专题01 第四章 数列（思维导图+知识清单+四大易错点总结）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题01 第四章 数列（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 4.1 数列的概念 【知识点1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识点2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 4.2.1 等差数列的概念 【知识点1 等差数列的概念】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 【知识点2 等差数列的通项公式】 1．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 2．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【知识点3 等差数列的性质】 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 4.2.2 等差数列的前n项和公式 【知识点1 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式： (公式一). (公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和，令，，则. (1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 4.3.1 等比数列的概念 【知识点1 等比数列的概念】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 【知识点2 等比数列的通项公式】 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 2．证明数列是等比数列的主要方法 (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【知识点3 等比数列的性质】 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 4.3.2 等比数列的前n项和公式 【知识点1 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 4.4 数列求和 【知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式】 1．等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：. 【知识点2 数列求和的几种常用方法】 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 4.5 数学归纳法 【知识点1 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【易错点1 已知Sn求an时，易忽略n=1的情况致错】 易错点分析：由an与Sn的关系求通项，当时求出通项公式an后，不能忽略n=1的情况，还需要验证数列的首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步容易忘记，切记! 【注】：数列{an}的前n项和Sn与an的对应关系为. 【典例1】（25-26高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用关系求通项公式. 【解答过程】当，则， 而，显然不满足上式， 所以. 故选：D. 【跟踪训练1.1】（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用求解，并检验. 【解答过程】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D. 【跟踪训练1.2】（2026·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题中等式，可得，再结合时，可得. 【解答过程】当时，有，所以， 当时，由，， 两式相减得， 此时，，也满足， 所以的通项公式为. 故选：B. 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【解题思路】根据，可求出的通项公式. 【解答过程】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 故答案为：. 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【答案】（1）； （2） 【解题思路】根据求解即可. 【解答过程】（1）因为， 当时，， 当时，， 又不满足上式， 所以； （2）因为， 当时，， 当时，， 又满足上式， 所以. 【易错点2 用函数法求等差数列前n项和的最值时，忽略数列与函数的区别致错】 易错点分析：用求二次函数最值的方法来求等差数列的前n项和的最值时，需明确数列是一串离散的点，只能取正整数，与函数不同；所以求解时应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值. 【典例2】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【解题思路】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【解答过程】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 【跟踪训练2.1】（25-26高三·江西·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A． B．52 C．54 D．55 【答案】D 【解题思路】利用求和公式可得公差为，进而可得，然后利用二次函数的性质即得. 【解答过程】设等差数列的公差为，则，解得， 故. 又函数的对称轴为直线， 而， 故当时，取得最大值. 故选：D. 【跟踪训练2.2】（25-26高二下·广东佛山·期中）已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】由等差数列的通项公式、前项和公式列方程组求得和公差，写出前项和，由二次函数性质得结论． 【解答过程】设等差数列公差为，由， 则，， ∴， 解得，． ∴ ， ∴当时，取得最大值． 故选：B． 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】(1) (2)，的最大值为. 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解； （2）利用等差的求和公式得到，结合二次函数性质求其最大值. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 因为，所以，解得， 所以， 所以； （2）由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为. 所以，的最大值为. 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；或时，取得最大值，无最小值 【解题思路】（1）设等差数列的公差为，根据条件求出，然后写出等差数列通项公式即可； （2）根据等差数列的前项和公式写出，再利用函数性质求解即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意得：，， 则，解得， 所以. （2）由， 函数开口向下，对称轴为， 而，则或6， 此时， 所以在或6时，取得最大值，无最小值. 【易错点3 利用等比数列前n项和公式时，忽略公比q=1致错】 易错点分析：在研究等比数列时，切记等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0.在利用等比数列求和时，如果公比q是未知数，需要对公比q是否为1进行分类讨论，不能忽略公比q=1的情况. 【注】：等比数列{an}的前n项和公式为. 【典例3】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】利用等比数列前项和公式和通项公式分析计算即可. 【解答过程】设等比数列的首项为，公比为. 当时， ，不满足，舍去； 当时，， 所以， 所以，解得. 所以. 故选：C. 【跟踪训练3.1】（25-26高二下·内蒙古包头·期末）已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用基本量法可求公比，从而可得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为，因为，故， 由，所以，又， ，解得或（舍）， . 故选：B. 【跟踪训练3.2】（25-26高二下·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【答案】D 【解题思路】法1，设等比数列的公比为，首项为，利用等比数列基本量运算求解判断；法2，利用等比数列前项和性质运算判断. 【解答过程】解法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，①，②， 由①②可得，，所以. 解法二：因为，，成等比数列，即，解得：. 故选：D. 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）设正项等比数列的公比为，前项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．成等比数列 D． 【答案】D 【解题思路】根据等比数列的通项公式和前项和公式逐项判断. 【解答过程】正项等比数列的公比为，前项和为， 则， 对于A，，，不一定相等， A错误； 对于B，当 ，B错误； 对于C，当 ， 由于， 则，C错误； 对于D，当时， ， 此时， 当时，，此时， 所以，D正确. 故选：D. 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比_____________． 【答案】或 【解题思路】根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【解答过程】当时，显然成立， 当时， ，（舍去）， 故答案为：或. 【易错点4 数列加绝对值后，忽略了数列各项符号的变化】 易错点分析：数列加绝对值后，对含绝对值的这类数列求和，要先去绝对值，那就要弄清数列中各项的符号，进行分段求和；如果没有考虑数列各项符号的变化，就很容易导致错误. 【注】：此类热点问题是含绝对值的等差数列前n项和的求解问题. 【典例4】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出数列的通项公式，化简的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【解答过程】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 【答案】B 【解题思路】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【解答过程】依题意由可得为定值， 因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 即可得，所以当时，，当时，， 所以 . 故选：B. 【跟踪训练4.2】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论错误的是（   ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 【答案】C 【解题思路】由通项与前项和的关系求出数列的通项公式，结合等差数列的定义可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；求得，结合等差数列的求和公式可判断C选项；利用并项求和法可判断D选项. 【解答过程】数列满足， 当时，； 当时，由， 可得， 上述两个等式作差可得，化简可得， 也满足，故对任意的，， 对于A选项，对任意的，， 所以，数列为等差数列，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，， 所以，数列的前项和为 ，C错； 对于D选项，对任意的，， 所以，数列的前项和为，D对. 故选：C. 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）将条件转化为首项和公差的方程，解方程求，，进而可求得数列的通项公式，再求； （2）由题意得当时，，当时，，分别求其前项和，即可得到数列的前项和. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）记等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 【答案】(1)； (2)的最大值为，取得最大值时的或； (3). 【解题思路】（1）结合与可计算出公差，再结合，即可得解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合二次函数的性质即可得解； （3）分与两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 故； （2），是关于的二次函数，对称轴为， 在或时取得最大值，，的最大值为； （3）， . ①当时，； ②当时， . 因此，. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第四章 数列（思维导图+知识清单+四大易错点总结） 【人教A版】 4.1 数列的概念 【知识点1 数列的概念】 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【知识点2 数列的性质】 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 4.2.1 等差数列的概念 【知识点1 等差数列的概念】 1．等差数列的概念 (1)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示. (2)对等差数列概念的理解 ①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. ②由概念可知，如果 ()恒等于一个常数，那么数列{an}就是等差数列. ③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列. ④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列. ⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒. 2．等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列. 【知识点2 等差数列的通项公式】 1．等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差. (2)等差数列通项公式的变形 已知等差数列{an}中的任意两项an，am (n,m∈N*，m≠n)，则 2．证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【知识点3 等差数列的性质】 1．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，当d=0时，an=a1为常数列，当d≠0时，an=a1+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{an}的图象是直线y=dx+(a1-d)上一群均匀分布的孤立的点. 2．等差数列的单调性 由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响. ①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示； ②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示； ③当d=0时，数列为常数列，如图③所示. 因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列. 3．等差数列的性质 设{an}为等差数列，公差为d，则 (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，则am+an=ap+aq. (2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列. (3)若{bn}是公差为d'的等差数列，{an}与{bn}的项数一致，则数列(为常数)是公差为λ1d+λ2d'的等差数列. (4)下标成等差数列且公差为m的项(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列. (5)在等差数列{an}中，若an=m，am=n，m≠n，则有am+n=0. 4.2.2 等差数列的前n项和公式 【知识点1 等差数列的前n项和公式】 1．等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式： (公式一). (公式二). 2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{an}的前n项和，令，，则. (1)当A=0，B=0(即d=0，a1=0)时，Sn=0是常数函数，{an}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，a1≠0)时, Sn=Bn是关于n的一次函数，{an}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，a1≠0)时，是关于n的二次函数(常数项为0). 3．等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 4．求等差数列前n项和的最值的常用方法： (1)邻项变号法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值； (2)二次函数法：利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A,B为常数，A≠0）为二次函数，通过二次函数的性质求最值. (3)不等式组法：借助当Sn最大时，有，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn最大值)，类似可求Sn的最小值. 4.3.1 等比数列的概念 【知识点1 等比数列的概念】 1．等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号 语言 在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比 递推 关系 或 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以G2=ab，即G=. 【知识点2 等比数列的通项公式】 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是(a1,q≠0). 2．证明数列是等比数列的主要方法 (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证. 【知识点3 等比数列的性质】 1．等比数列的通项公式与指数函数的关系 等比数列{an}的通项公式可以改写为，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的图象是指数型函数的图象上一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列； (3)当q=1时，等比数列{an}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)； (4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号). 3．等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 4．等比数列的单调性与最值问题 涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 4.3.2 等比数列的前n项和公式 【知识点1 等比数列的前n项和公式】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，是指数函数，此时，点(n,Sn)是指数型函数图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则有如下性质： (1). (2)若(k∈N*)均不为0，则成等比数列，且公比为qk. (3)若{an}共有2n(n∈N*)项，则=q； 若{an}共有(2n+1)(n∈N*)项，则=q. 4.4 数列求和 【知识点1 等差数列、等比数列的前n项和公式】 1．等差数列、等比数列的求和公式 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和. (1)等差数列的前n项和公式：. (2)等比数列的前n项和公式：. 【知识点2 数列求和的几种常用方法】 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 4.5 数学归纳法 【知识点1 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【易错点1 已知Sn求an时，易忽略n=1的情况致错】 易错点分析：由an与Sn的关系求通项，当时求出通项公式an后，不能忽略n=1的情况，还需要验证数列的首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步容易忘记，切记! 【注】：数列{an}的前n项和Sn与an的对应关系为. 【典例1】（25-26高二上·天津宁河·期末）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（2026·四川·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.3】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则___________． 【跟踪训练1.4】（25-26高二上·天津河北·阶段检测）（1）已知数列的前项和公式为，求数列的通项公式 （2）数列的前项和公式为，求数列的通项公式. 【易错点2 用函数法求等差数列前n项和的最值时，忽略数列与函数的区别致错】 易错点分析：用求二次函数最值的方法来求等差数列的前n项和的最值时，需明确数列是一串离散的点，只能取正整数，与函数不同；所以求解时应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值. 【典例2】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【跟踪训练2.1】（25-26高三·江西·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A． B．52 C．54 D．55 【跟踪训练2.2】（25-26高二下·广东佛山·期中）已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪训练2.3】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 【跟踪训练2.4】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）记为等差数列的前项和，且满足，. (1)求； (2)是否存在最值，如果存在，求出取得最值时的值？如果不存在，请说明理由. 【易错点3 利用等比数列前n项和公式时，忽略公比q=1致错】 易错点分析：在研究等比数列时，切记等比数列中的任何一项都不为0，且公比q≠0.在利用等比数列求和时，如果公比q是未知数，需要对公比q是否为1进行分类讨论，不能忽略公比q=1的情况. 【注】：等比数列{an}的前n项和公式为. 【典例3】（25-26高三上·江西·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高二下·内蒙古包头·期末）已知等比数列的前n项和为，若且，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高二下·四川乐山·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【跟踪训练3.3】（25-26高二上·浙江宁波·期中）设正项等比数列的公比为，前项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．成等比数列 D． 【跟踪训练3.4】（25-26高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则的公比_____________． 【易错点4 数列加绝对值后，忽略了数列各项符号的变化】 易错点分析：数列加绝对值后，对含绝对值的这类数列求和，要先去绝对值，那就要弄清数列中各项的符号，进行分段求和；如果没有考虑数列各项符号的变化，就很容易导致错误. 【注】：此类热点问题是含绝对值的等差数列前n项和的求解问题. 【典例4】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）在数列中，，则等于（    ） A．445 B．765 C．1080 D．3105 【跟踪训练4.2】（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论错误的是（   ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前项和为 D．数列的前项和为 【跟踪训练4.3】（25-26高二上·云南楚雄·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【跟踪训练4.4】（25-26高二上·天津和平·阶段检测）记等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求的最大值以及取得最大值时的的值； (3)求的前项和． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $