专题14 反比例系数k的几何意义8大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题14 反比例系数k的几何意义（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一点一垂直 题型02 一点两垂直 题型03 两点一垂直 题型04 两点两垂直 题型05 双曲线（k符号相同） 题型06 双曲线（k符号不相同） 题型07 反比例函数与一线三等角模型综合 题型08 曲线与一次函数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一点一垂直 过双曲线上一点作单坐标轴垂线，熟练利用矩形、三角形面积等于|k|模型快速计算面积 反比例最基础几何模型，填空选择必考，属于送分基础题型 一点两垂直 过双曲线上一点分别作x轴、y轴双垂线，熟练运用矩形面积恒等于|k|结论解题 反比例最基础几何模型，填空选择必考，属于送分基础题型 两点一垂直 双曲线上两点结合单垂线构造不规则图形，利用面积割补、等积变换求解面积 中档常考题型，不再是纯公式套用，需要简单数形结合分析 两点两垂直 双曲线上两点分别作双垂线，构造复杂矩形、梯形图形，灵活进行面积转化计算 综合高频题型，考法灵活，是反比例面积题核心考法 双曲线（k符号相同） 掌握同一象限内双点模型，利用k相同进行等面积转化、线段比例转化 同象限模型，条件简单、转化方便，小题快速解题必备模型 双曲线（k符号不相同） 掌握正反象限双双曲线模型，区分正负k面积特点，避免符号混用出错 易错高发题型，学生极易混淆正负k面积关系，导致结果符号错误 反比例函数与一线三等角模型综合 在双曲线背景下识别一线三等角结构，利用相似、全等转化边长与坐标关系 反比例压轴难点题型，几何模型结合函数，区分度高，大题压轴常考 曲线与一次函数 熟练结合一次函数与反比例函数图像，求解交点、面积、取值范围、几何线段 期中期末解答题必考，综合性最强，是反比例核心大题题型 知识点01 反比例系数k的几何意义 题型一 一点一垂直 解｜题｜技｜巧 【典例1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 【变式1】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【变式2】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【答案】6 【分析】作交于点D，根据等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式求出，根据k的几何意义及反比例函数所在象限作答即可． 【详解】解：如图，作交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， ∴， ∵反比例函数经过第一象限， ∴， 即． 【变式4】（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为．则 (1)______，______； (2)点坐标为______； (3)结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据反比例函数的性质可知，，从而得到的坐标，反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）联立反比例函数的解析式和一次函数的解析式，解方程组，即可得到点和点的坐标； （3）观察反比例函数的解析式和一次函数的解析式的图象，要使，则或． 【详解】（1）解：∵的面积为， 即， ∴， 而点在反比例函数的图象上，且在第二象限， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 把代入一次函数中， 则， 解得； （2）解：由（1）可知，，， ∴一次函数， 反比例函数， 联立一次函数与反比例函数，得， 解得或， ∴； （3）解：由图象可知，当或时，． 题型二 一点两垂直 解｜题｜技｜巧 【典例2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 【答案】6 【分析】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【详解】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【答案】 【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：等点，它们的横坐标依次为，，，…，n，， 阴影矩形的一边长都为，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点， 将面积为的矩形向左平移到下方， ∴， 当时，，即， ， 根据反比例函数值的几何意义得：， ． 【变式3】（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 【变式4】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【分析】用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． ∴． 题型三 两点一垂直 解｜题｜技｜巧 【典例3】（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】设反比例函数的解析式为，，故，，根据，求解即可； 【详解】解：设，根据题意，得反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点， 故，， 的面积为， ， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 故反比例函数的解析式为； 【变式1】（2026·福建南平·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】 【分析】由正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义结合的面积为6，即可解答． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积， 解得， ∵反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， ∴． 【变式】2（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____． 【答案】 【分析】根据函数解析式设点、坐标，利用，找到等量关系，设直线代入点、坐标，结合得结论即可求出． 【详解】解：设点坐标，点坐标， 顶点、分别在反比例函数、的图象上 ∴，， ∴，， ∵点在轴的正半轴上，设点坐标， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∵点坐标，点坐标， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型四 两点两垂直 解｜题｜技｜巧 【典例4】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设点，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，， ∴且， ∴， ∴， ∵点在第一象限，点在第二象限， ∴ ∴， 同理， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∴ ． 【变式1】（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 【答案】 【分析】连接，根据平行四边形的性质得出，根据中心对称的性质得出，然后利用双曲线上的点和坐标轴构成的直角三角形的面积与系数的关系求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵双曲线和平行四边形都是中心对称图形， ∴点和点关于原点对称， ∴， 则， ∴， 又该双曲线位于第二、四象限， ∴． 【变式2】（2026·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、是反比例函数(为常数，)图象上的点，轴于点，坐标原点为的中点，若的面积为16，则的值是________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及为中点，可得点为平行四边形的对称中心，从而得出、关于原点对称，、关于原点对称．结合轴，利用平行四边形面积公式和反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，且为的中点， 点是平行四边形的对称中心， 点与点关于原点对称，点与点关于原点对称． 又∵轴于点， ∴ ． 反比例函数图象位于第二、四象限， ， ． 题型五 双曲线（k符号相同） 解｜题｜技｜巧 【典例5】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为， 轴，轴， 点的坐标为，点的坐标为， 的长度为， 点在线段上，且， ， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同， 点的坐标为， ， 整理得：， 解得：， ， ， 为直角三角形， ， ， ． 【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 【变式3】（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 【变式4】（2026·山西太原·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数（）与（）的图象上，轴，点在轴上，且，若，则的值为____． 【答案】 【分析】先利用反比例函数解析式表示出点，的坐标，进而表示出线段的长度，最后结合三角形面积公式建立方程求解的值即可解答． 【详解】解：设点的横坐标为（），则点， 轴， 点的横坐标为，则点， 线段的长度为， 点在轴上，且， 中边上的高等于点到轴的距离，即， ， ， ， 解得或， 由图可知图象位于第一象限， 所以， 故的值为． 题型六 双曲线（k符号不相同） 【典例6】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，利用列关于的方程求解． 【详解】解：如图，与轴交于点， 点在的图象上，轴， ， 点在的图象上， ， 的面积为， ，即， ， 的图象在第二象限， ． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式2】（2022·浙江温州·二模）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【答案】3 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【答案】 【分析】利用中心对称性质得出为中点，从而将的面积转化为的面积；再根据轴，将分割为 和 ，结合反比例函数的几何意义建立方程求解． 【详解】解：连接， 设交轴于点， ∵点与点关于原点对称， ∴为的中点，即， ∴， ∵， ∴ ， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴． 【变式4】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用反比例函数的“”的几何意义求出的面积，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点P，Q分别在反比例函数和的图象上， 且轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 题型七 反比例函数与一线三等角模型综合 解｜题｜技｜巧 识别一线三等角证相似，把线段比例转化为坐标关系，结合\(xy=k\)求解；坐标在负半轴时，线段长度取绝对值。 【典例7】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 【答案】 【分析】先证得，根据相似三角形的性质得出，，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， 点在反比例函数的图象上， ， ， 点在第二象限， ． 【变式1】（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 【变式2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，点是函数图象上的一点，点是函数图象上的一点，则的值为_____． 【答案】 【分析】作轴于，作轴于，根据反比例函数的几何意义得到，，证明，得到，从而得到关于的方程，再结合图象即可得出的值． 【详解】解：如图，作轴于，作轴于， ∵，， ∴， ∵点是函数图象上的一点，点是函数图象上的一点， ∴，， ∵轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵函数的图象经过第四象限， ∴， ∴． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则k的值为_______． 【答案】 【分析】作轴于点C，轴于点D，则，在中，，证明，得到，即，进而可知k的值． 【详解】解：如图，作轴于点C，轴于点D，则． 在中，， ，， ， ， ， ， ， 或16（舍去）． 【变式4】（2026·北京密云·一模）已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 【答案】 【分析】作轴，作轴，先求出再说明，然后根据，则此题可解． 【详解】解：过点A作轴于点C，作轴于点D， ∵点A在函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 曲线与一次函数 解｜题｜技｜巧 【典例8】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像在第一象限内交于点，与轴，轴分别交于点，若，则的值为_____．    【答案】2 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，中点公式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出一次函数的解析式，再，然后根据，，得出，依题意，列式，解得，即，代入求出的值． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴一次函数， 设， ∵，， ∴ ∴ 则 ∵一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内交于点， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴舍去， ∴， 即， 则， ∴， 故答案为：2 【变式1】（2024·陕西渭南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为8，则k的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象交点问题，理解函数图象上的点满足函数的表达式，满足函数表达式的点都在函数的图象上是解决问题的关键． 过点，分别作轴于，轴于，先证是的中位线，从而得，设，则，然后求出点，点，进而得，则，再求出点，根据的面积为8得，则，将代入得，由此根据可得出的值． 【详解】解：过点，分别作轴于，轴于，如图所示： ， ， ， ， 是的中位线， ， 设，则， 对于，当时，，当时，， 点，点， 点，在反比例函数的图象上， ， ， 对于，当时，， 点的坐标为， ， 的面积为8， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点，当时，点P的坐标为________． 【答案】/ 【分析】利用待定系数法求出，，从而可得点，即，设点，则，计算即可得解． 【详解】解：把点代入，得， 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点，即． 设点， 则． 解得， ∴点的坐标为． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 【变式4】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，对称的性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出一次函数解析式为，作于，于，由反比例函数，一次函数都是关于直线对称，则，，，记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为，又由对称性可知：，，，，通过性质求出点坐标，然后代入，最后解方程即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，且点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，即点的坐标为， 令一次函数中，则， ∴，即， ∴一次函数解析式为， 作于，于，如下图所示， ∵反比例函数，一次函数都是关于直线对称， ∴，，， 记面积为，则面积为，四边形面积为，和面积都是，面积为， ∴， 由对称性可知：，，，， ∴， ∴， ∴点坐标，代入直线得， 整理得， ∴或， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，点在反比例函数 的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点， 若为的中点，则的值为_________． 【答案】16 【分析】设一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，易得到和的坐标，易证得四边形是正方形，进而可证得，求得，由为的中点，可知为的中点，得出，从而得出点的坐标，再利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为， 则，， ∴． ∵轴于点，轴于点，， ∴四边形是正方形， ∴轴，， ∴， ∴ ∴． ∵为的中点， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵点在反比例函数)的图象上， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式的求法，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 2．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 3．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题由反比例函数解析式设、的坐标，再由矩形面积公式列出关于的方程来求解得到结果． 【详解】解：在矩形中，有，，， 在双曲线上， 设，其中． 且点在反比例函数第二象限的图象上， ，其中，． ． 矩形面积为， ,即，化简得，解得． 4．（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】根据反比例函数中的几何意义分别求出的面积和的面积，根据坐标特征求出四边形的面积，结合图形计算即可． 【详解】解：如图，设交轴于，交轴于， ∵、两点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 6．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 7．（2022·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 8．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 9．（2026年陕西省西安市部分校学业水平考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 【答案】 【分析】设点的纵坐标为，则AB的长度为，三角形的底边为，高等于点横坐标的绝对值，结合面积为3的条件，可列方程求解，得到点的坐标，将点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵与轴平行，， ∴点横坐标为， 设，在上， 则， 由图可知在上方，， ∴， ∵平行轴，原点到的水平距离为， ∴ 解得， ． 【点睛】 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是 【分析】（1）根据轴，结合点坐标，可设，再根据的长列出方程，解出即可得的坐标，再把的坐标代入，即可解得的值． （2）把点的横坐标代入，即可得点的坐标，再根据轴，轴，轴，即可得点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，点与点的纵坐标相等，进一步表示出点、、的坐标，即可求出、、，最后根据得，代入数据计算即可得的值． （3）设点的坐标为，根据平行线的坐标特点，即可求出点、、的坐标，进一步求出、、，可得，根据梯形面积公式求出，根据题目得，根据平行线性质得，，可证明，根据相似三角形性质得，再根据，即可得，代入数据解出即可得的面积为定值，定值是． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴设 ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵在的图象上， ∴，解得：， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， , ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图1， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点E，过点B作于点F，证明，得到，设，得到，，，，然后由平行线分线段成比例得到，然后利用相似三角形的性质得到，最后利用列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 反比例系数k的几何意义（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 一点一垂直 题型02 一点两垂直 题型03 两点一垂直 题型04 两点两垂直 题型05 双曲线（k符号相同） 题型06 双曲线（k符号不相同） 题型07 反比例函数与一线三等角模型综合 题型08 曲线与一次函数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一点一垂直 过双曲线上一点作单坐标轴垂线，熟练利用矩形、三角形面积等于|k|模型快速计算面积 反比例最基础几何模型，填空选择必考，属于送分基础题型 一点两垂直 过双曲线上一点分别作x轴、y轴双垂线，熟练运用矩形面积恒等于|k|结论解题 反比例最基础几何模型，填空选择必考，属于送分基础题型 两点一垂直 双曲线上两点结合单垂线构造不规则图形，利用面积割补、等积变换求解面积 中档常考题型，不再是纯公式套用，需要简单数形结合分析 两点两垂直 双曲线上两点分别作双垂线，构造复杂矩形、梯形图形，灵活进行面积转化计算 综合高频题型，考法灵活，是反比例面积题核心考法 双曲线（k符号相同） 掌握同一象限内双点模型，利用k相同进行等面积转化、线段比例转化 同象限模型，条件简单、转化方便，小题快速解题必备模型 双曲线（k符号不相同） 掌握正反象限双双曲线模型，区分正负k面积特点，避免符号混用出错 易错高发题型，学生极易混淆正负k面积关系，导致结果符号错误 反比例函数与一线三等角模型综合 在双曲线背景下识别一线三等角结构，利用相似、全等转化边长与坐标关系 反比例压轴难点题型，几何模型结合函数，区分度高，大题压轴常考 曲线与一次函数 熟练结合一次函数与反比例函数图像，求解交点、面积、取值范围、几何线段 期中期末解答题必考，综合性最强，是反比例核心大题题型 知识点01 反比例系数k的几何意义 题型一 一点一垂直 解｜题｜技｜巧 【典例1】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【变式1】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【变式2】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期末）反比例函数在第一象限的图象如图所示，点在函数的图象上，点为轴正半轴上一点，连接，，且，若，那么____________． 【变式4】（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为．则 (1)______，______； (2)点坐标为______； (3)结合图象直接写出关于x的不等式的解集：______． 题型二 一点两垂直 解｜题｜技｜巧 【典例2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 【变式1】（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【变式2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【变式3】（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【变式4】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 题型三 两点一垂直 解｜题｜技｜巧 【典例3】（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，反比例函数和正比例函数的图像相交于点 和点，轴，垂足为点，连接 ，如果的面积为，那么反比例函数的解析式为___________． 【变式1】（2026·福建南平·二模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，轴于点C，连接，若的面积为6，则k的值为______． 【变式】2（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上．若，则_____． 题型四 两点两垂直 解｜题｜技｜巧 【典例4】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【变式1】（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，平行四边形的顶点A，C在反比例函数的图象上，顶点B、D均在y轴上，轴，与x轴交于点E，连接，若的面积为6，则k的值为________． 【变式2】（2026·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、是反比例函数(为常数，)图象上的点，轴于点，坐标原点为的中点，若的面积为16，则的值是________． 题型五 双曲线（k符号相同） 解｜题｜技｜巧 【典例5】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【变式1】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被反比例函数的图像上一点分成两部分，且，连接，则的面积为______． 【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【变式3】（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【变式4】（2026·山西太原·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数（）与（）的图象上，轴，点在轴上，且，若，则的值为____． 题型六 双曲线（k符号不相同） 【典例6】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【变式1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【变式2】（2022·浙江温州·二模）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【变式3】（2026·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，．若的面积为，则的值为____． 【变式4】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 题型七 反比例函数与一线三等角模型综合 解｜题｜技｜巧 识别一线三等角证相似，把线段比例转化为坐标关系，结合\(xy=k\)求解；坐标在负半轴时，线段长度取绝对值。 【典例7】（26-27九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，点、分别在反比例函数，的图象上，若，，则__________． 【变式1】（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【变式2】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，点是函数图象上的一点，点是函数图象上的一点，则的值为_____． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则k的值为_______． 【变式4】（2026·北京密云·一模）已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为________． 题型八 曲线与一次函数 解｜题｜技｜巧 【典例8】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像在第一象限内交于点，与轴，轴分别交于点，若，则的值为_____．    【变式1】（2024·陕西渭南·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A、B，与x轴交于点C，．若的面积为8，则k的值为______． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，与y轴交于点C，P是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点，当时，点P的坐标为________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【变式4】（24-25八年级下·上海·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，连接，，过作轴于点，交于点，设点的横坐标为．若，则的值是______． 【变式5】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，点在反比例函数 的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点， 若为的中点，则的值为_________． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 3．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·广东中山·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴、轴的垂线并延长与反比例函数的图象交于、两点，连接、，则四边形的面积为（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 7．（2022·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 8．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．（2026年陕西省西安市部分校学业水平考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，点的坐标是，连接，，，与轴平行，若的面积为3，则的值为_______． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $