山东省淄博市周村区第一中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷(五四学制)

初四上月考数学试卷 一．选择题（共12小题） 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　） A．54° B．62° C．72° D．82° 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 4．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　） A．2 B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（1，﹣2） 6．如图，点O为线段AB的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是（　　） A．100° B．130° C．140° D．150° 第6题 第7题 第8题 7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C． D．2 8．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，．若∠DEB＝69°，则的度数为（　　） A．23° B．46° C．69° D．74° 9．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A，B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 第9题 第10题 第11题 10．如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC等于（　　） A．130° B．125° C．120° D．115° 11．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（10，2） B．（9，3） C．（9，2） D．（10，3） 12．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．若AC•BC等于12，则两圆之间圆环的面积是（ ） A．2π B．6π C． D．12π 第12题 第13题 第14题 第15题 二．填空题（共8小题） 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝ 　 　 ． 14．如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝ 　 　 ． 15．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则∠A的大小为 　 　 （度）． 16．如图，⊙O直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC＝3：5，则AB的长为 　 　 ． 第16题 第17题 17．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为 　 　 ． 18．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是 　 　 ． 第18题 第19题 第20题 19．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD与BC交于点E，AE＝3，ED＝5，则AB＝ 　 　 ．． 20．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C在弧AB上，连接BC，过C作BC的垂线交OA于点D，若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 . 三．解答题（共5小题） 21．已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC＝8，AD＝10． 求：（1）OE的长；（2）∠B的正弦值． 22．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，且BC平分∠ABD． （1）求证：∠CAD＝∠ABC； （2）依据题意作图：过O点作OE⊥AC于点E，并延长OE与⊙O交于点F． 当AC＝40，EF＝10时，求⊙O半径． 23．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F． （1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长． 25．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E． （1）求证：CD＝ED； （2）AD与OC，BC分别交于点F，H． ①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH； ②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值． 【2025.12】初四上月考数学试卷-周村一中 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据圆周角定义： 即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D． 故选：C． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　） A．54° B．62° C．72° D．82° 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°， 故选：C． 3．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：连接AC，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°， ∴∠ABD＝∠ACD＝50°． 故选：C． 4．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：连接OA， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°， ∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P， ∴∠OAP＝90°， ∵OA＝OC＝1， ∴AP＝OAtan60°＝1， 故选：B． 5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（　　） A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（1，﹣2） 【解答】解：∵点P到△ABC三个顶点距离相等， ∴点P是线段BC、AB的垂直平分线的交点， 由图可知，点P的坐标为（1，﹣2）， 故选：D． 6．如图，点O为线段AB的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是（　　） A．100° B．130° C．140° D．150° 【解答】解：∵点O为线段AB的中点， ∴OA＝OB， ∵点A，C，D到点O的距离相等， ∴OA＝OC＝OD＝OB， ∴点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的圆上， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ADC＝130°， 故选：B． 7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C． D．2 【解答】解：连接CD， ∵AB＝BC，∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝60°， ∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠CAD＝30°，AD＝8， ∴CDAD＝4， ∴AC4， 故选：B． 8．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，．若∠DEB＝69°，则的度数为（　　） A．23° B．46° C．69° D．74° 【解答】解：连接OB、OD、BC， ∵∠DEB＝69°，∠CEB+∠DEB＝180°， ∴∠CEB＝111°， ∵， ∴∠ABC＝2∠BCD， ∵∠ABC+∠BCD+∠CEB＝180°， ∴3∠BCD＝69°， ∴∠BCD＝23°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝46°， ∴的度数为46°． 故选：B． 9．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A，B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H， ∴∠CHB＝90°， ∵点M是BC的中点． ∴MHBC， ∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3， ∴MH的最大值为3， 故选：A． 10．如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC等于（　　） A．130° B．125° C．120° D．115° 【解答】解：∵在△ABC中，∠BOC＝140°，O是外心， ∴∠BOC＝2∠A， ∴∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵I为△ABC的内心， ∴∠IBCABC，∠ICBACB， ∴∠IBC+∠ICB55°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝125°， 故选：B． 11．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（10，2） B．（9，3） C．（9，2） D．（10，3） 【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G， 则PE⊥y轴，PF⊥x轴， ∵∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∵PE＝PF，PE∥OF， ∴四边形PEOF为正方形， ∴OE＝PF＝PE＝OF＝5， ∵A（0，8）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣5＝3， ∵四边形OACB为矩形， ∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB， ∴EG∥AC， ∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， ∴CG＝AE＝3，EG＝OB， ∵PE⊥AO，AO∥CB， ∴PG⊥CD， ∴CD＝2CG＝6， ∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∵PD＝5，DG＝CG＝3， ∴PG＝4， ∴OB＝EG＝5+4＝9， ∴D（9，2）． 故选：C． 12．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．若AC•BC等于12，则两圆之间圆环的面积是（ ） A．2π B．6π C． D．12π 【解答】解：连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，如图2，由垂径定理可得AE＝BE． 在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2， ∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2， ∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2＝（AE+CE）（AE﹣CE）＝（BE+CE）•AC＝BC•AC＝12， ∴OA2﹣OC2＝12， ∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝12π． 二．填空题（共7小题） 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝100°，则∠ADE＝　100°　 ． 【解答】解：∵∠B＝100°， ∴∠ADE＝100°． 故答案为：100°． 14．如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE＝　40°　 ． 【解答】解：∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°， ∵C、D是的三等分点， ∴， ∴∠COE＝∠COD＝∠BOD＝120°40°， 故答案为：40°． 15．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，则∠A的大小为　60　 （度）． 【解答】解：连接OC， ∵∠AOB＝120°，C是的中点， ∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠A＝60°， 故答案为：60 16．如图，⊙O直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，若OM：OC＝3：5，则AB的长为 　16　 ． 【解答】解： 如图所示，连接OA． ⊙O的直径CD＝20， 则⊙O的半径为10， 即OA＝OC＝10， 又∵OM：OC＝3：5， ∴OM＝6， ∵AB⊥CD，垂足为M， ∴AM＝BM， 在Rt△AOM中，AM8， ∴AB＝2AM＝2×8＝16， 故答案为：16． 17．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝2，则线段BQ的长为 　　 ． 【解答】解：连接AQ，BQ， ∵∠P＝45°， ∴∠QAB＝∠P＝45°， ∵AB为直径， ∴∠AQB＝90°， ∴△ABQ是等腰直角三角形． ∵AB＝2， ∴2BQ2＝4， ∴BQ． 故答案为：． 18．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是 　　 ． 【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示： 则DF＝CF，AG＝BGAB＝3， ∴EG＝AG﹣AE＝2， 在Rt△BOG中，OG2， ∴EG＝OG， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝45°，OEOG＝2， ∵∠DEB＝75°， ∴∠OEF＝30°， ∴OFOE， 在Rt△ODF中，DF， ∴CD＝2DF＝2； 故答案为：2． 19．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD与BC交于点E，AE＝3，ED＝5，则AB＝　2　 ． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴， ∴∠ABE＝∠D， ∵∠BAE＝∠BAD， ∴△ABE∽△ADB， ∴， ∴， ∴AB＝2（负根已经舍弃） 故答案为2 20．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C在弧AB上，连接BC，过C作BC的垂线交OA于点D，若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径为 . 【解答】解：过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N， ∵∠MON＝90°， ∴四边形OMCN是矩形， ∴OM＝CN，∠MCN＝90°， ∵∠DCN+∠DCM＝∠BCM+∠DCM＝90°， ∴∠DCN＝∠BCM， ∵∠CND＝∠CMB＝90°， ∴△CDN∽△CBM， ∴CN：CM＝CD：CB＝3：4， ∴令CN＝3x，CM＝4x， ∴OM＝CN＝3x， ∴OC5x， ∴BM＝OB﹣OM＝5x﹣3x＝2x， ∵BC2＝CM2+MB2， ∴（4x）2+（2x）2＝42， ∴x（舍去负值）， ∴OC＝5x＝2， ∴⊙O的半径为2． 故答案为：2． 三．解答题（共5小题） 21．已知：如图，AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，BC＝8，AD＝10． 求：（1）OE的长； （2）∠B的正弦值． 【解答】解：（1）连接OE，OB，如图所示： ∵直径AD＝10， ∴AO＝OB＝OD＝5， 又AD⊥BC， ∴E为BC的中点，又BC＝8， ∴BE＝CEBC＝4， 在Rt△BOE中，OB＝5，BE＝4， 根据勾股定理得：OE3； （2）∵AO＝5，OE＝3， ∴AE＝AO+OE＝5+3＝8， 在Rt△ABE中，BE＝4，AE＝8， 根据勾股定理得：AB4， 则sin∠ABC． 22．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，且BC平分∠ABD． （1）求证：∠CAD＝∠ABC； （2）依据题意作图：过O点作OE⊥AC于点E，并延长OE与⊙O交于点F．当AC＝40，EF＝10时，求⊙O半径． 【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠CAD＝∠ABC； （2）解：连接OC，如图： ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝45°， ∴∠AOC＝90°， ∴OA＝OCAC＝20． 23．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若直径AB＝6，求AD的长． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵， ∴∠BOD180°＝60°， ∵， ∴∠EAD＝∠DABBOD＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°，AB＝6， ∴BDAB＝3， ∴AD3． 24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F． （1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长． 【解答】解：（1）BC与⊙O相切， 理由：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C＝90°， ∴∠ODC＝90°， ∴OD⊥BC， ∵OD为半径， ∴BC是⊙O切线； （2）连接DE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADE＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠ADE＝∠C， ∵∠EAD＝∠DAC， ∴△ADE∽△ACD， ∴， ， ∴AC， ∴CD， ∵OD⊥BC，AC⊥BC， ∴OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC， ∴， ∴， ∴BD． 解法二：证明△BDE∽△BAD，可得， 设BE＝3k，BD＝4k，则BAk， ∵BA﹣BE＝AE， ∴k﹣3k＝10， ∴k， ∴BD＝4k． 25．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E． （1）求证：CD＝ED； （2）AD与OC，BC分别交于点F，H． ①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH； ②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值． 【解答】（1）证明：如图1中，连接BC． ∵， ∴∠DCB＝∠DBC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠BCE＝90°， ∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°， ∴∠E＝∠DCE， ∴CD＝ED． （2）①证明：如图2中， ∵CF＝CH， ∴∠CFH＝∠CHF， ∵∠AFO＝∠CFH， ∴∠AFO＝∠CHF， ∵， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴△AFO∽△AHC， ∴， ∴， ∴CF•AF＝OF•AH． ②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x． ∵， ∴∠COD＝∠BOD， ∵OC＝OB， ∴OD⊥BC，CG＝BG， 在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2， ∴x，即OG， ∵OA＝OB， ∴OG是△ABC的中位线， ∴OGAC， ∴AC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $