条件中，出现导函数的条件时，可以构造原函数，利用导函数的条件来判断构造出来的原函数的单调性，从而解不等式。具体方法如下： 1、观察结构：看所给不等式或条件式的形式，是“乘积型”“商型”还是“和差型”。 2、构造原函数：根据导数运算法则反推，加法对应的乘积型，减法对应商型，可适当的乘除一些多项式来变形（如, ）。 3、利用单调性：利用构造出的原函数的单调性（由导数的正负决定），将函数值关系转化为自变量关系求解。 注意事项： 系数匹配：若式子中有系数，需先配凑成标准形式，再构造函数。 常数隐藏：有时原函数需添加常数，可通过条件中的特殊点（如）确定该常数。 定义域约束：构造出的原函数需考虑原函数的定义域，解不等式时不可忽略分母不为零、真数大于零等条件。 典｜例｜精｜析 1．25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数是函数的导函数，对任意，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）定义在R上的函数的导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $