专题03 数列的通项公式必考八类求法（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题03 数列的通项公式必考八类求法（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 观察法】 2 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 6 【类型3 累加法】 9 【类型4 累乘法】 12 【类型5 构造法】 15 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 19 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 22 【类型8 双数列的通项问题】 24 知识点1 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 知识点2 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 7．等差数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 8．等比数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 【类型1 观察法】 1．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用观察归纳法求出通项公式. 【解答过程】依题意，， ，…， 所以所求通项公式为. 故选：C. 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】特殊值法代入计算判断B，C，D，再结合已知条件判断A. 【解答过程】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 3．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将数列的前五项进行改写，可归纳得出数列的一个通项公式. 【解答过程】，，，，， 由此归纳得出该数列的一个通项公式为， 故选：B. 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）数列的一个通项公式__________. 【答案】 【解题思路】根据题意，观察数列项的特点，即可得到其通项公式. 【解答过程】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）分析分子分母的关系结合分母特点写出通项公式； （2）分析数值的组成形式，得出规律，由此可写出通项公式； （3）根据奇偶项、分子、分母的规律写出通项公式； （4）分别考虑分子分母的通项公式，由此可得结果. 【解答过程】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为， 所以它的一个通项公式为． （2）这个数列的前4项可写为，， 所以它的一个通项公式为． （3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为， 分子依次为， 所以它的一个通项公式为. （4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为， 对于分母联想到数列可得分母的通项公式为， 所以原数列的一个通项公式为． 6．（26-27高二上·全国·课堂例题）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【解答过程】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 7．（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用求解，并检验. 【解答过程】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D. 8．（25-26高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用关系求通项公式. 【解答过程】当，则， 而，显然不满足上式，所以. 故选：D. 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用求出为首项为6，公比为3的等比数列，从而求出通项公式. 【解答过程】①中，当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，，即， 故为首项为6，公比为3的等比数列， 故. 故选：B. 10．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）设数列的前项和为，且（），则__________. 【答案】 【解题思路】由与的关系，通过作差法即可求解. 【解答过程】由（）， 可得，， 两式作差可得：，， 又当时，，符合上式， 所以， 故答案为：. 11．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知数列满足，，记数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由数列通项和前项和的关系，通过作差法即可求解； （2）由错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）由，， 可得，， 两式相减可得， 即，， 又当时，符合上式， 所以，， 即，， （2）由（1）可知， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据与的关系求得数列的通项公式； （2）分析，分和两组求和，合并计算可得数列的前100项和． 【解答过程】（1）由 ，得 . 所以当时，. 又，不满足. 所以. （2）令，则. 所以当时，，所以当时，数列是等差数列. 所以. 又 ， 所以数列的前100项和为. 【类型3 累加法】 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由得到，利用累加法求出，则. 【解答过程】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D. 14．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合递推式，当时，利用累加法求，再求，由此确定 【解答过程】因为满足， 所以，，，， 所以， 又，所以当时，， 又， 所以，. 故选：A. 15．（25-26高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形整理为，再分别用，，，2，1替换上式中的，得到个等式，将上述这些式子相加整理，从而求出的通项公式. 【解答过程】由已知得， 将上述个等式相加，整理得 又因为，所以 故选：A. 16．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）在数列中，，则___________. 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用累加法求出通项公式. 【解答过程】在数列中，， 当时， ，而满足上式， 所以. 故答案为：. 17．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）求下列数列的通项公式 (1)已知数列满足，求； (2)正项数列满足，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用累加法求得正确答案. （2）利用累乘法求得正确答案. 【解答过程】（1）依题意，， 所以 ， 也符合上式，所以. （2）依题意，，则， 所以 ， 也符合上式，所以. 18．（25-26高二上·甘肃·阶段检测）（1）已知数列的前项和，求的通项公式； （2）在数列中，，求的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）根据与的关系求解即可； （2）由题设可得，进而利用累加法求解即可. 【解答过程】解：（1）由， 当时，； 当时，， 所以的通项公式为. （2）由，得， 当时， ， 显然满足上式， 所以的通项公式为. 【类型4 累乘法】 19．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用累乘法可数列的通项公式. 【解答过程】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 20．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【解答过程】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以 ，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C. 21．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【解答过程】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B. 22．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________. 【答案】 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【解答过程】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 23．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）根据公式，可得答案； （2）利用累乘法，可得答案. 【解答过程】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 则 ， 当时，满足上式， 所以. 24．（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据是等差数列求得与的关系式，然后利用以及累乘法求得. （2）利用裂项求和法求得. 【解答过程】（1）因为，是公差为的等差数列， 所以，即． 当时，，整理可得， 所以，，，，， 累乘得，所以（也满足该式）， 故． （2）由（1）知， 所以， 所以 ． 【类型5 构造法】 25．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【解答过程】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 26．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【解答过程】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 27．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【解答过程】设，即， 所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故选：C. 28．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为___________. 【答案】 【解题思路】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【解答过程】由, 得，且， 故数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 故， 所以， 设，则，又， 所以数列的所有项均为0，即， 所以. 故答案为：. 29．（25-26高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论； （2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可. 【解答过程】（1）已知，， ， 是以为首项、为公比的等比数列， ． （2）由（1）可知，， ， ， ； 由，可得， 为整数， 的最小值为2026． 30．（25-26高三上·河南·阶段检测）在前项和为的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记，求数列的前项和； (3)若，记，且，求数列的通项公式． 【答案】(1)或 (2) (3) 【解题思路】（1）由，得或，再结合求解即可； （2）由错位相减法即可求和； （3）由递推公式构造等比数列，即可求解； 【解答过程】（1）设公比为，由，有，可得或， ①当时，由，有，可得，解得或2， 故数列的通项公式为或， ②当时，由，有，可得，方程无解， 由上知数列的通项公式为或； （2）由，有，可得， 有， 两边乘以2，有， 两式作差，有， 有； （3）由，有，可得， 有，有， 有，又由， 可得数列是公比为，首项为的等比数列， 有， 可得数列的通项公式为. 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 31．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【解答过程】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C. 32．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的通项公式以及前项和的基本量计算，分别求出首项和公差，即可得通项公式. 【解答过程】由题意，，解得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以数列的通项公式为. 故选：A. 33．（25-26高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 34．（25-26高二上·重庆·期末）已知等差数列中，前项和为，这项中的偶数项之和为，且，则数列的通项公式____________. 【答案】 【解题思路】利用等差数列前项和公式及等差数列性质条件可转化为，，解方程求，再结合等差数列通项公式求，由此可求通项公式. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为等差数列中，前项和为， 所以，故， 因为等差数列中前项中的偶数项之和为， 所以，故， 所以，解得， 所以，又， 所以，， 所以，， 所以 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 35．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故 . 36．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列是公差不为的等差数列，且， 成等比数列. (1)数列的通项公式； (2)若等比数列的前两项为，求数列的通项公式，并求出数列的前项和. 【答案】(1) (2)，. 【解题思路】（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （2）由等比数列的前两项为，可求出等比数列的首项和公比，从而求出等比数列的通项公式，进一步得出数列的通项公式，最后利用分组求和与等比数列前项和公式求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由得：，即， 又成等比数列，所以，即， 也即， 解得：（舍去）或， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）由，，则， 所以等比数列的首项为， 所以等比数列的公比为， 所以等比数列的通项公式为：， 由，则， 所以 . 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 37．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据的关系可得，由等比数列的性质可得公比，即可求解. 【解答过程】因为①，当时，②， ①-②得：，因为是等比数列， 设公比为，所以，因为， 所以，解得； 当时，，即 ， 所以，又因为， 所以，解得，所以， 故选：A． 38．（25-26高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据与的关系式，求得，进而得到数列是等比数列，再用公式计算即可. 【解答过程】因为，所以当时，.两式相减，得，. 因为，且当时，，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以. 故选：C. 39．（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设等比数列的公比为，由可得，再根据和，可得的值，进而可得数列的通项公式. 【解答过程】设等比数列的公比为，由可得，解得， 设， ， 因为，所以，解得或. 当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去； 当时，，，满足，故满足题意. 所以． 故选：A. 40．（25-26高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式___________. 【答案】 【解题思路】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 41．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将已知等式用等比数列通项公式转化为关于公比的一元二次方程，结合正项条件求得，即可得到的通项公式； （2）先化简得到为等差数列，利用分组求和法，分别计算等比数列和等差数列的前项和，相加得到. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去） . 所以数列的通项公式为： . （2） 由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得. 可得：， ， 因此. 42．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列基本量的计算可求解公比，即可求解通项， （2）利用等比求和公式得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，则， 由题意知，所以，解得或（舍去）， 所以，所以． （2），所以， 所以， 所以． 【类型8 双数列的通项问题】 43．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【解题思路】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算和等差中项概念列方程组，求得的值，再代入前n项和公式计算即得. 【解答过程】设等比数列的公比为，则① 由与的等差中项为可得②， 将①代入②，可得，解得，回代入①，解得， 则. 故选：C. 44．（25-26高二上·天津·期末）已知是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，，且与的等差中项为4，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差中项的性质得到，结合，利用等比数列的基本量求得和公比，再由等比数列的求和公式即可得到． 【解答过程】因为与的等差中项为，所以， 设等比数列的公比为， 又，得：， 解得：，或（舍去）， 则， 故选：B． 45．（2026高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于__________. 【答案】 【解题思路】通过等比数列项的运算关系与等差中项的性质，建立首项与公比的方程，求解得首项和公比后，代入等比数列前项和公式计算. 【解答过程】设等比数列的公比为，首项为. 由，得，化简得. 由与的等差中项为5，得，即. 将代入上式，得，故. 联立，两式相除得，解得. 代入，得. 前5项和. 故答案为：31. 46．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）求出公比，得到的通项公式，进而可得公差，得到的通项公式； （2）变形得到，令，作差法得到的最大值，从而得到答案 【解答过程】（1）数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； （2），故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 47．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，结合等比、等差数列通项列出方程组求解作答； （2）利用错位相减法求和. 【解答过程】（1）依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. （2）数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 48．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【解题思路】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以， 即． （2），因此， . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数列的通项公式必考八类求法（举一反三专项训练） 【人教A版】 【类型1 观察法】 2 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 4 【类型3 累加法】 5 【类型4 累乘法】 5 【类型5 构造法】 6 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 7 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 8 【类型8 双数列的通项问题】 9 知识点1 数列的通项公式 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 (n≥2)(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 知识点2 数列的通项公式的常见求法 1．观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项. 2．定义法： 已知数列的通项公式的类型，对于含参的通项公式，根据数列的定义结合已知条件，求出通项公式中的参数，从而得到此数列的通项. 3．公式法： 由an与Sn的关系求通项： (1)已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2) Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解. 方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解. 4．累加法： 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. 5．累乘法： 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. 6．构造法： ①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. ②形如an+1=pan+qn+c的数列，引入参数x，y，构造新的等比数列{}. ③形如an+1=pan+qn的数列，两边同除以qn+1，构造新的数列{}. ④倒数法：形如(A,B,C为不为0的常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 7．等差数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等差数列，求出首项和公差，直接利用等差数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等差数列，先求出构造的等差数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 8．等比数列的通项公式法： (1)如果给定的数列是等比数列，求出首项和公比，直接利用等比数列的通项公式求解； (2)如果给定的数列可以构造出等比数列，先求出构造的等比数列的通项公式，在通过递推关系式进行变形转化，得到所求数列的通项公式. 【类型1 观察法】 1．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）数列的一个通项公式__________. 5．（25-26高二上·全国·课后作业）写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 6．（26-27高二上·全国·课堂例题）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【类型2 由an与Sn的关系求通项】 7．（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）设数列的前项和为，且（），则__________. 11．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知数列满足，，记数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 12．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足（，）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前100项和． 【类型3 累加法】 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·河北·期末）在数列中，，，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）在数列中，，则___________. 17．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）求下列数列的通项公式 (1)已知数列满足，求； (2)正项数列满足，求． 18．（25-26高二上·甘肃·阶段检测）（1）已知数列的前项和，求的通项公式； （2）在数列中，，求的通项公式. 【类型4 累乘法】 19．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________. 23．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 24．（25-26高三上·湖南湘西·阶段检测）记数列的前项和为，已知，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【类型5 构造法】 25．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·山西晋中·阶段检测）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·广东·阶段检测）已知数列满足，且，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 28．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为___________. 29．（25-26高三上·广东·期中）记为数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)若，求整数的最小值． 30．（25-26高三上·河南·阶段检测）在前项和为的等比数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，记，求数列的前项和； (3)若，记，且，求数列的通项公式． 【类型6 由等差数列的通项公式求数列通项】 31．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·广东茂名·期中）已知为等差数列，为其前项和，若，则通项公式为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·福建龙岩·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·重庆·期末）已知等差数列中，前项和为，这项中的偶数项之和为，且，则数列的通项公式____________. 35．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 36．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知数列是公差不为的等差数列，且， 成等比数列. (1)数列的通项公式； (2)若等比数列的前两项为，求数列的通项公式，并求出数列的前项和. 【类型7 由等比数列的通项公式求数列通项】 37．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·湖南·期末）在数列中，为其前项和.若，，则（    ） A． B． C． D． 39．（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式___________. 41．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 42．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【类型8 双数列的通项问题】 43．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）等比数列的前n项和为，已知，且与的等差中项为，则（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 44．（25-26高二上·天津·期末）已知是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，，且与的等差中项为4，则等于（    ） A． B． C． D． 45．（2026高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于__________. 46．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 47．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)，求数列的前n项和. 48．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $