专题06 导数零点或根与双变量的问题【2大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题06 导数零点或根与双变量的问题 题型预览 题型一 利用导数研究函数的零点或根 题型二 利用导数研究函数双变量的问题 题型突破 题型一 利用导数研究函数的零点或根 1．（25-26高二下·陕西西安·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数的极值，根据图象趋势与零点情况，即得不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为， 所以所求切线方程为，即. （2）因，令，得或. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因时，；当时，， 由有三个零点，可得， 故的取值范围是. 2．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，其中为实数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试判断的零点个数. 【答案】(1)当时，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. (2) (3)1 【分析】（1）求导，通过，，，讨论导数符号，即可求解； （2）由（1）通过函数单调性，确定最值即可求解； （3）由（1）得到函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）定义域：，. ， 在上单调递增， 在上单调递减； ， ①， 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减； ②，，因为，所以，在上单调递增； ③， + 0 - 0 + 在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）得， 如果， 在上单调递增， 当时，， 因为，所以成立； 当，在上单调递减，所以存在， ；不符合， 当，在上单调递增，在上单调递减； 所以存在， ，不符合， 综上，的取值范围是； （3）由（1）得， 若，在，上单调递增，在上单调递减. 因为， 当， ， 因为，，所以， 所以， 所以， 又，且在上单调递增， 所以存在，使. 又因为， 当时， ， 即，，所以. 因为在上单调递减， 上单调递增， 所以当时，. 综上，有且只有一个零点. 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数. (1)若时，求的单调区间. (2)若，证明有三个零点. (3)在（2）的条件下，证明. 【答案】(1)单调递减区间是，无单调递增区间 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）结合导数研究函数的单调区间即可； （2）求出的单调区间，利用零点存在定理即可证明结论； （3）结合(2)将问题转化为证明由于，要证明结论即证明，构造函数，利用导数研究其单调性和最值即可证明结论. 【详解】（1）当时，的定义域为， 求导得，则在递减， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； （2）的定义域为，求导得， 当时，令，解得：，或 在和上递减，上递增， 因且在上递增，则， 又当时，，所以，使得 故存在唯一的，使得， 又 令，则，且. 综上可得，函数有三个零点. （3）要证，即证，，可得 故需证，因为，则， 即需证， 设，则 在上递增，又，即，证毕. 4．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 【答案】(1) (2)1，理由见解析 【分析】（1）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （2）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. （2）令，则，，整理得， 令，则，， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为. 5．（浙江平湖市当湖高级中学2025-2026学年高二下学期数学学科练习）已知函数 (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最值； (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间； （2）由（1）得函数的极值，并计算出区间端点处的函数值，比较后可得最值； （3）问题转化为直线与曲线有三个不同交点，结合（2）中计算的极值可得参数范围. 【详解】（1）， 因式分解得， 令，得或 1 3 + 0 - 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 所以：单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）由（1）知，在区间上的极值点为和，区间端点为和. 计算函数值： ， ， ， ， 比较得：最大值为，最小值为； （3）由（2）知，在处取得极大值，在处取得极小值1， 方程有三个不同的实数根直线与曲线有三个不同交点， 所以的取值范围为. 6．（2026·陕西咸阳·三模）方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变形构造函数，利用该函数的单调性和值域，将原方程的根的问题转化为函数值相等的问题，所以结合构造函数的性质，分析参数需满足的条件，确定其取值范围. 【详解】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值。由原方程可知与同号， 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则。因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 7．（2026·全国·模拟预测）已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 8．（25-26高二下·天津西青·月考）已知， (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值和最小值； (3)若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间和；单调递增区间 (2)最大值，最小值 (3) 【分析】（1）对原函数求导后，通过解导数大于0和小于0的不等式，分别得到函数的单调递增区间与单调递减区间； （2）先求出在区间内的所有极值，再将极值与区间两个端点的函数值比较大小，即可得到区间上的最大值和最小值； （3）根据三次函数的图像性质，将方程有3个不同实根转化为的极大值大于0且极小值小于0」，解该不等式组即可得到的取值范围. 【详解】（1），令，得或. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以单调递减区间为和，单调递增区间为. （2）由(1)可知，在单调递增，在单调递减，区间内极值点为， ，，， 因为，所以区间内最大值为，最小值为. （3）由(1)可知，的极小值为，极大值为， ，， 三次函数先减后增再减，时，时， 要使有3个不同实根，需满足： 解得，即的取值范围为 9．（2026高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值，无极大值，作图见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）对求导，令，结合导数符号判断极值，并结合的单调性、极值、最值等性质画出函数图象； （2）利用数形结合易得的解的个数； （3）构造函数，将原不等式转化为恒成立的问题，令，结合导数求出在的最小值，即得到的取值范围． 【详解】（1）由求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，无极大值. 又，，当时，,当时，, 故可作出函数的大致图象如下． （2）由（1）中函数的图象可得， 当时，方程的解个数为0个； 当或时，方程的解个数为1个； 当时，方程的解的个数为2个． （3）由，可得， 即（*）， 令，则,故在上单调递增， 由（*）可得，即， 即需使恒成立，即恒成立， 令，，则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，则， 即实数的取值范围是． 题型二 利用导数研究函数双变量的问题 10．（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． (2) 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 11．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求证：当时，函数在上单调递增； (3)若存在、，使得，且，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数结合基本不等式可得出对任意的恒成立，利用导数与函数单调性的关系可得出结论； （3）令，由化简整理得出，设，可知函数在上有零点，分析该函数的单调性可知，，其中，利用导数分析函数的单调性，求出满足的的最小整数值，即可得解. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 此时在点处的切线方程为，即. （2）当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故对任意的恒成立， 故当时，函数在上单调递增. （3）令，因为、，则，且， 由可得， 所以，即， 整理可得， 设， 则函数在上有零点，易知， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，故只需， 构造函数，其中，注意到， 则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，且， 因为，， 故满足的的最小整数值为，即，故， 所以整数的最大值为. 12．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. (3)若，其中，，都有，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时， 在单调递减，在单调递增. (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导后，根据以及不同情况下导数的正负，即可得到不同情况下函数的单调性； （2）根据（1）中所求函数单调性，在时，根据判断不满足题意；在时，求解，即可求得参数的范围； （3）根据题意，，通过（2）中所求可知的最小值，以及求导得到的最小值，根据两者的大小关系，即可证明. 【详解】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递减； 当时，令，解得； 在上，， 单调递减；在上，， 单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时， 在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，单调递减，，不符合题意，舍去； 当时，； 令，， ， 单调递增； 又因为，所以，即； 综上， 的取值范围. （3）因为，都有，所以； 因为，由（1）知，； 因为，则 ， 在上，， 单调递减；在上，， 单调递增； 所以 ；注意到； 所以,即，又因为单调递增，所以>0； 即. 13．（2026·重庆渝中·二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 【答案】(1) (2)的增区间为，无减区间 (3)证明见解析 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用导数的符号研究函数的单调区间； （3）根据题设分析，令并应用极值点偏移思想构造，，再应用导数研究函数符号，结合即可证. 【详解】（1）由题设且，则，所以切线方程为； （2）设，令，则， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，， 在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以，即， 故的增区间为，无减区间； （3）由（1），（2）知，在上单调递增， 若，，必有， 若，，必有， 若，必有，，矛盾， 令，（）， ， 则， 所以单调递增，， 在上，，单调递减，， ，， 所以，， 所以，，即，原不等式成立. 14．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由函数的单调性转化为在区间恒成立，转化为最值问题求解； （2）首先利用导数判断函数和的单调性和最值，再根据，确定和的范围，再根据，，和三种情况，证明不等式. 【详解】（1）由条件可知，在上恒成立， 则在上恒成立，则，， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 所以； （2）时，， 恒成立，所以在单调递减， 且，时，，当时，， 由，得，，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，， 所以， 若存在，使得，则， 当时，，，满足， 当时，，，有两种情况，或， 要证明，即证明，其中， 当时，在单调递增，因此要证明，等价于证明， 因为，即证明， 令，， ， 当时，，， 令，， 所以在上单调递减，，因此， 所以在上单调递增，所以， 即在区间恒成立， 因此，又因为，所以， 又因为在区间单调递增， 所以，即，结论成立， 当时，因为，所以，所以不等式显然成立， 综上可知，时，，当时，成立， 所以无论何种情况，，得证. 15．（25-26高三下·江西抚州·月考）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)已知关于的方程有两个解 （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据导数的符号变化判断函数的单调性，确定极大值点，再代入原函数求极大值； （2）（ⅰ）：先将方程化简，得到，设，分析新函数的单调性、极值与最值，可确定的取值范围；（ⅱ）：先求出，根据结合，得到关于、、​的不等式，利用（ⅰ）中、​满足的关系式，进行变量替换，将不等式转化为单变量函数的恒成立问题，再求的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 因，由得，由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得极大值，且极大值为. （2）（ⅰ）由可得， 依题意方程有两个解， 设，则，且在上有两个零点. 当时，，故在上单调递增，则在上最多只有一个零点，不合题意； 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值. 要使在上有两个零点，需使，即，解得. 当时，因，又，则， 又在上单调递增，所以在有唯一零点； 当时，令，则， 再令，则， 故在上单调递增，则，即， 故在上单调递增，则， 因，所以，即，即，即， 故， 又在上单调递减，故在上有唯一零点. 综上，当时，在上有两个零点， 即方程有两个解，故a的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故， 因，则，即，也即， 故有，设，则，于是可得，即. 设，则， 因时，， ①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数， 即，即在上恒成立； ②当时，，而，当时，， 故存在，使得，，故在上为减函数，故，矛盾. 综上，可得，即. 16．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) (3) 【分析】（1）利用导数判断单调性，进而求极值； （2）转化为导数恒非负问题，用分离参数基本不等式求解； （3）韦达定理消元换元构造函数，求值域即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． （2）的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； （3）由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 17．（2026·广西桂林·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在上的单调性； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调性； （2）（i）将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得的单调性，进而得到的图象，采用数形结合的方式可求得的范围； （ii）令，，根据的取值范围可得到的范围，采用比值代换的方式，将问题转化为已知函数的值域，求解定义域的问题. 【详解】（1）当时，，， 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由题意知：， 存在两个极值点，存在两个变号零点， 令，即，显然不是方程的根， 有两个不等实根， 设，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 当时，；当从负方向趋近时，； 当从正方向趋近时，；当时，；； 由此可得图象如下图所示， 若与有两个不同交点，则. （ii）由（i）知：，，， 令，，且， 则，， ， 设，则，， ，，， 设，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增， 又，，， ，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（极值点）个数问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 18．（25-26高三下·上海·月考）已知函数，其中． (1)任取，若，证明：； (2)若存在，使得方程存在三个不等实根，且； （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)证明见解析. (2)（i）; （ii）证明见解析. 【分析】（1）通过变量替换将不等式中双变量转化为单变量函数的单调性问题; （2）（i）将方程整理为，其中，需有两个正的极值点，且极小值小于才能满足存在，使得方程有三个不等实根，由此得出的取值范围； （ii）利用（1）的结论得到新的不等式，再通过的取值范围求解不等式，最后证明结论. 【详解】（1）由于，不妨设（当时证明类似），令，则， 将代入不等式左边得，不等式右边得，因此原不等式等价于证明，两边除以，得，整理为， 令，则，因此在上单调递增，且，故在上恒成立，即，从而. （2）（i）将方程整理为， 令，， 对求导得， 令，则两根分别为，， 因为存在时方程有三个不等实根， 所以要有两个极值点，且极值点均为正数，并且极小值 因此，解得. 当，即时，在递减，递增，递减，极小值，代入得 令，则，代入得 令，则求导得，因此在上单调递增，故，即，符合条件， 当，即时，由于在递减，递增，递减，极小值，不符合条件， 综上所述，的取值范围为. （ii）由于方程的三个不等实数根满足，由（i）得， 由（1）的结论，对于，有. 而，即，整理得，代入不等式，得：，化简得，即， 由于，且，因此解出不等式得，即. 由于，所以，而，因此. 【点睛】方法点睛：1、对于不等式的证明，需要构造函数，然后转化为求函数的最值问题；2、对于双变量问题，需要通过换元法，转化为单变量问题. 强化训练 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的导函数以及函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】函数，其导数， 令，解得极值点，. 时，，单调递增； 时，，单调递减，时，，单调递增. 所以极大值为， 极小值为. 因为函数有三个零点，所以，解得. 2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先换元将原方程转化为关于的二次方程，求出的解，再结合的单调性、极值分析的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定的取值范围. 【详解】令，则方程可化为，即， 解得或，即或. 已知，求导得 ，当时，，单调递增， 当时，；当时，. 对任意，在总有1个根； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得极大值也是在的最大值， 因此在的最小值为，且时，，时，， 所以当时，在上无根； 当时，在上有且仅有1个根； 当时，在上有2个根. 综上，当时，有1个根，当时，有2个根；当时，有3个根. 所以当时，，有且仅有1个根，有且仅有1个根，共有2个不同的实根，不合题意； 当时，，有且仅有1个根，有2个根，共有3个不同的实根，不合题意； 当时，，有且仅有1个根，有3个根，共有4个不同的实根，符合题意； 当时，，有2个根，有3个根，共有5个不同的实根，不合题意； 当时，，有3个根，有3个根，共有6个不同的实根，不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】本题核心考查利用导数研究函数的单调性与极值，结合换元法、分类讨论思想，通过分析绝对值函数方程的根的个数，求解参数的取值范围，是函数与导数综合应用的经典题型. 3．（25-26高二下·福建厦门·月考）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减，， 函数的图象如下图所示： 因为函数在区间内有两个零点， 所以直线与函数有两个不同的交点， 所以，所以实数的取值范围是. 4．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象有交点转换成方程在上有解，再通过换元，转换成方程有解，再结合，得到，进而通过在上有解，求解即可. 【详解】函数与函数的图象有交点， 即方程在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，则原问题等价于有解， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以原问题等价于在上有解， 即在上有解， 令，则， 由得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又且， 所以，即.则的最小值为. 5．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A、B，求导讨论函数单调性，然后计算可知；对C，，两边取对数然后结合对数均值不等式判断即可；对D，构建函数，然后求导可知函数单调性，结合，计算判断即可. 【详解】由题得，故当时，，不符合题意． 当时，令，得，若，则；若．则． 由题知必有，故．因为，所以．则A，B正确． 由和知，因为， 所以等号两边取对数得，即， 由对数平均不等式知，即．则C错误． 构造函数． 则，所以单调递增，故，即． 由知， 所以， 因为在上单调递增，所以．则D正确． 故选：C． 6．（24-25高三下·河北邢台·月考）（多选）已知函数，的图象与直线交于、两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则a的取值范围为 B．若，则无最值 C． D．在处的切线的斜率大于 【答案】BCD 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项；分析可知，将所证不等式变形为，令，构造函数，结合函数的单调性可判断C选项；利用D选项中的结论结合导数的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，， 令，则，令，则， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为， 所以函数的极小值为，作出函数的图象如下图所示： 当时，则函数有两个零点，所以，，解得，A错； 对于B选项，若， 对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 且， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，函数在上为减函数，函数无极值，B对； 对于C选项，因为函数的单调减区间为，单调增区间为，则， 要证，即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，，C对； 对于D选项，因为， 所以，所以， 因为，则， 因为所以函数在处的切线斜率大于，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 7．（24-25高三上·重庆·月考）（多选）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，求导，令得，构造，，求导，得到其单调性和图象走势，得到，解得；BC选项，，数形结合得到的单调性，从而得到，；D选项，证明对数平均不等式，结合，得到，故. 【详解】A选项，，令得， 令，，则与有两个不同的交点， ， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，， 当时，恒成立， 要想与有两个不同的交点，则，解得，A正确； BC选项，因为，所以， 画出与的图象如下： 令得， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，B错误，C正确； D选项，，故， 先证明，理由如下： 因为，不等式变形为， 即，令， 则，令，， 则恒成立， 故在上单调递减， 故，所以，结论得证， 故， 结合A选项，，D正确. 故选： 【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明 8．（2026高三下·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有四个零点 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】ABD 【分析】借助导数研究函数单调性及其极值可得A、B；利用零点存在性定理可得C；利用导数几何意义计算可得D. 【详解】对A、B：， 当或时，，当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，故A、B正确； 对C：由，， 时，时， 所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，故C错误； 对D：由，则，故D正确. 9．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）已知函数，下列正确的有（    ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，恒成立 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上有两个零点，则 【答案】BCD 【分析】求解定义域，得到定义域不关于原点对称可判断A；利用导数判断单调性可判断B；求解导数后转化为恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围判断C，由题意可得在上还需有一个交点，据此判断D即可. 【详解】对于A，令，解得， 则的定义域为，不关于原点对称， 得到不可能是奇函数，故A错误； 对于B，若时，则， 求导得对恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以恒成立；故B正确， 对于C，由，可得， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 可得在上恒成立，化简得在上恒成立， 令，由二次函数性质得在上单调递减， 而，则，故C正确， 对于D，因为，所以是函数的一个零点， 若函数在上有两个零点，则函数在上还需有一个零点， 由，可得， 令，令， 令，求导得， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又， 又， 所以，使， 所以当时，， 当时，，当，， 所以当时，， 当时，，当，， 又时，，当时，，当，， 所以当时，与有一个大于0的交点， 所以函数在上有两个零点，则，故D正确. 10．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知只有1个零点，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】令，可得，结合的单调性可得，令，利用导数判断的单调性和图象，结合图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有1个交点， 则或，解得或， 所以a的取值范围是. 11．（25-26高三上·江苏无锡·月考）设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________. 【答案】 【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可． 【详解】定义域为，， 有两个极值点，等价于在上有两个不等实根，， ，，，， ， 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题考查了函数和导数综合解决双变量最值问题，根据已知极值点确定双变量等式关系，再进行代换转化为单变量问题，构造新函数求导确定最值得结论即可. 12．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值； (3)当时，证明：函数 有个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数几何意义，先求切点坐标，再求导得切线斜率，由点斜式写出切线方程； （2）将恒成立问题转化为求函数最值，通过分类讨论参数符号确定单调性，构建新函数并利用导数求最值解出参数； （3）通过代数变形将函数拆分为易分析的部分，利用同构思想换元简化，结合零点存在性定理和函数单调性确定零点个数. 【详解】（1）当时， ，定义域为， ，切点为，求导得，切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得. （2）求的取值恒成立，即 对恒成立， 设 ，求导得， 若，则，在单调递减， 当时，不满足，舍去； 若，令得，在递减，在递增， 最小值为：， 令，不等式化为 ， 设 ，，在单调递增，在单调递减，在处取最大值， 故仅当成立，得， 综上，. （3）整理得：， 求导得：， 因为，所以的符号由分子 决定， 令 ，对求导： ， 当时，和都是严格单调递增的正函数，因此在上严格单调递增， 结合条件，代入端点得：时， ； 时， ，因此， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 故的单调性为：，，严格递减； ，，严格递增， 的最小值为，且时 ，故； 又时，因此存在唯一的，使得，即在上只有一个零点， 结合的符号，可得的单调性： ， ，严格单调递减； ， ，严格单调递增， 因此：在上只有个极值点（极小值点），由单调性可知最多存在个零点； 由，即，解得， 代入得 已知，则， 对取对数得，又因为，所以 即，故， 结合已证的零点存在性结论：时，与极小值， 时，因此和各存在且仅存在个零点， 即恰好有个零点，得证. 13．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)求的极值； (3)当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，无极值， 当时，的极大值为，无极小值； (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数，分，两类讨论函数的极值； （3）令得到，令，根据导数求出的值域，进而求出的取值范围. 【详解】（1），，解得； （2）由（1）知， 当时，恒成立， 单调递增，无极值， 当时，令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以有极大值，为，无极小值； 综上：当时，无极值， 当时，的极大值为，无极小值； （3）当时，， 令，当时，方程无解，所以， 令，则， 所以当且时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，当时，当时，， 当时，，当时，， 所以的值域为， 因为曲线与直线没有公共点，所以， 所以的取值范围为. 14．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数．设， (1)求函数的单调区间； (2)若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为和；单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间； （2）方程有3个不同的实数根，则极大值大于0，极小值小于0，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）依题意得， 则， 由，可得或， 由，可得． 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为. （2）由（1）可知：当变化时，的变化情况如表： 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 所以当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为， 若方程有3个不同的实数根，则， 解得． 15．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，在和取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若关于x的方程在区间上有唯一实数根．求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为； (3) 【分析】（1）对函数求导可知和是方程的两个实数根，解方程组可得，； （2）根据（1）中的结论，由导函数符号可判断出函数单调性，代入计算可得其极值； （3）利用（2）中单调性分别求出函数在上的值域，结合图象可知与仅一个交点，可求得其范围. 【详解】（1）由可得， 由于和是极值点，故且， 即，解得，； 此时， 由可得或；由可得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减. 故和是极值点，符合题意， 故，； （2）由（1）知的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则的极大值为， 极小值为； （3）由知，在上单调递增，且，； 在上单调递减，且，在上单调递增，且， 作出函数在上的图象如下. 要使在上有唯一实根，需使与仅一个交点， 由图知，当时，与只有一个交点，故方程有唯一解； 当时，与只有一个交点，故方程有唯一解. 故实数C的取值范围是. 16．（25-26高二下·江苏扬州·月考）已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. （3）在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 17．（2026·四川达州·二模）已知，. (1)求的单调区间； (2)若方程有两个不相等的实数根. （i）求的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)（i）（ii） 【分析】（1）直接求导分析的符号即可求解； （2）（i）设，把问题转化为与有两个交点，利用导数求出的最值即可求解； （ii）设，则方程变为，设两根为， 则，利用比值换元法证明对数均值不等式可得，然后再根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （2）（i）方程等价于， 设，问题转化为与有两个交点， ，时，， 令，，所以在上单调递增， 且，故存在唯一满足，即， 并且当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ， 又因为和时，，所以当时方程有两个不等实根. 故的取值范围为. （ii）原方程变形得：，设，则方程变为， 设两根为，则， 且满足， 不妨设，下面证明， 令， 则不等式变形为， 令，， 所以在上单调递增，所以， 即不等式成立，变形可得， 由基本不等式可得 ， 要使不等式恒成立，只需， 故的取值范围为. 18．（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 【答案】(1). (2)证明见详解. 【分析】（1）求导得，结合，列出方程组求解； （2）令，根据导数结合零点存在定理求出单调性，易得的一个根为，再利用零点存在定理找到另一个根的范围即可证明. 【详解】（1）由题意可得， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解方程得. （2）令，， 由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设. 求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，又，， 根据零点存在定理可知存在唯一的使得. 所以当，，函数在区间上单调递减； 当，，函数在区间上单调递增. 由，得，从而， 又因为，， 所以，故. 19．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为求函数最值，通过分离参数，构造辅助函数并利用导数分析单调性，进而求得参数的取值范围； （2）利用函数单调性将和的不等式转化为函数值不等式，通过构造对称辅助函数并换元分析其单调性，完成极值点偏移类的和的不等式证明. 【详解】（1）当时，恒成立， 即恒成立，只需即可， 令，则， 令，则， 当时，恒成立，在单调递增，所以， 所以在恒成立，在单调递增， 所以，所以，即实数的最大值为2． （2）当时，， 所以，在上单调递增， 又，且，不妨设， 要证，即证明， 因为在上单调递增，即证， 因为，即证， 设 ， 令，则， 则， 由可得，在（0，1）单调递增，所以，即， 所以成立，所以． 【点睛】本题以导数为工具，核心是分离参数求最值解决恒成立问题与构造对称函数、利用单调性证明极值点偏移类不等式，体现了函数与方程、转化与化归的数学思想. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数零点或根与双变量的问题 题型预览 题型一 利用导数研究函数的零点或根 题型二 利用导数研究函数双变量的问题 题型突破 题型一 利用导数研究函数的零点或根 1．（25-26高二下·陕西西安·月考）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点，求的取值范围. 2．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，其中为实数 (1)讨论的单调性； (2)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试判断的零点个数. 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数. (1)若时，求的单调区间. (2)若，证明有三个零点. (3)在（2）的条件下，证明. 4．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 5．（浙江平湖市当湖高级中学2025-2026学年高二下学期数学学科练习）已知函数 (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最值； (3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 6．（2026·陕西咸阳·三模）方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·全国·模拟预测）已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________． 8．（25-26高二下·天津西青·月考）已知， (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值和最小值； (3)若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围. 9．（2026高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)求的极值，并画出函数的大致图象； (2)求出方程（）解的个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 题型二 利用导数研究函数双变量的问题 10．（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 11．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求证：当时，函数在上单调递增； (3)若存在、，使得，且，求整数的最大值． 12．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. (3)若，其中，，都有，证明：. 13．（2026·重庆渝中·二模）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的单调区间； (3)若，，且，满足，求证：． （参考数据：） 14．（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，． (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，函数，且存在，使得，求证：． 15．（25-26高三下·江西抚州·月考）已知函数． (1)当时，求的极大值； (2)已知关于的方程有两个解 （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围． 16．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 17．（2026·广西桂林·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在上的单调性； (2)若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 18．（25-26高三下·上海·月考）已知函数，其中． (1)任取，若，证明：； (2)若存在，使得方程存在三个不等实根，且； （i）求的取值范围； （ii）证明：． 强化训练 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏苏州·月考）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·福建厦门·月考）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河北雄安·开学考试）若函数与函数的图象有交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州·月考）已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有两个不同的零点且有，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·河北邢台·月考）（多选）已知函数，的图象与直线交于、两点，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则a的取值范围为 B．若，则无最值 C． D．在处的切线的斜率大于 7．（24-25高三上·重庆·月考）（多选）若函数有两个极值点，，（）则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三下·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的极大值为2 C．有四个零点 D．曲线在处的切线斜率为 9．（25-26高二下·广东广州·期中）（多选）已知函数，下列正确的有（    ） A．当时，的图象关于点对称 B．当时，恒成立 C．若函数在上单调递增，则 D．若函数在上有两个零点，则 10．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知只有1个零点，则a的取值范围是________. 11．（25-26高三上·江苏无锡·月考）设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________. 12．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值； (3)当时，证明：函数 有个零点． 13．（25-26高二下·北京房山·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)求的极值； (3)当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围. 14．（25-26高二下·天津静海·月考）已知函数．设， (1)求函数的单调区间； (2)若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 15．（25-26高二下·天津·月考）已知函数，在和取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若关于x的方程在区间上有唯一实数根．求实数的取值范围． 16．（25-26高二下·江苏扬州·月考）已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； (3)若在上存在两个极值点，求的取值范围. 17．（2026·四川达州·二模）已知，. (1)求的单调区间； (2)若方程有两个不相等的实数根. （i）求的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 18．（2026·四川成都·二模）已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 19．（24-25高三上·陕西西安·月考）已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $