精品解析：江苏盐城市盐都区第二共同体2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋学期10月份课堂练习 八年级数学试题 练习时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 的立方根等于 4. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 6. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 8. 如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 近似值9.65万精确到______位． 10. 已知等腰三角形两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 11. 如图，，点D在边上，延长交于点F，若，则__________． 12. 若与是同一个正数的两个不同的平方根，则______． 13. 若x，y都是实数，且，则的立方根为_______． 14. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 15. 如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，的值为____________． 16. 如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转，得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中x的值： （1） （2） 19. 如图，在中，． （1）在平面内找一点E，使，且点E到两边的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若点E恰好落在上，则______． 20. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． （1）实数的值是________； （2）求的值． 22. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 23. 如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分为____________，小数部分为____________． （2）已知的立方根为，的算术平方根是7，c是的整数部分，求的平方根． （3）已知，其中x是的整数部分，且，求． 25. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）【问题发现】如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； （3）【变式运用】如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； （4）【拓展迁移】如图5，在中，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期10月份课堂练习 八年级数学试题 练习时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、0不是无理数，故本选项不符合题意； B、不是无理数，故本选项不符合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、不是无理数，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形三边关系， ∴三角形的第三边x满足：，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 的算术平方根是 B. 的平方根是 C. 的立方根是 D. 的立方根等于 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 4. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 5. 如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE B. ∠A=∠D C. AC=DF D. AC∥FD 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF=EC， A. 添加一个条件AB=DE， 又 故A不符合题意； B. 添加一个条件∠A=∠D 又 故B不符合题意； C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意； D. 添加一个条件AC∥FD 又 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，在中，分别垂直平分和，垂足为M，N．且分别交于点D，E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和等知识点，灵活运用等边对等角成为解题的关键． 由线段垂直平分线的性质得，则，再由三角形内角和定理得，进而完成解答． 【详解】解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 8. 如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形．根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，为等腰三角形，， ①当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ②当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故选：C． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 近似值9.65万精确到______位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字的说法．将近似值9.65万转换为96500，数字5位于百位，因此精确到百位． 【详解】解：9.65万，最后一位数字5对应百位， 故近似值9.65万精确到百位． 故答案为：百． 10. 已知等腰三角形两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为_________． 【答案】12 【解析】 【详解】解：等腰三角形两边长分别为2和5， ①当5是腰长时，三边分别为5、5、2， 此时该三角形的周长为：， ②当5是底边长时，三边分别为2、2、5， ， 不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 11. 如图，，点D在边上，延长交于点F，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质推出，，由三角形内角和定理得到由邻补角的性质求出． 【详解】解：， ，， ， ∴， ， ． 故答案为：． 12. 若与是同一个正数的两个不同的平方根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数的平方根的性质是解题的关键．一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：1． 13. 若x，y都是实数，且，则的立方根为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 15. 如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，的值为____________． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】先根据证出，从而得到，再证明得到，再分两种情况列方程列出方程求解即可． 【详解】解：当线段经过点C时，如图： 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 当点从点出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴，， ∴， ∴，解得； 当点从点出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动， ∴，，， ∴，解得； 综上：当或时，线段经过点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及动点问题，解题的关键是熟练掌握全等三角三角形全等的判定方法，并且理解动点的运动过程． 16. 如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转，得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，作直线，交直线于点，交直线于点，证明，所以，得点在直线上运动，故当时有最小值，然后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，作直线，交直线于点，交直线于点， ∵直线垂足为点， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上运动， 当时有最小值， 在中，，， ∴， ∴， 当最小时，在中，，，， 即的最小值为． 三、解答题（本大题共有10小题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，立方根和算术平方根，再计算加减法即可； 先计算立方根，绝对值和算术平方根，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中x的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 19. 如图，在中，． （1）在平面内找一点E，使，且点E到两边的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若点E恰好落在上，则______． 【答案】（1） 如图，为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查的作线段的垂直平分线，作角平分线，等腰三角形的性质； （1）如图，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点，则即为所求； （2）当在上，证明，设，再进一步利用三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：作的角平分线与线段的垂直平分线交于点，则即为所求； 【小问2详解】 解：如图，当在上， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴，即． 20. 在四边形中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ， ． （2）5 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）由平行线推出，即可根据证明； （2）根据全等三角形的性质解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ． 21. 如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． （1）实数的值是________； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接用点表示数减去个单位长度即可； （2）将的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数， ∴点表示数； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 22. 如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E． （1）求证：； （2）若，，则______． 【答案】（1） 证明：连接， 垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）先证明得到，设，然后根据，得出方程解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在，中， ， ∴， ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 23. 如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是边上的高， ， 是斜边上的中点， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边上的中线等于斜边一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等， （1）连接，根据直角三角形的性质得到，进而证明，根据等腰三角形的三线合一证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质可得，再结合已知和三角形外角性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）的结论可知：， ， ， ， 由外角的性质得：， ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ． 24. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分为____________，小数部分为____________． （2）已知的立方根为，的算术平方根是7，c是的整数部分，求的平方根． （3）已知，其中x是的整数部分，且，求． 【答案】（1）5， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）估算出，即可求解； （2）先根据立方根、算术平方根的定义求解，再进行无理数估算出，即可求解，再代入求值即可； （3）先估算出，再由不等式的性质得到，再结合已知条件确定的值即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 故的整数部分为5，小数部分为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， ∵ ∴， ∴的整数部分c是6， ∴， ∴13的平方根是， 即的平方根是． 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∴ 又∵，其中x是的整数部分，且， ∴，， ∴． 25. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 【答案】（1）证明： ∵AH⊥BC，∠BAC=90°， ∴∠AHC=90°=∠BAC． ∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°． ∴∠CAH=∠B， 在△ABH和△CAH中，  ， ∴△ABH≌△CAH．（AAS）． ∴BH=AH，AH=CH． ∴AH=BC． 拓展：∠DCE的度数为90°， 线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD， 理由如下： ∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵AD=AE，AB=AC， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠DCE=90°； ∵D、B、C三点共线， ∴DB+BC=CD， ∵DB=CE，AH=BC， ∴CE+2AH=CD． （3）或． 【解析】 【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论； 拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系； 应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A到BP的距离． 【详解】解：发现：（1） 略 拓展： 略 应用：点A到BP的距离为：或． 理由如下： 如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1， ∴DP=BP-BD=6-1=5， ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=； 如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=90°，∠BPC=90°， ∴∠ACP+∠ABP=180°， ∴∠ACP=∠ABD， ∵AB=AC， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1 ∴DP=BP+BD=6+1=7． ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=． 综上所述：点A到BP的距离为：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）【问题发现】如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出之间的数量关系； （3）【变式运用】如图4，在三角形中，，P是上一点，，且．求的值； （4）【拓展迁移】如图5，在中，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； （3）； （4）的面积为或或． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，由等量代换证明，证明； （2）证明，则，，得到； （3）过点作于点，证明，则，证明，则，即可得到； （4）分三种情况讨论，分别画出图形进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：当为直角边，时，如图，作，过点D作于点F， ∵，， ∴， 由（1）同理可得到， ∴， ∴， ∴； 当为直角边，时，如图，作，过点D作交延长线于点F， ∵，， ∴， 由（1）同理可得到，， ∴， ∴； 当为斜边，时，如图，作，过点D作交延长线于点F，过点A作交延长线于点G，设， 同理，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平行线间距离相等， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可知，的面积为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $