精品解析：山东淄博市周村区第二中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

初四上月考数学试卷-周村二中 一.选择题（共10小题，每题4分） 1. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 2. 在函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件，在数轴上表示不等式的解集． 根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【详解】解：在函数中，， ∴自变量的取值范围， 在数轴上表示为： 故选：C． 3. 若，为锐角，且，则的值（ ） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用互余两角三角函数关系，，结合锐角范围内余弦函数单调递减，由推出，进而求出两角之和． 【详解】解：若，为锐角，则． ， ． 都是锐角，也属于锐角范围，锐角范围内余弦函数一一对应， ， ． 4. 已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知三角函数值求角度，需要先按第二功能键调出反正切，再输入数值，最后按等号． 【详解】解：根据计算器功能键，用计算器求锐角的大小，先按反三角2ndF，再按正切值， 故按键顺序：，，，． 5. 如图，在矩形中，为的中点，，分别是边，上的点，且．将沿翻折得到，点恰好落在上．则的值为( ) A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．如图，延长，交于点，连接．设，，求出，可得结论． 【详解】解：如图，延长，交于点，连接． ， 设，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ， ， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 关于的二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【详解】解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 7. 二次函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，则旋转后得到的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，将二次函数图象以原点为旋转中心旋转，则顶点为，与轴的交点坐标为，再由待定系数法进行计算即可，在抛物线旋转过程中，求得二次函数顶点坐标和与轴的交点是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数图象以原点为旋转中心旋转，则顶点为，与轴的交点坐标为， 设， 把代入解析式得：， 解得：， 旋转后得到的函数表达式为， 故选：C． 8. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 9. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 设，则，， 在中，， ， ， 灯塔的高度AD大约是． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数． 10. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 二.填空题（共5小题，每题4分） 11. 如图在中，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边． 【详解】解：在中，，，． ， 解得． 由勾股定理得： ． 12. 如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，把代入，如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴输出因变量． 故答案为：． 13. 如图，已知函数与函数的交点为函数的顶点，阴影部分的面积为2，则______， ______． 【答案】 ①. 2 ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过作轴于，连接，由函数为，可得对称轴是直线，顶点为，又，结合抛物线关于直线对称，函数图象也是轴对称图形，故利用对称性可得阴影部分的面积，则，又顶点为在图象上，可得，进而求出的值，又，从而可得的值，最后得解． 【详解】解：由题意，设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过作轴于，连接． ∵函数为， ∴对称轴是直线，顶点为． ， 又 ∵抛物线关于直线对称，函数图象也是轴对称图形， ∴利用对称性可得，阴影部分的面积． ， 又 ∵顶点为在图象上， ， ， ， ， 故答案为：2；4． 14. 如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点的位置可以在点__________处．（从点，，，中选择） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 分别过点，，，作的垂线，利用正切的定义即可计算判断． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∴，， ∴，不符合题意； 如图，过点作于点，连接， ∴，， ∴，不符合题意； 如图，过点作交延长线于点，连接， ∴，， ∴，符合题意； 如图，过点作于点，连接， ∴，， ∴，不符合题意． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等腰直角三角形，其中，则的面积为______． 【答案】##4104676 【解析】 【分析】先构造垂直于y轴的辅助线，利用等腰直角三角形性质设点坐标，代入抛物线解析式求出前几个点坐标，归纳底边长度的通项公式，最后用三角形面积公式求出面积． 【详解】解：作轴于C，轴于D，如图， 设， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 把代入得，解得：（舍去），， ∴， 设， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 把代入得，解得（舍去），， ∴， ∴线段的长为4， 同理可得，， ∴的面积． ∴当时，的面积． 故答案为：． 三.解答题（共8小题） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 17. 在中，，，则的值． 【答案】或 【解析】 【分析】先作出图形，结合图形，根据勾股定理可得，再根据锐角的正切函数定义直接作答即可． 【详解】解：当点为直角顶点时，如图， ； 当点为直角顶点时，如图， 在中，， ∴． 综上，的值为或． 18. 如图，中，，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可； （2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 【答案】（1） 利用描点法画出函数图象如下： （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象即可； （2）利用待定系数法，将、、代入，即可求出函数解析式； （3）①找出函数图象位于x轴上方时，x的取值范围即可； ②由函数图象可知，当时的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由表格可知，将、、代入，得 ， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问3详解】 由二次函数图象可知， ①当时，的取值范围是； ②当时，的取值范围是． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握描点法画函数图象和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 20. 综合与实践 【初步探究】 （1）如图1，在正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现不是直角三角形，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题．比如连接格点、，可得，则，连接，即可变换到格点处，并且恰好在中．可以求出的值为_____． 【深入探究】 （2）如图2，在的正方形网格中，，，，为格点，交于点，求的值． 【拓展探究】 （3）如图3，在正方形网格中，，，，为格点，与相交于点，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了网格问题中求三角函数值，勾股定理，平移性质等知识． （1）设小正方形边长为1，由勾股定理得，，，根据勾股定理逆定理得到，即可求出，进而即可求出； （2）将平移至．设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， 从而证明是直角三角形，且，即可求出，证明，即可得到； （3）将平移到，连接，过点作于点．根据，得到，设网格中小正方形的边长为1，由勾股定理得，，求出，结合求出，即可求出． 【详解】解：（1）设小正方形边长为1，由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图2，将平移至． 设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理可知， ， ∴，且， ∴是直角三角形，且． ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3，将平移到，连接，过点作于点． ∵， ∴， ∴． 设网格中小正方形的边长为1， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴． ∴． 21. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元 （3）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据（售价进价）销售量，列出求解即可，注意规定销售单价不低于元，且不高于元； （3）根据利润（售价进价）销售量，写出与之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据的取值范围和二次函数的增减性，即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元； 【小问3详解】 解：由题意可得，， ， 当时， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元． 22. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； （3）若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 【答案】（1） （2）景点与景点之间的距离为 （3）到最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）由题意可得，，，，，从而得出，，根据即可求解． （2）根据，得出，由（1）得，则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出即可求解． （3）根据垂线段最短可得时，到的距离最短，利用等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：如图，设，， 由题意得，，，，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得，∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴景点与景点之间的距离为． 【小问3详解】 解：根据垂线段最短，当时，到的距离最短， ∵， ∴， ∴． 答：到最短距离为． 23. 综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； （3）若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． （4）点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）P的坐标为或 （4）在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）设点Q的坐标为，设交y轴于点K，则，分四种情况，通过证明三角形全等，求出M的坐标，再代入即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交于点，对称轴为直线， 将点A的坐标代入，结合对称轴公式得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 对称轴为直线，， 点B横坐标为，C横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ． 如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为，将点B的坐标代入得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， 解得：， 点D的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）得：， 设直线解析式为， ，解得：， 直线解析式为， 设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ， ， 直线将的面积分成两部分， 或， 或， ， 或， 或， 点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时， 综上所述，点P的坐标为或； 【小问4详解】 在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或，理由如下： 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图3，过点M作于点N，则，此时, ， ， 在和中 ， ， , ， 点， 把点代入得：， 解得：（不合题意，舍去）或0， 此时点Q的坐标为； 如图4，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，, 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或（不合题意舍去）， ； 如图5，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得： （不合题意舍去）或， ； 如图6，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或0（不合题意，舍去）， 点； 综上所述，在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四上月考数学试卷-周村二中 一.选择题（共10小题，每题4分） 1. 在中，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在函数中自变量的取值范围在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 3. 若，为锐角，且，则的值（ ） A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定 4. 已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，为的中点，，分别是边，上的点，且．将沿翻折得到，点恰好落在上．则的值为( ) A. 3 B. C. D. 6. 关于的二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，则旋转后得到的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（ ） A. B. 8 C. D. 9 9. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 若两点都在抛物线的图像上，则 二.填空题（共5小题，每题4分） 11. 如图在中，，，，则的值为______． 12. 如图，这是关于变量的计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出因变量的值为______． 13. 如图，已知函数与函数的交点为函数的顶点，阴影部分的面积为2，则______， ______． 14. 如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，其顶点均在该网格的格点上．若，则顶点的位置可以在点__________处．（从点，，，中选择） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等腰直角三角形，其中，则的面积为______． 三.解答题（共8小题） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 在中，，，则的值． 18. 如图，中，，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 19. 已知二次函数，自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 0 3 4 3 0 … （1）根据表格信息，描点、画出此二次函数的图象； （2）求二次函数的解析式； （3）请结合函数图象，回答下列问题： ①当时，的取值范围是_______； ②当时，的取值范围是_______． 20. 综合与实践 【初步探究】 （1）如图1，在正方形网格中，连接格点，和，，和相交于点，求的值． 思考：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现不是直角三角形，并且顶点不在格点处，我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题．比如连接格点、，可得，则，连接，即可变换到格点处，并且恰好在中．可以求出的值为_____． 【深入探究】 （2）如图2，在的正方形网格中，，，，为格点，交于点，求的值． 【拓展探究】 （3）如图3，在正方形网格中，，，，为格点，与相交于点，求的值． 21. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 22. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知． （1）求的度数； （2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）； （3）若计划在景点之间栈道上设置一个观景台，使到的距离最短，请求出该最短距离（结果保留根号）． 23. 综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； （3）若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． （4）点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $