专题07 二次函数、反比例函数与一元二次方程综合5考点7重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

专题07 二次函数、反比例函数与一元二次方程综合 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的图像与性质 考点二 反比例函数的图像与性质 考点三 函数与方程——交点问题 考点四 韦达定理（根与系数的关系） 考点五 一元二次方程根的分布 05 重难题型突破 题型一 二次函数图像性质判断（选择填空） 题型二 二次函数与根的判别式综合（解答题） 题型三 二次函数与韦达定理综合（解答题） 题型四 反比例函数与一元二次方综合（解答题） 题型五 反比例函数定值、存在性、新定义问题 题型六 二次函数与方程存在性问题（压轴题） 题型七 二次函数与方程定值问题（压轴题） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 题号 分值 核心函数载体 三层设问梯度（识记→理解→应用） 选择填空 3分 二次函数图像判断 a、b、c符号识记 → 对称轴位置判断 → 结合Δ判断与x轴交点个数 解答第24题 12分 二次函数与一元二次方程综合 韦达定理识记 → 根的符号判定 → 根分布参数范围讨论 解答第24题 12分 二次函数压轴（根分布+韦达） Δ与根关系识记 → 韦达定理代换 → 参数分类讨论压轴 识记 ①能默写二次函数三种解析式（一般式/顶点式/交点式）； ②能默写顶点坐标公式、对称轴公式； ③能默写反比例函数 y=k/x 的图像特征与k的几何意义； ④能默写判别式Δ=b²−4ac及韦达定理两式。 理解 ①理解“抛物线与x轴交点 ↔ 一元二次方程实根”的对应； ②理解Δ>0 / =0 / <0 与交点个数的等价关系； ③理解韦达定理“不解方程求根的对称式”本质； ④理解根分布问题中“判别式+对称轴+端点函数值”三条件的由来。 应用 ①能用韦达定理处理根的对称式； ②能根据根的分布条件列不等式组求参数范围； ③能解决函数图像交点存在性问题； ④能在压轴题中完成“设元→韦达→代换→分类”的完整链条。 考点一 二次函数的图像与性质 （1）对称轴公式：x = ____________；顶点纵坐标：y = ____________。 （2）当 a____0 时开口向上，当 a____0 时开口向下。 ⚠️概念辨析 ①“开口方向由a决定”——a>0向上，a<0向下，与b、c无关； ②“对称轴位置由 a、b 共同决定”——“左同右异”：a、b同号时对称轴在y轴左侧，异号时在右侧； ③“c决定抛物线与y轴交点”——交点为 (0, c)，c>0交正半轴，c<0交负半轴。 ⚠️记忆口诀 二次函数抛物线，a定开口宽窄； 负b除二a求对称轴，四a分之四ac减b方算顶点高； 左同右异判左右，c决定y轴交。 考点二 反比例函数的图像与性质 （1）当 k>0 时，图像在第____、____象限；当 k<0 时在第____、____象限。 （2）过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成的矩形面积 = ____。 ⚠️概念辨析 ①反比例函数图像与坐标轴永不相交（因为 x≠0 且 y≠0）； ②“在每个象限内y随x增大而减小”——必须强调“在每个象限内”，跨象限不能直接说增减； ③|k|越大，双曲线离原点越远。 ⚠️记忆口诀 反比函数 y=，两支双曲线；k正一三，k负二四，矩形面积记|k|。 考点三 函数与方程——交点问题 （1）抛物线与x轴有两个交点 ⇔ Δ ____ 0 ⇔ 方程有____________实根。 （2）抛物线与x轴只有一个交点 ⇔ Δ ____ 0，此时交点即抛物线的____点。 ⚠️避坑指南 ❌ ①“一个交点”≠方程只有一个根——是两个相等的实根，不要说“没有根”； ❌ ②抛物线与y轴永远有一个交点 (0,c)，不受Δ影响； ❌ ③求两个函数交点时，联立后得到的方程必须检验：若二次项系数为0，要退化为一次方程讨论。 考点四 韦达定理（根与系数的关系） x₁ + x₂ = ____________；x₁ · x₂ = ____________。 ⚠️记忆口诀 韦达定理不困难，两根和负b比a，两根积c比a；平方和、差平方，全靠和积来转换。 考点五 一元二次方程根的分布 （1）两根一正一负的充要条件是 x₁·x₂ = ______ < 0。 （2）两根都为正需要同时满足：Δ____0，对称轴____0，f(0)____0。 （3）一根大于m、一根小于m的充要条件是 f(m)____0。 ⚠️避坑指南 ❌ ①“一正一负”只需 x₁x₂<0，此时Δ自动>0，不需要再写Δ≥0； ❌ ②“两根都大于m”必须三条件齐全：Δ≥0 + 对称轴>m + f(m)>0，缺一不可； ❌ ③注意开口方向：以上表格基于 a>0，若 a<0，先两边除以a化为a>0再用表； ❌ ④“有实根”与“有两个不相等实根”不同：前者Δ≥0，后者Δ>0 题型一 二次函数图像性质判断（选择填空） 典例1 （25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 💡破题要诀 先看a定开口 → 再看b定对称轴左右（左同右异）→ 看c定y轴交点 → 最后看Δ定与x轴交点数。四步走，不漏项。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（   ） 嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，； 淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为 A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人均对 D．两人均错 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（   ）． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为，且，则．其中正确的结论有___________． 题型二 二次函数与根的判别式综合（解答题） 典例2 （25-26九年级下·江西景德镇·期中）已知二次函数（，为常数，）． (1)求证：该函数的图象与轴一定有两个不同的交点； (2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围； (3)若对于任意的时，恒有随的增大而减小，且图象经过点，求的最大值． 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”，其“美好点”为． (1)判断：函数 _____“美好函数”（填“是”或“不是”）； (2)若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若函数在时的最小值为，求m的值； (3)若点，，均在该函数图象上，是否存在实数m使得？ 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 题型三 二次函数与韦达定理综合（解答题） 典例3 （25-26九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且． (1)判断点是否在抛物线上，并说明理由． (2)若将抛物线向上平移5个单位后，抛物线与x轴恰好只有一个交点，求a的值． (3)若时，恒成立，求a的取值范围． 💡破题要诀 联立解析式 → 消元得一元二次方程 → 用韦达定理表示根的对称式 → 根据题意列等式。 迁移应用 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，抛物线（为常数且）与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为，，当时，求的值． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）我们不妨约定：当满足时，则称点A为“基础点”，点为点A的“升华点”．例如．是“基础点”，则点A的“升华点”为点． 根据该约定，完成下列各题． (1)直线上的“基础点”A坐标是________，点A的“升华点”B的坐标是________； (2)已知两个“升华点”，，且的长为，若，求k的值； (3)若点Q既是“基础点”，也是一个“基础点”的“升华点”，过点Q的直线l与二次函数有两个交点，点M是这两个交点的中点，求所有点M形成的图象的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，求二次函数的表达式和顶点坐标． (2)若函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，求以这三个点为顶点的三角形面积． (3)若函数图象交x轴于，不同两点，当时，求实数m的取值范围． 题型四 反比例函数与一元二次方综合（解答题） 典例4 （25-26九年级下·四川南充·期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限内交于点． (1)求双曲线的解析式； (2)在双曲线上求出点P，使为以为直角边的直角三角形． 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点，且，过点作轴于点，过点作于点． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当四边形为正方形时，求出点的坐标． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与y轴交于点C． (1)反比例函数的表达式为______，m的值为_____； (2)观察图象，直接写出时，x的取值范围； (3)已知点，作直线，将直线向上平移f（）个单位长度后，与反比例函数的图象有一个交点，求f的值． 3．（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 题型五 反比例函数定值、存在性、新定义问题（解答题） 典例5（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边经过原点，反比例函数的图象经过点，，已知点，且轴． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数第一象限图象上有一个点，使得的面积为6，求点的坐标； (3)若一个四边形能被它其中的一条对角线平分成两个等腰三角形，我们把这样的四边形叫做“漂亮四边形”，这一条对角线为它的“漂亮线”．若一个“漂亮四边形”满足，且为它的“漂亮线”，请求出点的坐标． 3．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 题型六 二次函数与方程存在性问题（压轴题） 典例6 （25-26九年级下·山东聊城·期中）已知二次函数 (m为常数)． (1)求证：该函数的图象与x轴总有公共点； (2)若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B左侧)，顶点为P．是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 迁移应用 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知抛物线与x轴相交于点、，且、是方程的两根，与y轴相交于点C．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①请说明点C在以为直径的上，并直接写出与抛物线的另一交点坐标； (3)如图②若平行于x轴的动直线l与线段交于点E，与线段交于F．点是x轴上的动点．问：是否存在直线l，使是等腰直角三角形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 二次函数与方程定值问题（压轴题） 典例7（25-26九年级下·福建福州·期中）已知抛物线． (1)证明此抛物线与x轴必有两个交点； (2)设抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C．已知点在第一象限，若，且． ①求D点坐标； ②过y轴上的点P的直线交抛物线于E，F两点，过的中点G作y轴的平行线交抛物线于点H．若是一个定值，求点P的坐标． 迁移应用 1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 2．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积； (3)在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 3．（25-26九年级下·四川成都·期中）如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 4．（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知二次函数的图象经过点，， (1)求的值． (2)已知二次函数的最大值为，求该函数的表达式． (3)在（2）的条件下，若P、Q是该二次函数图像上不同的两点（P、Q都不与A、B重合），直线过定点，当时，直线，分别与y轴交于点M、N，设M、N两点的纵坐标分别为m、n，求证：为定值． 基础固本练（限时：60分钟） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．其中错误的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②当时，随增大而增大；③当时，的取值范围是；④；⑤若一元二次方程为常数，且的根为整数，则满足条件的的值有且只有两个．其中正确的结论有___________．（填序号） 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线：． (1)若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ； (2)若抛物线交轴于点，，当时． ①则的值为 ，抛物线的对称轴为直线 ； ②若直线与该抛物线有公共点，则的取值范围为 ． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. (1)某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； (3)在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 5．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，为的中点，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线与轴的交点之间的距离． (2)若，求点的横坐标． (3)若，，，直接写出的值． 6．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求的值； (2)过点作轴的平行线，与抛物线交于两点，当点为线段的中点时，求的值； (3)已知点，在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 7．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若该函数在上，随的增大而增大，求的取值范围； (3)直线与二次函数的图象分别相交于点，，且． ①若且，求的值； ②若且，求证：． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的生成点． (1)方程的生成点的坐标为 ； (2)已知关于的方程． ①求该方程生成点的坐标(用含有的代数式表示)； ②若该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点，求的值． 9．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数和一次函数． (1)若对任意实数b，上述两个函数图像，总有两个相异交点A，B，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若二次函数图像上M，N两点的横坐标，分别等于A，B的横坐标，且M，N两点，关于直线对称，求b的最小值． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式． ②点P为抛物线在第一象限上一点，若点B、点C到直线AP距离相等，求P点坐标． (2)如图2，在（1）的条件下将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，TP交抛物线于点M，TQ交抛物线于点N，连接MN．请判断直线MN是否经过定点，若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知，抛物线与直线． (1)若，抛物线与直线l交于A，B两点（A在B的左边）． ①求A，B两点的坐标； ②如图1，点C是直线l下方的抛物线上一点，连接交y轴于点D，若．求点C的横坐标； (2)如图2，平移抛物线，使它的顶点为得到新的抛物线．直线与交于点E，F，过原点O另作直线交抛物线于点G，H．连接，分别交x轴于点M，N．请你探究与的数量关系． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， (1)当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知抛物线顶点为． (1)求点坐标（用含的式子表示） (2)若点在抛物线上，求证 (3)若，直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），过点作垂直于轴的直线交直线于点，求证：点，，三点共线． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点"， (1)已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； (2)已知点为点的“亮粹点”，其中，且，求直线的解析式； (3)函数（，且）的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中P的值恒不大于，求实数t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数、反比例函数与一元二次方程综合 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的图像与性质 考点二 反比例函数的图像与性质 考点三 函数与方程——交点问题 考点四 韦达定理（根与系数的关系） 考点五 一元二次方程根的分布 05 重难题型突破 题型一 二次函数图像性质判断（选择填空） 题型二 二次函数与根的判别式综合（解答题） 题型三 二次函数与韦达定理综合（解答题） 题型四 反比例函数与一元二次方综合（解答题） 题型五 反比例函数定值、存在性、新定义问题 题型六 二次函数与方程存在性问题（压轴题） 题型七 二次函数与方程定值问题（压轴题） 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 题号 分值 核心函数载体 三层设问梯度（识记→理解→应用） 选择填空 3分 二次函数图像判断 a、b、c符号识记 → 对称轴位置判断 → 结合Δ判断与x轴交点个数 解答第24题 12分 二次函数与一元二次方程综合 韦达定理识记 → 根的符号判定 → 根分布参数范围讨论 解答第24题 12分 二次函数压轴（根分布+韦达） Δ与根关系识记 → 韦达定理代换 → 参数分类讨论压轴 识记 ①能默写二次函数三种解析式（一般式/顶点式/交点式）； ②能默写顶点坐标公式、对称轴公式； ③能默写反比例函数 y=k/x 的图像特征与k的几何意义； ④能默写判别式Δ=b²−4ac及韦达定理两式。 理解 ①理解“抛物线与x轴交点 ↔ 一元二次方程实根”的对应； ②理解Δ>0 / =0 / <0 与交点个数的等价关系； ③理解韦达定理“不解方程求根的对称式”本质； ④理解根分布问题中“判别式+对称轴+端点函数值”三条件的由来。 应用 ①能用韦达定理处理根的对称式； ②能根据根的分布条件列不等式组求参数范围； ③能解决函数图像交点存在性问题； ④能在压轴题中完成“设元→韦达→代换→分类”的完整链条。 考点一 二次函数的图像与性质 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线。其核心要素如下： 对称轴（顶点横坐标）： 顶点纵坐标： 根的判别式： 当 a>0 时开口向上，顶点为最低点；当 a<0 时开口向下，顶点为最高点。|a|越大，抛物线开口越窄。 ⚠️概念辨析 ①“开口方向由a决定”——a>0向上，a<0向下，与b、c无关； ②“对称轴位置由 a、b 共同决定”——“左同右异”：a、b同号时对称轴在y轴左侧，异号时在右侧； ③“c决定抛物线与y轴交点”——交点为 (0, c)，c>0交正半轴，c<0交负半轴。 ⚠️记忆口诀 二次函数抛物线，a定开口宽窄； 负b除二a求对称轴，四a分之四ac减b方算顶点高； 左同右异判左右，c决定y轴交。 考点二 反比例函数的图像与性质 反比例函数的一般形式： 图像为双曲线，关于原点中心对称，关于直线 y=±x 轴对称。 k的几何意义：双曲线上任取一点 P，向x轴、y轴分别作垂线，垂足为 A、B，则矩形 OAPB 的面积 S=|k|。 ⚠️概念辨析 ①反比例函数图像与坐标轴永不相交（因为 x≠0 且 y≠0）； ②“在每个象限内y随x增大而减小”——必须强调“在每个象限内”，跨象限不能直接说增减； ③|k|越大，双曲线离原点越远。 ⚠️记忆口诀 反比函数 y=，两支双曲线；k正一三，k负二四，矩形面积记|k|。 考点三 函数与方程——交点问题 两个函数图像的交点坐标，就是联立它们解析式所组成方程组的解。 特别地，二次函数 y=ax²+bx+c 与 x 轴（即直线 y=0）的交点横坐标，就是一元二次方程 ax²+bx+c=0 的实数根： 判别式 方程实根 抛物线与x轴交点 Δ > 0 两个不相等实根 两个交点 Δ = 0 两个相等实根 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 无实根 无交点 ⚠️避坑指南 ❌ ①“一个交点”≠方程只有一个根——是两个相等的实根，不要说“没有根”； ❌ ②抛物线与y轴永远有一个交点 (0,c)，不受Δ影响； ❌ ③求两个函数交点时，联立后得到的方程必须检验：若二次项系数为0，要退化为一次方程讨论。 考点四 韦达定理（根与系数的关系） 对于一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0），设两根为 x₁、x₂，则： 两根之和： 两根之积： 韦达定理的本质：不解方程，直接用系数表示根的对称式。 ⚠️记忆口诀 韦达定理不困难，两根和负b比a，两根积c比a；平方和、差平方，全靠和积来转换。 考点五 一元二次方程根的分布 根的分布问题需要联合三个条件：①Δ≥0（保证有实根）；②对称轴位置；③端点函数值的符号。 分布类型 条件（设方程 ax²+bx+c=0，a>0） 两正根 Δ≥0，对称轴>0，f(0)=c>0 两负根 Δ≥0，对称轴 −<0，f(0)=c>0 一正一负根 x₁·x₂ = < 0（此时Δ必>0，无需另列） 两根都大于m Δ≥0，对称轴 > m，f(m)>0 两根都小于m Δ≥0，对称轴 < m，f(m)>0 一根大于m，一根小于m f(m)<0（a>0时，此时Δ必>0） ⚠️避坑指南 ❌ ①“一正一负”只需 x₁x₂<0，此时Δ自动>0，不需要再写Δ≥0； ❌ ②“两根都大于m”必须三条件齐全：Δ≥0 + 对称轴>m + f(m)>0，缺一不可； ❌ ③注意开口方向：以上表格基于 a>0，若 a<0，先两边除以a化为a>0再用表； ❌ ④“有实根”与“有两个不相等实根”不同：前者Δ≥0，后者Δ>0 题型一 二次函数图像性质判断（选择填空） 典例1 （25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴，即：①正确； ∵图象有最低点， ∴当时，最小； 当时，； ∴， 即：，即：②错误； ∵图象开口向上，与轴有两个交点， ∴直线与图象有两个交点即：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴即：， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∵在的右侧， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴，即：④正确； 综上：①③④正确； 故答案为：D． 💡破题要诀 先看a定开口 → 再看b定对称轴左右（左同右异）→ 看c定y轴交点 → 最后看Δ定与x轴交点数。四步走，不漏项。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，已知抛物线过点，对称轴为直线．关于嘉嘉、淇淇的说法，下列判断正确的是（   ） 嘉嘉：关于的一元二次方程的解为，； 淇淇：若与轴围成封闭区域（边界除外）内整点（横、纵坐标都是整数）的个数为7，则符合条件的整数的值为 A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人均对 D．两人均错 【答案】C 【详解】解：已知抛物线的对称轴为，已知过点， 根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点为， 所以一元二次方程的解为∶ ，， 嘉嘉的说法正确． 一元二次方程的解为∶ ，， ． 顶点坐标为． 由图可知为负数． 与轴围成封闭区域（边界除外）x的范围是， 可取的整数为0、1、2． 当时，． 的范围是； 当时， 的范围是； 当时， 的范围是． 要使整点个数为7，结合顶点纵坐标，当时，顶点纵坐标为4，此时∶ 时，y可取1、2； 时，y可取1、2、3； 时，y可取1、2； 共7个数． 淇淇的说法正确． 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根：④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（   ）． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：对于①②， ∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； 对于③，此方程可以看作抛物线与直线的交点，结合图象可知，抛物线与直线有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故③正确； 对于④，抛物线开口向上，函数有最小值，且离对称轴直线越近，值越小． ，， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故④正确． 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东惠州·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则；⑤若方程的两根为，且，则．其中正确的结论有___________． 【答案】②③④⑤ 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴、， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即，故①错误； ∴，故②正确； ∵二次函数的图象过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，故③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴在图象上的对称的点坐标为， ∵当时，y随x的增大而减小，且， ∴，故④正确； ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为， ∵方程的两根是二次函数与直线的两个交点的横坐标，如图： 由函数图象可知：，故⑤正确； 综上，正确的结论有②③④⑤． 故答案为②③④⑤． 题型二 二次函数与根的判别式综合（解答题） 典例2 （25-26九年级下·江西景德镇·期中）已知二次函数（，为常数，）． (1)求证：该函数的图象与轴一定有两个不同的交点； (2)若，，该函数图象经过，两点，若，分别位于抛物线对称轴的两侧，且，求的取值范围； (3)若对于任意的时，恒有随的增大而减小，且图象经过点，求的最大值． 【详解】(1)证明：∵，， ∴该函数图象与轴一定有两个不同的交点； （2）解：∵，， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵，分别位于抛物线对称轴的两侧，且， ∴点在点的左侧时， ∴， 解得， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 当点在点的右侧时，即，解得且，无解集， ∴点在点的右侧，不成立， 综上可得的取值范围为； （3）解：由抛物线的对称轴为直线， 当，即时，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，总是存在有随的增大而增大，结论不成立； 当，即时，抛物线开口向下， ∴当时，随增大而减小， ∵当时，总有随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴不在轴右侧，即， ∴，， ∵抛物线过点， ∴，即， ∴， 即是的二次函数， 其图象为一条抛物线，这条抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴当且仅当，时，的最大值是． 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“美好函数”，该点称为“美好点”，例如：“美好函数”，其“美好点”为． (1)判断：函数 _____“美好函数”（填“是”或“不是”）； (2)若抛物线上有两个“美好点”，求m的取值范围； (3)若函数的图象上存在唯一的一个“美好点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 【详解】（1）解：令，方程无解， ∴函数不是“美好函数”； 故答案为：不是． （2）由题意得有2个解， 整理得， ∴， 解得且． （3）由题意得只有一个解， 整理得， ∴， 整理得， 对称轴为直线， ①当时，n的最小值为， ∵当时，n的最小值为k， ∴， ∴； ②当时，n随着m的增大而减小， ∴n的最小值为，无解； ③当时，n随着m得增大而增大， ∴n的最小值为， ∴或（舍去）． 综上，k的值为0或． 2．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知二次函数（m为常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若函数在时的最小值为，求m的值； (3)若点，，均在该函数图象上，是否存在实数m使得？ 【详解】（1），， 对称轴为； （2）①当时， 当时，y随x的增大而增大，最小值在处取得， ， ， 即， 解得：或； ②当时，最小值在对称轴处取得， ，解得（舍去）； ③当时， 当时，y随x的增大而减小，最小值在处取得， ， ， 即， ， 该方程无实数根； 综上所述，m的值为或； （3）将点，，代入函数解析式得， ，，， ， ， 令， ， 整理得，， ，显然矛盾， 因此，不存在实数m使得． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数为“关联函数”，两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”，如图1，与是关联函数，阴影部分是关联区域，如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于、两点，当线段长度最大时，该距离叫做“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”， (1)证明：函数与是“关联函数”； (2)求“关联函数”与的“最优关联距离”； (3)若“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围. 【详解】【答案】(1)证明：由题意得，， 则， 整理得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴这两个函数图像有2个交点， ∴函数与是“关联函数”； （2）解：如图， 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴“关联函数”与的“最优关联距离” 为； （3）解：如图： 由题意得， ∴， ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，；， ∴ ∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”， ∴有三个整数值，即为，如图： ∴， 解得 ∴“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，求的取值范围． 题型三 二次函数与韦达定理综合（解答题） 典例3 （25-26九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且． (1)判断点是否在抛物线上，并说明理由． (2)若将抛物线向上平移5个单位后，抛物线与x轴恰好只有一个交点，求a的值． (3)若时，恒成立，求a的取值范围． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点在抛物线上； （2）解：∵， ∴将抛物线向上平移5个单位后得到， ∵抛物线开口向上，抛物线与x轴恰好只有一个交点， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）解：∵，是抛物线上两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵时，恒成立， ∴时，恒成立， ∵抛物线开口向上， ∴时，， 把代入得，， 即， 解得或， ∴， 解得， 故若时，恒成立， 💡破题要诀 联立解析式 → 消元得一元二次方程 → 用韦达定理表示根的对称式 → 根据题意列等式。 迁移应用 1．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，抛物线（为常数且）与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若直线与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为，，当时，求的值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ， ， ； （2）解：直线与抛物线有两个交点， ， 整理得， ， ，， ， 或， 的值为2或． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）我们不妨约定：当满足时，则称点A为“基础点”，点为点A的“升华点”．例如．是“基础点”，则点A的“升华点”为点． 根据该约定，完成下列各题． (1)直线上的“基础点”A坐标是________，点A的“升华点”B的坐标是________； (2)已知两个“升华点”，，且的长为，若，求k的值； (3)若点Q既是“基础点”，也是一个“基础点”的“升华点”，过点Q的直线l与二次函数有两个交点，点M是这两个交点的中点，求所有点M形成的图象的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围． 【详解】（1）解：依题意，， 解得， 直线上的“基础点”A坐标是； ∵点A为“基础点”，点为点A的“升华点”， ∴， ∴点A的“升华点”B的坐标是； （2）解：∵ ∴， ∴， 令， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴ ∵两点存在， ∴可看作一元二次方程的两个解， ∴ ∴， 解得； （3）解：∵基础点满足， ∴基础点在直线上， ∵升华点在直线上， 联立， 解得， ∴， ∴直线， 设直线l与二次函数的两个交点分别是， 联立， 得， ∴， 解得或， ∴由韦达定理：， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 即所有点形成的图象的函数解析式为， ∵或， ∴ 即或， ∴，自变量的取值范围为或． 3．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，求二次函数的表达式和顶点坐标． (2)若函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，求以这三个点为顶点的三角形面积． (3)若函数图象交x轴于，不同两点，当时，求实数m的取值范围． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式，得 ， 解得． ∴二次函数解析式为， 又∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 答：二次函数的表达式为，顶点坐标为． （2）解：对称轴：直线 ∵二次函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，且对称轴为， ∴该二次函数的图象过点 将代入函数解析式，得 ， 解得． ∴ 令，可得 解得， ∴ ∴． （3）解：由二次函数， 令，则， ∴ 解得． 由根与系数的关系，可得 ， ∵ ∴ ∴， 即 解得． 综上可得． 题型四 反比例函数与一元二次方综合（解答题） 典例4 （25-26九年级下·四川南充·期中）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，与双曲线在第一象限内交于点． (1)求双曲线的解析式； (2)在双曲线上求出点P，使为以为直角边的直角三角形． 【详解】（1）解：将代入直线解析式，得． ∴， ∴直线的解析式为． 将代入，得， ∴， ∴， 设双曲线为，则， ∴双曲线的解析式为． （2）解：对于直线，令，得， ∴， 设，又， ∴， ， ， 若是以为直角边的直角三角形，则分两种情况讨论： ①当时，则， ∴， 整理得， 此时，方程无实数根，此种情况不存在； ②当时，则， ∴， 整理得， 解得：或， 此时，点的坐标为：或， 综上，点P的坐标为或． 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图象分别相交于点，且，过点作轴于点，过点作于点． (1)求反比例函数的表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)当四边形为正方形时，求出点的坐标． 【详解】（1）解：轴于点，于点， 四边形是矩形， ， 又， 点坐标为， 将代入， 可得：， ； （2）解：设点的纵坐标为， ， 四边形为正方形， ， ， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：，（舍去）， 点的坐标为． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与y轴交于点C． (1)反比例函数的表达式为______，m的值为_____； (2)观察图象，直接写出时，x的取值范围； (3)已知点，作直线，将直线向上平移f（）个单位长度后，与反比例函数的图象有一个交点，求f的值． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 将代入反比例函数得， ， ∴反比例函数表达式； 故答案为：，2； （2）解：观察图象得，当时，x的取值范围为或； （3）解：当时，， 所以点C的坐标为． 设直线对应的函数表达式为，则， 解得， 所以直线对应的函数表达式为． 将直线向上平移f（）个单位长度后表达式为． 因为反比例函数的图象与平移后直线有一个交点， 所以方程有唯一解， 即关于x的方程有两个相等的实数根， 所以， 解得，（不合题意，舍去），所以． 3．（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 (2)①结合表格数据画图如下： ②不存在，理由： 所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 题型五 反比例函数定值、存在性、新定义问题（解答题） 典例5（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点 将点代入，则 ∴， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数解析式为：， ∵一次函数与反比例函数交于点和点B． ∴ ∴ 解得（舍）或 ∴； （2）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； 设直线：， ∴代入点得，， 解得， ∴直线， 过点轴交于点， 当，， ∴ ∴； （3）解：设 ∵以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ①时， 解得，， ∴，， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当时， ， 解得， ∴， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向左平移个单位，向下平移1个单位得到点， ∴向左平移个单位，向下平移1个单位得到点； 当时， ， 整理得，，此时，方程无实数根， 故不存在点使得， 综上：在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 迁移应用 1．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 【详解】(1)方法一：根据函数图象可得在第一象限，在第三象限， ∴， ∴； 方法二：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴联立，整理得， ∴和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，，则，； 当时，，则，； ∴ ， 由（1）可得，， ∴， ∵的值不确定， ∴的值不确定， ∴的值不确定， 即的面积不是定值； (3)，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边经过原点，反比例函数的图象经过点，，已知点，且轴． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数第一象限图象上有一个点，使得的面积为6，求点的坐标； (3)若一个四边形能被它其中的一条对角线平分成两个等腰三角形，我们把这样的四边形叫做“漂亮四边形”，这一条对角线为它的“漂亮线”．若一个“漂亮四边形”满足，且为它的“漂亮线”，请求出点的坐标． 【详解】（1）解：由题意及图，可得 点A的纵坐标为2，点B的横坐标为，且点A与点B关于原点对称， ∴)， 则， ∴反比例函数的表达式为． （2）如图，过点A作轴交于点H． 设点，，直线的表达式， 由点，分别代入，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， 则， 则 即 ∴或， 化简，得 或， 解得（舍去）或，（舍去）或， 当时，，即， 当时，，即， ∴点P的坐标是或． （3）∵四边形为漂亮四边形， ，为“漂亮线”， ∴为等腰三角形． ①当，如图 ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，符合题设要求， 则点． ②当时，点D在y轴负半轴时，符合题设要求，如图 过点B作轴于点N，则， 则， ∴， 则点． ③当时，点D在x轴正半轴时，符合题设要求，如图 设与x轴交于点M， ∵， ∴为等边三角形， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 3．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， （2）解：把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； 点， ，， 设点坐标为 ∵， ∴， ∴，解得：， 故点D坐标为，． （3）结论：存在，点的坐标为或， 解：点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 题型六 二次函数与方程存在性问题（压轴题） 典例6 （25-26九年级下·山东聊城·期中）已知二次函数 (m为常数)． (1)求证：该函数的图象与x轴总有公共点； (2)若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B(点A在点B左侧)，顶点为P．是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【详解】(1)证明：已知二次函数， 令，得方程， 计算判别式得， ∵任何实数的平方都非负， ∴，即， ∴方程总有实数根， ∴该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：二次函数中， 抛物线图象开口向上，对称轴为， ∵函数在时，y随x的增大而减小，在时，y随x的增大而增大， ∴对称轴满足，则有， ∴的取值范围是； （3）解：令，得， 因式分解得 ，解得 ， ∴的长度为， 顶点P的横坐标为，代入函数解析式得纵坐标： ， ∴点， ∵抛物线关于对称轴对称， ∴， 若，则是等腰直角三角形， 则斜边上的高等于的一半，且在x轴上， 高的长度为， 因此可得，整理得， 解得或， 当时，，此时，A，B两点重合，不符合题意，舍去； 当时，或，解得或，均符合题意， 因此存在实数m，使得，m的值为0或． 迁移应用 1．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，已知抛物线与x轴相交于点、，且、是方程的两根，与y轴相交于点C．连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①请说明点C在以为直径的上，并直接写出与抛物线的另一交点坐标； (3)如图②若平行于x轴的动直线l与线段交于点E，与线段交于F．点是x轴上的动点．问：是否存在直线l，使是等腰直角三角形？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵、是方程的两根，， ， ， ∵抛物线与x轴相交于点， ， ， ； （2）解：如图①，连接， 抛物线与轴相交于点， 当时，得， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴在直线上， ∴与抛物线的交点关于直线对称， ∴点关于直线对称点坐标为， ∴与抛物线的另一交点坐标为； （3）解：设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，将点，点的坐标分别代入得： ，解得， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， ∴点与点纵坐标相同， ∴把代入，得： ， 解得：, ∴， ∴， 分三种情况： ①当，且时，如图， ∵，， ∴， ∴, 解得：， ∴； ②当，且时，如图， 同理， ∵， ∴, 解得：， ∴； ③当，时，如图， 过点作于， ∵， ∴， ∴是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 化简得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． 综上所述，存在直线使是等腰直角三角形；点的坐标为或或． 2．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 题型七 二次函数与方程定值问题（压轴题） 典例7（25-26九年级下·福建福州·期中）已知抛物线． (1)证明此抛物线与x轴必有两个交点； (2)设抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴正半轴交于点C．已知点在第一象限，若，且． ①求D点坐标； ②过y轴上的点P的直线交抛物线于E，F两点，过的中点G作y轴的平行线交抛物线于点H．若是一个定值，求点P的坐标． 【详解】(1)证明：根据题意得：抛物线， 令得： 判别式 则抛物线与x轴必有两个交点； （2）①解：根据题意得：抛物线， 令得：， 解得：或， 点A在点B左侧， 、， ， 令得：， 在轴正半轴， ， ， ， 解得， 抛物线解析式为， 、、， 过点作轴于点，设线段交轴于点， 设直线的解析式为，交轴于点， 将、代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 令得，， ， ， ， 即， 解得或（舍去）， ， ； ②解：设，经过点的直线解析式为，与抛物线解析式联立得： ， 整理得：， 由韦达定理得：、， 为中点， ， 将代入得：， ， 轴交抛物线于点， ， 将代入得：， ， 过点E作轴，过点F作轴，两直线交于点K， ， 当时，，当时，， ， ， ， 为定值， 为定值， 设， ， ， ，即， ， 解得， 点P的坐标为． 迁移应用 1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； (3)证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 2．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴负半轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，过点作一条直线交抛物线于两点（点在点的左边），连接，分别交轴于两点，当点与顶点重合时，求的面积； (3)在（2）小题条件下，设的横坐标为，当点在抛物线上运动且满足时，试判断的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：，且抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点， ，， 将，，代入抛物线： ，解得：， 抛物线解析式为：， 将解析式配方为顶点式：， 顶点的坐标为； （2）解：令，即，解得，， 点在点左侧， ， ，，且点与顶点重合，即， 设直线的解析式为， 代入可得， 解得：，， 直线解析式为； 联立与，可得， 整理得：，解得（即点），， 将代入直线方程，得，即， 设交于点，作轴，轴分别交于点，， 联立与，可得，解得，即， ，，， ； (3)解：的值为定值，理由如下： 由题意设点，，， 直线过，设直线解析式为， 联立与，可得： ，整理得：， 直线与抛物线交于，， 由根与系数的关系可得：，， 由（2）图可得，， 结合点，，， 可得恒在上方，恒在下方， 可得，， ， 代入，， ． 3．（25-26九年级下·四川成都·期中）如图，直线与抛物线交于、两点，与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若，点为抛物线上一点，过点作，与直线相交于点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的横坐标． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，直线、分别交抛物线于点、，连接，为的中点，试探究的横坐标是否为定值？若是，请求出的横坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的解析式为， ，，， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， 点， ， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， ， ， 当时， 整理可得：， 解得：，， 当时， 解得：，（此时、重合，舍去）， 综上所述，点的横坐标为或2或； （3）解：点的横坐标为定值， 设点的坐标为，点的坐标为， 则、是方程的解， 整理可得：， ，， 点的坐标为， 点的坐标为， 设的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程 整理得：， 方程的解应是点和点的横坐标， ， ， ， 同理可得：， 点的横坐标为， 整理可得： ， 点的横坐标为定值． 4．（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知二次函数的图象经过点，， (1)求的值． (2)已知二次函数的最大值为，求该函数的表达式． (3)在（2）的条件下，若P、Q是该二次函数图像上不同的两点（P、Q都不与A、B重合），直线过定点，当时，直线，分别与y轴交于点M、N，设M、N两点的纵坐标分别为m、n，求证：为定值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵二次函数的最大值为， ∴且， ∴， 解得（舍去），， ∴ ∴二次函数的表达式为； (3)证明：∵P、Q是该二次函数图像上不同的两点（P、Q都不与A、B重合），直线过定点， ∴设直线的表达式为， 即， ∵，， ∴当时，，， ∴该抛物线的解析式为， ∵直线与抛物线交于、两点， ∴可设，， ∵， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ∴，， ∴． 令， 整理得， ∴，． ∴． ∴为定值． 基础固本练（限时：60分钟） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．其中错误的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴，故②正确． ∵与x轴交于，对称轴， ∴另一交点为， 设， ∴，． ①， ∵， ∴， 故，①错误． ③当时，， ∵， ∴，为最大值，故③正确． ④方程化为， 判别式． ∵无实数根， ∴，即，， ∵， ∴，则， ∴， 又， ∴，故④正确． 综上，只有①错误，错误的结论有1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②当时，随增大而增大；③当时，的取值范围是；④；⑤若一元二次方程为常数，且的根为整数，则满足条件的的值有且只有两个．其中正确的结论有___________．（填序号） 【答案】①②③④⑤ ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即，故结论④正确； 对于一元二次方程， 其中，即函数， 据图象判断，当时，函数， 故满足方程，其中的整数根有， 当和时，函数值相同，即对应相同的， 故满足条件的的值有且只有两个，即结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线：． (1)若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ； (2)若抛物线交轴于点，，当时． ①则的值为 ，抛物线的对称轴为直线 ； ②若直线与该抛物线有公共点，则的取值范围为 ． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴， 即：， 解得：； 故答案为：； （2）①解：由题意得：是方程的两个根，， ∴，即：；对称轴为：， 故答案为：；； ②∵直线与该抛物线有公共点， ∴， 即：， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. (1)某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； (3)在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 【详解】（1）解：①过点B分别作轴，作轴，如图所示： ∵绳长为，与轴形成的夹角为，且， ∴， ∴，即， 则， ∵点坐标为， ∴， 则， 即， ∴点的坐标为； ②设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点、、，且点坐标为，点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在（1）的条件下，抛物线的解析式为； ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 则对称轴为直线， 把代入，得， 即演员乙能达到的最高高度是米； （3）解：∵演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，且点坐标为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵主办方设置高为3米的保护网， ∴， ∴， ∴， 则， ， 令，则在中，随着的增大而减小， ∴当时，则；当时，则， 即， 故， ∴， ∴， ∴， ∵若点在抛物线的对称轴上， ∴， 即． ∵预防表演时演员乙出现失误，安全问题， ∴至少为米． 5．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，为的中点，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线与轴的交点之间的距离． (2)若，求点的横坐标． (3)若，，，直接写出的值． 【详解】（1）解：对于抛物线， 令，即， 方程两边同时除以得，， 即，解得，， 抛物线与轴的交点之间的距离为． （2）解：若，则抛物线， 设，， 为的中点， ， 联立，得， 整理得， 由根与系数的关系可得，， 点的横坐标为． （3）解：若，， 联立，得， 整理得，即， 解得或， ，， ， 联立，得， 整理得，即， 解得或， ，， ， ． 6．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）已知抛物线（为常数）经过点． (1)求的值； (2)过点作轴的平行线，与抛物线交于两点，当点为线段的中点时，求的值； (3)已知点，在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（为常数）经过点． ∴， 解得， （2）解：由（1）得， 则抛物线， ∵过点作轴的平行线，与抛物线交于两点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：由（2）得抛物线， ∵， ∴开口向上，在对称轴处取得最小值，且越靠近对称轴的数越小， 由得对称轴为直线， ∵点，在该二次函数的图象上且位于轴的两侧， ∴当时，则， ∴， ∵恒成立， ∴远离对称轴，靠近对称轴， 则， ∴， ∵， ∴， 则， 当时，则， 解得（与相矛盾，故舍去）； 当时，则， 解得； ∴当时，则， ∴， ∵恒成立， ∴远离对称轴，靠近对称轴， 则， ∴， ∵， ∴， 则， 当时，则， 解得， ∴， 当时，则， 解得； ∴， 故， 综上：当恒成立，的取值范围为或． 7．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若该函数在上，随的增大而增大，求的取值范围； (3)直线与二次函数的图象分别相交于点，，且． ①若且，求的值； ②若且，求证：． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为直线， 点在该函数上， ， ， （2）由（1）可得，该函数的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上， 该函数在上，随的增大而增大， ， ， 当时，抛物线的开口向下， 该函数在上，随的增大而增大， ， ， 综上所述，或； （3）由（1）可得，， 该函数的表达式为， ①当时，的图象与轴的交点为，，， ，， ，， ， ， 方法二：当时，的图象与轴的交点为，，（）， ， 又， ，， 将代入，得． ②当时，，则函数为，， 点在函数的图象上， ， ． 8．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的生成点． (1)方程的生成点的坐标为 ； (2)已知关于的方程． ①求该方程生成点的坐标(用含有的代数式表示)； ②若该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点，求的值． 【详解】（1）解：， ，． ． 方程的生成点的坐标为． 故答案为：． （2）①， ． ，． ． 方程的生成点的坐标为． ②该方程生成点恰为直线与双曲线 的公共点， 由②得，，③ 将③代入①得，， 整理得，，解得，． 当时，的坐标为，不符合题意，舍去， ∴的值为0． 9．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 （3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得： ， 整理得：， 解得：，， 另一个交点坐标为， 为米，为米， 米，米． 故答案为：，5，2； （2）不能，理由：当时，直线为， 联立与， 得， 即， 判别式， 无交点，所以不能围出； 通过图象可得：函数 与无交点，所以不能围出； （3）当直线与双曲线有唯一交点时，联立得， 即， 判别式， 解得（舍去）， 此时， ∴交点坐标为． 综合进阶练（限时：60分钟） 1．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数和一次函数． (1)若对任意实数b，上述两个函数图像，总有两个相异交点A，B，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若二次函数图像上M，N两点的横坐标，分别等于A，B的横坐标，且M，N两点，关于直线对称，求b的最小值． 【详解】（1）解：当两个函数图象相交时， ， 化简得，， ∵两个函数的图像有两个相异交点A，B， ∴方程的判别式， 代入得，， 化简得，， 设，则该函数可以看作s关于b的二次函数， 由题意可知，对任意实数b，该二次函数的函数值均大于0，即其最小值大于0， 由顶点公式可得，的对称轴为直线， 当时，函数取最小值， ∴， 化简得，， 当时，，即，该不等式无解； 当时，，即， 综上所述， ； （2）解：设点A横坐标为，点B横坐标为，点M纵坐标为，点N纵坐标为， ∵点M和点N的横坐标分别等于点A和点B的横坐标， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点A和点B是两个函数的交点， ∴和是方程的解， 由韦达定理可得，，， 由完全平方公式得，  ， ∵点M，N在二次函数图象上， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， 设直线的函数解析式为， 代入点M和点N的坐标得， ， 将得，， 由于，故两边同除以得，， 将代入得，， 设点M和点N的中点为点E， 由中点公式可得，，  ， ∴点E的坐标为， ∵点E也在直线上， ∴，解得，， ∴直线的函数解析式为，此直线为一三象限的角平分线所在的直线，与之垂直的是二四象限的角平分线所在的直线，即直线， ∵点M和点N关于直线对称， ∴直线与直线垂直，同时点E在直线上， ∴直线与直线平行， ∴，即， 将点E的坐标代入得，， 化简得，， 把它当作以a为主元的一元二次方程，则其判别式， ∴，即， ∴， 由韦达定理可得，， 由（1）得，， ∴，， ∴，解得， ∴， 代入①得，，即， 当时，符合题意， ∴的最小值为． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)如图1，若． ①求抛物线的解析式． ②点P为抛物线在第一象限上一点，若点B、点C到直线AP距离相等，求P点坐标． (2)如图2，在（1）的条件下将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，TP交抛物线于点M，TQ交抛物线于点N，连接MN．请判断直线MN是否经过定点，若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：①∵抛物线与x轴交于、两点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B、点C到直线距离相等， ∴或经过线段的中点， 当时， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，， 解得：（舍去），， ∴； 当经过线段的中点时，设的中点为D， ∵，， ∴的中点坐标为， ∴直线不过第一象限， ∴不合题意， 综上，P点坐标为； (2)直线过定点，理由： ∵将抛物线：平移得到抛物线， 的顶点为原点． ∴抛物线的解析式为， 联立，， 则， ∵点P、Q是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为， 联立，， 则， ∵M、P是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 联立，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 联立， 得， ∴，， ∴， ∴， 当时， ， ∴直线过定点． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）已知，抛物线与直线． (1)若，抛物线与直线l交于A，B两点（A在B的左边）． ①求A，B两点的坐标； ②如图1，点C是直线l下方的抛物线上一点，连接交y轴于点D，若．求点C的横坐标； (2)如图2，平移抛物线，使它的顶点为得到新的抛物线．直线与交于点E，F，过原点O另作直线交抛物线于点G，H．连接，分别交x轴于点M，N．请你探究与的数量关系． 【详解】（1）①联立抛物线与直线的解析式得：， ， 整理得， 因式分解得， 解得或 代入求得： ，， ∵A在B的左边 ，B两点的坐标分别是和． ②解：过点作轴于点． ∵点的坐标是，，， ，， 设，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线BC的解析式为：，过点，， 得，解得， ∴直线BC的解析式为：， 联立抛物线与直线的解析式得：， 解得：（舍），， ∴点的横坐标为； （2）∵抛物线开口不变，抛物线平移后顶点坐标是 ∴平移后的抛物线为， 联立方程求交点坐标关系： 直线：与： 将代入， 得． 设方程两根为（点横坐标）， 韦达定理：，． 联立方程求交点坐标关系： 设直线： ： 将代入， 得， 整理得． 设方程两根为（点横坐标）， 韦达定理：，． 设直线，直线过点，点 得 解得， 令，得； 点横坐标， ， 化简得． 同理直线过点，点， ． 通分后分子 展开得 合并同类项 代入韦达定理： ，； ，； 分子 ∵分子为， ∴整个分式值为， 即 则 又∵， ∴ 故与的数量关系为． 4．（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线F：上， (1)当时， ①求的值； ②将抛物线F平移后得抛物线G：，设抛物线F与抛物线G的交点为P，过点P的直线与抛物线F的另一个交点为M，与抛物线G的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，， ∵在抛物线F：上， ∴， ∴； ②的长为定值， 设，，， 由①得，抛物线：， 联立， 整理得：， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； （2）解：∵点在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知抛物线顶点为． (1)求点坐标（用含的式子表示） (2)若点在抛物线上，求证 (3)若，直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），过点作垂直于轴的直线交直线于点，求证：点，，三点共线． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴点横坐标为，纵坐标为， ∴点坐标为． (2)证明：∵在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (3)证明：∵， ∴抛物线解析式为，顶点的坐标为， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴联立， ，整理得， 设交点、，且， 则， 过点作垂直于轴的直线交直线于点， 故， 要证，，三点共线，即证点在直线上， 设直线解析式为， 代入，到，可得， 解得：，， ∴直线解析式为； 设直线解析式为， 代入，到，可得， 解得：，， ∴直线解析式为， ∵， ∴， 代入， 又∵， 代入得， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，整理可得， ∴， ∴点在直线上，即，，三点共线． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点N为点M的“亮粹点"， (1)已知点N为点M的“亮粹点”，点M的坐标为，且N在直线上，求点N的坐标； (2)已知点为点的“亮粹点”，其中，且，求直线的解析式； (3)函数（，且）的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中P的值恒不大于，求实数t的取值范围． 【详解】（1）解：设点， ∵N为点的“亮粹点”， ∴， 解得：， ∴N的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， ∵点为点的“亮粹点”， ∴， ∴， 将代入得：， 由得：， 直线的解析式为， ， ， 则， 点在反比例函数上， 联立， 化简得， ∴， 由韦达定理得：， 不妨设， 则， 解得， 则的解析式为：或． （3）解：函数关于直线的翻折后的抛物线解析式为， 设点在两部分组成的图象上“亮粹点”的坐标为， 由题知：， 点的“亮粹点”在直线上， 由已知，则有 ①如下图，当时，直线与均无交点，即在上没有“亮粹点”，不符合题意； ②如下图，当时，直线过的交点，此时直线与仅一个交点， 即在上仅有一个“亮粹点”，不符合题意； ③如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． ④如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． 当时，两部分组成的图象上恰有个“亮粹点”， 已知，其最大值不大于，则： ①时，，解得，则此时无解； ②时，，解得，则； ③时，，解得，则此时无解． 综合，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $