专题5.2 导数的运算（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题5.2 导数的运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 基本初等函数的导数】 2 【题型2 导数的四则运算法则】 3 【题型3 简单复合函数的导数】 3 【题型4 已知某点处的导数值求参数】 4 【题型5 求曲线的切线方程（斜率）】 4 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 5 【题型7 函数图象的判断及应用】 6 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 7 【题型9 导数运算的新定义问题】 8 考点1 导数的运算 知识点1 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·福建·期中）下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知，则（    ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【变式1-3】（25-26高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（25-26高三上·贵州·阶段检测）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·北京石景山·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·河南·期末）已知函数，则（   ） A． B．6 C． D．4 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（25-26高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【题型4 已知某点处的导数值求参数】 【例4】（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-1】（25-26高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【变式4-2】（25-26高三上·上海·单元测试）已知，其中，且，则____________． 【变式4-3】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）设函数，若，则_________． 【题型5 求曲线的切线方程（斜率）】 【例5】（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·青海海南·期中）曲线在处的切线斜率为（   ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 【变式5-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知曲线.若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 【例6】（25-26高三上·江苏淮安·开学考试）函数与直线相切，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．e D． 【变式6-1】（25-26高二下·广东潮州·阶段检测）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数图象的判断及应用】 【例7】（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【变式7-1】（25-26高二·全国·单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二下·北京·期中）设函数的导函数图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二下·四川内江·阶段检测）已知函数，则的导函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例8】（25-26高三上·河南洛阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 【变式8-1】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【变式8-3】（25-26高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【题型9 导数运算的新定义问题】 【例9】（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二下·北京房山·期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 导数的运算（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 基本初等函数的导数】 2 【题型2 导数的四则运算法则】 3 【题型3 简单复合函数的导数】 5 【题型4 已知某点处的导数值求参数】 7 【题型5 求曲线的切线方程（斜率）】 8 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 11 【题型7 函数图象的判断及应用】 13 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 15 【题型9 导数运算的新定义问题】 18 考点1 导数的运算 知识点1 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由导数的计算公式逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二下·福建·期中）下面导数运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本初等函数的导函数逐项分析判断即可. 【解答过程】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知，则（    ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【解题思路】对函数求导，令即可求出的值. 【解答过程】因为， 对函数求导， 令，则，解得. 故选：A. 【变式1-3】（25-26高二下·全国·课后作业）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由基本初等函数求导法则即可得解. 【解答过程】由题意，，，. 故选：C. 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（25-26高三上·贵州·阶段检测）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数的运算法则求导函数，从而得所求. 【解答过程】因为， 所以，故. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【解答过程】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 【变式2-2】（25-26高二下·北京石景山·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则逐个判断选项即可. 【解答过程】由基本初等函数的导数公式知，，， ，故ACD错误； 由求导法则及求导公数可知，，故B正确. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·河南·期末）已知函数，则（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】A 【解题思路】首先对给定函数求导，求出的值，然后将其代入原函数得到完整的函数表达式，最后把代入函数求出的值. 【解答过程】，所以， 解得，则，所以． 故选：A． 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（25-26高二上·江苏常州·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的运算法则及复合函数的导数计算即可判断. 【解答过程】，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故错误. 故选：C． 【变式3-1】（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的定义结合导数可得，结合题意可得，，进而可得，且，即可得结果. 【解答过程】因为为偶函数，则，求导可得， 因为，， 则，可得， 且，则，可得， 即，可得，可知8为的一个周期， 且， 对于，， 令，可得，，可得， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据复合函数的求导法则，依次计算即可求解. 【解答过程】（1），设，， 则． （2）设，， 则． （3）设，， 则． （4）设，， 则 ． 【变式3-3】（25-26高二上·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据复合函数求导法则及商的求导法则计算可得； （2）根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； （3）首先利用诱导公式及二倍角公式化简，再根据复合函数求导法则及积的求导法则计算可得； 【解答过程】（1）∵， ∴ ． （2） ． （3）∵ ， ∴ ． 【题型4 已知某点处的导数值求参数】 【例4】（25-26高二下·海南·阶段检测）已知函数，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据复合函数求导原则，结合代入法进行求解即可. 【解答过程】. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】求出，再由可得答案. 【解答过程】， 若，则， 解得. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高三上·上海·单元测试）已知，其中，且，则____________． 【答案】2 【解题思路】利用可得答案. 【解答过程】因为， 所以，所以. 故答案为：2． 【变式4-3】（25-26高二下·广东广州·阶段检测）设函数，若，则_________． 【答案】1 【解题思路】首先求函数的导数，再根据导数值，即可求解. 【解答过程】由， 则， 所以，得. 故答案为：1. 【题型5 求曲线的切线方程（斜率）】 【例5】（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【解答过程】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高三上·青海海南·期中）曲线在处的切线斜率为（   ） A．1 B．－1 C．3 D．－3 【答案】B 【解题思路】对给定的函数求导，再将代入导函数中，得到的结果就是曲线在处的切线斜率. 【解答过程】因为，所以曲线在处的切线斜率为． 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知曲线.若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)， (2)和 【解题思路】（1）对函数求导，根据导数的几何意义以及切线斜率计算可得，的值； （2）设切点，由经过点解方程可得或，即可得出直线方程. 【解答过程】（1）易知，因为，， 所以在处的切线方程为， 即， 所以，， 可得，； （2）由（1）可知， 设切点坐标为，则， 故切线方程为， 因为切线过，所以，即， 所以或， 当时，切线斜率为3，此时切线方程为； 当时，切线斜率为，此时切线方程为； 故过点且与曲线相切的直线方程为和， 即和. 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程. （2）分点为切点和不为切点两种情况讨论可求得函数的图像经过点的切线方程. 【解答过程】（1）由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. （2）①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为， 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 【题型6 已知切线（斜率）求参数】 【例6】（25-26高三上·江苏淮安·开学考试）函数与直线相切，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【解题思路】设切点，再根据导数的几何意义列式求解即可. 【解答过程】设函数与直线相切于，直线斜率为，， 故，则，故， 即，解得，故. 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二下·广东潮州·阶段检测）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【解答过程】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的几何意义得到切线方程为，设曲线的切点为，求导得，解出得到切点，再代入得到即可． 【解答过程】解：由题知，，，∴， ∴曲线在处的切线方程为，即． ∵，∴， 设直线与曲线的切点为， 则，得，∴， 又，∴． 故选：D. 【变式6-3】（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围. 【解答过程】∵， ∴， 设切点为，则，切线斜率， ∴切线方程为， ∵切线过原点， ∴，整理得： ∵存在过坐标原点的切线， ∴，解得或， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 【题型7 函数图象的判断及应用】 【例7】（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）函数的导数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．     【答案】D 【解题思路】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除. 【解答过程】因为，所以， 令，，则， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 又，故B错误. 故选：D. 【变式7-1】（25-26高二·全国·单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先对函数进行求导，然后判断导函数的奇偶性，最后根据图像特征，通过赋值法判断的符号即可求解. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴为奇函数， 从而的图像在区间上关于原点对称，由此可排除选项A、B， 又∵，排除D，从而答案为C. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二下·北京·期中）设函数的导函数图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由图象可得导函数的定义域及单调性，再逐项求导并判断得解. 【解答过程】观察图象知，函数的导函数定义域为，且在上单调递增，有一个正零点， 对于A，，其定义域为R，无零点，不符合题意，A不是； 对于B，定义域为，求导得，函数在上单调递减，不符合题意，B不是； 对于C，定义域为R，而零点为，不符合题意，C不是； 对于D，函数定义域为，在上单调递增， 有唯一零点，符合题意，D是. 故选：D. 【变式7-3】（25-26高二下·四川内江·阶段检测）已知函数，则的导函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】求出函数的导函数，再探讨的性质，结合性质及取时的函数值即可判断作答. 【解答过程】函数定义域为R，求导得，显然， 因此，函数是R上奇函数，图象关于原点对称，选项C，D不满足， 又，选项B不满足，选项A符合题意. 故选：A. 【题型8 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例8】（25-26高三上·河南洛阳·阶段检测）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A．11 B．12 C． D． 【答案】A 【解题思路】由直线是曲线的切线求解，可得切线方程，再设直线与曲线的切点，由切点处的导数值等于切线的斜率，且切点处的函数值相等列式求解n，则答案可求． 【解答过程】解：由，得，由，解得， 则直线与曲线相切于点， ∴，得， ∴直线是曲线的切线， 由，得，设切点为， 则，且，联立可得， 解得，所以． ∴． 故选：A． 【变式8-1】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【解答过程】（1），，， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 【变式8-3】（25-26高二上·湖南·期末）已知函数. (1)是坐标原点，的图象在处的切线与轴分别交于两点，求的面积； (2)若直线是曲线与的公切线，求的值. 【答案】(1). (2). 【解题思路】（1）求导函数，求得，，得出的图象在处的切线方程，由此求得答案； （2）设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求得在点处切线方程，在点在切线方程.建立方程组，求解即可. 【解答过程】（1）解：因为，所以的图象在处切线的斜率为. 又，所以的图象在处的切线方程为， 则，故的面积为. （2）解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，则 由点在切线上，得； 由点在切线上，得. 故，解得. 故. 【题型9 导数运算的新定义问题】 【例9】（25-26高二下·广东东莞·阶段检测）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【解答过程】对于①，则，由， 即，，所以无实数根， 因此不存在“自足点”，故①错误； 对于②，，则，由， 可得，其中，令，显然在定义域上单调递增， 又，， 所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确； 对于③，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，故③正确； 对于④，则， 由，可得， 因为，， 所以， 所以方程无实解，故④错误. 故存在“自足点”的函数共有个. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，然后直接解方程可判断BCD；根据零点存在定理可判断A. 【解答过程】对于A选项，，， 令， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点， 所以，函数有“巧值点”； 对于B选项，，则， 由可得，即，矛盾， 所以，函数没有“巧值点”； 对于C选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”； 对于D选项，，则， 由可得，即，解得， 所以，函数有“巧值点”. 故选：B. 【变式9-2】（25-26高二下·北京房山·期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于，从而得到正确选项． 【解答过程】对于A，，， ， 当时，，，恒成立，故A为凸函数； 对于B，对于，，， 当时，恒成立，故B为凸函数； 对于C，由，得，所以， 因为，所以恒成立，故C为凸函数； 对于D，对于，，， 当时，恒成立，故D不是凸函数. 故选：D. 【变式9-3】（25-26高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 【答案】(1) (2)的图象关于“拐点”对称 【解题思路】（1）借助定义求出时的解即可得； （2）计算是否成立即可得. 【解答过程】（1）由，则，则， 当时，解得，又， 故其拐点为； （2）由（1）知“拐点”坐标是， 又 ， 由定义②知的图象关于“拐点”对称. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $