专题06 数列综合应用问题（专项训练8大题型）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题06 数列综合应用问题 （题型突破·举一反三） 题型一：数列的应用 题型二：数列不等式恒能成立问题 题型三：数列蛛网图问题 题型四：公共项问题 题型五：插项问题 题型六：不等式的放缩 题型七：新定义问题 题型八：整数存在性问题 1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键 2、新定义问题的解题思路 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形． 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性． 4、数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决． 利用等价转化思想将其转化为最值问题. 恒成立； 恒成立. 5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决． （1）数列实际应用中的常见模型 ①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差； ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比； ③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系． 在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系． （2）解决数列实际应用题的3个关键点 ①根据题意，正确确定数列模型； ②利用数列知识准确求解模型； ③问题作答，不要忽视问题的实际意义． 6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是：；. 放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找. 题型01 数列的应用 【典例1】某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，消去，得. 【变式1-1】某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设年年底总产值为，年平均增长率为，则， 所以，故． 故选：B. 【变式1-2】某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一月，共付12次，若按月利率，每月复利一次，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ． ． 又显然，即． 故选：D 【变式1-3】现存入银行10000元定期存款，存期1年，年利率是，那么按照复利，5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【解析】由复利公式得． 故选：C 题型02 数列不等式恒能成立问题 【典例2】（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 因为数列单调递增，所以对任意恒成立， ， 即为恒成立， 设，， 在上单调递增， 当时，取得最小值，故，即实数的取值范围是. 【变式2-1】（2026·高二·河北保定·期中）定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】由题设有，故， 当时，， 故当时，有，所以， 而，故，故（） 所以， 故， 故对，总有恒成立，且当时，， 故，故，故. 故实数的最小值为. 【变式2-2】（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 【变式2-3】（2026·高二·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【解析】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 题型03 数列蛛网图问题 【典例3】数列满足：，记数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 当时，， 令，可知，，， 所以， 由，所以， 由于，当，所以， 所以， 所以， 所以， 故， 因为，所以， 所以． 【变式3-1】已知数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，由于，所以A错误； 因为，，所以，故， 当时，， 所以， 所以，又， 所以，可得时，， 因此，得，故D错误； 关于B和C，只需比较与大小， 易知，所以， 所以，，， 所以，所以，可得，所以，B正确，C错误． 【变式3-2】（2026·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 【变式3-3】（第三篇数列、排列与组合专题4数列的不动点微点3不动点与蛛网图）数列满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， ∵，∴，则， 故， ∵，∴，. 故选：A. 题型04 公共项问题 【典例4】（2026·高二·广东佛山·期中）已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____． 【答案】682 【解析】当时，， 当时，， 当时，满足上式，所以， 同理可求得， 设的第项与的第项相等，则，即，， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 故数列的前5项和等于． 故答案为： 【变式4-1】（2026·广东湛江·二模）将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则_____________，的前202项和为_____________． 【答案】 14 49609 【解析】与的公共项为，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…， 所以， 且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和， ，， ，…， 可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为， 所以的前202项和为． 故答案为：14，49609. 【变式4-2】（2026·高二·四川广安·阶段检测）已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则__________. 【答案】110 【解析】由题意有， 所以数列， 数列， 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 所以. 故答案为：110. 【变式4-3】（2026·高二·河南·阶段检测）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【解析】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 题型05 插项问题 【典例5】（2026·高三·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 【变式5-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【解析】（1）因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 【变式5-2】（2026·高二·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【解析】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 【变式5-3】（2026·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【解析】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 题型06 不等式的放缩 【典例6】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列和满足：，，，． (1)设，，求的值； (2)设，，求数列的通项公式； (3)设，证明：． 【解析】（1）令，得，， 因为，，，，，所以． （2）因为，所以， 因为，所以， 即，因为，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 因为，，所以， 即， 所以，故． 所以， 即． 【变式6-1】（2026·高二·山东·阶段检测）已知正项数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并证明. 【解析】（1）由可得：， 因为为正项数列，所以， 所以，则，，，……， ，将这个式子相乘，则， 又因为，所以 （2）令 ， 所以， 【变式6-2】（2026·高三·福建福州·阶段检测）已知正项数列满足且． （I）证明数列为等差数列； （II）若记，求证：． 【解析】（I）证明：将原式变形得：， 由于为正项数列，故有：，利用累乘法得：． 从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （II）由（I）知， 从而 ． 【变式6-3】（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知数列，满足，，且是等差数列. (1)若是公比为2的等比数列，求的通项公式； (2)记，分别为，的前项和，证明：. 【解析】（1）若是公比为2的等比数列，又，故可得，； 又，则， 是等差数列，故可设，故，； 则，即， 也即，故，解得，则. （2）证明:是等差数列，故可设，又， 故，则，， 故，解得，故， 则，， 则 ， 又，故， 则. 题型07 新定义问题 【典例7】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 【解析】（1）由题意得，； （2）证明：由题意得 ， 即； （3）由（1）（2）知，，整理得，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 故，即， 所以， 所以. 【变式7-1】（2026·高二·河南信阳·期末）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． (1)若，，，求的值； (2)已知是首项为9，公差为的等差数列，若，，求和． (3)已知是等比数列，若，，，对于（2）中的数列，求数列各项的和． 【解析】（1）依题意，， （2）因为是首项为9，公差为的等差数列，所以， 由，知，对任意都有， 即， 所以，， 即， 所以， 上式对任意成立，所以， ， 因为，，所以，， 即，． （3）因为是等比数列，设公比为，则， 依题意，，即，． ，． 由（2），． ，． ，① ，② ②－①，得． 【变式7-2】（2026·高二·北京房山·期末）已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质． (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)已知，求证：； (3)若，求数集中所有元素的和的最小值． 【解析】（1）∵， ∴不具有性质P； ∵， ∴具有性质P； （2）因为数集，具有性质， 即对任意的，，使得成立， 又因为 ， 所以，所以， 即，， 将上述不等式相加得， 所以，由于， 所以， 所以. （3）首先注意到，根据性质P，得到， ∴易知数集A的元素都是整数． 构造或者， 这两个集合具有性质P，此时元素和为75． 下面，证明75是最小的和： 假设数集，满足 (存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)． 第一步：首先说明集合中至少有7个元素； 由（2）可知 ∵，∴； ∴； 第二步：证明； 若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而； 假设，根据性质P，对，有，使得， 显然，∴， 而此时集合A中至少还有4个不同于的元素， 从而，矛盾， ∴，进而，且； 同理可证：； (同理可以证明：若，则)． 假设， ∵，根据性质P，有，使得， 显然，∴， 而此时集合A中至少还有3个不同于的元素， 从而，矛盾， ∴且； 至此，我们得到了， 根据性质P，有，使得，； 我们需要考虑如下几种情形： ①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则；; ②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；; ③，此时集合的和最小，为75； ④，此时集合的和最小，为75； 【变式7-3】（2026·高二·北京昌平·期末）已知数列是由正整数组成的无穷数列．若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质． (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）． ①；②；③． (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； (3)已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 【解析】（1）① ，左边：，​ 右边：，左边 = 右边，具有性质P(2)； ② 取验证，左边：， 右边：，不满足对任意成立，不具有性质P(2)； ③ 左边：，右边：， 若，则，不是正整数，对任意不成立， 所以不具有性质P(2). 综上所述，①数列具有性质；②数列不具有性质；③数列不具有性质． （2）先证“充分性”： 当数列具有性质时，则，所以． 又因为，所以， 所以，． 因为，，所以，即“数列为常数列”． 再证“必要性”： 当“数列为常数列”时，则， 即“数列具有性质”． 综上，“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件. （3）由题设，当时，有，即． 当时，有，即，所以，为3的正整数次幂， 依此类推，可得数列中的所有项都是3的正整数次幂， 即 ，，使得（*）． 以下证明． ①证明：． 因为数列具有性质，所以，． 当时，有，即， 又因为且，， 由，所以，． 同理，，． 所以，所以． 又由（*）式可知，． ②利用反证法证明． 假设数列中存在相邻的两项之比大于9， 即存在满足或， 得． 所以，又由（*）式可知，． 依此类推，可得，这与矛盾， 所以． 综上． 又，所以． 经检验，该通项公式满足， 所以． 题型08 整数存在性问题 【典例8】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若， （ⅰ）求使成立的n的最小值． （ⅱ）中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项；若不存在，请说明理由． 【解析】（1） 数列中，，则， 由，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）（ⅰ）当时，等比数列的首项是， 则，即， 不等式， 则，即，而， 因此，解得，又， 所以n的最小值为2. （ⅱ）存在，这三项为，理由如下： 由（ⅰ）知， 假定数列中存在连续三项成等差数列，则必有， 即， 整理得，即， 而，则，必为偶数， 因此，解得，所以成等差数列. 【变式8-1】（2026·高二·上海普陀·期中）已知非零数列的递推公式为,. (1)求证数列是等比数列； (2)若关于的不等式有解,求整数的最小值； (3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出所满足的条件；若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由，得， 即，所以是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得：，所以已知的不等式等价于 令， 则， 所以单调递增，则 ， 于是，即，故整数的最小值为4. (3)由上面得，则 要使成等差数列，只需， 即 因为，则上式左端；又因为上式右端 于是当且仅当，且为不小于4的偶数时，成等差数列． 【变式8-2】（2026·高二·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式． (2)设数列的前项和为，求． (3)数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明如下： 当时，由可得， 两式相减得，即，从而， 当时，，所以，， 由得，从而， 故总有，，，从而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. （2）因为， 设数列的前项和为，则，① 所以，② ①②可得 ，故， 所以，. （3）不存在，理由如下： 假设中存在三项、、成等差数列， 则， 两边同时除以得：，而，， 所以、为偶数，的左边是奇数，右边是偶数，显然不可能成立， 故不存在不同的三项成等差数列. 【变式8-3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足 (1)求； (2)求数列的通项公式及数列的前2k项和; (3)在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件的正整数的值;若不存在，说明理由 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以对于，有，， 所以（）， （3）在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 下面说明理： 若，则由，得， 化简得， 此式左边是偶数，右边是奇数，不可能成立， 若，则由，得， 化简得， 令，则， 所以, 所以只有，此时， 综上，在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列综合应用问题参考答案 题型01 数列的应用 【典例1】【答案】A 【解析】依题意，，消去，得. 【变式1-1】【答案】B 【解析】设年年底总产值为，年平均增长率为，则， 所以，故． 故选：B. 【变式1-2】【答案】D 【解析】， ． ． 又显然，即． 故选：D 【变式1-3】【答案】C 【解析】由复利公式得． 故选：C 题型02 数列不等式恒能成立问题 【典例2】【答案】A 【解析】由，得， 因为数列单调递增，所以对任意恒成立， ， 即为恒成立， 设，， 在上单调递增， 当时，取得最小值，故，即实数的取值范围是. 【变式2-1】【答案】B 【解析】由题设有，故， 当时，， 故当时，有，所以， 而，故，故（） 所以， 故， 故对，总有恒成立，且当时，， 故，故，故. 故实数的最小值为. 【变式2-2】【答案】B 【解析】由题意得：，所以， 由得：，所以，又， 所以，所以， 由得， 当为正奇数时，，所以对任意恒成立， 令，又，即， 所以数列在正奇数集上单调递减，所以，所以， 当为正偶数时，，所以对任意恒成立， 令，又，所以， 所以数列在正偶数集上单调递增，所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 【变式2-3】【答案】C 【解析】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 题型03 数列蛛网图问题 【典例3】【答案】D 【解析】因为， 当时，， 令，可知，，， 所以， 由，所以， 由于，当，所以， 所以， 所以， 所以， 故， 因为，所以， 所以． 【变式3-1】【答案】B 【解析】由题可得，由于，所以A错误； 因为，，所以，故， 当时，， 所以， 所以，又， 所以，可得时，， 因此，得，故D错误； 关于B和C，只需比较与大小， 易知，所以， 所以，，， 所以，所以，可得，所以，B正确，C错误． 【变式3-2】【答案】C 【解析】对于A，由，得，，则，A错误； 对于B，由，得，当时，，B错误； 对于CD，由，得，则， 即，则当时，， ，因此，，， ，而，C正确，D错误. 故选：C 【变式3-3】【答案】A 【解析】∵，∴， ∵，∴，则， 故， ∵，∴，. 故选：A. 题型04 公共项问题 【典例4】【答案】682 【解析】当时，， 当时，， 当时，满足上式，所以， 同理可求得， 设的第项与的第项相等，则，即，， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 故数列的前5项和等于． 故答案为： 【变式4-1】【答案】 14 49609 【解析】与的公共项为，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…， 所以， 且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和， ，， ，…， 可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为， 所以的前202项和为． 故答案为：14，49609. 【变式4-2】【答案】110 【解析】由题意有， 所以数列， 数列， 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 所以. 故答案为：110. 【变式4-3】【解析】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 题型05 插项问题 【典例5】【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 【变式5-1】【解析】（1）因为数列为等差数列，不妨设， 由可得，故，解得， 所以， 对任意的，，则，即，即， 所以，解得，故，， 所以，合乎题意， 综上所述，，. （2）在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列， 这个等差数列、、、，则，， 所以， 当时，，故数列为等差数列， 所以. 【变式5-2】【解析】（1）由得，，时，，两式相减得， 即，又，所以数列为公比为2的等比数列， 所以； （2）①由（1）得，， 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，即，则，所以， 则，， 两式相减可得 ，所以； ②因为都有不等式成立， 所以恒成立， ， 当时，，即， 当时，，即， 所以，所以. 【变式5-3】【解析】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 题型06 不等式的放缩 【典例6】【解析】（1）令，得，， 因为，，，，，所以． （2）因为，所以， 因为，所以， 即，因为，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，所以． （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 因为，，所以， 即， 所以，故． 所以， 即． 【变式6-1】【解析】（1）由可得：， 因为为正项数列，所以， 所以，则，，，……， ，将这个式子相乘，则， 又因为，所以 （2）令 ， 所以， 【变式6-2】【解析】（I）证明：将原式变形得：， 由于为正项数列，故有：，利用累乘法得：． 从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列． （II）由（I）知， 从而 ． 【变式6-3】【解析】（1）若是公比为2的等比数列，又，故可得，； 又，则， 是等差数列，故可设，故，； 则，即， 也即，故，解得，则. （2）证明:是等差数列，故可设，又， 故，则，， 故，解得，故， 则，， 则 ， 又，故， 则. 题型07 新定义问题 【典例7】【解析】（1）由题意得，； （2）证明：由题意得 ， 即； （3）由（1）（2）知，，整理得，又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 故，即， 所以， 所以. 【变式7-1】【解析】（1）依题意，， （2）因为是首项为9，公差为的等差数列，所以， 由，知，对任意都有， 即， 所以，， 即， 所以， 上式对任意成立，所以， ， 因为，，所以，， 即，． （3）因为是等比数列，设公比为，则， 依题意，，即，． ，． 由（2），． ，． ，① ，② ②－①，得． 【变式7-2】【解析】（1）∵， ∴不具有性质P； ∵， ∴具有性质P； （2）因为数集，具有性质， 即对任意的，，使得成立， 又因为 ， 所以，所以， 即，， 将上述不等式相加得， 所以，由于， 所以， 所以. （3）首先注意到，根据性质P，得到， ∴易知数集A的元素都是整数． 构造或者， 这两个集合具有性质P，此时元素和为75． 下面，证明75是最小的和： 假设数集，满足 (存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)． 第一步：首先说明集合中至少有7个元素； 由（2）可知 ∵，∴； ∴； 第二步：证明； 若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而； 假设，根据性质P，对，有，使得， 显然，∴， 而此时集合A中至少还有4个不同于的元素， 从而，矛盾， ∴，进而，且； 同理可证：； (同理可以证明：若，则)． 假设， ∵，根据性质P，有，使得， 显然，∴， 而此时集合A中至少还有3个不同于的元素， 从而，矛盾， ∴且； 至此，我们得到了， 根据性质P，有，使得，； 我们需要考虑如下几种情形： ①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，则；; ②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；; ③，此时集合的和最小，为75； ④，此时集合的和最小，为75； 【变式7-3】【解析】（1）① ，左边：，​ 右边：，左边 = 右边，具有性质P(2)； ② 取验证，左边：， 右边：，不满足对任意成立，不具有性质P(2)； ③ 左边：，右边：， 若，则，不是正整数，对任意不成立， 所以不具有性质P(2). 综上所述，①数列具有性质；②数列不具有性质；③数列不具有性质． （2）先证“充分性”： 当数列具有性质时，则，所以． 又因为，所以， 所以，． 因为，，所以，即“数列为常数列”． 再证“必要性”： 当“数列为常数列”时，则， 即“数列具有性质”． 综上，“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件. （3）由题设，当时，有，即． 当时，有，即，所以，为3的正整数次幂， 依此类推，可得数列中的所有项都是3的正整数次幂， 即 ，，使得（*）． 以下证明． ①证明：． 因为数列具有性质，所以，． 当时，有，即， 又因为且，， 由，所以，． 同理，，． 所以，所以． 又由（*）式可知，． ②利用反证法证明． 假设数列中存在相邻的两项之比大于9， 即存在满足或， 得． 所以，又由（*）式可知，． 依此类推，可得，这与矛盾， 所以． 综上． 又，所以． 经检验，该通项公式满足， 所以． 题型08 整数存在性问题 【典例8】【解析】（1） 数列中，，则， 由，得，所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）（ⅰ）当时，等比数列的首项是， 则，即， 不等式， 则，即，而， 因此，解得，又， 所以n的最小值为2. （ⅱ）存在，这三项为，理由如下： 由（ⅰ）知， 假定数列中存在连续三项成等差数列，则必有， 即， 整理得，即， 而，则，必为偶数， 因此，解得，所以成等差数列. 【变式8-1】【解析】(1)由，得， 即，所以是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得：，所以已知的不等式等价于 令， 则， 所以单调递增，则 ， 于是，即，故整数的最小值为4. (3)由上面得，则 要使成等差数列，只需， 即 因为，则上式左端；又因为上式右端 于是当且仅当，且为不小于4的偶数时，成等差数列． 【变式8-2】【解析】（1）证明如下： 当时，由可得， 两式相减得，即，从而， 当时，，所以，， 由得，从而， 故总有，，，从而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. （2）因为， 设数列的前项和为，则，① 所以，② ①②可得 ，故， 所以，. （3）不存在，理由如下： 假设中存在三项、、成等差数列， 则， 两边同时除以得：，而，， 所以、为偶数，的左边是奇数，右边是偶数，显然不可能成立， 故不存在不同的三项成等差数列. 【变式8-3】【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 因为，所以，即， 因为，所以，即， 解得， 所以； （2）由（1）知， 所以对于，有，， 所以（）， （3）在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 下面说明理： 若，则由，得， 化简得， 此式左边是偶数，右边是奇数，不可能成立， 若，则由，得， 化简得， 令，则， 所以, 所以只有，此时， 综上，在数列中，仅存在连续三项按原来的顺序成等差数列，此时正整数， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列综合应用问题 （题型突破·举一反三） 题型一：数列的应用 题型二：数列不等式恒能成立问题 题型三：数列蛛网图问题 题型四：公共项问题 题型五：插项问题 题型六：不等式的放缩 题型七：新定义问题 题型八：整数存在性问题 1、解决数列与数学文化相交汇问题的关键 2、新定义问题的解题思路 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决． 3、数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形． 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性． 4、数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决． 利用等价转化思想将其转化为最值问题. 恒成立； 恒成立. 5、现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题，常常考虑用数列的知识去解决． （1）数列实际应用中的常见模型 ①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差； ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比； ③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑是第项与第项的递推关系还是前项和与前项和之间的递推关系． 在实际问题中建立数列模型时，一般有两种途径：一是从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；二是从一般入手，找到递推关系，再进行求解．一般地，涉及递增率或递减率要用等比数列，涉及依次增加或减少要用等差数列，有的问题需通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要往这些方面联系． （2）解决数列实际应用题的3个关键点 ①根据题意，正确确定数列模型； ②利用数列知识准确求解模型； ③问题作答，不要忽视问题的实际意义． 6、在证明不等式时，有时把不等式的一边适当放大或缩小，利用不等式的传递性来证明，我们称这种方法为放缩法. 放缩时常采用的方法有：舍去一些正项或负项、在和或积中放大或缩小某些项、扩大（或缩小）分式的分子（或分母）. 放缩法证不等式的理论依据是：；. 放缩法是一种重要的证题技巧，要想用好它，必须有目标，目标可从要证的结论中去查找. 题型01 数列的应用 【典例1】某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选种菜的学生，下星期一会有改选种菜；而选种菜的学生，下星期一会有改选种菜．用，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某工厂年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一月，共付12次，若按月利率，每月复利一次，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】现存入银行10000元定期存款，存期1年，年利率是，那么按照复利，5年后本利和是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 题型02 数列不等式恒能成立问题 【典例2】（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·河北保定·期中）定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【变式2-2】（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）已知等差数列的各项均大于零，前n项和为，且，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 题型03 数列蛛网图问题 【典例3】数列满足：，记数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知数列满足，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（第三篇数列、排列与组合专题4数列的不动点微点3不动点与蛛网图）数列满足：，则（    ） A． B． C． D． 题型04 公共项问题 【典例4】（2026·高二·广东佛山·期中）已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于_____． 【变式4-1】（2026·广东湛江·二模）将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则_____________，的前202项和为_____________． 【变式4-2】（2026·高二·四川广安·阶段检测）已知数列的通项公式为（），数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则__________. 【变式4-3】（2026·高二·河南·阶段检测）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 题型05 插项问题 【典例5】（2026·高三·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【变式5-1】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）等差数列前项和为，对任意正整数，均有，． (1)求及； (2)在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值． 【变式5-2】（2026·高二·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 【变式5-3】（2026·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 题型06 不等式的放缩 【典例6】（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列和满足：，，，． (1)设，，求的值； (2)设，，求数列的通项公式； (3)设，证明：． 【变式6-1】（2026·高二·山东·阶段检测）已知正项数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并证明. 【变式6-2】（2026·高三·福建福州·阶段检测）已知正项数列满足且． （I）证明数列为等差数列； （II）若记，求证：． 【变式6-3】（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知数列，满足，，且是等差数列. (1)若是公比为2的等比数列，求的通项公式； (2)记，分别为，的前项和，证明：. 题型07 新定义问题 【典例7】（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；设第次“美好成长”后得到的数列为，并记. (1)求； (2)证明：； (3)求数列的前项和. 【变式7-1】（2026·高二·河南信阳·期末）若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． (1)若，，，求的值； (2)已知是首项为9，公差为的等差数列，若，，求和． (3)已知是等比数列，若，，，对于（2）中的数列，求数列各项的和． 【变式7-2】（2026·高二·北京房山·期末）已知数集，若对任意的，，使得成立，则称数集具有性质． (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)已知，求证：； (3)若，求数集中所有元素的和的最小值． 【变式7-3】（2026·高二·北京昌平·期末）已知数列是由正整数组成的无穷数列．若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质． (1)分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）． ①；②；③． (2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； (3)已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 题型08 整数存在性问题 【典例8】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设数列的首项为常数，且． (1)证明：是等比数列； (2)若， （ⅰ）求使成立的n的最小值． （ⅱ）中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】（2026·高二·上海普陀·期中）已知非零数列的递推公式为,. (1)求证数列是等比数列； (2)若关于的不等式有解,求整数的最小值； (3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出所满足的条件；若不存在,请说明理由. 【变式8-2】（2026·高二·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式． (2)设数列的前项和为，求． (3)数列中是否存在不同的三项成等差数列，若存在请求出这些项；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（2026·高二·上海·阶段检测）已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列前项和为，且满足 (1)求； (2)求数列的通项公式及数列的前2k项和; (3)在数列中，是否存在连续的三项，按原来的顺序成等差数列?若存在，求出所有满足条件的正整数的值;若不存在，说明理由 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $