29.2 圆的有关性质 分层分类训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.2 圆的有关性质分层分类训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 与垂径定理有关的计算 考点2 垂径定理的实际应用 考点3 弧、弦、圆心角之前的关系 考点4 圆周角定理有关的计算 基 础 达 标 练 考点1 与垂径定理有关的计算 1.（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据垂径定理可以得到的长，在中，根据勾股定理求出，根据线段的和差即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 2.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，根据垂径定理得出，再由勾股定理得出，结合图形即可求解 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的弦，半径于点D，， ∴， ∴， ∴． 3.（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据垂径定理及勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵为的直径，弦于点， ∴， ∵，， ∴ ∴的半径， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过点作于， 根据题意先求出，再由，得，再根据勾股定理求得，，由垂径定理得出的长． 【详解】解：连接，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 5.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，，则_______． 【答案】 【分析】由已知条件得到是中点，利用垂径定理的推论得到；再由直径求出圆半径，在中用勾股定理算出，最后用求出的长度． 【详解】解：是的直径，， ， ，即点是弦的中点， ， ∴在中，， ． 6．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 考点2 垂径定理的实际应用 7.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 8.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 【答案】 【分析】设圆的半径为寸，在中，利用勾股定理列方程求出半径，进而求出直径 ． 【详解】解：尺寸，则寸， 设圆的半径为寸， ， （寸）， 在中，， 由勾股定理得 ， ， 解得， 直径为（寸） ． 9.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 【答案】 【分析】根据直径求出半径，利用垂径定理确定半径与弦垂直，构建直角三角形，结合勾股定理求解弦长的一半，进而得出弦长． 【详解】解：设圆心为，连接， 球形部分的直径为， 半径， 为瓶内液体的最大深度， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故截面圆中弦的长为． 10．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 【答案】3 【分析】由直径的长度求出圆的半径，明确的长度均等于半径．因为弧等于弧，所以对应圆心角与相等，结合已知的度数，求出的度数．根据的边长和角度特征，利用对应三角形的性质，求解的长度． 【详解】设圆形喷泉的圆心为点，连接， ∵直径米， ∴圆的半径米． ∵，且， ∴， ∴． ∵是直径，， ∴． ∴是等边三角形， ∴ 考点3 弧、弦、圆心角之间的关系 11．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系得到，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系可推出，结合平角的定义和角度的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴． 13.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，且，故得． 【详解】 解： ， ， ∵， ∴， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 考点4 圆周角定理有关的计算 14.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 【详解】解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 16.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 17．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，然后根据圆周角的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 【答案】B 【分析】利用垂径定理得出弧相等，结合圆周角定理求出圆心角度数． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 19．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 20．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ，， ∴． (2) 【分析】（1）根据相等的弧所对的圆心角相等得到，再有，，即可证明． （2）先根据为等腰三角形求出的值，再根据也是等腰三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， ， ， ． 能 力 提 升 练 21．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． 22．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 【答案】(1)桥拱的半径为50米； (2)水面上涨的高度为10米． 【分析】（1）设圆的半径是r米，根据求解； （2）如图2，由垂径定理求出，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】（1）解：设圆的半径是r米， 则由垂径定理知，于F，点F是的中点， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为50米； （2）解：设水面上涨后水面跨度为60米，交于H，连接，如图2所示， 则米， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）； 答：水面上涨的高度为10米． 24．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． 真 题 提 前 练 25.（2026·西藏·中考真题）如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵弦， ∴． 26．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 27.（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 28．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 【答案】 【分析】连接，根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上， ∴， ∴. 29．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2 圆的有关性质分层分类训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点1 与垂径定理有关的计算 考点2 垂径定理的实际应用 考点3 弧、弦、圆心角之前的关系 考点4 圆周角定理有关的计算 基 础 达 标 练 考点1 与垂径定理有关的计算 1.（26-27九年级上·江苏·期中）如图，是的直径，弦于点E，连接．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2.（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 3.（26-27九年级上·黑龙江·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，则的长为（     ） A．5 B．8 C． D． 4.（2026九年级上·全国·专题练习）如图，的直径和弦相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，，则_______． 6．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 考点2 垂径定理的实际应用 7.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 8.（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则这块圆柱形木材的直径是_____寸． 9.（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的直径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为___________． 10．（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，某公园圆形喷泉的直径是景观轴线，长为6米．A，B，C，D为喷泉边缘上的四个喷头位置，其中A，D为直径两端．已知，且，则喷头C，D之间的距离为______米． 考点3 弧、弦、圆心角之间的关系 11．（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是半圆O的直径，，，的度数为（     ） A． B． C． D． 12．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 13.（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 考点4 圆周角定理有关的计算 14.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 15．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 16.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 17．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 18.（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，弦，若，则的度数为（     ） A．25° B．50° C．60° D．65° 19．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知是的直径，点C，D在上，，． (1)求证：； (2)求的度数． 能 力 提 升 练 21．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 22．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 23．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图1，赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和地震却安然无恙．如图2，一圆弧形桥拱的圆心为点E，拱桥的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． (1)求桥拱的半径长； (2)若水面上涨后跨度变为，求水面上涨了多少米． 24．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 真 题 提 前 练 25.（2026·西藏·中考真题）如图，是的直径，弦，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 26．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 27.（2026·山东淄博·中考真题）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 28．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，为半圆的直径，点O为圆心，点C，D在半圆上．已知，则的度数为__________． 29．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $