29.2圆的有关性质（分层作业，16大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以圆的性质为核心，按知识点分层设计，从基础概念辨析到综合应用，融合推理能力与应用意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|垂径定理、圆心角、圆周角等单一知识点|选择填空题为主，如垂径定理求弦长、圆心角识别，强化抽象能力与运算能力| |综合应用层|垂径定理与平行弦/同心圆结合、弧弦圆心角关系综合|解答题与综合选择，如平行弦距离计算、同心圆弦长问题，体现推理意识| |拓展提升层|实际应用与证明|情境应用题（如筒车、拱桥）和证明题（如弧相等证明），培养应用意识与创新意识|

29.2圆的有关性质 知识点一 利用垂径定理求解 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 3．（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 知识点二 垂径定理的推论 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（2026·广西南宁·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的外接圆，若，，，则______． 知识点三 圆心角辨析及简单运算 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 知识点四 求圆弧的度数 1．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 知识点五 圆周角定理 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 知识点六 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．（2026·北京房山·二模）如图，点、、、在上，．若，则_________°． 2．（2026年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 3．（2026年北京市顺义区九年级二模数学试卷）如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 知识点七 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．（2026·河南洛阳·二模）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·重庆忠县·期中）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 知识点八 90°的圆周角所对的弦是直径 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正方形内接于，边长，则图中阴影部分的面积_____． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 知识点一 利用垂径定理求平行弦问题 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 4．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 知识点二 利用垂径定理求同心圆问题 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 4．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 知识点三 利用垂径定理求其他问题 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的直径，是的弦，，请用尺规作图法在劣弧上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 知识点四 垂径定理的实际应用 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东珠海·模拟预测）如1图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如2图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的半径是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 4．（2026·安徽芜湖·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 知识点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的内接三角形，若，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，交于点．若 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏盐城·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．（25-26九年级上·重庆江津·期末）请完成以下作图和填空：如图，在中，为的三条弦，且． 尺规作图：在右侧作，交于点D，连接． （只保留作图痕迹，不写作法） 求证：． 证明：∵， ∴① ， ∴② ． 又∵， ∴③ ， ∴， ∴④ ， ∴． 2．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，于点，于点，若，求证：． 3．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 知识点七 已知圆内接四边形求角度 1．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，四边形内接于，其中 为直径．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃平凉·二模）如图，四边形内接于，连接、，，，则的度数为_________． 知识点一 求四边形外接圆的半径 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 4．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2圆的有关性质 知识点一 利用垂径定理求解 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 2．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 3．（2026·江苏常州·一模）如图，在中，是直径，弦于点，若，，则__________． 【答案】 【分析】根据直径的长度求出半径，结合线段的数量关系求出的长，在直角三角形中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：是的直径， ，且 在 中，由勾股定理得 是直径， 由垂径定理得． 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 5．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是的直径，于M，且，则线段的长是________． 【答案】3 【分析】由垂径定理得，设，则，，，根据勾股定理得，求出或（舍去），代入计算即可． 【详解】解：∵是的直径，于M，， ∴， ∵, 设，则，，， 根据勾股定理得即， 解得或（舍去）， ∴． 知识点二 垂径定理的推论 1．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆的直径是，点和点均是半圆上一点，连接和交于点，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理；根据题意可得，进而根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径是，， ∴，， 在中， ∴， 故选：A． 2．（2026·广西南宁·二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分.如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且．则的半径为（　　） A． B．3m C． D．4m 【答案】C 【分析】先根据垂径定理的逆定理得出，再根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵点M是的中点，且经过点O，， ∴， ∴． 设半径为r，则，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以半径为． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的外接圆，若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，算术平方根．作于点，作交的延长线于点，作于点，证明四边形是矩形，设，，证明是等腰直角三角形，求得，利用三角形面积公式，求得，，据此求解即可． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 知识点三 圆心角辨析及简单运算 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为： 知识点四 求圆弧的度数 1．（2026·江苏南京·一模）如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 2．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【分析】连接，由求得，根据，得到，再利用对顶角相等，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为___________． 【答案】/52度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 知识点五 圆周角定理 1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义，圆周角是指顶点在圆上，并且两条边都与圆相交的角，据此断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项B的角是圆周角， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题中“顶点在圆周的角”未指定两边都与圆相交，故错误； 由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题未指定条件，故错误； 由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题未指定，故错误； 由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题正确； ∴正确的结论有个． 故选：． 3．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 知识点六 同弧或等弧所对的圆周角相等 1．（2026·北京房山·二模）如图，点、、、在上，．若，则_________°． 【答案】 【分析】连接，由圆内接四边形的性质得，再根据等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ． ∵， ． 2．（2026年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷）如图，四边形内接于，，，为的中点，则________． 【答案】15 【分析】先根据圆的内接四边形求解，然后根据圆周角定理求解，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 3．（2026年北京市顺义区九年级二模数学试卷）如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_______°． 【答案】47 【分析】本题考查圆周角定理及其推论的应用，解题核心是利用 “同弧或等弧所对的圆周角相等”， 得出结合直径所对的圆周角为直角，通过角度关系推导的大小． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 知识点七 半圆（直径）所对的圆周角是直角 1．（2026·河南洛阳·二模）如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的直径，可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据圆周角定理可知． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26九年级下·重庆忠县·期中）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是直角即可得解． 【详解】解：， ， 是的直径， ， ． 3．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形中，，点是矩形内的动点，连接、、，且与始终互余，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】以中点为圆心，为半径作，连接，与交于点，则点在矩形内部的上运动，根据当点与点重合时最小求解即可. 【详解】解：∵与始终互余， ∴， 以中点为圆心，为半径作，连接，与交于点，则点在矩形内部的上运动， ∴， ∵在中，，又， ∴当点与点重合时最小为． 知识点八 90°的圆周角所对的弦是直径 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，线段是所在圆的直径的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理推论：度的圆周角所对的弦是直径，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； B．图中直角不是圆周角，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； C．图中直角是圆周角，所以线段是圆的直径，故选项符合题意； D．图中直角是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段不是圆的直径，故选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，正方形内接于，边长，则图中阴影部分的面积_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理． 连接，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到为直径，即，进而用圆的面积减去正方形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形， ∴，， ∴，且为直径， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，经过原点，且与轴交于点，点、在上，已知，，则的半径为__________． 【答案】 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出，再利用三角形的内角和定理得出，进一步得出，最后利用勾股定理求值即可． 【详解】解：经过原点，且与轴交于点， ． 四边形是圆内接四边形， ． ， ，为的直径， ， ． 在中， ，且为的直径， 的半径为． 知识点一 利用垂径定理求平行弦问题 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 3．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 知识点二 利用垂径定理求同心圆问题 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 4．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 知识点三 利用垂径定理求其他问题 1．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）如图，在中，弦垂直平分半径． (1)求的度数； (2)若的半径为，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）由已知条件得出，证出，得出，证出是等边三角形，即可得出结果； （2）由垂径定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：弦垂直平分半径． ，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：的半径为， 垂直平分半径， ，， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， 弦的长为． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的弦，请用尺规作图法在上找一点，连接，，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂径定理，作垂线；连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，连接，则即为所求； 【详解】解：如图，即为所求 根据作图可得，，是的直径 ∴垂直平分， ∴， ∴是以为底边的等腰三角形． 3．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，为的直径，是的弦，，请用尺规作图法在劣弧上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作垂线，根据题意作的垂直平分线交于点，则即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接并延长交于点F，根据切线的定义可得，再根据平行四边形的性质和垂径定理可得垂直平分，进而即可求证； （2）设的半径为r，连接，则，根据平行线的性质可得，则，进而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 证明：如图，连接并延长交于点F， ∵与相切， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：设的半径为r，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 解得． ∴的半径长为． 知识点四 垂径定理的实际应用 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为C是弧的最高点且垂直，所以根据垂径定理所在直线必然经过弧对应圆的圆心，且D为的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦的距离可表示为()，的长度为的一半即．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径． 【详解】 解：设圆心为O，连接， ∵是弧的最高点到的距离， ∴，， ∴， ∴O、D、C三点共线， 设圆的半径为， ∵，为， ∴，． 在中，由勾股定理得： ， 代入得： ， 解得． ∴所在圆的半径为． 2．（2026·广东珠海·模拟预测）如1图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的一个盛水桶，如2图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过O点作半径于E，如图，利用垂径定理得到，设半径为，根据题意得，再利用勾股定理列关于的方程，解方程即可． 【详解】解：过O点作半径于E，如图， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为． 3．（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 4．（2026·安徽芜湖·二模）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 【答案】 【分析】过点作交于点，延长交于点，连接，根据题意可得，，，，先求出，再根据勾股定理求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，延长交于点，连接，如图： 则，，，， ∴， 在中，， ∴． 即截面圆中弦的长为． 知识点五 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．（2026·贵州遵义·一模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆内接四边形的性质得出，求出，由圆周角定理得出． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·江苏宿迁·二模）如图，是的内接三角形，若，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ， ． ， ， ． 3．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，交于点．若 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·江苏盐城·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可求出的度数，再利用平角定义求出． 【详解】解：∵ 是的直径 知识点六 利用弧、弦、圆心角的关系求证 1．（25-26九年级上·重庆江津·期末）请完成以下作图和填空：如图，在中，为的三条弦，且． 尺规作图：在右侧作，交于点D，连接． （只保留作图痕迹，不写作法） 求证：． 证明：∵， ∴① ， ∴② ． 又∵， ∴③ ， ∴， ∴④ ， ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，圆心角、弧、弦之间的关系．利用作一个角等于已知角可作出图形；再利用圆心角、弧、弦之间的关系即可证明． 【详解】解：所作图形如图： 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆心角与弧的关系，证明是解答的关键． 利用定理证明，得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弧相等即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ． 3．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 知识点七 已知圆内接四边形求角度 1．（2026·重庆·二模）如图，四边形为的内接四边形，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形对角互补求解即可． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴ ∵ ∴． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，四边形内接于，其中 为直径．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，进行求解即可. 【详解】解：∵四边形内接于， 为直径， ∴， ∵， ∴， ∴. 3．（2026·甘肃平凉·二模）如图，四边形内接于，连接、，，，则的度数为_________． 【答案】40 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，等边对等角，以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵四边形内接于，，， ∴，， ∴， ∴. 知识点一 求四边形外接圆的半径 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，在正方形内有一折线段，其中，，并且，，，求正方形的外接圆半径． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，外接圆的特点，以及勾股定理的应用，通过平移线段构造矩形，将正方形外接圆直径转化为直角三角形的斜边是解题关键． 通过平移线段构造矩形，将分散线段整合为直角三角形的边，用勾股定理求出正方形对角线，再结合正方形外接圆直径与对角线的关系，得到外接圆半径． 【详解】解：如图，平移至，连接，， 、， ， ，且， 四边形是矩形， ，，，， 在中，，即正方形对角线， 正方形的外接圆直径等于其对角线长， 正方形外接圆半径为：． 4．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查四点共圆的性质、垂径定理等性质，解题的关键是判断出四点共圆以及圆内最长的弦为直径． 根据角度关系判断出四点共圆，而为圆周角，为圆周角所对的弦，根据垂径定理等性质可求出圆的半径，最终求出的最大值． 【详解】解：在四边形中，，， ∴， ∴四点共圆，设圆心为O，过点O作交于点E，连接、如图： ∵圆周角， ∴圆心角， ∴为顶角的等腰三角形， ∴为锐角的直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，由勾股定理可得方程，解得， 为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $