第四章 数列（举一反三单元自测·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·河北·阶段检测）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【解答过程】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由等差数列基本量的计算，可得方程组，再解方程组即可． 【解答过程】等差数列的公差为，， 则，解得． 故选：B． 3．（5分）（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【解答过程】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B. 4．（5分）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】列出数列的前项的值，可知数列是周期为的周期数列，结合数列的周期性可求得结果. 【解答过程】因为数列满足，且，则， ，，，， 以此类推可知，对任意的，，故数列是周期为的周期数列， 所以. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用等差数列性质与前n项和公式，推导关键项的符号，再分析数列项的正负变化，判断数列的增减性，最后结合前n项和的变化规律，确定最大值即可. 【解答过程】因为为等差数列， 由，根据性质得， 由，代入前项和公式： ，因此， 所以，所以等差数列是递减数列，前7项为正，从第8项开始为负， 所以时，的最大值为. 故选：C. 6．（5分）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【解题思路】根据题干确定各等比数列，结合等比数列求和公式，列不等式，解不等式即可. 【解答过程】由题意，蒲第一天长高尺，以后蒲每天长高为前一天的一半， 所以蒲每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和， 又由莞第一天长高尺，以后每天长高为前一天的两倍， 所以莞每天生长的高构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和，令， 解得或， 因为，所以， 故选：A. 7．（5分）（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 【答案】A 【解题思路】由得，令，即，进而求得，利用累加法即可求，即可得，最后利用裂项相消法即可求解. 【解答过程】由有，令，则， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，故， 即，故 ，当时，符合题意，即. 又由有， 设数列的前项和为，. 故选：A. 8．（5分）（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【解答过程】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】整理可得，代入即可判断AB；分析可知数列是以3为周期的数列，结合周期性判断CD. 【解答过程】由可得，且， 则，，，故A错误，B正确； 可知数列是以3为周期的数列， 所以，故CD正确； 故选：BCD． 10．（6分）（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 【答案】ACD 【解题思路】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，B，再结合所在二次函数的图象和性质，即可求解判断C，D. 【解答过程】存在最大值，所以数列的公差， 由，且，，当时，取得最大值，C选项正确； 所以数列是首项，的等差数列，A选项正确； ，则，B选项错误； ，， 可得:， ， 所以则取得最小正值时为，D选项正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若均为等差数列，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解题思路】由递推关系可知，根据数列周期性可求得A错误；利用等差数列性质可知，由此可求得B正确；利用倒数法和构造法可证得数列为等比数列，利用等比数列通项与求和公式可求得，知C正确；采用裂项相消法可求得，知D正确. 【解答过程】对于A，，， 数列是以为周期的周期数列，，A错误； 对于B，均为等差数列，，B正确； 对于C，，， 即，，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，，C正确； 对于D，，， ，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式___________． 【答案】 【解题思路】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【解答过程】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（5分）（2026高二上·山西临汾·专题练习）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据条件，利用等差数列的性质和前项和公式，得，，再利用等差数列的通项公式，即可求解. 【解答过程】因为，， 所以，，所以，， 又由，，得，即，解得 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【解题思路】（1）根据给定的前n项和公式，依次赋值计算即得. （2）利用结合已知求出通项． 【解答过程】（1）由数列的前n项和为，得， ，． （2）当时，， 而不满足上式，所以的通项公式为． 16．（15分）（25-26高二下·河南·阶段检测）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据递推公式求，，进而猜想通项公式； （2）根据（1）中结果，利用数学归纳法分析证明. 【解答过程】（1）因为，， 可得，， 因此可猜想. （2）证明：当时，，等式成立； 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立. 综上所述，对任意，. 17．（15分）（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【解题思路】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【解答过程】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 18．（17分）（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【解答过程】（1）证明：由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知， 所以； （3）证明：由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以. 19．（17分）（25-26高二下·广东江门·期中）已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，由已知可得； （2）根据（1）求出，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围； （3）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，由于， 所以，解得. （2）由（1）可得， 若数列为单调递减数列，则对于恒成立， 所以在上恒成立， 则，所以，又数列为递增数列，所以，即， 故的取值范围为； （3）若，则， 根据题意数列为： 第一组为：1，； 第二组为：，，； 第三组为：，，，； …… 第组为：，，，，…，； 则前组一共有项，当时，项数为. 故相当于是前组的和再加上这三项，即： 设，则可看成是数列的前项和 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·河北·阶段检测）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·湖北荆州·期末）设等差数列的公差为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（5分）（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 4．（5分）（25-26高二上·天津津南·阶段检测）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍.要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．天 B．天 C．天 D．天 7．（5分）（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足：，数列满足，则数列的前50项的和为（   ） A． B． C． D．50 8．（5分）（25-26高二上·河北衡水·阶段检测）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A．首项 B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为27 11．（6分）（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列，记数列的前项和分别为，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若均为等差数列，，则 C．若，，，则 D．若，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式___________． 13．（5分）（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 14．（5分）（2026高二上·山西临汾·专题练习）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 16．（15分）（25-26高二下·河南·阶段检测）在数列中，，. (1)求，，猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 17．（15分）（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 18．（17分）（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 19．（17分）（25-26高二下·广东江门·期中）已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $