精品解析：山东省滨州市邹平市青阳镇初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年九年级数学上册阶段性检测试卷 一、选择题． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（ ） A. （1，﹣3） B. （1，3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3） 5. 点、、都在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数有最小值5 8. 如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 10. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 二、填空题． 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则________，方程的另一个根为________． 12. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 13. 已知抛物线与轴有且只有一个公共点，则____． 14. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 三、解答题． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）（公式法） （2）（因式分解法） （3）（配方法） （4）（十字相乘法） 17. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 18. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 19. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； （3）若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 21. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 22. 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）求的面积． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上册阶段性检测试卷 一、选择题． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程； B、方程是一元二次方程，符合题意； C、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程． 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先计算b2﹣4ac的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5） ＝24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与b2﹣4ac有如下关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当△b2﹣4ac 4. 抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（ ） A. （1，﹣3） B. （1，3） C. （﹣1，3） D. （﹣1，﹣3） 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线y＝2（x＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 5. 点、、都在抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先从抛物线顶点式中确定开口方向和对称轴，因为二次项系数为负，所以抛物线开口向下，对称轴为直线．分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，对于开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大．也可以选择将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出、、的具体值后再比较大小． 【详解】将代入，得． 将代入，得． 将代入，得． ∴ ． 6. 根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A. 开口向上 B. 顶点坐标为 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数有最小值5 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线顶点式可直接获取开口方向、顶点坐标、对称轴等信息，以此判断各选项正误． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，A错误． ∴顶点坐标为，B错误． ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大，C正确． ∵抛物线开口向下， ∴函数有最大值，D错误． 8. 如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月历表数字排列规律，确定矩形框中最大数与最小数的差值，用含x的式子表示最小数，根据题意列方程即可． 【详解】解：由图可得，在个位置相邻的数中，最大数在右下角，最小数在左上角，左右相邻两数相差1，上下相邻两数相差7， 最小数与最大数相差， ∵最大数为x， 最小数为， ． 9. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（ ） A. 5 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 10. 在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 二、填空题． 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则________，方程的另一个根为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，将根代入方程可求出，再利用根与系数的关系求出另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， 解得， 设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，两根之积为， ∴， 解得． 12. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 13. 已知抛物线与轴有且只有一个公共点，则____． 【答案】1 【解析】 【详解】试题解析：∵抛物线与轴有且只有一个公共点， ∴Δ=b2-4ac=22-4×1×m=4-4m=0, 解得：m=1. 14. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对称轴公式得到与的关系判断①，根据二次函数与x轴交点位置判断处的函数值符号判断②，根据开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小判断③，将方程的根转化为抛物线与直线的交点位置判断④． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由对称轴公式可得， ， 整理得，故①正确； 抛物线过点，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点横坐标为， 即另一个交点为，且抛物线开口向下， 当时，， ，移项得，故②错误； 计算三个点到对称轴的距离： 点的距离， 点的距离， 点的距离， 可得， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ，故③正确； 方程的根是抛物线与直线交点的横坐标， 抛物线过和，开口向下，， 两个交点分别在和的范围内， ，，故④正确； 综上，正确结论为． 三、解答题． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1）（公式法） （2）（因式分解法） （3）（配方法） （4）（十字相乘法） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解：中，，， ∴ ∴ 解得，； 【小问2详解】 解： 即 ∴或 解得，； 【小问3详解】 解： 移项得 配方得 即 开方得 解得，； 【小问4详解】 解： ∴或 解得，． 17. 如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 （2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【解析】 【小问1详解】 解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； 【小问2详解】 略． 18. 已知二次函数的图象经过点、、． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】（1） （2） 对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法，结合已知三点坐标求解二次函数解析式． （2）利用二次函数的性质求对称轴、顶点坐标，判断增减性． 【小问1详解】 解： ∵二次函数的图象经过点、， ∴设该二次函数的解析式为（）． 将代入解析式， 得 ， 解得． ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵二次函数图象与轴交于、， ∴对称轴为直线． 将代入， 得 ， ∴顶点坐标为． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大． 19. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； （3）若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 【答案】（1）销售量：；月销售利润：元 （2）； （3）销售单价应为每千克元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）利用月销售量（销售单价-30），即可求出月销售量，利用月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可求出月销售利润； （2）根据月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可得出与之间的函数关系式； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，解之，根据题意为减少库存（即增大销量），应选取较小的销售单价，即可得出结论． 【小问1详解】 解：销售量：． 月销售利润：（元）； 【小问2详解】 解：． 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设销售单价为每千克元， 则， 整理，得， 解得，， 要减少库存， ∴， 答：销售单价应为每千克元． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 21. 综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 （1）如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． （2）若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． （2）沙包达到最高点时距离地面米 【解析】 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 22. 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）求的面积． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）4 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 【小问1详解】 解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 23. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】（1）如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 （2）丙的平均速度为米/秒 【解析】 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $