精品解析：浙江杭州市保俶塔申花实验学校2026-2027学年第一学期九年级月考数学试卷（9月份）

2026-2027学年浙江省杭州市保俶塔申花实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线y=2(x+1)(x－3)的对称轴是（ ） A. 直线x=－1 B. 直线x=1 C. 直线x=2 D. 直线x=3 2. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数（a为常数）的图象与x轴交点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 在同一坐标系中，作、、的图象，则它们（ ） A. 都是关于轴对称 B. 顶点都在原点 C. 都是抛物线开口向上 D. 以上都不对 5. 将抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为，则（） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 8. 对于任意实数，抛物线的顶点一定在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 抛物线上 9. 如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】 A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 12. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 13. 已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：；；；，其中正确的有________． 14. 若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____． 15. 已知二次函数，当时，随的增大而增大．则的取值范围为______． 16. 当时，函数的最大值是8，则______． 三、全面答一答（本题有8个题，共72分） 17. 根据下列条件分别求二次函数的解析式： （1）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值4． （2）已知二次函数的图象的对称轴是直线，与坐标轴交于点，． 18. 在平面直角坐标系中，二次函数（都是常数）的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围； （3）已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 19. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的取值范围； （3）当时，求此时y的取值范围． 20. 二次函数的图象如图所示根据图回答下列问题： （1）B点坐标为__________ ； （2）方程的两个根为_______________ ； （3）不等式的解集为_____________ ； （4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为________ ； （5）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________ ． 21. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点． ①求的顶点坐标； ②将向下平移若干个单位后，得抛物线，如果与轴的一个交点为，求的函数关系式，并求与轴的另一个交点坐标； （2）若，是上的两点，且，求实数的取值范围． 23. 把一个足球垂直于水平面往上踢，时间为（秒）时，该足球距离地面的高度（米）适用公式 （1）当时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度低于15米时，求的取值范围． （3）若存在实数，，当或时，足球距离地面的高度都为（米），求的取值范围． 24. 二次函数的图象与轴交于点且． （1）当，且时， ①求的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （2）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙江省杭州市保俶塔申花实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 抛物线y=2(x+1)(x－3)的对称轴是（ ） A. 直线x=－1 B. 直线x=1 C. 直线x=2 D. 直线x=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的解析式首先可以确定与x轴的交点坐标，然后根据交点的坐标即可求解： ∵y=2（x+1）（x-3），∴当y=0时，x=-1或x=3. ∴抛物线的对称轴为x=1． 故选B． 考点：二次函数的性质． 2. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律求解． 【详解】解：将抛物线向上平移2个单位，得，再向右平移3个单位，得． 3. 二次函数（a为常数）的图象与x轴交点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】通过对应一元二次方程的根的判别式，判断二次函数图象与轴的交点个数． 【详解】解：令，得． ∵根的判别式． 又∵ ， ∴ ，即． ∴该方程有两个不相等的实数根，对应二次函数图象与轴有2个交点． 4. 在同一坐标系中，作、、的图象，则它们（ ） A. 都是关于轴对称 B. 顶点都在原点 C. 都是抛物线开口向上 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【详解】解：经过观察可得3个二次函数的一次项系数均为0，那么这3个二次函数的对称轴都是y轴， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质． 5. 将抛物线先向下平移个单位，再向左平移个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定平移后抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，把点向下平移个单位，再向左平移个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为，则（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数有最大值，可判断a＜0;由最大值为0,可判断顶点坐标在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝0，即可得答案． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最大值， ∴抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为0， ∴顶点坐标在x轴上，即抛物线与x轴只有一个交点， ∴b2－4ac＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查求二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 7. 已知抛物线（＜0）过A（，0）、O（0，0）、 B（，）、C（3，）四点，则与的大小关系是 A. ＞ B. C. ＜ D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵抛物线与x轴交于A（-2，0）、O（0，0）两点， ∴抛物线对称轴为x==-1， ∵B（-3，y1）、C（3，y2），点B离对称轴较近，且抛物线开口向下， ∴y1＞y2． 故选A 8. 对于任意实数，抛物线的顶点一定在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 抛物线上 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线配方为顶点式，消去参数可得顶点横纵坐标的关系． 【详解】解：， ∴ 抛物线顶点坐标为 由，得， 即顶点在直线上． 9. 如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为，根据对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，得出抛物线与x轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出的正数解的范围． 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴对称轴为， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是， ∴右侧交点横坐标的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的对称轴找出图象与x轴右侧交点横坐标的取值范围，是解题的关键． 10. 二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】 A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+1=0，a＜0，b＞0， ∵由a=b﹣1＜0得b＜1，∴0＜b＜1①， ∵由b=a+1＞0得a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0②． ∴由①②得：﹣1＜a+b＜1．∴0＜a+b+1＜2，即0＜t＜2． 故选B． 二．认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式等于，列方程即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得． 12. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表： 容易看出，是它与x轴的一个交点，则抛物线的对称轴是____________________，与x轴的另一个交点的坐标为__________． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：抛物线上值相等的两个点关于对称轴对称， 由表格可知其经过，， ∴对称轴为直线， 是它与轴的一个交点， 与轴的另一个交点的坐标为． 13. 已知二次函数的图象如图所示，有下列四个结论：；；；，其中正确的有________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论、结论；由抛物线与轴的交点的个数，可判断结论；结合图像，由时的值，可判断结论． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点在轴左侧， ，， 又抛物线与y轴交于正半轴， ， 故正确； 抛物线与轴有两个交点， ， 故正确； 由图像可知，当时，， 故错误； 综上所述，正确的有． 14. 若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值. 解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴当，即b=0时，的值最小值=2． 故答案是：2． 15. 已知二次函数，当时，随的增大而增大．则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数的解析式得出其对称轴和开口方向，从而得出其增减性，再根据“当时，随的增大而增大”即可得出答案． 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为 则当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大 因此， 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：增减性，熟记函数的增减性是解题关键． 16. 当时，函数的最大值是8，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再讨论对称轴与区间的位置关系，最后就可以求出答案． 【详解】解：先求出二次函数的对称轴： ， 对称轴与区间的位置关系， 分三种情况， 情况一：对称轴在区间内，即， 此时函数在处取得最大值8， ， 解得， 因为， 所以； 情况二：对称轴在区间左侧，即，也就是 ， 此时随着的增大而减小，在处取得最大值8， ， 解得, 因为，不符合的要求， 所以要舍去； 情况三：对称轴在区间的右侧，即，也就是， 此时随着的增大而增大，在处取得最大值8， ， 解得， 因为，符合要求， 综上所述， 的值为或． 三、全面答一答（本题有8个题，共72分） 17. 根据下列条件分别求二次函数的解析式： （1）已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值4． （2）已知二次函数的图象的对称轴是直线，与坐标轴交于点，． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据条件正确设出函数的解析式形式是解题的关键． （1）由二次函数当时，函数有最大值4，得到顶点坐标为，设出二次函数的顶点式，将代入求出a的值，即可求出二次函数的解析式． （2）已知抛物线的对称轴，可以设出函数的解析式为，把点，代入函数解析式即可求得函数解析式． 【小问1详解】 解：由二次函数当时，函数有最大值4，得到顶点坐标为， 设二次函数解析式为（）， 将点代入得：， 解得：， 则二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由二次函数对称轴为，设函数的解析式是， ∵二次函数与坐标轴交于点，． ∴， 解得：． 则函数的解析式是． 18. 在平面直角坐标系中，二次函数（都是常数）的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，求的取值范围； （3）已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）y的取值范围是 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求解； （2）利用二次函数增减性得出即可； （3）根据题意得出，联立方程，解方程即可求得． 【小问1详解】 解：把和代入得： ， 解得：． 【小问2详解】 解：这个函数关系式为， 对称轴为，在范围内， 当时，有最小值， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 当时，函数有最大值， ． 【小问3详解】 解：在的图象上， ， ， ， 解得， ， 点的坐标为． 19. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 0 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）当时，求自变量x的取值范围； （3）当时，求此时y的取值范围． 【答案】（1） （2）时，自变量x的取值范围为； （3）当时，此时y的取值范围为 【解析】 【分析】（1）设交点式为，然后把代入求出a即可； （2）先解方程得，然后根据二次函数的性质求解； （3）先利用配方法得到，则当时，y有最大值4，当时，，当时，，从而根据二次函数的性质得到此时y的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式可设为， 即； 【小问2详解】 当时，， 解得， ∴时，自变量x的取值范围为； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，y有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，此时y的取值范围为． 20. 二次函数的图象如图所示根据图回答下列问题： （1）B点坐标为__________ ； （2）方程的两个根为_______________ ； （3）不等式的解集为_____________ ； （4）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为________ ； （5）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________ ． 【答案】（1）； （2）； （3）或 （4）； （5） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性写出点B的坐标； （2）方程的两个根就是抛物线与x轴的两个交点横坐标； （3）不等式的解集为抛物线位于x轴下方的部分图象上所对应的横坐标范围； （4）需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性； （5）可以转化为与抛物线有2个不同的交点． 【小问1详解】 解：如图所示，，对称轴是直线， ∴点A与B关于对称， ∴； 【小问2详解】 如图所示，抛物线与x轴的交点坐标分别是：， ∴方程的两个根为； 【小问3详解】 如图所示，不等式的解集为或； 【小问4详解】 如图所示，y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为． 【小问5详解】 令， 方程有两个不相等的实数根时，则与抛物线有2个不同的交点， ∴， 解得． 21. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可以求得一次函数的表达式； （2）根据题意可以得到利润W与销售单价x之间的关系式，并求得销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元； 【小问1详解】 解：销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，且x=65时，y=55；x=75时，y=45． ， 解得，k＝﹣1，b＝120， 即一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， ∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于， ，得， ∴当x＝87时，W取得最大值，此时， 答：利润W与销售单价x之间的关系式是，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元； 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和不等式的性质解答． 22. 已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点． ①求的顶点坐标； ②将向下平移若干个单位后，得抛物线，如果与轴的一个交点为，求的函数关系式，并求与轴的另一个交点坐标； （2）若，是上的两点，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）（−1，0）；（2）y＝（x＋1）2−4，（1，0）；（3）n＞2或n＜−4 【解析】 【分析】（1）由于二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m，进而即可求解； （2）首先设所求抛物线解析式为y＝（x＋1）2＋k，然后把A（−3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式； （3）由于图象C1的对称轴为直线x＝−1，所以知道当x≥−1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥−1和n≤−1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围． 【详解】（1）y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m−1，对称轴为直线x＝−1， ∵抛物线与x轴有且只有一个公共点， ∴顶点的纵坐标为0， ∴C1的顶点坐标为（−1，0）； （2）设C2的函数关系式为y＝（x＋1）2＋k， 把A（−3，0）代入上式得（−3＋1）2＋k＝0，得k＝−4， ∴C2的函数关系式为y＝（x＋1）2−4． ∵抛物线的对称轴为直线x＝−1，与x轴的一个交点为A（−3，0）， 由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）； （3）对于y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m−1，当x≥−1时，y随x的增大而增大， 当≥−1时， ∵y1＞y2， ∴n＞2． 当＜−1时，P（n，y1）的对称点坐标为（−2−n，y1），且−2−n＞−1， ∵y1＞y2， ∴−2−n＞2， ∴n＜−4． 综上所述：n＞2或n＜−4． 【点睛】本题主要考查二次函数的图形和性质，掌握抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，抛物线平移的性质，抛物线的增减性，是解题的关键． 23. 把一个足球垂直于水平面往上踢，时间为（秒）时，该足球距离地面的高度（米）适用公式 （1）当时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度低于15米时，求的取值范围． （3）若存在实数，，当或时，足球距离地面的高度都为（米），求的取值范围． 【答案】（1）足球距离地面的高度为15米；（2）0≤x＜1或3＜x≤4；（3）0≤m＜20． 【解析】 【分析】（1）把x=3代入y=20x-5x2求出y值即可得答案； （2）把y=15代入y=20x-5x2可求出x的值，根据二次函数的性质即可得答案； （3）把y=20x-5x2配方成二次函数的顶点式形式，可得出顶点坐标，根据存在实数x1和x2(x1≠x2)，当x＝x1或x2时，足球距离地面的高度都为m米即可得答案． 【详解】（1）当x=3时，y=20x-5x2=20×3-5×32=15（米）， ∴当x=3时，足球距离地面的高度为15米； （2）当y=15时，20x-5x2=15， 解得：x1=1，x2=3， ∵y＝20x－5x2＝－5(x2－4x)＝－5(x2－4x＋4－4)＝－5(x－2)2＋20， ∴对称轴为直线x=2， ∵-5＜0， ∴抛物线y=20x-5x2的图象开口向下， ∵0≤x≤4， ∴y＜0时，0≤x＜1或3＜x≤4， ∴足球距离地面的高度低于15米时，的取值范围为0≤x＜1或3＜x≤4． （3）∵y＝20x－5x2＝－5(x2－4x)＝－5(x2－4x＋4－4)＝－5(x－2)2＋20， ∴抛物线y＝20x－5x2的顶点坐标为(2，20)． ∵存在实数x1和x2(x1≠x2)，当x＝x1或x2时，足球距离地面的高度都为m米， ∴m的取值范围是0≤m＜20． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 24. 二次函数的图象与轴交于点且． （1）当，且时， ①求的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①② （2）证明：∵二次函数的图象与轴交于点， 是方程的两根， ， ， ，， ∴， ∴， ∴． ， ∴二次函数的图象与轴有两个不同的交点， ， ， 且， ∴． ． 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②利用抛物线的性质求得最小值，再利用题意列方程解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系定理求得，再利用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点，， ， ， ． 由上一小问得二次函数的解析式为， ， 当时，有最小值为， 当时，，， 时的值不是最大值， 时的值是最大值，最大值为， ， ， 解得：． 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $