专题06 反比例函数 期中复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题06反比例函数期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，会用待定系数法求反比例函数解析式。 · 掌握反比例函数双曲线的图象特征与基本性质，能利用性质比较函数值的大小，了解图象的对称性。 · 理解比例系数k的几何意义，熟练解决与双曲线相关的面积问题。 · 会求反比例函数与一次函数的交点坐标，能结合图象比较两个函数值的大小。 · 能建立反比例函数模型解决简单的实际问题，体会数形结合的思想方法。 ✵高频题型梳理 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否为反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.已知自变量求函数值、已知函数值求自变量 题型5.判断反比例函数图象所在象限 题型6.根据图象象限求k的取值范围 题型7.判断反比例函数的增减性 题型8.根据增减性求参数取值范围 题型9.比较反比例函数值大小 题型10.利用k的几何意义求特殊图形的面积 题型11.根据几何图形面积求k的值 题型12.利用双曲线对称性求点坐标 题型13.求反比例函数解析式 题型14.反比例函数与几何综合 题型15.反比例函数的实际应用 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、反比例函数的定义 定义：一般地，形如 y=（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。 其中x是自变量，y是x的函数，k为比例系数。 核心本质：两个变量的乘积为非零定值，变量之间成反比例关系。 知识点二、反比例函数三种等价解析式 1.标准分式型：y= (k≠0)（常规通用） 2.乘积型：xy=k (k≠0)（两变量乘积为定值） 3.负指数型：y=k (k≠0)（多用于参数判定） 要点提示：判断一个函数是不是反比例函数，可先化为上面的形式；k≠0是反比例函数必不可少的条件。 知识点三、反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象叫做双曲线，由两条分支组成；图象无限靠近x轴、y轴，但与坐标轴没有交点，不经过原点。 知识点四、待定系数法求反比例函数解析式 1.设解析式：y=(k≠0)； 2.将图象上一个已知点的坐标代入解析式，求出常数k； 3.把k的值代回，写出完整的反比例函数解析式。 知识点五、k的几何意义与面积 双曲线上点向坐标轴作垂线，矩形面积 =|k|，三角形面积 = 结合三角形中位线、相似三角形求面积比 由面积反求k时注意k的符号。 知识点六、反比例函数与一次函数的综合 （1）求交点坐标：联立两个函数的解析式组成方程组，方程组的解就是两个函数图象交点的横、纵坐标。 （2）正比例函数与反比例函数相交时，两个交点关于原点对称。 （3）比较函数值大小：以交点的横坐标作为分界，观察图象上下位置关系，写出对应x的取值范围。 知识点七、反比例函数与几何综合 结合相似三角形、菱形、矩形、正方形性质求点坐标 旋转、轴对称变换后求对应点坐标再代入解析式 勾股定理与解直角三角形求线段长 知识点八、反比例函数的实际应用 建模步骤： 根据题意分析变量之间的关系，判断两个变量成反比例关系； ② 设反比例函数解析式y=，代入已知数据求出k； ③ 写出函数解析式，注明自变量符合实际意义的取值范围； ④ 利用解析式或图象求解实际问题。 常见模型：路程一定，速度与时间；矩形面积一定，长与宽；压力一定，压强与受力面积等。 ✵易错提醒 1. 描述增减性质时，必须说明 “在每一个象限内”，不能直接说k>0时，y随x的增大而减小，跨象限比较时该结论不成立。 2. 比较函数值大小，若点不在同一象限，不能直接用增减性判断，可以代入计算或者画图分析。 3. 由面积求k，面积等于|k|或|k|，一定要结合图象所在象限确定k的正负。 4. 双曲线无限靠近坐标轴，但永远不会与x轴、y轴相交。 5.y=不是反比例函数，分母必须是单独的自变量x，不能是含x的多项式。 ✵典例精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 2．为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 3．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 题型2.根据定义判断是否为反比例函数 1．下列函数中，不是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 3．下列函数解析式（其中x是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么? ①；②；③；④；⑤；⑥． 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．反比例函数的k的值是（     ） A． B． C． D．2 2．若函数是反比例函数，则______． 3．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 题型4.已知自变量求函数值、已知函数值求自变量 1．若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为___________． 3．已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 题型5.判断反比例函数图象所在象限 1．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在第________象限． 3．我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”． (1)判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”； ①（    ），②（    ）； (2)求出“五好函数”的“五好距”； (3)已知“五好函数”左侧的“五好点”位于和之间（含A，B两点），不论m取何值，不等式恒成立，若函数（b为常数）的最小值为，求b的值． 题型6.根据图象象限求k的取值范围 1．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 3．反比例函数的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 题型7.判断反比例函数的增减性 1．下列函数中，随的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 2．反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 3．【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 (1)求函数的“最优虹桥值”； (2)若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 题型8.根据增减性求参数取值范围 1．已知双曲线，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 3．反比例函数，当时，随的增大而减小，求的取值范围． 题型9.比较反比例函数值大小 1．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知点、都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 3．已知，为反比例函数图象上的两点，且．判断与的大小关系． 题型10.利用k的几何意义求特殊图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 3．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 题型11.根据几何图形面积求k的值 1．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，已知矩形的面积为4，则反比例函数的解析式为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 题型12.利用双曲线对称性求点坐标 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．若正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是，则另一个交点坐标为______． 3．如图，M，N是函数图象上的两点，且线段过原点O，平行于y轴，平行于x轴，求的面积． 题型12.利用双曲线对称性求点坐标 1．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为________． 3．如图，直线与双曲线交于点，． (1)求直线与双曲线的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 题型14.反比例函数与几何综合 1．如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 2．如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 3．如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点F． (1)求的坐标及的值； (2)求的长度． 题型15.反比例函数的实际应用 1．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 3．某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． (1)首付款为______________，与的函数关系式为______________； (2)如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ ✵分层专项训练 一、单选题 1．用表示自变量，表示的函数，下列选项中，是的反比例函数的是（     ） A．长方形的周长是2，长为，宽为 B．正方形的边长为，面积为 C．荣荣以的速度行走，行走的时间为 ，行走的路程为 D．恒恒以的速度用爬完长为的楼梯 2．下列各点在反比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 二、填空题 5．已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为___________． 7．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    8．已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 三、解答题 9．在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)当力为时，求所做的功； (2)写出关于的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； 11．已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 12．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06反比例函数期中复习讲义 ✵复习目标 理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，会用待定系数法求反比例函数解析式。 掌握反比例函数双曲线的图象特征与基本性质，能利用性质比较函数值的大小，了解图象的对称性。 理解比例系数k的几何意义，熟练解决与双曲线相关的面积问题。 会求反比例函数与一次函数的交点坐标，能结合图象比较两个函数值的大小。 能建立反比例函数模型解决简单的实际问题，体会数形结合的思想方法。 ✵高频题型梳理 题型1.用反比例函数描述数量关系 题型2.根据定义判断是否为反比例函数 题型3.根据反比例函数的定义求参数 题型4.已知自变量求函数值、已知函数值求自变量 题型5.判断反比例函数图象所在象限 题型6.根据图象象限求k的取值范围 题型7.判断反比例函数的增减性 题型8.根据增减性求参数取值范围 题型9.比较反比例函数值大小 题型10.利用k的几何意义求特殊图形的面积 题型11.根据几何图形面积求k的值 题型12.利用双曲线对称性求点坐标 题型13.求反比例函数解析式 题型14.反比例函数与几何综合 题型15.反比例函数的实际应用 题型15.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、反比例函数的定义 定义：一般地，形如 y=（k为常数，且k≠0）的函数，叫做反比例函数。 其中x是自变量，y是x的函数，k为比例系数。 核心本质：两个变量的乘积为非零定值，变量之间成反比例关系。 知识点二、反比例函数三种等价解析式 1.标准分式型：y= (k≠0)（常规通用） 2.乘积型：xy=k (k≠0)（两变量乘积为定值） 3.负指数型：y=k (k≠0)（多用于参数判定） 要点提示：判断一个函数是不是反比例函数，可先化为上面的形式；k≠0是反比例函数必不可少的条件。 知识点三、反比例函数的图象与性质 反比例函数的图象叫做双曲线，由两条分支组成；图象无限靠近x轴、y轴，但与坐标轴没有交点，不经过原点。 知识点四、待定系数法求反比例函数解析式 1.设解析式：y=(k≠0)； 2.将图象上一个已知点的坐标代入解析式，求出常数k； 3.把k的值代回，写出完整的反比例函数解析式。 知识点五、k的几何意义与面积 双曲线上点向坐标轴作垂线，矩形面积 =|k|，三角形面积 = 结合三角形中位线、相似三角形求面积比 由面积反求k时注意k的符号。 知识点六、反比例函数与一次函数的综合 （1）求交点坐标：联立两个函数的解析式组成方程组，方程组的解就是两个函数图象交点的横、纵坐标。 （2）正比例函数与反比例函数相交时，两个交点关于原点对称。 （3）比较函数值大小：以交点的横坐标作为分界，观察图象上下位置关系，写出对应x的取值范围。 知识点七、反比例函数与几何综合 结合相似三角形、菱形、矩形、正方形性质求点坐标 旋转、轴对称变换后求对应点坐标再代入解析式 勾股定理与解直角三角形求线段长 知识点八、反比例函数的实际应用 建模步骤： 根据题意分析变量之间的关系，判断两个变量成反比例关系； ② 设反比例函数解析式y=，代入已知数据求出k； ③ 写出函数解析式，注明自变量符合实际意义的取值范围； ④ 利用解析式或图象求解实际问题。 常见模型：路程一定，速度与时间；矩形面积一定，长与宽；压力一定，压强与受力面积等。 ✵易错提醒 1. 描述增减性质时，必须说明 “在每一个象限内”，不能直接说k>0时，y随x的增大而减小，跨象限比较时该结论不成立。 2. 比较函数值大小，若点不在同一象限，不能直接用增减性判断，可以代入计算或者画图分析。 3. 由面积求k，面积等于|k|或|k|，一定要结合图象所在象限确定k的正负。 4. 双曲线无限靠近坐标轴，但永远不会与x轴、y轴相交。 5.y=不是反比例函数，分母必须是单独的自变量x，不能是含x的多项式。 ✵典例精讲 题型1.用反比例函数描述数量关系 1．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断，需依据“两个相关联的量乘积一定则成反比例关系”的知识点，逐项分析各选项的数量关系即可求解． 【详解】解：A：设进价为定值，售价为，利润为，则，是差的数量关系，乘积非定值，不成反比例关系； B：身高与体重无固定的乘积或比值关系，不成比例关系； C：设路程为定值，速度为，时间为，则，为定值，即与的乘积一定，与成反比例关系； D：设工作效率为定值，工作总量为，工作时间为，则，为定值，即与的比值一定，成正比例关系； 故选：C． 2．为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3） 由题意，得：；不是反比例函数． 题型2.根据定义判断是否为反比例函数 1．下列函数中，不是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反比例函数标准形式为（k为常数，），也可以写成的形式，逐个对照选项，判断式子能不能化成这个形式，是，属于正比例函数，因此它不是反比例函数． 【详解】解：A选项、B选项、D选项均为反比例函数； C选项是正比例函数，不是反比例函数，故选C． 2．下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，判断函数是否为反比例函数，需满足形式（k为常数且），或等价形式如．需逐一分析每个函数是否符合条件，注意分母是否为的一次式，以及是否存在其他变形导致不符合定义的情况． 【详解】解：，未明确说明的取值范围，可能为0，因此不符合题意； ，由于（无论为何实数），分母为，分子为常数且不为零，故符合反比例函数的定义； ，可化简为，分子为常数且，符合定义，故是反比例函数； ，分母为，不符合分类函数的形式，不属于反比例函数，故不符合； ，此为正比例函数，与反比例函数形式不同，故不符合； ，为反比例函数与常数的组合，不符合纯反比例函数的定义，故不符合； ，该函数可化为，自变量的指数是，不等于，不符合反比例函数的定义，故不符合； ，即，显然符合反比例函数的定义，故是反比例函数； ，变形为，即，符合反比例函数的定义，故是反比例函数． 综上，符合条件的函数为． 故答案为：． 3．下列函数解析式（其中x是自变量）中，哪些是反比例函数?哪些不是?为什么? ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①不是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是，不是，不符合反比例函数的定义， 不是反比例函数． ②是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是，且解析式符合反比例函数的定义， 是反比例函数． ③不是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是1，不是，不符合反比例函数的定义， 不是反比例函数． ④是反比例函数．理由如下： 中自变量x的指数是，且解析式符合反比例函数的定义， 是反比例函数． ⑤不是反比例函数．理由如下： 表示的是y与成反比例关系，而不是y与x成反比例关系，故不是反比例函数． ⑥不是反比例函数．理由如下： 可变为，表示的是与x成反比例关系，而不是y与x成反比例关系，故不是反比例函数． 【分析】根据反比例函数定义，逐项进行判断即可． 【详解】略 题型3.根据反比例函数的定义求参数 1．反比例函数的k的值是（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：反比例函数的k的值是． 2．若函数是反比例函数，则______． 【答案】3 【详解】解：∵为反比例函数时，的次数为， ∴， 解得． 3．已知是关于的函数． (1)若这个函数是反比例函数，求的值； (2)若这个函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，列式计算即可； （2）根据二次函数的定义，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵是关于的反比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 题型4.已知自变量求函数值、已知函数值求自变量 1．若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点在反比例函数图象上的条件转化为横纵坐标乘积为6，简化计算． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； A选项：点的横纵坐标乘积为，故点在图象上； B选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； C选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； D选项：点的横纵坐标乘积为，故此点不在图象上． 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．把代入，即可求解． 【详解】解：把代入， ∴， 解得，， 经检验符合， 故答案为：． 3．已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用反比例函数的定义，设，然后把，代入求出k，从而得到反比例函数解析式； （2）把代入（1）中的解析式中计算出函数值即可； （3）把代入（1）中的解析式中计算出x的值即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ，解得， ； （2）解：把代入，得； （3）解：把代入，得， 解得． 题型5.判断反比例函数图象所在象限 1．y关于x的函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得出函数的图象位于一、三象限，根据函数图象的平移规律即可得出答案. 【详解】解：∵， ∴函数的图象位于一、三象限， ∵， ∴函数的图象向右平移个单位得到函数的图象， ∴函数的图象为 . 2．已知反比例函数的图象经过点，其中，则此反比例函数的图象在第________象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及反比例函数的性质，确定出k的正、负情况是解题的关键． 把代入，可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴， ∴此反比例函数的图象在第一、三象限． 故答案为：一、三 3．我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“五好函数”，交点称为“五好点”，两交点间的距离称为“五好距”． (1)判断下列函数是“五好函数”吗？如果是，请在括号里打“”，如果不是则打“”； ①（    ），②（    ）； (2)求出“五好函数”的“五好距”； (3)已知“五好函数”左侧的“五好点”位于和之间（含A，B两点），不论m取何值，不等式恒成立，若函数（b为常数）的最小值为，求b的值． 【答案】(1)①；② (2)4 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据与轴没有交点，结合“五好函数”的定义即可得解；②求出与轴有两个不同的交点，结合“五好函数”的定义即可得解； （2）当时，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再由计算即可得出答案； （3）先求出，令，结合题意求出，表示出，再结合二次函数的性质分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①与轴没有交点，故不是“五好函数”，故答案为：； ②当时，解得：或， ∴与轴有两个不同的交点，故是“五好函数”，故答案为：； （2）解：当时，，， ∴“五好距”为； （3）解：由题可得，当时，， 解得：或， 当时，， 解得：， 令， ∵， ∴关于的函数有最小值， ∵不论m取何值，不等式恒成立， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，此时当时，函数有最小值，为， ∴， 解得：； 当时， ∵该函数的对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数值去最小值，即最小值为， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 综上所述，b的值为或． 题型6.根据图象象限求k的取值范围 1．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由反比例函数图象所在象限得比例系数小于0，列不等式求解. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得. 2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限时，比例系数小于0，列不等式求解即可. 【详解】解： 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得. 3．反比例函数的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 【答案】 图象的另一支位于第四象限；常数的取值范围是 【分析】由反比例函数图象的一支在第二象限可判断比例系数为负，据此确定另一支所在象限并求解的取值范围． 【详解】 解：∵反比例函数的图象的一支位于第二象限， ∴， ∴，该函数图象的另一支位于第四象限． 题型7.判断反比例函数的增减性 1．下列函数中，随的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：选项A、，，在每个象限内，随的增大而增大，故不符合题意； 选项B、，，当，时，，，即，故不符合题意； 选项C、，，当时，随的增大而增大，故不符合题意； 选项D、，，当时，随的增大而减小，故符合题意． 2．反比例函数，当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【详解】解：由反比例函数可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大；即当时， y随x的增大而增大． 3．【概念呈现】 在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“虹桥值”，函数图象上所有点的“虹桥值”中的最大值称为函数的“最优虹桥值”． 【概念理解】 求函数的“最优虹桥值”； 解：设函数的“虹桥值”为， ， 随的增大而增大 时， 当，最大 函数的“最优虹桥值”为． 【拓展应用】 (1)求函数的“最优虹桥值”； (2)若二次函数的“最优虹桥值”为，求的值． 【答案】(1)函数（）的“最优虹桥值”为 (2) 【分析】（1）设函数的“虹桥值”为，求出，再结合反比例函数的性质计算即可得出结果； （2）设二次函数的“虹桥值”为，求出，再结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设函数的“虹桥值”为， ∴． ， ∴当时，随的增大而减小． ， 当，最大， 函数的“最优虹桥值”为． （2）解：设二次函数的“虹桥值”为， ∴ ， ， 开口向下， 当时，随的增大而减小， ， 当时，最大， ． 题型8.根据增减性求参数取值范围 1．已知双曲线，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数增减性与比例系数的关系列不等式求解． 【详解】解：∵ 双曲线在每个象限内，随的增大而增大， ∴ ， 解得． 2．反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，当图象在每一象限内y随x增大而增大时，比例系数小于0，据此列出不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一象限内，随的增大而增大， ∴， 解得． 3．反比例函数，当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，对于反比例函数（），当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：反比例函数，当时，y随x的增大而减小， m的取值范围为：． 题型9.比较反比例函数值大小 1．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质，先判断定值的符号，再结合两点纵坐标的符号推导横坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，； ∴． 2．已知点、都在反比例函数的图象上，则______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】将、两点的横坐标分别代入反比例函数解析式，得到和的具体值，再比较二者大小即可． 【详解】解：把代入，得． 把代入，得． ， ． 3．已知，为反比例函数图象上的两点，且．判断与的大小关系． 【答案】当或时，；当时， 【分析】根据反比例函数图象的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大， ∵，为反比例函数图象上的两点，且， ①若点，同位于第二象限时， 则， ∴； ②若点，同位于第四象限时， 则， ∴； ③若点位于第二象限，点位于第四象限， 则， ∴； 综上所述，当或时，；当时，． 题型10.利用k的几何意义求特殊图形的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点均在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，轴于点E，轴于点F，设四边形的面积为，四边形的面积为，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， 由题意得， 同理 故． 2．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点为轴上的点，点是第一象限内的一点，轴，轴于，已知线段交反比例函数的图像于点，连接，连接，交反比例函数图像于点．若的面积为4，则梯形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用反比例函数的几何意义：图象上的点与坐标轴围成的直角三角形面积为；由得，减去即为梯形的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴（反比例函数的几何意义）， ∵， ∴． ∵点在反比例函数图象上，轴， ∴， ∴， ∴梯形的面积为． 3．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为C，交y轴于点A，求的面积． 【答案】的面积为5 【分析】过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∵轴，， ， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于5． 题型11.根据几何图形面积求k的值 1．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 2．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，已知矩形的面积为4，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】设点A的坐标是,设反比例函数的解析式为，则，由矩形的面积为4得到，即可求出答案． 【详解】解：设点A的坐标是,设反比例函数的解析式为， ∴， 由题意可得，， ∵矩形的面积为4， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，顶点B在反比例函数的图象上，已知矩形的长和宽分别为4，3． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，与交于点G．若矩形与矩形不重合部分的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义求解即可； （2）设，根据矩形与矩形不重合部分的面积为6列方程求解即可． 【详解】（1）解：矩形的长和宽分别为4，3， ， 点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设， 则，， ，， 矩形与矩形不重合部分的面积为6， ， 解得， ， 点P的坐标为． 题型12.利用双曲线对称性求点坐标 1．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，利用反比例函数对称性求点坐标等．根据题意可知点A，B关于原点中心对称，继而求出本题答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为， ∴A，B两点关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故选：B． 2．若正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的坐标是，则另一个交点坐标为______． 【答案】(-2，-4) 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是(2，4)， ∴另一个交点的坐标是(-2，-4)． 故答案为(-2，-4)． 【点睛】本题考查的是正比例函数图象与反比例函数图象的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称是解答此题的关键． 3．如图，M，N是函数图象上的两点，且线段过原点O，平行于y轴，平行于x轴，求的面积． 【答案】 【分析】由反比例函数的对称性可得点M与点N关于原点对称，设，则，求出点P的坐标，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵线段过原点O， ∴由反比例函数的对称性可知点M与点N关于原点对称， 设，则， ∵平行于y轴，平行于x轴， ∴，， ∴， ∴． 题型12.利用双曲线对称性求点坐标 1．点在一个反比例函数的图象上，则这个函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点坐标代入反比例函数一般式，求出比例系数k即可确定解析式. 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 点在函数图象上， 将，代入解析式，得， 解得， 这个函数的解析式为. 2．如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设反比例函数的一般形式，利用待定系数法代入已知点坐标求出参数，即可得到函数解析式． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入解析式，得， 解得， 所以这个反比例函数的解析式为． 3．如图，直线与双曲线交于点，． (1)求直线与双曲线的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)双曲线的解析式为，直线的解析式为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 双曲线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：由函数图象可知，不等式的解集为或， ∴不等式的解集为或． 题型14.反比例函数与几何综合 1．如图，的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作轴于点D，交于点E．若E为的中点，则的面积是（     ） A．5 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】设，；根据轴可推出点B的纵坐标为，横坐标为，再由求解即可． 【详解】解：设， ∵E为的中点， ∴； ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴ ． 2．如图在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，点在线段上，点在的右侧，和都是等腰直角三角形，，若函数的图象经过点，且与的面积之差为3，则______． 【答案】6 【分析】由题意可设，则，由于函数的图象经过点，故，再由与的面积之差为3求解． 【详解】解：∵，和都是等腰直角三角形，， ∴设， 则， ∵函数的图象经过点， ∴ ∵与的面积之差为3， ∴ ∴． 3．如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点F． (1)求的坐标及的值； (2)求的长度． 【答案】(1)的坐标为，的值为30 (2)的长度为 【分析】（1）先由勾股定理求解，然后设，结合折叠性质可得，然后对运用勾股定理求解，即可求解点坐标，再由待定系数法求解反比例函数表达式； （2）求出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，． 由折叠的性质可知，． 在中，由勾股定理得：． ∴． 设，则， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ∴． ∵点在上， ∴点的坐标为． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 答：的坐标为，的值为30； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为． ∵点在边上，且， ∴点的纵坐标为8． 当时，，解得． ∴点的坐标为． ∴． 答：的长度为． 题型15.反比例函数的实际应用 1．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为万元，前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月的付款数额（元）与付款月数（取正整数）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：一台电脑的售价为万元，前期付款元之后每个月付款元，付款月数为， ， ， （取正整数）． 2．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到______． 【答案】300 【分析】设利用待定系数法求解反比例函数解析式，把代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， ， 当h时，， 由函数图象可得，随着的增大而减小， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到． 3．某电脑公司在国庆期间搞活动时，规定每台电脑7000元，可分期付款，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）的关系如图所示． (1)首付款为______________，与的函数关系式为______________； (2)如果每月支付的钱数不少于400元，那么至多几个月才能将所有的钱全部还清？ 【答案】(1)元； (2)15个月 【分析】（1）根据待定系数法求解反比例函数表达式即可，再由函数图象求解首付款； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）由图象得，交首付后剩余的钱数（元）与时间（月）是反比例关系， 设y与t的函数关系式为， ∵反比例函数图象经过点， 则， 解得， 故y与t的函数关系式是； 当时，则， 故首付为（元）； （2）解：由函数图象可得，随着的增大而减小， 当时，即， ∴， 故最多15个月能将所有的钱全部还清． ✵分层专项训练 一、单选题 1．用表示自变量，表示的函数，下列选项中，是的反比例函数的是（     ） A．长方形的周长是2，长为，宽为 B．正方形的边长为，面积为 C．荣荣以的速度行走，行走的时间为 ，行走的路程为 D．恒恒以的速度用爬完长为的楼梯 【答案】D 【详解】解：A选项中，，可得，不是的反比例函数，不符合题意； B选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； C选项中，，不是的反比例函数，不符合题意； D选项中，，是的反比例函数，符合题意． 2．下列各点在反比例函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一验证即可． 【详解】解：反比例函数图象上的点满足， ， 点在函数图象上，故选项A符合题意； ，，，均不等于， 其余选项的点均不在函数图象上． 3．已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 4．对于反比例函数，以下四个结论中错误的是（     ） A．y随x的增大而减小 B．函数的图象经过点 C．函数的图象在第一、三象限 D．当时， 【答案】A 【详解】解：对于反比例函数，． A、反比例函数增减性的前提是“在每一象限内”，该选项表述错误． B、， 函数图象经过点，表述正确． C、， 函数图象在第一、三象限，表述正确． D、当时，． 第三象限内随的增大而减小， 当时，，表述正确． 二、填空题 5．已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】两个点的横坐标均为负数，已知两点纵坐标的大小关系，可通过代入解析式列不等式，结合反比例函数的增减性求解的范围． 【详解】解：点，都在的图像上， 将两点坐标代入解析式得，， ， ，不等式两边同乘得， 移项合并同类项得，解得． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上．若点的坐标为，则的值为___________． 【答案】 【分析】由菱形的性质求出C点纵坐标为，设，，由两点间距离求出，得，最后由反比例函数定义得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴C点纵坐标为， 设，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴． 7．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 8．已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出两点的坐标，即可求出的面积，用矩形的面积减去上面三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形，点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 代入得：， ， ， 由题意知：点的纵坐标为，代入得：， 点的坐标为， ，， ， ． 三、解答题 9．在力（单位：）的作用下，若物体会在力的方向上发生位移（单位：），则力所做的功（单位：）满足，当为定值时，与之间的函数关系如图所示． (1)当力为时，求所做的功； (2)写出关于的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的范围． 【答案】(1) (2) (3)力大于 【分析】（1）观察函数图象及即可求解； （2）由函数图象过点，即可求出函数关系式； （3）求出当位移为时的力，根据反比例函数的性质即可求出力的取值范围． 【详解】（1）解：由函数图象知，函数图象过点， 即当力为时，位移为， 则所做的功； （2）解：由函数图象知，函数图象过点，， ∴； （3）解：当时，代入，得， 解得， 对于函数，当比例系数为正时，在第一象限内，函数值随自变量的增大而减小， 则当时，， 答：在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于，力大于． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据点求出反比例函数解析式，进而求出点，再根据两点联立求解一次函数即可． （2）根据函数图象求解不等式即可． 【详解】（1）解：已知反比例函数的图象过点， 将点的坐标代入反比例函数解析式中， 可得：， 解得， 所以反比例函数的解析式为． 因为点在反比例函数的图象上， 将代入中， 可得：， 所以点的坐标为， 已知一次函数的图象过点和， 得到方程组， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）由图象可知，当或时， 一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 所以不等式的解集为或． 11．已知反比例函数（为常数，）． (1)若在其图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上． ①求该反比例函数的解析式； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合在其图象的每一支上，随的增大而增大，得，故，即可作答． （2）①直接把代入，进行计算，得，故， ②先分别算出把代入，得；把代入，得；再结合反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而增大， ∴， 解得； （2）解：①依题意，把代入， 得， 解得， ∴； ②由①得， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∵中的， ∴反比例函数在其图象的每一支上，随的增大而减小， ∴当时，则． 12．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $