第四章 图形与坐标（四大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版八年级上册

第四章 图形与坐标 知识点一・确定位置的方法 （1）有序数对(a,b):先横坐标，后纵坐标，顺序不能调换 （2）方向 +距离(方位角):用角度和距离确定平面内点位置平面直角坐标系 构成:两条互相垂直、有公共原点的数轴;水平为x轴，竖直为y轴O 象限符号:第一象限(十,+);第二象限(一,+);第三象限(一,-);第四象限0(+,一) 坐标轴上点:x轴上点纵坐标y=0;y轴上点横坐标=0;坐标轴上的点不属于2任何象限 知识点二・点的坐标特征 （1）平行坐标轴:平行x轴，纵坐标相等;平行y轴，横坐标相等 （2）对称点坐标:关于 x轴对称(x,y)→(x,-y);关于y轴对称(x,y)→(-x,y)。 （3）关于原点对称(x,y)→(-x,-y) （4）距离:点到x轴距离是纵坐标绝对值y;点到y轴距离是横坐标绝对值 知识点三 图形的坐标变换 。平移规律:左减右加横坐标，上加下减纵坐标 。易错:图形平移，所有顶点坐标同步变化;区分【点平移】和【坐标系平移】简单图形的坐标表示 自主建立平面直角坐标系，写出多边形顶点坐标。 。坐标法求图形面积:割补法(矩形减周围直角三角形) 知识点四 坐标应用 根据坐标描点，画出图形;通过坐标判断图形形状 易错点1·平面直角坐标系与象限 易错提醒 1.有序数对(a,b)顺序不能颠倒，(2,3)与(3,2)不是同一个点。 2.坐标轴上的点不属于任何象限，看到坐标y=0或x =0，不能说在一/二/三/四象限。 3.点到x轴距离是|y，到y轴距离是x，极易搞反! 【对点训练】1．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【对点训练】2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【对点训练】3．点到x轴的距离是（     ） A．5 B．3 C． D． 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 易错点2··对称点坐标 易错提醒 1.关于x轴对称:x不变，y变号;关于y轴对称:y不变，x变号;原点对称 x、y 都变号。 2.题目如果是图形对称，图形上每个顶点都要做对称变换。 【对点训练】1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．选材新风向|剪纸  一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸如图所示，点A与点B对称，点C与点D对称，若将其放置在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 易错点3·平移变换 易错提醒 1.口诀:左减右加横坐标，上加下减纵坐标;只对点坐标操作。 2.坐标轴平移≠点平移，坐标轴向左移等价于点向右移，容易符号写反。 【对点训练】1．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2.已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3.在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向上平移一个单位，则得到的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】4.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 易错点4·坐标求面积 易错提醒 1.坐标求面积优先割补法;不要直接拿坐标相乘。 2.点坐标含负数时，求线段长度一定要加绝对值。 【对点训练】1．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，过点作轴，垂足为，则三角形的面积为_________； (2)如图②，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点． ①求三角形的面积； ②若是坐标轴上的一点，要使三角形的面积等于三角形的面积的3倍，直接写出点的坐标． 【对点训练】2.如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足．线段与轴相交于点，将线段平移得到线段，点、分别与点、是对应点，点在轴上，线段交轴于点，． (1)求三角形的面积； (2)求点的坐标； (3)如图2，若点是线段上任意一点，点在轴上，使得三角形的面积是三角形面积的3倍，求点的坐标． 【对点训练】3.三个顶点均在平面直角坐标系中的格点上． (1)把向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的，并直接写出的三个顶点坐标； (2)在y轴上存在点D，使的面积等于3，求D点的坐标． 【对点训练】4.如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，使点A与点B重合，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接，，，． (1)求点C的坐标； (2)当三角形面积是三角形的面积的2倍时，求点D的坐标． 1．在平面直角坐标系中，点在第（     ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．已知点，则点M到x轴的距离是2 B．平方根等于本身的数有0和1 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 4．在平面直角坐标系上，已知点与点，且直线轴，同时点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 5．如图，已知A、B两点的坐标分别是、，将线段平移后得到线段，若点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．在张家界国家森林公园的电子导览图中，金鞭溪的某个休息亭被标记为点，那么点P关于y轴对称的点的坐标是________． 8．已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为________． 9．将点向右平移5个单位长度得到点，则m的值为________． 10．如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________． 11．已知点，点，直线轴，则点的坐标为_______． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴方向平移至三角形，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 13．已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为2，求点P的坐标． 14．如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，， (1)求这个四边形的面积． (2)在x轴上有一点P使得的面积与四边形的面积相等，求点P坐标． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形与坐标 知识点一・确定位置的方法 （1）有序数对(a,b):先横坐标，后纵坐标，顺序不能调换 （2）方向 +距离(方位角):用角度和距离确定平面内点位置平面直角坐标系 构成:两条互相垂直、有公共原点的数轴;水平为x轴，竖直为y轴O 象限符号:第一象限(十,+);第二象限(一,+);第三象限(一,-);第四象限0(+,一) 坐标轴上点:x轴上点纵坐标y=0;y轴上点横坐标=0;坐标轴上的点不属于2任何象限 知识点二・点的坐标特征 （1）平行坐标轴:平行x轴，纵坐标相等;平行y轴，横坐标相等 （2）对称点坐标:关于 x轴对称(x,y)→(x,-y);关于y轴对称(x,y)→(-x,y)。 （3）关于原点对称(x,y)→(-x,-y) （4）距离:点到x轴距离是纵坐标绝对值y;点到y轴距离是横坐标绝对值 知识点三 图形的坐标变换 。平移规律:左减右加横坐标，上加下减纵坐标 。易错:图形平移，所有顶点坐标同步变化;区分【点平移】和【坐标系平移】简单图形的坐标表示 自主建立平面直角坐标系，写出多边形顶点坐标。 。坐标法求图形面积:割补法(矩形减周围直角三角形) 知识点四 坐标应用 根据坐标描点，画出图形;通过坐标判断图形形状 易错点1·平面直角坐标系与象限 易错提醒 1.有序数对(a,b)顺序不能颠倒，(2,3)与(3,2)不是同一个点。 2.坐标轴上的点不属于任何象限，看到坐标y=0或x =0，不能说在一/二/三/四象限。 3.点到x轴距离是|y，到y轴距离是x，极易搞反! 【对点训练】1．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据各象限点的横坐标、纵坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴点所在象限为第一象限． 【对点训练】2．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点在第二象限． 【对点训练】3．点到x轴的距离是（     ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的纵坐标为， ∴点到轴的距离为． 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，点到轴的距离是到轴距离的2倍，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为，且点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴， 解得，即． 易错点2··对称点坐标 易错提醒 1.关于x轴对称:x不变，y变号;关于y轴对称:y不变，x变号;原点对称 x、y 都变号。 2.题目如果是图形对称，图形上每个顶点都要做对称变换。 【对点训练】1．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于轴对称点的坐标性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于轴的对称点，横坐标不变，为，纵坐标取相反数，为， 因此对称点坐标为． 【对点训练】2．选材新风向|剪纸  一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸如图所示，点A与点B对称，点C与点D对称，若将其放置在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点与点对称，可求得对称轴直线，再根据点与点对称，即可求解． 【详解】解： 与对称， 对称轴直线为：， 与点关于对称， 点的纵坐标， 可设点的坐标， 则可列方程为：， 解得， 点的坐标为． 【对点训练】3．已知点与关于y轴对称，则x的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，依据该特征即可求出x的值． 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数， 又点与关于y轴对称， ． 【对点训练】4．在平面直角坐标系中，点的位置如图所示，则点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于轴对称的点坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解决． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：A． 易错点3·平移变换 易错提醒 1.口诀:左减右加横坐标，上加下减纵坐标;只对点坐标操作。 2.坐标轴平移≠点平移，坐标轴向左移等价于点向右移，容易符号写反。 【对点训练】1．在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标为，即点的坐标为． 【对点训练】2.已知坐标平面内的点，如果点A向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，那么平移后点A的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵点向左平移3个单位长度， ∴平移后点的横坐标为． ∵再向上平移4个单位长度， ∴平移后点的纵坐标为． ∴平移后点的坐标为． 【对点训练】3.在平面直角坐标系内，把点沿轴方向向上平移一个单位，则得到的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平移规律为横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，沿y轴平移时横坐标不变，只改变纵坐标，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点沿轴方向向上平移个单位， ∴平移后点的坐标为． 【对点训练】4.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于x轴对称点的性质得出点坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度， ∴的横坐标为，纵坐标为1，即． ∵关于x轴的对称点为， ∴的横坐标不变为1，纵坐标变为，即． 故选：B． 易错点4·坐标求面积 易错提醒 1.坐标求面积优先割补法;不要直接拿坐标相乘。 2.点坐标含负数时，求线段长度一定要加绝对值。 【对点训练】1．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，过点作轴，垂足为，则三角形的面积为_________； (2)如图②，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点． ①求三角形的面积； ②若是坐标轴上的一点，要使三角形的面积等于三角形的面积的3倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)6 (2)①；②，，，． 【分析】（1）利用坐标轴上直角三角形面积公式，底为横坐标绝对值，高为纵坐标绝对值计算． （2）①根据坐标平移得到，用矩形割补法求斜三角形面积；②首先求出三角形的面积，然后分点P在x轴和y轴上两种情况，设其坐标，列绝对值方程即可解答． 【详解】（1）∵， 轴， ∴， ∴，， ∴； （2）①∵点向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度： ∴， 包围矩形四个点为，，，， ∴矩形面积， ∴； ②根据题意得：， 分两种情况： 情况1：P在轴上，设其坐标为， 三角形的高就是纵坐标，底， ， ， ∴，， 情况2：P在轴上，设其坐标为， 三角形的高就是横坐标，底， ， ， ∴，， 点P坐标：，，，． 【对点训练】2.如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足．线段与轴相交于点，将线段平移得到线段，点、分别与点、是对应点，点在轴上，线段交轴于点，． (1)求三角形的面积； (2)求点的坐标； (3)如图2，若点是线段上任意一点，点在轴上，使得三角形的面积是三角形面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】（1）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，得到，，连接，然后利用三角形面积公式求解； （2）如图，连接，设，则，根据题意得到，求出，设点O到的距离为h，求出，得到，，然后利用求出，即可得到； （3）设，首先根据求出，然后得到，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ，， 如图，连接， ∴； （2）解：如图，连接， ∵线段平移得到线段，点、分别与点、是对应点，点在轴上， ∴点D的纵坐标为0， 设，则， ∴平移方式为向左平移t个单位，向上平移2个单位， ∴， ， ， 设点O到的距离为h， ∴， ∴， ， ，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴； （3）解：设， ∵，，， ∴， ∴， 解得， 由平移得，， ， ， ∴， ， ∴， 解得或， ∴或． 【对点训练】3.三个顶点均在平面直角坐标系中的格点上． (1)把向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，请你画出平移后的，并直接写出的三个顶点坐标； (2)在y轴上存在点D，使的面积等于3，求D点的坐标． 【答案】(1)，作图见解析 (2)或 【分析】（1）根据“点的移动，左右移动，移动的是横坐标，左减右加；上下移动，移动的是纵坐标，上加下减”，求出的三个顶点的坐标即可； （2）根据的三个顶点坐标可知，，用方程思想将点坐标设出来求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∵向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴， 如下图所示： ． （2）解：∵点在轴上， ∴设点， ∵点， ∴， ， 即，则或， 解得或， 即点的坐标为或． 【对点训练】4.如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，使点A与点B重合，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接，，，． (1)求点C的坐标； (2)当三角形面积是三角形的面积的2倍时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据坐标的平移进行求解即可； （2）由题意可分当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由的对应点可知， 点A向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度得到点B， ∴点向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度得到点C， ； （2）解：分两种情况： ①当点D在线段上时， ∵三角形的面积是三角形的面积的2倍， ， ； ②当点D在线段延长线上时， ∵三角形的面积是三角形的面积的2倍， ， ， 综上所述，点D的坐标为或． 1．在平面直角坐标系中，点在第（     ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【详解】解：点的横坐标，纵坐标， 点在第四象限， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对称点与已知点纵坐标相等，只需根据到直线的距离相等计算横坐标，即可获得答案． 【详解】解：设点关于直线的对称点的横坐标为， ∵关于直线对称的两点纵坐标相等， ∴对称点的纵坐标为， ∵两点到直线的距离相等， ∴，解得， ∴对称点坐标为． 3．下列说法正确的是（     ） A．已知点，则点M到x轴的距离是2 B．平方根等于本身的数有0和1 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，，则直线轴 【答案】C 【分析】根据平方根的性质、坐标与象限的关系、点到坐标轴的距离以及平行于坐标轴的直线的特点来判断结论的正确性． 【详解】解：选项A：点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即，故A错误； 选项B：平方根等于本身的数只有，的平方根为，故B错误； 选项C：点在坐标轴上，则或，∴，故C正确； 选项D：点与纵坐标相同，∴直线轴，故D错误． 4．在平面直角坐标系上，已知点与点，且直线轴，同时点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵直线轴， ∴， ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴． 5．如图，已知A、B两点的坐标分别是、，将线段平移后得到线段，若点A的对应点C的坐标是，则点B的对应点D的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵，将线段平移后得到线段，若点A的对应点C的坐标是， ∴由坐标可知，线段向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 6．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是，则经过第次变换后点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据变化找到坐标的变换规律为每4次变换作为一个循环，据此即可求出答案． 【详解】解：点C的坐标是，第1次关于轴对称得到，第2次关于轴对称得到，第3次关于轴对称得到，第4次关于轴对称得到，…… 由上可知，点的坐标变换每4次作为一个循环， ∵……2， ∴经过第次变换后点C的对应点的坐标与第2次变换后的坐标相同，即为． 7．在张家界国家森林公园的电子导览图中，金鞭溪的某个休息亭被标记为点，那么点P关于y轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 已知点，点是点关于轴对称的点， 因此点的纵坐标为，横坐标为， 可得的坐标为． 8．已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为________． 【答案】 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为． 9．将点向右平移5个单位长度得到点，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标规律，向右平移横坐标增加对应单位长度，纵坐标不变，据此计算即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点向右平移时，横坐标增加平移的单位长度，纵坐标不变 ∵点向右平移个单位长度得到点 ∴． 10．如图，的顶点分别为，，，且与全等（点与点不重合），则点的坐标可以是__________． 【答案】 或或 【分析】根据题意可知，与有公共边，以公共边所在直线为对称轴，对点作对称变换得到对应边和对应角相等从而求解． 【详解】解：已知、，两个全等三角形和有公共边， 在轴上，长度为， ∴点 关于轴对称点； ∴点关于的垂直平分线（直线）对称点； ∴点关于轴对称点， ∵三点均不与点重合， ∴的坐标可以是或或． 11．已知点，点，直线轴，则点的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：直线轴，点，点， 点与点横坐标相等，纵坐标不相等， ，且 解方程得， 将代入纵坐标，得，满足， 点的坐标为． 12．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴方向平移至三角形，若四边形的面积为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，，再根据四边形面积为，得出的长，即可求得点的坐标． 【详解】解：点坐标为，点坐标为， , 将沿轴方向向右平移得到， ，，，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，和的纵坐标相同， 点坐标为，且四边形面积为， 四边形的面积为 ， ， 点的坐标为． 13．已知点． (1)若点P在y轴上，求点P的坐标； (2)若点P到x轴的距离为2，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：点P在y轴上，则横坐标为0，即，解得． 此时纵坐标，故． （2）解：点P到x轴的距离为2，则，即或． 或， 当时，； 当时，． 14．如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，， (1)求这个四边形的面积． (2)在x轴上有一点P使得的面积与四边形的面积相等，求点P坐标． 【答案】(1)94 (2)或 【分析】（1）分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可； （2）设，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴，过点C作轴， ∴这个四边形的面积 ； ． （2）解：设 ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴解得或， ∴或． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $