专题5.2 导数的运算（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学“导数的运算”核心知识点，系统梳理基本初等函数导数公式（含常数、幂函数、三角函数、指数对数函数）、函数和差积商求导法则及复合函数求导法则，构建从基础公式到综合应用的学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固、典例与变式分层设计，题型涵盖切线方程、公切线等实际问题，培养学生运算能力、推理意识与应用意识。课中助力教师分层教学，课后帮助学生自主查漏补缺，强化知识掌握。

专题5.2 导数的运算 教学目标 1.能根据定义求函数的导数。 2.能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 3.理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。 4.了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。 教学重难点 1.重点 掌握基本初等函数的求导；熟练掌握导数的运算公式；能准确应用公式计算函数的导数. 2.难点 会求简单的复合函数的导数；能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.. 知识点01 基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数）， （3），（4），（5）， （6），（7），（8），，这样的形式． 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线_______________ 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于_______________，即．4、余弦函数的导数等于负的_______________，即． 5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 【即学即练】 1．若函数，则 ． 2．若函数，则（   ） A． B． C． D． 知识点02 函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数：（2）积的导数： （3）商的导数：______________________________（） 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：，推广：． （ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例， 当时，．这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，_______________，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 【即学即练】 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A． B． C．e D． 知识点03 复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的_______________． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作______________________________． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出_______________． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【即学即练】 1．若函数，则（    ） A．80 B． C．240 D． 2．已知是函数的图象上一点，函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 题型01 利用导数公式求函数的导数 【典例1】若直线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． 【变式1】曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 【变式3】已知，函数的图象在点处的切线均经过坐标原点O，则（    ） A． B． C． D． 题型02 求函数的和、差、积、商的导数 【典例1】已知函数，则的值为 . 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式1】物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】函数的图象在点处的切线方程为 . 【变式3】已知函数，则（    ） A．4 B． C．2 D． 题型03 求复合函数的导数 【典例1】已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 【变式1】若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【变式2】已知函数的定义域为，其导函数为，若函数为偶函数，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数关于轴对称 B．函数关于中心对称 C．若，则 D．若当时，，则当时， 【变式3】已知函数，其中且，则下列说法正确的是（    ） A．有且仅有个零点 B．存在，使得在定义域内单调递增 C．若，则 D．若，则 题型04 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 【典例1】已知函数，. (1)求曲线在点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值. （1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． （2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式1】已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．1 B． C．3 D． 题型05 与切线有关的综合问题 【典例1】设，是函数的图象与轴的两个交点（不同于原点），过作曲线的切线，切点为（异于点，），若，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． （1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内． 【变式1】下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. (1)若为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线的距离. 【变式3】若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 题型06 切线平行、垂直问题 【典例1】若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为 【变式1】已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数 ． 【变式2】设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 【变式3】若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C． D． 题型07 公切线问题 【典例1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 【变式1】已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B．e C． D． 【变式2】函数在处的切线与函数的图象相切，则 ． 【变式3】曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 1．曲线在点处的切线的斜率是（    ） A．2 B．-2 C． D． 2．曲线在点处的切线方程为 . 3．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数 ． 4．已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； (3)在（2）的条件下，证明：． 5．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 7．若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（   ） A． B． C． D． 8．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 9．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 10．已知定义在上的连续函数的导函数，设，则 11．已知函数在处取得最大值，则下列结论错误的是（    ）． A．是偶函数 B． C． D． 12．若直线是曲线的切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知函数，对于任意的，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 14．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 15．设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为 ． 16．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 导数的运算 教学目标 1.能根据定义求函数的导数。 2.能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。 3.理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。 4.了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。 教学重难点 1.重点 掌握基本初等函数的求导；熟练掌握导数的运算公式；能准确应用公式计算函数的导数. 2.难点 会求简单的复合函数的导数；能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.. 知识点01 基本初等函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数）， （3），（4），（5）， （6），（7），（8），，这样的形式． 1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴． 2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）． 特别地，． 3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即． 5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，． 有时也把记作： 【即学即练】 1．若函数，则 ． 【答案】 【分析】由题知，则，再利用导数的概念求解即可． 【详解】因为，， 所以． 故答案为：． 2．若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导公式及导数的定义求解. 【详解】由题意得，， 则． 故选：B 知识点02 函数的和、差、积、商的导数 运算法则： （1）和差的导数：（2）积的导数： （3）商的导数：（） 1、上述法则也可以简记为： （ⅰ）和（或差）的导数：，推广：． （ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）． （ⅲ）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例， 当时，．这是一个函数倒数的求导法则． 2、两函数积与商求导公式的说明 （1）类比：，，注意差异，加以区分． （2）注意：且． 3、求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量． 【即学即练】 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由求出，再由求出的值. 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：A. 2．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A． B． C．e D． 【答案】A 【分析】分别表示出，再根据在处的导数值和函数值分别相等可求结果. 【详解】因为， 所以， 因为在公共点处有相同的切线，则有， 即，所以. 故选：A. 知识点03 复合函数的求导法则 1、复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数． 2、复合函数的导数 设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作． 3、掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层． （2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到， （3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数． 【即学即练】 1．若函数，则（    ） A．80 B． C．240 D． 【答案】D 【分析】利用导数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2．已知是函数的图象上一点，函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求出导函数，再由切线斜率求出切点坐标，代入点斜式直线方程即可求解. 【详解】由得， 因为，且，所以，解得， 又，所以在处的切线方程为，即． 故答案为：． 题型01 利用导数公式求函数的导数 【典例1】若直线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义（切线斜率）和切点同时在直线与曲线上列方程求解即可． 【详解】设切点为，曲线在切点处的斜率为，直线在切点处的斜率为1，切点处两者斜率相等， 所以，得，即切点横坐标， 又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以，也即． 故选：D． （1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导． （2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． 【变式1】曲线在点处的切线l过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程，即可求得直线经过的定点. 【详解】令函数，则，故， 所以l的方程为，整理得， 所以l经过定点． 故选：D． 【变式2】已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 【答案】 【分析】先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，因为与曲线相切， 所以，消去，得，解得，所以， 设与曲线相切于点，由，得，即，解得， 因为是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 故答案为： 【变式3】已知，函数的图象在点处的切线均经过坐标原点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对AB，利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合切线过原点列式可得，可判断；对CD，作函数与的图象，设交点分别为，，，过点B作x轴的平行线与（）的图象交于D，E两点，由图可得，运算得解. 【详解】对于AB，由题意知，则曲线在点（）处的切线的斜率， 又，即，故A，B错误； 对于CD，作函数与的图象如图， 设交点分别为，，， 过点B作x轴的平行线与（）的图象交于D，E两点， 则，， 由的函数图象可知， 即，所以，故C错误，D正确. 故选：D.    题型02 求函数的和、差、积、商的导数 【典例1】已知函数，则的值为 . 【答案】/ 【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故答案为： 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． （2）如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 【变式1】物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求F对于r的导数，结合求导法则即可求得答案. 【详解】由题意可知，则F对于r的瞬时变化率为． 故选：D 【变式2】函数的图象在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程. 【详解】， 故切线方程为，即. 故答案为： 【变式3】已知函数，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】对给定等式两边求导，令即可得解. 【详解】函数，有， 令，得，解得. 故选：C. 题型03 求复合函数的导数 【典例1】已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】2 【分析】先利用导数的几何意义求出切线方程，然后利用导数几何的意义求得曲线的切点坐标，即可求解. 【详解】设，则，又，所以， 则切线方程为， 设，则，令，解得， 所以. 故答案为：2 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁． 【变式1】若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】/ 【分析】利用导数求出切线斜率，再根据垂直即可求出. 【详解】因，则，则曲线在点处的切线斜率为， 因切线与直线垂直，则，得. 故答案为： 【变式2】已知函数的定义域为，其导函数为，若函数为偶函数，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数关于轴对称 B．函数关于中心对称 C．若，则 D．若当时，，则当时， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义及复合函数求导得出轴对称和中心对称，进而求出周期求解判断各选项. 【详解】对于A，由函数的定义域为，函数为偶函数，得， 即，因此函数的图象关于轴对称，A正确； 对于B，由函数为偶函数，得，由是函数的导函数， 得，即，则， ，因此函数的图象关于，即中心对称，B正确； 对于C，由选项A得，由选项B得， 则，即，因此 ，即函数是周期为12的周期函数，又， 即，函数是周期为12的周期函数，则， 又，于是， 由，得，则，， 因此，C错误； 对于D，当时，， ，D正确. 故选：C 【变式3】已知函数，其中且，则下列说法正确的是（    ） A．有且仅有个零点 B．存在，使得在定义域内单调递增 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项A可通过令求解零点个数；选项B确定函数定义域，用定义域的极限思维来判断单调性；选项C可通过构造函数，分析其正负来判断与的大小关系；选项D可通过分析函数的性质，结合绝对值不等式来判断. 【详解】对于A，令，由，得，则方程有唯一解，即有个零点，故A正确； 对于B，由题意知的定义域为． 若，当从左边趋近于时，，，且，所以； 当从右边趋近于1时，，，且， 所以，因此不可能单调递增． 若，当从左边趋近于时，，，且，所以； 当从右边趋近于1时，，，且， 所以，因此不可能单调递增．故B错误； 对于C，，当时， ， 因为，所以，，则，即，故C正确． 对于D，当时，显然成立； 当时，因为，所以，易知， 此时，故D正确． 题型04 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处） 【典例1】已知函数，. (1)求曲线在点的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值. 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求解； （2）结合（1）的结论，根据曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，可得切线斜率相等，根据导数的几何意义列式求解，即得答案. 【详解】（1）由得， 则在点处的切线斜率， 故切线方程为， 从而切线方程为. （2）由（1）可得曲线在点的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. （1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． （2）求过点与曲线相切的直线方程的三个步骤 【变式1】已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 【变式2】已知直线是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列式求出值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 求导得，则，所以，. 故选：A 【变式3】已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，先求得切线方程，再根据导数的几何意义，求得该切线与的切点坐标，代入方程，即可求得m值. 【详解】对求导可得， 所以在点处的切线斜率， 所以切线方程为，整理得， 设与曲线相切于点， 对求导可得， 所以在点处切线的斜率，解得， 代入切线，可得，即切点， 将切点代入，解得. 故选：D 题型05 与切线有关的综合问题 【典例1】设，是函数的图象与轴的两个交点（不同于原点），过作曲线的切线，切点为（异于点，），若，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先解方程确定点的坐标，利用导数的几何意义求点出切线的方程，根据切线过点，用表示出点坐标，再根据确定点坐标满足的条件，列方程可求的值. 【详解】因为，所以. 由或或. 可令，， 设点，所以过点的切线方程为：. 因为， 所以. 由切线过点，所以， 因为点异于，所以， 所以， 所以. 由得，解得. 故选：C （1）求切线的关键要素为切点，若切点已知便直接使用，切点未知则需先设再求．两直线平行与垂直关系与直线的斜率密切相关，进而成为解出切点横坐标的关键条件． （2）在考虑函数问题时首先要找到函数的定义域．在解出自变量的值或范围时也要验证其是否在定义域内． 【变式1】下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确函数图象存在与轴平行的切线意味着函数在某点处的导数为0，然后分别对各选项中的函数求导，令导数等于0，看是否有解来判断. 【详解】对于A选项，对求导可得.所以的图象不存在与轴平行的切线，A选项错误. 对于B选项，已知，对求导可得. 令，即，此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，B选项错误. 对于C选项，已知，其定义域为.求导可得. 令，即，解得，在定义域内，所以的图象存在与轴平行的切线，C选项正确. 对于D选项，求导函数得，令，即， 因为此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，D选项错误. 故选：C. 【变式2】已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. (1)若为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线的距离. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意，求得和，得到，，根据，列出方程，即可求解； （2）由（1）知，，求得切线方程，联立方程组，求得点的坐标，进而求得点P到直线的距离. 【详解】（1）解：由函数和， 可得和，则，， 由是直角，则，即， 解得，则. （2）解：由（1）知，， 由，知，所以直线与必相交， 又由， 联立方程组，解得，即， 故点P到直线的距离为. 【变式3】若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义及切点在曲线上建立等式得出，，代入化简整理即可求解. 【详解】由可得：； 由可得：. 由曲线在点处的切线与曲线相切于点， 得，， 则. ， 所以，整理得：， 结合，可得：. 故选：B. 题型06 切线平行、垂直问题 【典例1】若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】1 【分析】求导，根据平行得到，解得答案. 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为：1. 切线平行可得斜率相等，切线垂直可得斜率之积为 【变式1】已知，其上存在两点的切线互相垂直，则实数 ． 【答案】1 【分析】利用求导来求切线斜率，利用切线垂直可得，再利用一元二次方程要有解，可得判别式为非负数，即可得到特殊情形，从而可解得的值. 【详解】设切点为，， ，则． 则过两点的切线斜率为，． 根据题意得，即， 整理得， 令，即， 其方程有解，即， 整理得． 又由，则，所以， 即，可得, 所以． 故答案为：1 【变式2】设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先对曲线进行求导，将代入导函数中求出切线斜率，在根据切线与已知直线垂直的关系列出方程求解即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：， 由直线的斜率为：， 又因为曲线在处的切线与垂直， 所以， 所以， 故选：C. 【变式3】若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】函数求导得，由题意可得，解得的值，代入所求式计算即得，. 【详解】由求导得：， 依题意，有，解得， 则． 故选：C. 题型07 公切线问题 【典例1】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】1 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即， 因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得． 故答案为：1 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))， 则f′(x1)＝g′(x2)＝. 【变式1】已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B．e C． D． 【答案】A 【分析】根据切点处斜率相等，切点的纵坐标相等，列出方程求解即可. 【详解】由，， 所以切线斜率， 又， 解得， 所以. 故选：A 【变式2】函数在处的切线与函数的图象相切，则 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】易知，则，该切线方程为， 不妨设其与相切于点， 因为，则，所以，解得. 故答案为： 【变式3】曲线在处的切线与曲线相切于点，若且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求出在处的切线方程为，函数在点处的切线方程为，根据两切线重合求解，求出，进而求出. 【详解】函数在处的切线斜率为，则切线方程为， 函数在处的切线斜率为，则切线方程为， 即， 由题意有①且②，故，， 从而，整理得， 所以，即. 代入式②，得，即. 故选：B 1．曲线在点处的切线的斜率是（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】直接求导，代入得到斜率值即可. 【详解】， 故曲线在点处的切线的斜率， 故选：D. 2．曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求导，确定切线斜率，即可求解. 【详解】由题，当时，，故点在曲线上. 求导得：， 所以切线斜率. 故切线方程为. 故答案为：. 3．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数 ． 【答案】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，则，又， 则曲线在点处的切线方程为， 化简得，则，故. 故答案为：. 4．已知函数，其中． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间上存在唯一的极值点与唯一的零点； (3)在（2）的条件下，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程； （2）先求导，结合正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性和极值，进而证明结论； （3）对不等式进行变形处理，结合（2）的条件，并借助进行放缩构造函数，从而证明结论． 【详解】（1）若，则，求导得， ， 又， 所求的切线方程为． （2）函数求导得：． 当时，，，又，所以． 当时，令，则， ，则在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，且，， 存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增． ， 又，存在，使得． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 在上存在唯一极（小）值点． ，又， 存在，使得， 在上存在唯一零点，得证． （3），， ，得，， ，等价于． 结合（2）的分析，，， ，即， 同理， ． 在区间上单调递减，要证，只需证． 又在上单调递增，只需证． ， 借助，可得， 令，则恒成立， 在上单调递增，，即成立，得证． 不等式成立． 5．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，应用导数的几何意义求切线方程. 【详解】由题设，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D 6．已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据函数的奇偶性求出时的函数解析式，然后再根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】若，则， 则当时，， 为奇函数，， 即当时， ， ，则， 即曲线在点处的切线斜率. 因此可得：切线方程为， 即：. 故选：A 7．若对，，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为判断各选项中的函数的值域是否是其导函数值域的子集，由此依次求解各选项中函数和其导函数的值域即可. 【详解】若对，，使得成立，则的值域是值域的子集； 对于A，由二次函数性质知：的值域为； ，的值域为，则，A满足性质； 对于B，，且， 当时，， 当时，， 显然的值域是值域的子集，B满足性质； 对于C，由正弦型函数性质可知：， ，的值域为， 显然的值域是值域的子集，C满足性质； 对于D，，的值域为； ，的值域为； 则的值域不是值域的子集，D不满足性质； 故选：D 8．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫作函数的二阶导数，记作，类似的，二阶导数的导数叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数……，一般地，阶导数的导数叫作阶导数，函数的阶导数记为，例如的阶导数.若，则（   ） A． B．2026 C． D．2025 【答案】A 【分析】根据条件，列举的前几项，根据规律，写出，代入，即可求解. 【详解】由，， ，， 依此类推，， 所以. 故选：A 9．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用导数的运算法则和导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，则，又，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 故答案为：. 10．已知定义在上的连续函数的导函数，设，则 【答案】 【分析】根据复合函数求导法则，结合代入法进行求解即可. 【详解】， 所以， 故答案为：. 11．已知函数在处取得最大值，则下列结论错误的是（    ）． A．是偶函数 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简函数，结合可推导得到，知C正确，并可确定且，根据可确定A正确；由知B正确；求导后，根据导数值可求得D错误. 【详解】对于C，（其中，）， ，即， 整理可得：，解得：，C正确； 对于A，， ， ，是偶函数，A正确； 对于B，， 在处取得最大值，， 即，，B正确； 对于D，， ，D错误. 故选：D. 12．若直线是曲线的切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，得到关于的表达式，然后根据定义域求出结果即可. 【详解】因为曲线，求导得， . 设切点横坐标为，因为直线是该曲线的切线， 所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：B. 13．已知函数，对于任意的，，都恒成立， 且函数在上单调递增.则的值为（    ） A．3 B．9 C．3或9 D． 【答案】A 【分析】求出后结合题意可得，，结合周期性与题意所给单调性可得或，再分别验证即可得. 【详解】，由， 则有，即，， 由，则，故，， 则，，， 化简得，，， 令，则，， 由函数在上单调递增，则，即， 又，则或， 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递增，故在上单调递增， 故时符合题意； 当时，， 则，，又，则， 当时，， 由在上单调递减，在上单调递增， 故在上不单调，故不合题意； 综上所述：. 故选：A. 14．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B． C．当时， D．曲线在点处的切线方程为 【答案】AC 【分析】化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D. 【详解】对于A，设，定义域为， 则，故为奇函数，A正确； 对于B，，则， 故，B错误； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，C正确； 对于D，设，则，则， 则曲线在点处的切线方程为，即，D错误. 故选：AC 15．设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意先画出函数的图象为函数在上的图象不断向右、向下平移1个单位可得函数的图象，在区间上恰有个零点，即函数的图象与在区间上恰有个交点，即函数的图象与在区间上都有两个交点，所以只需函数的图象与在区间上有两个交点即可，利用导数的几何意义求解切线即可. 【详解】根据题意，函数 将函数在上的图象向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象， 再向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象， 继续向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象 如图可得函数的图象，    令，即， 因为在区间上恰有个零点， 即函数的图象与在区间上恰有个交点， 即函数的图象与在区间上都有两个交点， 所以只需函数的图象与在区间上有两个交点即可， 当时，函数的图象与在区间上有1个交点 再求函数斜率为的切线， 导数为，令，得，则切点为， 代入，可得， 所以时，函数的图象与在区间上有两个交点， 这样函数的图象与在区间上恰有个交点. 故答案为： 16．若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据简单复合函数导数的求法，求出函数导数，根据函数导数值域，判断是否存在使导函数值乘积为的两个值，逐一判断各选项正误，判断结果. 【详解】由可知，，则存在，，使成立，A正确； 由可知，，不存在，，使成立，B错误； 由可知，，则存在，使得成立，C正确； 由可知，，则存在，，使成立，D正确. 故选：ACD. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $