第09讲 第四章 数列 章节验收测评卷（综合卷）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（26-27高二上·甘肃·期中）已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 2．（2025·河南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知正项等差数列的公差为，首项，且，，成等比数列，则（   ） A．9 B．或3 C．4 D．3 4．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 7．（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递增数列 10．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D．为定值 11．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）定义数列如下：，是过相异两点，的直线与轴交点的横坐标，则下列选项中正确的是（    ） A． B．等比数列的公比为 C．数列的前3项和 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则______． 13．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）若等比数列的各项均为正数，且，则____. 14．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知等比数列的公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； 17．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知有限集合，，，，若，则称为“完美集”． (1)已知，，，，成等差数列，若集合为“完美集”，求； (2)已知，是否存在首项为的等比数列，使得集合为“完美集”，若存在，求集合；若不存在，说明理由； 18．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 19．（23-24高二上·北京·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且是和的等比中项，是公比不为1的等比数列，，且是和的等差中项． (1)求数列和的通项公式； (2)求使得成立的最小正整数； (3)设数列的前项和为，求的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（26-27高二上·甘肃·期中）已知数列则这个数列的第25项为（ ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】根据数列前的几项可得，， 所以. 2．（2025·河南·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，将条件转化为与和有关的等式，联立运算即可求解. 【详解】， ， 两式联立可得：. 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知正项等差数列的公差为，首项，且，，成等比数列，则（   ） A．9 B．或3 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用等比中项列方程，利用等差数列的基本量运算化简即得. 【详解】因，，成等比数列，则， 即，解得或， 因，则. 4．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）若数列是单调递减数列，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，，错误； 对于D，，错误. 5．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需移动的最少次数，满足，且则解下5个圆环需移动的最少次数为（    ） A．7 B．16 C．14 D．21 【答案】D 【分析】5个圆环数量较少，依次直接代入求解即可. 【详解】由题意，，即解下5个圆环需移动的最少次数为21. 6．（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【详解】由题意，， ， 所以， 所以． 7．（26-27高二上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出数列的周期，再由数列的性质，即可求解. 【详解】因为，又，则，，， 所以数列是周期数列，且是数列的一个周期，则. 8．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求出数列的通项公式，再将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】设正项等比数列的公比为，已知，则， 由成等差数列，根据等差数列中项性质得：， 将代入上式，两边同除以（）得： 即，解得（舍去负根，因数列是正项等比数列）， 因此，不等式对任意恒成立， 代入得：， 分离参数得：，对任意恒成立， 因此只需大于数列的最大值即可，令， 则， 当时，，即， 当时，，则，即， 所以，则， 所以，即的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递增数列 【答案】ABD 【详解】， 所以公差， 所以， 从而，故A和D正确； ，所以，为等差数列，故B正确，C错误. 10．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D．为定值 【答案】ACD 【分析】由等比数列的通项公式结合条件可得，进而求出数列的通项公式与前项和，依此分别判断四个选项即可. 【详解】对于A，由得，即，由得， 代入得，联立，且，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 则为定值，故D正确. 故选：ACD 11．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）定义数列如下：，是过相异两点，的直线与轴交点的横坐标，则下列选项中正确的是（    ） A． B．等比数列的公比为 C．数列的前3项和 D． 【答案】AD 【分析】根据直线两点式方程，结合构造法、等比数列的定义和单调性逐一判断即可. 【详解】直线的方程为：， 因为是过相异两点，的直线与轴交点的横坐标， 所以且. A：构造数列，所以有， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 因此，于是有，所以本选项说法正确； B：由上可知本选项说法不正确； C：，所以本选项说法不正确； D：，显然该数列是单调递增数列，而， 所以，因此本选项说法正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则______． 【答案】13 【详解】设等差数列公差为， 则. 化简得，即， 等差数列前项和公式：， 所以， 代入，得. 13．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）若等比数列的各项均为正数，且，则____. 【答案】9 【分析】利用等比数列的性质结合对数运算性质，将所求对数和转化为关于的表达式求解. 【详解】首先根据对数的运算性质：同底对数相加等于真数乘积的对数，可得： ，其中， 根据等比数列的性质得：， 因此， 故. 14．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】已知，采用逆推法，分两类反向求前一项：偶数逆推为后一项的倍，奇数逆推需满足结果是正奇数，依次求出，得到所有可能的值，选出最小值． 【详解】由，，， 得逆运算规则： 若为偶数，则； 若为奇数，则，且必须是正奇数，否则舍去， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 所以或， 当时， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 当时， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以或，即可取， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公比为， ，， ． 解得（舍去）或． 因此数列的通项公式为． （2）由（1）得． 当时，，又，故是首项，公差为-2的等差数列， 则． 16．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知等比数列的公比，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由等比数列的公比，且，， 可得，两式相除得，整理得， 解得或（舍）. 代入，得. 因此数列的通项公式为. （2）由（1）得， 裂项相消求和：. 17．（26-27高三上·陕西渭南·期中）已知有限集合，，，，若，则称为“完美集”． (1)已知，，，，成等差数列，若集合为“完美集”，求； (2)已知，是否存在首项为的等比数列，使得集合为“完美集”，若存在，求集合；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)略 【详解】（1）已知，，成等差数列，且， 由等差中项性质可得，则集合中所有元素之和为. 因为集合为“完美集”， 根据定义：，代入总和得. 利用完全平方公式变形，代入： 解得. （2）不存在，理由如下： 设数列的公比为，，由集合元素互异，可得 数列是首项为9，公比为的等比数列，则. 原数列的和为. 因为集合为“完美集”，所以，变形得. 由，。两边约去，得，化简得，整理得：. 因为，可得，在实数范围内解只有，与矛盾. 所以不存在首项为的等比数列，使得集合为“完美集”. 18．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)略 【详解】（1）当时，，解得 当 时，，则，整理得 ，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 当 时，也满足，因此通项公式为； （2）由（1）知 ，显然 ，则， 因为各项均为正数，所以 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故数列的最大项为第项和第项，且； （3）不存在，理由如下： 假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则， 代入通项公式得，两边同时除以得，， 令，，，为正整数，且，则， 两边同乘得，， 左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾， 因此不存在不同的三项成等差数列. 19．（23-24高二上·北京·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且是和的等比中项，是公比不为1的等比数列，，且是和的等差中项． (1)求数列和的通项公式； (2)求使得成立的最小正整数； (3)设数列的前项和为，求的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2) (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，解得或（舍去）， 故， 设等比数列的公比为， 因为是和的等差中项， 则，解得或（舍去）， 又，所以. （2）， 则， 则 ， 而， 所以可化为， 解得， 故使得成立的最小正整数为. （3）， 当为奇数时，，函数单调递减， 故，又， 所以， 当为偶数时，，函数单调递增， 故，又， 所以， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $