专题05 一元一次不等式（知识&考点&公式&10高频&3易错&13重难&3模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03一元一次不等式 目录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(5类) 公式清单(2类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(13类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01认识不等式 1.不等式：用不等号连接两个代数式的式子。 不等号包括：>、<、≥、≤、≠。 ≥读作大于或等于；≤读作小于或等于；≠读作不等于。 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的一个解。 3.不等式的解集：一个不等式所有解的全体叫做不等式的解集。 4.在数轴上表示不等式的解集 ①：空心圆圈，向右画线(不包含) ②：实心圆点，向右画线(包含) ③：空心圆圈，向左画线(不包含) ④：实心圆点，向左画线(包含a) 口诀：大于向右，小于向左；有等号画实心，无等号画空心。 知识点02不等式的基本性质 性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变。 若，则c，。 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变。若则 性质3:不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向必须改变。若则 易错点：乘除负数一定要变号。 补充：对称性：若，则；传递性：若，则。 知识点03一元一次不等式及其解法 1.一元一次不等式定义：不等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的不等式。例：；注意：分母含有未知数的不是一元一次不等式。 2.解一元一次不等式的步骤 ①去分母：不等式两边同时乘各分母的最小公倍数。 两边同乘正数，不等号方向保持不变； 两边同乘负数，不等号方向必须改变； 注意：不含分母的项也要乘最小公倍数，不要漏乘常数项。 ②去括号：依据乘法分配律去掉括号。 括号前是正号，去掉括号，括号内各项符号不变； 括号前是负号，去掉括号，括号内每一项都要变号； 注意：不要漏乘括号里面的每一项。 ③移项：把含未知数的项移到不等式左边，常数项移到不等式右边。 移项要变号，不移的项不变号； 规则和一元一次方程移项一致； 注意：只在不等式左右两边移动的项才变号，同一边交换位置不用变号。 ④合并同类项：把左边含未知数的项合并，右边常数项合并，化成(或、、)最简形式。 ⑤系数化为1：不等式两边同时除以未知数的系数a(或乘系数的倒数)。 如果系数，不等号方向不变； 如果系数，不等号方向必须改变； 3.特殊解：在解集范围内，求整数解、正整数解、负整数解。 4.把最终解集在数轴上表示。 知识点04一元一次不等式的应用 1.解题步骤： (1)审题：找出题目中的不等关系(关键词：至少、至多、不低于、不超过、超过、不足) (2)设未知数； (3)列一元一次不等式； (4)解不等式； (5)结合实际意义检验，取舍答案(人数、物品件数必须取正整数); (6)写答。 常见关键词翻译： 至少→≥；至多→≤；不小于→≥；不大于→≤；超过→>；不足→<。 阅读材料：糖水不等式： 知识点05一元一次不等式组 1.一元一次不等式组定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式。 2.不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式解集的公共部分。没有公共部分，则不等式组无解。 3.两个一元一次不等式组成不等式组的4种情况 ①，解集：(同大取大) ②，解集：（同小取小) ③，解集：(大小小大中间找) ④，解集：无解(大大小小找不到) 4.解不等式组步骤： ①分别解每一个一元一次不等式；②在同一条数轴上画出两个解集；③找出公共部分，写出不等式组解集；④根据要求求整数解。 考点01认识不等式 考点内容：不等式的概念；不等号；不等式的解；不等式的解集；数轴表示不等式解集。 常见考法： ①判断式子是否为不等式，识别不等号(>、<、≥、≤、≠); ②判断某个数值是不是不等式的解； ③区分不等式的解与解集； ④在数轴上画出不等式解集； ⑤根据数轴上的图形写出对应的不等式。 考点02不等式的基本性质 考点内容：不等式三条基本性质；不等式的传递性、对称性；不等式性质与等式性质对比。 常见考法： ①根据不等式性质判断变形是否正确； ②已知a>b，判断各式大小关系； ③不等式两边同乘负数，判断不等号方向是否改变； ④利用性质对不等式进行简单变形。 考点03一元一次不等式及其解法 考点内容：一元一次不等式定义；解一元一次不等式的步骤；解集在数轴表示；求特殊解。 常见考法： ①判断是否为一元一次不等式； ②按步骤解一元一次不等式，数轴表示解集； ③求不等式的整数解、正整数解、负整数解； ④根据不等式的解，求参数取值范围。 考点04一元一次不等式的应用 考点内容：从实际问题找不等关系；列一元一次不等式解应用题；根据实际取舍解。 常见考法： ①读懂关键词(至少、至多、不超过、不足、超过)列出不等式； ②列不等式解决方案选择、最值问题； ③结合实际意义，对结果取整数； ④糖水不等式简单理解与判断。 考点05一元一次不等式组 考点内容：一元一次不等式组定义；不等式组解集；四种解集规律；解不等式组；求不等式组特殊解。 常见考法： ①解一元一次不等式组，利用数轴确定公共部分； ②利用口诀判断不等式组解集(同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到); ③求不等式组的整数解； ④已知不等式组解集，求参数取值范围； ⑤不等式组与实际问题综合应用题。 一、不等式基本性质 设、、为实数 1.性质1：若不等式两边加(减)同一个数，不等号方向不变。 2.性质2：若，则， 不等式两边乘(除以)同一个正数，不等号方向不变。 3.性质3若则， 不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 补充推导性质 ①对称性：若，则 ②传递性：若 二、一元一次不等式最简形式 当 三.两个一元一次不等式组成不等式组的4种情况 ①，解集：(同大取大) ②，解集：（同小取小) ③，解集：(大小小大中间找) ④，解集：无解(大大小小找不到) 辨析01不等式的解与解集概念混淆 不等式的解：能使不等式成立的一个未知数的值；不等式的解集：使不等式成立的所有解的全体。易错表述：把x=2是不等式x+1>2的一个解，说成x=2是不等式的解集；认为解集就是不等式的一个解。 辨析02不等式性质3变号误区 不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号方向必须改变；乘除正数，不等号方向不变。 易错点：不等式两边同乘负数忘记改变不等号方向；分不清什么时候需要变号，把等式变形习惯直接套用在不等式上。例：由-2x>4，错误得到x>-2。 辨析03数轴表示解集的空心、实心点混淆 空心圆圈：不含这个点(对应>、<);实心圆点：包含这个点(对应≥、≤);大于向右画，小于向左画。易错表述：x>3画成实心点；x≤-1画成空心圈；方向画反。 辨析04解一元一次不等式，系数化为1易错 系数化为1时，若未知数系数是负数，不等号要变方向；系数为正数，不等号不变。易错点：系数是负数时，不等号忘记变号；去分母时，常数项漏乘最小公倍数。 辨析05一元一次不等式组解集概念理解错误 不等式组的解集，是几个不等式解集的公共部分，不是简单合并；没有公共部分则不等式组无解。 易错表述：只要每个不等式有解，不等式组就一定有解；直接单独取两个解集，不找公共部分。例：误认为有解。 辨析06实际应用题不等关键词翻译错误 至少→≥；至多→≤;超过→>；不足→<；不低于→≥；不大于→≤。 易错点：看到“至少”误用>，看到“至多”误用<;忽略实际问题中未知数必须取正整数。 辨析07糖水不等式理解误区 糖水不等式：b>a>0，m>0，则6b+m 易错点：随便代入负数使用；分不清分子分母大小关系，乱用糖水不等式。 辨析08含参数不等式(组)，端点取舍易错 已知不等式(组)解集求参数范围，要单独检验端点值能否取等。易错点：直接写范围，不判断端点是否包含；等号取舍判断错误。 【题型一】根据不等式的定义判断是否为不等式 【例1】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据不等式的定义，即用不等号连接的式子是不等式，逐个判断式子，统计符合条件的个数即可求解． 【详解】解：∵①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②是代数式，不含不等号，不属于不等式； ③是代数式，不含不等号，不属于不等式； ④含有不等号，属于不等式； ⑤含有不等号，属于不等式； ∴属于不等式的共有2个． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 【变式1-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 【题型二】根据不等式的基本性质判断选项是否正确 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）下列变形正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A、由，不等式两边都加３，得，故该选项变形错误，不符合题意； B、由，不等式两边都除以２，得，故该选项变形错误，不符合题意； C、由，不等式两边都除以，得，故该选项变形正确，符合题意； D、由，不等式两边都乘２，得，故该选项变形错误，不符合题意． 【变式2-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）下列判断不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】注意不等式两边乘除同一个数时，该数的符号会影响不等号的方向，符号不确定时无法确定变形结果． 【详解】解：根据不等式的基本性质逐一判断： A选项，∵，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，A判断正确； B选项，∵，不等式两边同加，不等号方向不变， ∴，B判断正确； C选项，∵，当时可得，当时可得，当时， 故的符号不确定，无法推出，C判断不正确； D选项，∵， ∴， ∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴，D判断正确． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项A：，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变， ，A错误. 选项B：，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变， ，B错误. 选项C：，当时，，此时，C错误. 选项D：，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ，D正确. 【变式2-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果． 【详解】解：对于选项A，∵，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，∴，不等式两边再同减，不等号方向不变，∴，选项A变形正确． 对于选项B，∵，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，∴，选项B变形错误． 对于选项C，由，仅能推出时，但无法推出，选项C变形错误． 对于选项D，举例：当时，满足，但，因此无法推出，选项D变形错误． 【变式2-4】（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 【详解】解：A、∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，A正确； B、∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，B正确； C、该选项未说明的取值范围，若，不等式两边同乘后不等号方向改变，可得，原结论不恒成立，C错误； D、若，两边同乘正数3得，再两边同时加5，不等号方向不变，可得，D正确． 【题型三】判断是否为一元一次不等式 【例3】（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 【变式3-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：一元一次不等式有：①，不含未知数，不符合题意； ②，含有两个未知数，不符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是代数式，不符合题意； ⑤，是一元一次不等式，符合题意； ⑥，分母中含有未知数，不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 【题型四】解一元一次不等式（计算题） 【例4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ， 【分析】根据不等式的性质解不等式，并在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为，得， 并将解集在数轴上表示即可． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）解不等式： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】（25-26八年级上·四川巴中·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得． 该解集在数轴上表示为： 【变式4-3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)；画图见解析 (2)；画图见解析 【分析】（1）通过去括号，移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可； （2）通过去分母，移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤求解，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以2，得， 将解集在数轴上表示出来如下： （2）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以，得， 将解集在数轴上表示出来如下： 【题型五】在数轴上表示不等式的解集 【例5】（25-26八年级上·四川成都·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，再结合数轴可得答案． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·期中）不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出解集，再在数轴上表示，注意数轴上实心点与空心点的区别． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 解得， 在数轴上表示为： 【变式5-2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， ∴不等式的解集在数轴上为 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 【题型六】求一元一次不等式的整数解 【例6】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）求不等式的最小整数解． 【答案】不等式的最小整数解为 【分析】先求出不等式的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 故不等式的最小整数解为． 【变式6-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）若方程解是关于x的不等式的m的值，求这个不等式的最大整数解． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，求一元一次不等式的最大整数解，先解方程得到，再把代入到不等式中，解不等式求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的最大整数解为1． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）求满足多项式的值不超过5的的负整数． 【答案】、、、 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握掌握去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，是解决本题的关键． 先由题意列不等式，再去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1即可求解不等式的解集，再求出符合题意的整数解即可． 【详解】解：依题意得： ， ， ， ， 所以符合题意的负整数解是、、、． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）将x用哪些实数代入，能够使得多项式的值小于或等于5？其中满足条件的负整数有哪些？ 【答案】用大于或等于的实数代入；满足条件的负整数为. 【分析】根据题意可得不等式，求出不等式的解集即可得到结论，进而确定满足条件的负整数. 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ； 故将x用大于或等于的实数代入，能够使得多项式的值小于或等于5； 满足条件的负整数为. 【题型七】判断是否为一元一次不等式组 【例7】（25-26八年级上·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式7-2】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【题型八】解一元一次不等式组（计算题） 【例8】（26-27九年级上·陕西西安·期中）解不等式组 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 【变式8-1】解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为_____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得 合并同类项得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）略 （4）略 【变式8-2】（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）将不等式组的解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 【答案】把表示在数轴上为 所有整数解的和为 【分析】先分别求解不等式①、②，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集；在数轴上画出解集范围，从中找出所有整数解，最后计算整数解的和． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为：， 把表示在数轴上略， ∴整数解： ∴所有整数解的和为． 【变式8-3】（26-27九年级上·湖南长沙·期中）解不等式组：，并把不等式组解集在数轴上表示出来 【答案】， 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，即为不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①， ， ， ； 解不等式②， ， ； 不等式组的解集为． 数轴略． 【题型九】列一元一次不等式 【例9】（25-26八年级上·河南新乡·期中）李轩每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距2千米．已知李轩步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他要在15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设李轩需要跑步x分钟，则可列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】统一单位后，根据路程和不小于总路程列不等式． 【详解】解：千米米， 跑步分钟的路程为米，步行分钟的路程为米， 由题意得． 【变式9-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设答对道题，先表示出答错或不答的题量，再根据竞赛规则计算总得分，结合优秀的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：∵设小明答对了道题，一共回答道题， ∴答错或不答的题量为道． 由题意可得：总得分为． ∵优秀选手要求得分是分或分以上，即总得分大于等于， ∴列出不等式为． 【变式9-2】（25-26八年级上·广西桂林·期中）某校组织研学活动，将租赁A型客车和B型客车共12辆．已知每辆A型客车可乘坐45人，每辆B型客车可乘坐35人，且要求总载客量不超过480人．设租赁A型客车x辆，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题思路是先根据总车辆数表示出B型客车的数量，再根据总载客量的限制条件列出不等式即可. 【详解】解：∵租赁A型客车辆，则租赁B型客车辆， ∵每辆A型客车可乘坐人，每辆B型客车可乘坐人， ∴总载客量为人， 又∵要求总载客量不超过人， ∴列出不等式为． 【变式9-3】（25-26八年级上·山西晋中·期中）刺绣是我国民间传统手艺，苏绣作为我国四大名绣之一，闻名中外．某国际旅游公司计划购买仿真绣和双面绣两种苏绣作品共200件，已知双面绣作品单价300元，仿真绣作品单价200元，若总费用不超过50000元，则最多可购买双面绣作品多少件？设可购买双面绣作品件，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设可购买双面绣作品件，则可购买仿真绣作品件，根据总费用双面绣费用仿真绣费用，且总费用不超过50000元列出不等式即可． 【详解】解：设可购买双面绣作品件，则可购买仿真绣作品件， 购买双面绣作品的费用为元，购买仿真绣作品的费用为， 总费用不超过50000元， 列不等式为：． 【题型十】列一元一次不等式组 【例10】（25-26八年级上·山东济宁·期中）七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，则还剩7棵；若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．设同学人数为x人，则下列各选项能准确表示同学人数与植树棵数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抓住总棵数不变的特点，根据最后1位同学的植树棵数范围列不等式组. 【详解】解：总植树棵数为棵. 每人植9棵时，位同学植9棵，剩余1位同学的植树棵数为. ∵该同学植树棵数不到8棵， ∴. ∵位同学均参与植树，该同学棵数大于0， ∴. 则不等式组为：. 【变式10-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总工艺品数量得到B型工艺品数量，再分别计算两种原料的总用量，根据总用量不超过剩余原料量列出不等式组即可. 【详解】∵制作个A型工艺品，一共制作100个工艺品， ∴B型工艺品的数量为个. ∵制作个A型需甲原料千克，制作个B型需甲原料千克， 甲原料总用量不能超过剩余的29千克， ∴. ∵制作个A型需乙原料千克，制作个B型需乙原料千克， 乙原料总用量不能超过剩余的千克， ∴. 综上，可得不等式组：． 【变式10-2】（25-26八年级上·四川遂宁·期中）若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的苹果不足5个，列出不等式组即可． 【详解】解：∵若干个苹果分给个小孩，每人分3个余7个， ∴苹果的总数为个． ∵每人分5个时，只有最后1人分不到5个，前个小孩每人都分到5个， ∴前个小孩共分苹果个，最后一人分到的苹果数为． ∵苹果数不能为负数，且最后一人分到的苹果不足5个， ∴． 【变式10-3】（2026·安徽宣城·二模）野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 【题型一】忽略不等号方向改变 【例1】（25-26八年级上·四川乐山·期中）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组无解 ∴根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则，可得： 解得：． 易错警示 不等式两边同乘 / 除负数要变号；确定参数边界时，容易漏等号、错判端点是否可取。 【变式1-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∵不等式组无解 ∴，解得． 【变式1-2】（25-26八年级上·贵州黔南·期中）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 不等式组有解，即两个不等式的解集存在公共部分， ． 【题型二】整数解个数求参，端点取值判断错误 【例2】（2026·湖南张家界·模拟预测）若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组有且只有五个整数解，得出，最后解出k的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式，得：， ∵不等式组有且只有5个整数解， 即， ∴， 解得． 易错警示 确定参数范围后，容易把临界值的等号取反，多算或少算整数。 【变式2-1】（25-26八年级上·山东滨州·期中）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，则满足条件的的偶数解的个数为________． 【答案】3 【分析】先解不等式组得到的取值范围，再根据不等式组有且只有2个偶数解确定的取值范围，最后找出范围内的偶数个数即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为 不等式组有且只有个偶数解， ∴中的两个偶数为 不等式两边同乘得 其中满足的偶数为，共个． 【变式2-2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 因此不等式组的解集为． 不等式组只有个整数解， 不等式组的整数解为， 可得， 不等式两边同时减，得 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）已知不等式组，有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解， ∴这个整数解为、、， ∴． 【题型三】混淆解集与参数的对应关系 【例3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）不等式组的解集为，则的值为________． 【答案】2 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴. 易错警示 解集对比求参时，容易忽略参数带来的分类讨论，直接默认大小关系。 【变式3-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）关于的不等式组的解集为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据不等式组的解法“小小取小”进行求解即可． 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∵该不等式组的解集为， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 【答案】 【详解】解：由题意，，解得. 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 【答案】 【分析】先对所求不等式组进行变形，整理得到与已知不等式结构一致的形式，结合已知不等式的解集，利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴整理得：，即， 当时，解得， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当时，解得， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得； 综上可得：不等式组的解集为：． 【变式3-4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 【答案】 【分析】先将已知不等式组化为统一形式，再整理待解不等式组，结合已知解集，利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：已知不等式组可化为，其解集为． 整理待解不等式组可化为：， ∴， ∴，即． 当时，解，得，解集， ∴，解得， 将代入得， ∴，即， ∴，解得． 当时，解，得，结合已知解集，得，解得， 将代入，得 化简得， ∵， ∴，即，解得． 综上，不等式组的解集为． 【题型一】根据一元一次不等式的定义求参数 【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______ 【答案】-5 【分析】根据一元一次不等式的定义令的指数为1，且的系数不为0即可求解． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， , , , ， , ． 【变式1-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，且，据此即可解答． 【详解】解：由题意得：，且， 解得． 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 【答案】0或 【分析】根据一元一次不等式的定义，一元一次不等式中未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，据此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：不等式是关于的一元一次不等式． 解得： 或． 解得或． 由得 ． ∵和都满足． ∴的值为或． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义列等式和不等式求解即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，且， 解得或， 或； 解得； ． 【题型二】求一元一次不等式解的最值 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【分析】本题考查一元一次不等式，根据平方的非负性，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 【变式2-3】（25-26八年级上·陕西商洛·期中）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 【题型三】一元一次不等式实际应用之积分问题 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）八（1）班道法课上进行了普法知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分，若小辰希望总得分不少于70分，则他至少需要答对（     ） A．18道题 B．17道题 C．16道题 D．15道题 【答案】C 【分析】根据竞赛得分答对的题数答错或不答的题数，根据得分不少于70分，列出不等式求解即可． 【详解】解：设要答对x道题，则答错或不答道题， 由题意可得：， 解得， 根据x必须为整数，故取最小整数16， 所以他至少需要答对16道题． 【变式3-1】（26-27八年级上·河南信阳·期中）某校组织开展了某次知识竞赛，共有道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对（    ）道题． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明答对道题，则答错（或不答）道题，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题，则答错（或不答）道题， 由题意得 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为14，即小明至少要答对14道题． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）年“·中国旅游日”是第个中国旅游日，其中厚重的河南熠熠生辉，少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某次河南文旅知识竞赛共有道选择题，答对一题得分，答错或不答一题扣分，要使总分不低于分，则至少应答对的题数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以总分不低于分为不等关系，设答对题数为未知数列一元一次不等式，取最小正整数解，即可得到答案． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道， 根据题意可列不等式：， 解得：， ∵为正整数，， ∴的最小正整数解为， ∴至少应答对的题数为． 【变式3-3】（25-26八年级上·广西桂林·期中）在某校班级足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得20分，那么这个班至少要胜多少场？（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个班要胜场，则负场，根据总得分至少20分的不等关系列不等式求解即可． 【详解】解：设这个班要胜场，则负场， 由题意得， 化简得， 解得， ∴的最小值为， ∴这个班至少要胜场． 【题型四】一元一次不等式实际应用之销售利润问题 【例4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）育才中学计划为羽毛球活动小组购买A，B两种品牌的羽毛球．若购买4个A品牌的羽毛球和3个B品牌的羽毛球需用36元；若购买2个A品牌的羽毛球和5个B品牌的羽毛球需用32元． (1)求每个A品牌的羽毛球和每个B品牌的羽毛球各多少元； (2)育才中学决定购买以上两种品牌的羽毛球共80个，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少个A品牌的羽毛球？ 【答案】(1)每个A品牌羽毛球6元，每个B品牌羽毛球4元． (2)该中学最多可以购买50个A品牌的羽毛球． 【分析】（1）根据两组购买费用的等量关系列二元一次方程组，求解两种羽毛球的单价； （2）根据总费用上限列一元一次不等式，求解A品牌羽毛球的最大购买量． 【详解】（1）解：设每个A品牌羽毛球元，每个B品牌羽毛球元． 由题意得， 解得：， 答：每个A品牌羽毛球6元，每个B品牌羽毛球4元； （2）解：设购买A品牌羽毛球个，则购买B品牌羽毛球个． 由题意得， 解得：． ∵为正整数， ∴的最大值为50． 答：该中学最多可以购买50个A品牌的羽毛球． 【变式4-1】（26-27九年级上·江西九江·期中）2026年中央一号文件强调“支持农村寄递物流设施共建共享，深化快递进村”．这一举措让小快递助力乡村振兴，跑出加速度．快递员也从“跑腿小哥”成了“乡村纽带”，托起了农村物流网．快递员一天的收益与他们当天取、送快递的数量有关，若一天取快递100件，送快递200件，当天收益为400元；若一天取快递200件，送快递100件，当天收益为500元． (1)快递员每取、送一件快递的收益分别是多少元？ (2)已知快递员甲某天取、送快递共260件，当天所获收益至少为300元，问：快递员甲这天至少取快递多少件？ 【答案】(1)快递员每取一件快递收益2元，每送一件快递收益1元； (2)快递员甲这天至少取快递40件． 【分析】（1）根据两组取、送快递的数量及对应收益，设立未知数列二元一次方程组，求解单件取件与送件的收益； （2）设取件数量为未知数，结合总件数表示送件数量，根据最低收益要求列一元一次不等式，求解取件的最小数量． 【详解】（1）解：设快递员每取一件快递收益为元，每送一件快递收益为元， 根据题意，得 解得， 答：快递员每取一件快递收益2元，每送一件快递收益1元； （2）解：设快递员甲这天取快递件，则送快递件， 根据题意，得 ， 解得， 答：快递员甲这天至少取快递40件． 【变式4-2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）第二十届爱知·名古屋亚运会已经在日本落下帷幕，中国运动员取得了骄人的战绩，亚运会上的各种纪念品也深受人们的喜爱，某专卖店准备购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品80个，B种纪念品40个，需要800元；若购进A种纪念品50个，B种纪念品30个，需要550元． (1)求该专卖店购进的A、B两种纪念品的单价是多少元？ (2)该专卖店准备1000元全部用来购进A、B两种纪念品，计划销售每个A种纪念品可获利润4元，销售每个B种纪念品可获利润5元，销售这两种纪念品的总利润不低于602元，那么该专卖店最多购进B种纪念品多少个？ 【答案】(1)该专卖店购进A，B两种纪念品单价分别是5元，10元 (2)66个 【分析】（1）设该专卖店购进A，B两种纪念品的单价分别是x元，元，根据题意，得，解方程组即可； （2）设该专卖店购进B种纪念品m个，根据题意，得，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该专卖店购进A，B两种纪念品的单价分别是x元，元， ， 解得， 答：该专卖店购进A，B两种纪念品单价分别是5元，10元； （2）解：设该专卖店购进B种纪念品m个， ， 解得， 答：该专卖店最多购进B种纪念品66个． 【变式4-3】（26-27八年级上·重庆九龙坡·期中）国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销，某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售3束玫瑰和2束百合共获利120元，销售2束玫瑰和1束百合共获利70元． (1)该花店销售1束玫瑰、1束百合分别获利多少元？ (2)国庆假期前3天，该花店平均每天售出20束玫瑰和15束百合．国庆假期后4天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价10元，结果玫瑰平均每天多卖出5束，百合平均每天销量增长，为了使国庆7天假期的总利润至少达到5510元，求的最大值． 【答案】(1)该花店销售1束玫瑰获利20元，1束百合获利30元 (2)6 【分析】（1）设该花店销售1束玫瑰获利a元，1束百合获利b元，根据“销售3束玫瑰和2束百合共获利120元，销售2束玫瑰和1束百合共获利70元．”列出方程组，即可求解； （2）求出国庆假期后4天，玫瑰和百合的获利，再根据“为了使国庆7天假期的总利润至少达到5510元，”列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设该花店销售1束玫瑰获利a元，1束百合获利b元，根据题意得： ， 解得：， 答：该花店销售1束玫瑰获利20元，1束百合获利30元； （2）解：根据题意得：国庆假期后4天，玫瑰获利为元，百合获利为元， ∵为了使国庆7天假期的总利润至少达到5510元， ∴， 解得：， 即m的最大值为6． 【题型五】一元一次不等式实际应用之方案选择问题 【例5】（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 在南宁市交警以“生命，幸‘盔’，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进50个高质量的既安全又防晒的头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：头盔80元/个，手套20元/副，现有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． (1)电动自行车店计划购买50个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费______元． (2)电动自行车店计划购买50个安全头盔和副手套（）． 若选择方案一购买，需要花费______元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费______元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买50个安全头盔和副手套（），应该如何选择购买方案更省钱？ 【答案】(1)5500 (2)； (3)当时，两种方案购买价格一样；当时，选择方案二购买更省钱；当时，选择方案一购买更省钱 【分析】（1）方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套，依此可得购买50个安全头盔和100副手套共需要花费； （2）分别根据优惠方案计算即可； （3）分三种情况列出关系式，求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：元； （2）解：若选择方案一购买，需要花费元； 若选择方案二购买，需要花费元； （3）解：当， 解得， 此时两种方案价格一样； 当， 解得， 当时，方案二更省钱； 当， 解得， 此时方案一更省钱． 综上所述，当时，两种方案购买价格一样；当时，选择方案二购买更省钱；当时，选择方案一购买更省钱． 【变式5-1】（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决： (1)任务一：在活动中，学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在元以内（含元），请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】(1)精包装销售了盒，简包装销售了盒 (2)解：共有2种符合要求的分装方案．方案1：精包装6盒，简包装22盒；方案2：精包装3盒，简包装24盒． 理由：设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装， 根据题意得， 解得． 又，均为正整数， 必须是3的倍数， 可以为3，6， 共有2种分装方案， 分装成3盒精包装，24盒简包装； 或分装成6盒精包装，22盒简包装． 【分析】（1）设精包装销售了盒，简包装销售了盒，根据学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元建立方程组求解即可； （2）设可以分装成盒精包装，则分装成盒简包装，根据购买包装盒的成本控制在18元以内建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设精包装销售了盒，简包装销售了盒， 根据题意得 解得 答：精包装销售了盒，简包装销售了盒； （2）略． 【变式5-2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元． (1)求每只大船和小船的租金分别为多少元． (2)若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案． 【答案】(1)每只大船租金为30元，每只小船租金为20元 (2)最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船 【分析】（1）设每只大船租金为元，每只小船租金为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设租大船只，小船只，由题意可得，列举出，取值情况，分别计算租金，即可求解． 【详解】（1）解：设每只大船租金为元，每只小船租金为元， 由题意得，， 解得． 答：每只大船租金为30元，每只小船租金为20元． （2）解：设租大船只，小船只， 由题意得，， ∴， ∵，为非负整数， 当时，，租金至少为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 当时，，租金为（元）； 综上所述，最省钱的租船方案为租用8只大船，2只小船． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 【答案】(1)； (2)商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少 【详解】（1）解：顾客选择方案一，共花费元， 顾客选择方案二，需要花费元； （2）解：当，即时，方案一花费小于方案二花费； 当，即时，方案一花费与方案二花费相同； 当，即时，方案一花费大于方案二花费； 故商品原价大于元时，顾客选择方案一花费较少；商品原价元时，顾客选择方案一和方案二的花费相同；商品原价小于元时，顾客选择方案二花费较少． 【题型六】不等式组实际应用之行程问题 【例6】某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 【答案】(1)弯道直径约为米 (2)第2道的起跑线应比第1道前移米 (3)米/秒米/秒 【分析】（1）先设弯道直径为米，则直道为米，再根据题意列出方程，最后解方程即可； （2）先设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米，再根据相邻跑道弯道部分的长度差，进行计算即可； （3）根据追及问题的时间关系，结合接力区的限制条件，建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设弯道直径为米，则直道为米， 由题意得，， 解得，． 结果保留整数， ． 答：弯道直径约为米． （2）解：设第1道弯道半径为米，则第道弯道半径为米， 第2道比第1道多跑的距离为：（米） 答：第2道的起跑线应比第1道前移米． （3）解：设乙的恒定速度为米/秒，则甲的速度为米/秒， 乙加速跑10米所用的时间为：（秒）， 设乙追上甲时，乙在匀速阶段跑了米， 则乙的总路程为米，总时间为（秒）， 甲的总路程为米，总时间为（秒）， 根据时间相等，得， 整理得，， ． 要保证在传接棒区（米至米）内完成交接， ， 解得，． 答：乙的恒定速度的取值范围是米/秒米/秒． 【变式6-2】（25-26九年级下·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口：， 解得， ∵， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)，，； (2)货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； (3)． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据从仓库到仓库的运输时间为：（小时），直接运输成本为：（元），运输总成本为：（元），从而求解； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时；根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时，所以全程共用时（小时），由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），得出则，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：从仓库到仓库的运输时间为：（小时）， 直接运输成本为：（元）， 运输总成本为：（元）， 故答案为：，，； （2）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时； 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：货车从仓库到中转站的平均行驶速度为千米小时； （3）解：由仓库到中转站路段的行驶时间为：小时；中转站到仓库路段的行驶时间为：小时， 所以全程共用时（小时）， 由于全程用时控制在小时到小时之间（含端点值）， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【变式6-4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型七】不等式组实际应用之工程问题 【例7】（25-26八年级上·全国·期中）为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元 (2)要改造的小学有12所 (3)四种改造方案∶方案一∶改造2所中学，8所小学；方案二∶改造3所中学，7所小学；方案三∶改造4所中学，6所小学；方案四∶改造5所中学，5所小学 【分析】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元，列出方程组进行求解即可； （2）设要改造的小学有m所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可； （3）设改造中学a所，则改造小学所，由今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）设改造一所中学需资金x万元，改造一所小学需资金y万元，根据题意，得，解得， 答∶改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元． （2）设要改造的小学有m所，根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，且在范围内，使为整数的值只有， ∴． 答∶要改造的小学有12所． （3）设改造中学a所，则改造小学所，根据题意， 得，解得． ∵a取整数， ∴a的值为2，3，4，5． ∴对应的值分别为8，7，6，5， ∴有以下四种改造方案∶ 方案一∶改造2所中学，8所小学； 方案二∶改造3所中学，7所小学； 方案三∶改造4所中学，6所小学； 方案四∶改造5所中学，5所小学． 【点睛】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键． 【变式7-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【变式7-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【答案】(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 【题型八】不等式组实际应用之经济问题 【例8】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为元，一支铅笔的批发价为元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 【答案】(1)①，；②元； (2)店长的说法是对的，理由是： 设八年级学生总数为人， 则， 解得， 检验当时，， ∴是分式方程的解； ， 解得， ∴不符合题意； ∴店长的说法是对的 【分析】（1）①根据人数和钱数列式即可；②利用分式的减法进行解答即可； （2）设八年级学生总数为人，根据题意列方程并解方程得到，再列不等式组求出，则不符合题意，即可得到结论． 【详解】（1）解：若小明所在学校八年级的学生总数是a人， ①一支铅笔的零售价为元，一支铅笔的批发价为元； ②根据题意可得，， 即一支铅笔的零售价比批发价多元； （2）略 【变式8-1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ 【答案】政府补贴至少应为0.93元/千克 【分析】先根据与应满足等式，变形得到，然后再根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：； ， ∵要使市场价格不高于9元/千克，由题意得：， 解之得， ∴政府补贴至少应为0.93元/千克． 【变式8-2】（25-26八年级上·广东阳江·期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200元，则最少应购进甲型头盔多少个？ 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； (2)最少应购进甲型头盔80个． 【分析】（1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个，根据题意，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元． 根据题意，得， 解得； 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； （2）解：设购进甲型头盔个，则购进乙型头盔个， 根据题意，得：， 解得：． 为正整数， 的最小值为80． 答：最少应购进甲型头盔80个． 【变式8-3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． (1)求，两种商品每件进价各为多少元． (2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)商品的进价是100元/件，商品的进价是60元/件 (2)购进商品的件数最多为20件 【分析】（1）设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件，根据“购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元”列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设购进件A商品，则购进件B商品，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 【详解】（1）解：设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件． 根据题意， 解得， 故A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件； （2）解：设购进件A商品，则购进件B商品， 根据题意得， 解得， 的最大值为20． 故购进A商品的件数最多为20件． 【变式8-4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； (2)某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 【答案】(1)20 (2)每种套餐最多售出39份 【分析】（1）购买两个套餐①，再买一杯牛奶即可； （2）设每种套餐售出x份，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：（元） 答：若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费20元； （2）解：设每种套餐售出x份， 根据题意得， 解得 ∵x是整数 ∴x的最大值为39 ∴每种套餐最多售出39份． 【变式8-5】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包装产品．已知购进盒传统奶豆腐与购进盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食奶片的进价高元． (1)求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？ (2)为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过元的资金购进这两种产品共盒．若传统奶豆腐每盒售价为元，即食奶片每盒售价为元，且全部售出后利润不低于元，则最多可购进传统奶豆腐多少盒？ 【答案】(1)每盒传统奶豆腐进价为元，每盒即食奶片进价为元 (2)最多可购进传统奶豆腐盒 【分析】（1）设每盒即食奶片的进价为元，则每盒传统奶豆腐的进价为元，根据“购进盒传统奶豆腐与购进盒即食奶片的费用相同”列方程求解即可； （2）设购进传统奶豆腐盒，则购进即食奶片盒，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每盒即食奶片的进价为元，则每盒传统奶豆腐的进价为元． 由题意，得， 解得， 传统奶豆腐的进价为（元）， 答：每盒传统奶豆腐进价为元，每盒即食奶片进价为元． （2）解：设购进传统奶豆腐盒，则购进即食奶片盒． 由题意，得， 解得． 答：最多可购进传统奶豆腐盒． 【题型九】不等式组实际应用之分配问题 【例9】（25-26八年级上·河南安阳·期中）把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【答案】学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个 【分析】设学生人数为人，则苹果有个，解不等式组，取整数值即可解决问题． 【详解】解:设学生人数为，则苹果有个, 依题意得， 解得， 学生人数为整数， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）， ，苹果数为（个）． 答：学生5人，苹果23个或学生6人，苹果27个或学生7人，苹果31个． 【变式9-1】（25-26八年级上·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 【变式9-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 【变式9-3】（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 【题型十】不等式组实际应用之方案选择问题 【例10】（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． (1)设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； (2)若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)不等式为，的取值范围是且为整数. (2)共有种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元. 【分析】（1）根据购买毛笔总费用不超过元列出一元一次不等式，结合实际意义确定的取值范围； （2）结合甲种毛笔至少购买支的条件，确定可取的整数，列出全部购买方案；列出总费用关于的函数，利用一次函数的增减性求出最低总费用. 【详解】（1）解：设购买甲种毛笔支，则购买乙种毛笔支， 根据“总费用不超过元”，总费用甲种毛笔总费用乙种毛笔总费用， 可列不等式：， ， ， ， ， 结合实际意义：毛笔支数不能为负数， ，且为整数（毛笔数量为非负整数）， 则的取值范围：且为整数； （2）解：已知“甲种毛笔至少购买支”，即， 结合（1）的结论，且为整数，可得可取、、、、、，共种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支 设总费用为元，则总费用的表达式为：， ， 随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最低， 代入计算最低费用：（元）， 答：共有种购买方案；购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元． 【变式10-1】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： (1)任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； (2)任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 【答案】(1)“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元 (2)一共有3种购买方案 【分析】（1）设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意列出一元一次不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：设“辣宝”单价为元，“茶宝”单价为元，依题意，得 ， 解得， 答：“辣宝”单价10元，“茶宝”单价15元． （2）解：设购买“辣宝”个，则购买“茶宝”个，依题意，得 ， 解得． 为整数，． 方案1：购买辣宝6个，茶宝4个； 方案2：购买辣宝7个，茶宝3个； 方案3：购买辣宝8个，茶宝2个． 答：一共有3种购买方案． 【变式10-2】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 【答案】(1)的值为10，的值为14 (2)共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜 【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用元，再列二元一次方程组解答； （2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：依题意，得 ， 解得． 答：的值为10，的值为14． （2）解：依题意，得 ， 解得：． 又∵x为正整数， ∴可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜； 方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜； 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． 【变式10-3】（26-27九年级上·四川达州·期中）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机模型单价为2400元，B型无人机模型单价为1600元． (2)共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 【分析】（1）设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台，根据题意列不等式组确定a的取值范围，再由a是正整数，确定a的取值即可求解． 【详解】（1）解：设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意可得 解得 经检验，是所列方程的根． （元） 答：A型无人机模型的单价为2400元，则B型无人机模型的单价为1600元． （2）解：设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台， 根据题意得 解得， 是正整数， 或． 当时，； 当时，； 故共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 【题型十一】不等式组实际应用之阶梯收费问题 【例11】（25-26八年级上·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式11-1】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【题型十二】不等式组与参数解答题综合 【例12】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用含的代数式表示出方程组的解，然后将其代入二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）将原方程组的解代入不等式并求解即可． 【详解】（1）解：， 由，得，解得， 将代入②，得， 即方程组的解为， 将代入，可得， 解得； （2）解：由（1）可知关于x、y的方程组的解为， 将其代入，得， 解得． 【变式12-1】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 【答案】(1) (2)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先求出二元一次方程组的解集，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出临界点，再分情况作答即可． 【详解】（1）解：， ：， ：，得， 把代入②：， 可得：， 即， 由题意得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：当时，；当时，； 当时，原式； 当时，原式． 【变式12-2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件的的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先利用加减消元法解方程组，即用a分别表示x和y，接着根据，得到不等式组，然后解不等式组得出a的范围； （2）先利用解集为，通过解不等式得到，接着求出a的取值范围，然后写出此范围内的整数即可． 【详解】（1）解：①＋②，得 ②－①，得 且， 解得． （2）解：， ． ， ． ． 由（1）可知， 且为整数． ． 【变式12-3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知关于x、y的方程组 (1)当时，求的值； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入原方程组，根据加减消元法计算即可； （2）根据加减消元法得到，根据，求解即可． 【详解】（1）解：当时，方程组为， 得：， ； （2）解：， 得：， ， ， 又， ， 解得： 解得：， 的取值范围为． 【变式12-4】（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知关于x，y的方程组 (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若该方程组的解满足x为正数，y为负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； 【详解】（1）解：， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为， 把代入， 得， 解得； （2）解：∵该方程组的解满足x为正数，y为负数， ∴ 解得． 【题型十三】不等式组中新定义类问题 【例13】（25-26八年级上·山东临沂·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“琅琊解”． (1)是方程和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号） ①；②；③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”，求的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有4个，试求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，再根据整数解的个数，列不等式求解． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； （2）解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”， 是不等式组的解， 把代入不等式组得， 解得，   ，， ； （3）解：由方程得， 解不等式组得， ∵不等式组的正整数解有4个， ∴不等式组的正整数解为1、2、3、4， ， ，   又∵关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”， ， ， 综上：的取值范围为． 【变式13-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”，且该不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)不是， 理由：解方程得：， 解不等式得：， 不在范围内， 方程的解不是不等式的“内含解”． (2) (3)的取值范围为 【分析】（1）先得出方程的解和不等式的解集，然后根据“内含解”的定义进行判断即可； （2）先得出方程组的解为，然后根据题意可得，进而求解即可； （3）先得出方程和不等式组的解分别为，然后根据题意可得，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， 方程组的解是不等式的“内含解”， ， ． （3）解：， 由①可得：， 由②可得：， 不等式组的解集为， 该不等式组恰好有4个整数解，且该4个整数解分别为0，1，2，3， ， 解得：， 解方程可得， ∵方程的解是不等式组的“内含解”， ， 解得：， 综上所述：的取值范围为． 【变式13-2】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）阅读理解： 定义：若一个未知数的值使方程（组）与不等式（组）同时成立，则称这个未知数的值是该方程（组）与不等式（组）的“关联公共解”．例如：当时，方程与不等式同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联公共解”． 问题解决： (1)方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“关联公共解”_________ ①    ②    ③ (2)若方程组与不等式存在“关联公共解”，求的取值范围． (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“关联公共解”．若且满足条件的整数有且只有2个，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程得到的值，再逐一验证不等式（组）； （2）通过方程组变形得到的表达式，代入不等式求解的范围； （3）先根据条件得到的取值范围，再根据整数的个数列出不等式组求解的范围． 【详解】（1）解方程 解得 ①解不等式得，不满足，不是“关联公共解” ②解不等式得，，满足，是“关联公共解” ③解不等式组得，解集为，满足，是“关联公共解” （2）解：已知 得： 因为方程组与不等式存在“关联公共解” 所以 即 解得． （3）解：解方程得 因为，所以， ∴，即所有满足条件的方程的解都小于4 解不等式， ∴， ∵， ∴， 要使恒成立，则 ∵， ∴，即整数满足且整数有且只有2个，这两个整数为、，因此： ∴ 【变式13-3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式（组）的解集，根据满足条件的整数解有3个列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解方程①，得：； 解方程②，得：； 解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解不等式，得 解不等式组． 解①得，解②得， 因为该不等式组有“解集中点”，说明它有解集形式为的解． 所以不等式组的解集为：．此时，即， 该不等式组的“解集中点”： ∵在不等式的解集（即）中，满足大于该不等式组的“解集中点”的整数恰好有个．即满足且的整数恰好有个． 因为是整数且，这个整数只能是2，1，． ∴， 解得， 综上所述：的取值范围是． 【题型一】绝对值不等式模型 模型公式： 解题步骤 1.看绝对值右侧常数，确认 2.根据不等号类型去掉绝对值符号： 小于号：转化为复合不等式，在和之间； 大于号：拆成两个独立不等式，“两头向外”; 3.分别化简不等式； 4.写出最终解集，在数轴验证。 易错提示：a为负数时，无解；解集为全体实数。 【例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 【答案】(1) (2)或 (3)5；7 (4)或 【分析】（1）（2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）先利用绝对值的几何意义进行求解，再列方程组求解即可； （4）先对不等式进行整理，再利用绝对值的几何意义进行求解即可； 【详解】（1）解：不等式的解集是； （2）解：不等式的解集是或； （3）解：绝对值不等式， ，解得， ，解得； （4）解：，则， 或， 解得或． 【变式1-1】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）对于第一空，仿照例题画数轴求解即可；对于第二空，设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集即可得到答案； （2）把方程组中的两个方程的左右两边分别相加推出，则；设，则不等式可化为，仿照例题画数轴求出不等式的解集，进而求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，不等式的解集为 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集是或 ∴或， ∴或； （2）解： 得， ∴； ∵关于x，y的二元一次方程组的解满足， ∴； 设，则不等式可化为， 如图所示，不等式的解集为， ∴， ∴， ∴m的整数值为． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）仿照题干的解法解得即可； （2）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可； （3）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可． 【详解】（1）解：令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于4， ∴的解集为或； 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于3， ∴的解集为； （2）解：， ∴， 令， ∴， 解得：或1； 画出数轴如下：    点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数到的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数到的绝对值小于4， ∴的解集为； （3）解：， ∴， ∴， 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于15， ∴的解集为或， 即的解集为或． 【题型二】一元一次不等式解决几何问题（压轴）：几何不等关系模型 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 【答案】(1)1 (2)①；②，， (3)，， 【分析】（1）先根据路程=速度时间求出的长度，然后利用已知条件即可求出的长度． （2）先根据的取值范围分别判断点的位置，画出，根据面积法利用即可表示出每种情况对应的面积． （3）将点分三种情况讨论，分别是到达之前，到达返回未到达点时，到达终点时，根据三种情况分别列不等式，求出对应解集即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ． （2）解：①当点在上运动时，点运动的路程为， ， 四边形为长方形， ， ． ②当时，点在上，如图所示，则， 的高和的长度相等，即是4， ． 当时，点在线段上，如图所示， 则，， 是中点，为长方形，， ， ， 当时，点在线段上，如图所示， 则，， ． （3）解：比先出发秒，的速度为每秒3个单位， 的路程为． ①当点未到达点时，且点未到达点时，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，则， ， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ②当点到达点返回时还没有到达点，且点还没有到达点，如图所示， 由第一个图可知，，， ， 由第二个图可知，，，， ， ， 根据题意列不等式得，，解得． ③当点到达点返回到点时，且点未到达，如图所示， 由图可知，， ， ， ， ． 当点到达点返回到点时，且点到达时，， ． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 【变式2-2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)， (4)t的取值范围为或或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，根据已知条件得出是等腰直角三角形，列式解方程即可； （3）分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别列式即可； （4）分点P在上，点P在上，点P在上三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式，再分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点P运动到点B的时间为． （2）解：∵，D为的中点， ∴， ∵以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点P以的速度沿运动，， ∴，则， 解得：． （3）解：∵，点P到达点B后再以的速度沿向终点C运动． ∴点P运动到点D的时间为，点P运动到点C的时间为， ∴当点P在上运动时，， 当点P在上运动时，． （4）解：当点P在上时，即， 根据题意，得， ∵， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴； 当点P在上时，即， 根据题意，得， ∴，解得：， ∴， 综上所述，t的取值范围为或或． 【变式2-3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 【题型三】等式组与方程组的结合：方程组+不等式约束模型 1.解二元一次方程组，用含参数的代数式表示出x、y; 2.把x、y代入题干给出的不等关系式(如x+y>0，x-y≤5)； 3.得到只含参数的一元一次不等式； 4.解不等式，求出参数取值范围； 5.检验参数是否会造成方程组无解，排除无效范围。 【例3】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过加减消元得到关于的表达式，代入不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 得， 由条件得 解得． 【变式3-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】先解不等式组，根据恰有3个整数解确定m的取值范围，再解方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数m，最后计算所有符合条件的m的和． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， ∴； 得，解得， 由④得， ∵原方程组有整数解， ∴只需要保证x为整数，即可保证原方程组有整数解， ∴是整数， 又∵m为整数， ∴或或， 解得（舍去）或或或（舍去）或（舍去）或， ∴所有符合条件的整数的和为． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）关于，的方程组，且，令，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到与的关系式，再结合的取值范围，利用不等式性质求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得： 得：， 整理得：，即， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级上·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式3-4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 技巧 一句话要点 不等式定义判断——概念辨析法 根据不等号识别不等式，区分等式、代数式，不含等号判断。 不等式性质判断——性质分析法 不等式两边同乘除负数，不等号方向必须改变；注意0的特殊情况。 一元一次不等式识别——定义筛选法 满足只含一个未知数、未知数最高次数为1，且两边都是整式。 一元一次不等式求参——定义限定法 依据一元一次不等式定义，限制未知数次数、系数不为0，求解参数。 解一元一次不等式（数轴）——五步解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意变号。 求不等式整数解——筛选取值法 先求出不等式解集，再在解集范围内挑出符合条件的整数。 数轴表示解集——边界画法 大于向右、小于向左；空心圈不含等号，实心点包含等于。 不等式解的最值——边界取值法 观察解集端点，根据是否含等号确定可取的最大/最小值。 绝对值型不等式——分类去绝对值法 按绝对值内式子正负分类去掉绝对值符号，转化普通不等式求解。 列一元一次不等式——文字转译法 抓住“至少、不超过、大于”等关键词，把文字描述翻译成不等式。 不等式实际应用（积分/利润/方案/行程/工程/经济/分配/阶梯收费）——应用题建模法 审题找不等关系，设未知数列出不等式，求解后检验结果符合实际意义。 一元一次不等式几何压轴——几何约束法 结合图形边长、角度限制列出不等关系，求解后检验几何合理性。 一元一次不等式组识别——概念辨析法 由两个及以上含相同未知数的一元一次不等式组合而成。 解一元一次不等式组——同解合并法 分别解每个不等式，再取解集的公共部分，口诀：同大取大，同小取小。 不等式组整数解个数求参——边界估算法 先解不等式组，根据整数解数量锁定参数范围，重点判断端点能否取等。 不等式组有无解求参——公共集判断法 对比两个不等式解集，看是否存在公共部分，临界端点检验等号。 不等式组解集求参数值——解集对比法 将化简后的解集与题干给出解集比对，列等式求参数。 不等式组与方程组结合——代换约束法 先用参数表示方程组的解，代入不等关系，解关于参数的不等式。 含参不等式组综合解答题——分类讨论法 对参数大小分类，分别求解不等式，确定不同情况下的解集。 不等式组新定义问题——定义翻译法 读懂题目新运算规则，将新定义式子转化为不等式（组）求解。 列一元一次不等式组——多关系提取法 找出题目中多处不等关系，列出多个一元一次不等式组成不等式组。 1/49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次不等式 目录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(5类) 公式清单(2类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(10类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(13类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01认识不等式 1.不等式：用 连接两个代数式的式子。 不等号包括：>、<、≥、≤、≠。 ≥读作大于或等于；≤读作小于或等于；≠读作不等于。 2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的一个 。 3.不等式的解集：一个不等式所有解的全体叫做不等式的 。 4.在数轴上表示不等式的解集 ①：空心圆圈，向右画线(不包含) ②：实心圆点，向右画线(包含) ③：空心圆圈，向左画线(不包含) ④：实心圆点，向左画线(包含a) 口诀：大于向右，小于向左；有等号画实心，无等号画空心。 知识点02不等式的基本性质 性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个 或同一个 ，不等号方向 。 若，则c，。 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个 ，不等号方向不变。若则 性质3:不等式两边都乘(或除以)同一个 ，不等号方向必须 。若则 易错点：乘除负数一定要变号。 补充：对称性：若，则；传递性：若，则。 知识点03一元一次不等式及其解法 1.一元一次不等式定义：不等号两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式。例：；注意：分母含有未知数的不是一元一次不等式。 2.解一元一次不等式的步骤 ① ：不等式两边同时乘各分母的 。 两边同乘 ，不等号方向保持 ； 两边同乘 ，不等号方向必须 ； 注意：不含分母的项也要乘最小公倍数，不要漏乘常数项。 ② ：依据乘法分配律去掉括号。 括号前是正号，去掉括号，括号内各项符号不变； 括号前是负号，去掉括号，括号内每一项都要变号； 注意：不要漏乘括号里面的每一项。 ③ ：把含未知数的项移到不等式左边，常数项移到不等式右边。 移项要变号，不移的项不变号； 规则和一元一次方程移项一致； 注意：只在不等式左右两边移动的项才变号，同一边交换位置不用变号。 ④ ：把左边含未知数的项合并，右边常数项合并，化成(或、、)最简形式。 ⑤ ：不等式两边同时除以未知数的系数a(或乘系数的倒数)。 如果系数，不等号方向不变； 如果系数，不等号方向必须改变； 3.特殊解：在解集范围内，求整数解、正整数解、负整数解。 4.把最终解集在数轴上表示。 知识点04一元一次不等式的应用 1.解题步骤： (1) ：找出题目中的不等关系(关键词：至少、至多、不低于、不超过、超过、不足) (2) ； (3)列一元一次不等式； (4)解不等式； (5)结合实际意义检验，取舍答案(人数、物品件数必须取正整数); (6)写答。 常见关键词翻译： 至少→≥；至多→≤；不小于→≥；不大于→≤；超过→>；不足→<。 阅读材料：糖水不等式： 知识点05一元一次不等式组 1.一元一次不等式组定义：由 含有 未知数的一元一次不等式组成的一组不等式。 2.不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式解集的 。没有公共部分，则不等式组无解。 3.两个一元一次不等式组成不等式组的4种情况 ①，解集：(同大取大) ②，解集：（同小取小) ③，解集：(大小小大中间找) ④，解集：无解(大大小小找不到) 4.解不等式组步骤： ①分别解每一个一元一次不等式；②在同一条数轴上画出两个解集；③找出公共部分，写出不等式组解集；④根据要求求整数解。 考点01认识不等式 考点内容：不等式的概念；不等号；不等式的解；不等式的解集；数轴表示不等式解集。 常见考法： ①判断式子是否为不等式，识别不等号(>、<、≥、≤、≠); ②判断某个数值是不是不等式的解； ③区分不等式的解与解集； ④在数轴上画出不等式解集； ⑤根据数轴上的图形写出对应的不等式。 考点02不等式的基本性质 考点内容：不等式三条基本性质；不等式的传递性、对称性；不等式性质与等式性质对比。 常见考法： ①根据不等式性质判断变形是否正确； ②已知a>b，判断各式大小关系； ③不等式两边同乘负数，判断不等号方向是否改变； ④利用性质对不等式进行简单变形。 考点03一元一次不等式及其解法 考点内容：一元一次不等式定义；解一元一次不等式的步骤；解集在数轴表示；求特殊解。 常见考法： ①判断是否为一元一次不等式； ②按步骤解一元一次不等式，数轴表示解集； ③求不等式的整数解、正整数解、负整数解； ④根据不等式的解，求参数取值范围。 考点04一元一次不等式的应用 考点内容：从实际问题找不等关系；列一元一次不等式解应用题；根据实际取舍解。 常见考法： ①读懂关键词(至少、至多、不超过、不足、超过)列出不等式； ②列不等式解决方案选择、最值问题； ③结合实际意义，对结果取整数； ④糖水不等式简单理解与判断。 考点05一元一次不等式组 考点内容：一元一次不等式组定义；不等式组解集；四种解集规律；解不等式组；求不等式组特殊解。 常见考法： ①解一元一次不等式组，利用数轴确定公共部分； ②利用口诀判断不等式组解集(同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到); ③求不等式组的整数解； ④已知不等式组解集，求参数取值范围； ⑤不等式组与实际问题综合应用题。 一、不等式基本性质 设、、为实数 1.性质1：若不等式两边加(减)同一个数，不等号方向不变。 2.性质2：若，则， 不等式两边乘(除以)同一个正数，不等号方向不变。 3.性质3若则， 不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。 补充推导性质 ①对称性：若，则 ②传递性：若 二、一元一次不等式最简形式 当 三.两个一元一次不等式组成不等式组的4种情况 ①，解集：(同大取大) ②，解集：（同小取小) ③，解集：(大小小大中间找) ④，解集：无解(大大小小找不到) 辨析01不等式的解与解集概念混淆 不等式的解：能使不等式成立的一个未知数的值；不等式的解集：使不等式成立的所有解的全体。易错表述：把x=2是不等式x+1>2的一个解，说成x=2是不等式的解集；认为解集就是不等式的一个解。 辨析02不等式性质3变号误区 不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号方向必须改变；乘除正数，不等号方向不变。 易错点：不等式两边同乘负数忘记改变不等号方向；分不清什么时候需要变号，把等式变形习惯直接套用在不等式上。例：由-2x>4，错误得到x>-2。 辨析03数轴表示解集的空心、实心点混淆 空心圆圈：不含这个点(对应>、<);实心圆点：包含这个点(对应≥、≤);大于向右画，小于向左画。易错表述：x>3画成实心点；x≤-1画成空心圈；方向画反。 辨析04解一元一次不等式，系数化为1易错 系数化为1时，若未知数系数是负数，不等号要变方向；系数为正数，不等号不变。易错点：系数是负数时，不等号忘记变号；去分母时，常数项漏乘最小公倍数。 辨析05一元一次不等式组解集概念理解错误 不等式组的解集，是几个不等式解集的公共部分，不是简单合并；没有公共部分则不等式组无解。 易错表述：只要每个不等式有解，不等式组就一定有解；直接单独取两个解集，不找公共部分。例：误认为有解。 辨析06实际应用题不等关键词翻译错误 至少→≥；至多→≤;超过→>；不足→<；不低于→≥；不大于→≤。 易错点：看到“至少”误用>，看到“至多”误用<;忽略实际问题中未知数必须取正整数。 辨析07糖水不等式理解误区 糖水不等式：b>a>0，m>0，则6b+m 易错点：随便代入负数使用；分不清分子分母大小关系，乱用糖水不等式。 辨析08含参数不等式(组)，端点取舍易错 已知不等式(组)解集求参数范围，要单独检验端点值能否取等。易错点：直接写范围，不判断端点是否包含；等号取舍判断错误。 【题型一】根据不等式的定义判断是否为不等式 【例1】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）已知“①；②；③；④；⑤”属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（25-26八年级上·四川成都·期中）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】根据不等式的基本性质判断选项是否正确 【例2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）下列变形正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）下列判断不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（25-26八年级上·湖南常德·期中）下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2-4】（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型三】判断是否为一元一次不等式 【例3】（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】（25-26八年级上·浙江台州·期中）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型四】解一元一次不等式（计算题） 【例4】（25-26八年级上·陕西西安·期中）解不等式：，并将其解集在数轴上表示出来． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东茂名·期中）解不等式： (1) (2)； 【变式4-2】（25-26八年级上·四川巴中·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式4-3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【题型五】在数轴上表示不等式的解集 【例5】（25-26八年级上·四川成都·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·全国·期中）不等式：的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型六】求一元一次不等式的整数解 【例6】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）求不等式的最小整数解． 【变式6-1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）若方程解是关于x的不等式的m的值，求这个不等式的最大整数解． 【变式6-2】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）求满足多项式的值不超过5的的负整数． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）将x用哪些实数代入，能够使得多项式的值小于或等于5？其中满足条件的负整数有哪些？ 【题型七】判断是否为一元一次不等式组 【例7】（25-26八年级上·福建莆田·期中）下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型八】解一元一次不等式组（计算题） 【例8】（26-27九年级上·陕西西安·期中）解不等式组 【变式8-1】解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为_____________________． 【变式8-2】（26-27九年级上·重庆九龙坡·期中）将不等式组的解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 【变式8-3】（26-27九年级上·湖南长沙·期中）解不等式组：，并把不等式组解集在数轴上表示出来 【题型九】列一元一次不等式 【例9】（25-26八年级上·河南新乡·期中）李轩每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距2千米．已知李轩步行的平均速度为100米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他要在15分钟的时间内到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设李轩需要跑步x分钟，则可列出的不等式为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·广西桂林·期中）某校组织研学活动，将租赁A型客车和B型客车共12辆．已知每辆A型客车可乘坐45人，每辆B型客车可乘坐35人，且要求总载客量不超过480人．设租赁A型客车x辆，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·山西晋中·期中）刺绣是我国民间传统手艺，苏绣作为我国四大名绣之一，闻名中外．某国际旅游公司计划购买仿真绣和双面绣两种苏绣作品共200件，已知双面绣作品单价300元，仿真绣作品单价200元，若总费用不超过50000元，则最多可购买双面绣作品多少件？设可购买双面绣作品件，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型十】列一元一次不等式组 【例10】（25-26八年级上·山东济宁·期中）七年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，则还剩7棵；若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．设同学人数为x人，则下列各选项能准确表示同学人数与植树棵数关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级上·四川遂宁·期中）若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2026·安徽宣城·二模）野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型一】忽略不等号方向改变 【例1】（25-26八年级上·四川乐山·期中）已知不等式组无解，则的取值范围是________． 易错警示 不等式两边同乘 / 除负数要变号；确定参数边界时，容易漏等号、错判端点是否可取。 【变式1-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）若关于的不等式组无解，则的取值范围是____________． 【变式1-2】（25-26八年级上·贵州黔南·期中）已知关于x的不等式组有解，则a的取值范围是_________． 【题型二】整数解个数求参，端点取值判断错误 【例2】（2026·湖南张家界·模拟预测）若关于x的不等式组有且只有五个整数解，则k的取值范围是_______． 易错警示 确定参数范围后，容易把临界值的等号取反，多算或少算整数。 【变式2-1】（25-26八年级上·山东滨州·期中）若关于的不等式组有且只有2个偶数解，则满足条件的的偶数解的个数为________． 【变式2-2】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知关于的不等式组只有2个整数解，则的取值范围是_______． 【变式2-3】（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）已知不等式组，有且仅有3个整数解，则的取值范围是______． 【题型三】混淆解集与参数的对应关系 【例3】（25-26八年级上·广东佛山·期中）不等式组的解集为，则的值为________． 易错警示 解集对比求参时，容易忽略参数带来的分类讨论，直接默认大小关系。 【变式3-1】（25-26八年级上·四川成都·期中）关于的不等式组的解集为，则的取值范围为______． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 【变式3-3】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 【变式3-4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若不等式组的解集为，则不等式组的解集为_______． 【题型一】根据一元一次不等式的定义求参数 【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______ 【变式1-1】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）若是关于的一元一次不等式，则______． 【变式1-2】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）若是关于的一元一次不等式，则________． 【题型二】求一元一次不等式解的最值 【例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【变式2-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级上·陕西商洛·期中）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型三】一元一次不等式实际应用之积分问题 【例3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）八（1）班道法课上进行了普法知识竞赛，共有20道题，规定答对一道题得5分，答错或不答一道题扣2分，若小辰希望总得分不少于70分，则他至少需要答对（     ） A．18道题 B．17道题 C．16道题 D．15道题 【变式3-1】（26-27八年级上·河南信阳·期中）某校组织开展了某次知识竞赛，共有道题，答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对（    ）道题． A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南南阳·期中）年“·中国旅游日”是第个中国旅游日，其中厚重的河南熠熠生辉，少林武术、龙门石刻、云台丹霞、汴京梦华……处国家级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标．某次河南文旅知识竞赛共有道选择题，答对一题得分，答错或不答一题扣分，要使总分不低于分，则至少应答对的题数为（     ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·广西桂林·期中）在某校班级足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场扣1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得20分，那么这个班至少要胜多少场？（     ） A． B． C． D． 【题型四】一元一次不等式实际应用之销售利润问题 【例4】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）育才中学计划为羽毛球活动小组购买A，B两种品牌的羽毛球．若购买4个A品牌的羽毛球和3个B品牌的羽毛球需用36元；若购买2个A品牌的羽毛球和5个B品牌的羽毛球需用32元． (1)求每个A品牌的羽毛球和每个B品牌的羽毛球各多少元； (2)育才中学决定购买以上两种品牌的羽毛球共80个，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少个A品牌的羽毛球？ 【变式4-1】（26-27九年级上·江西九江·期中）2026年中央一号文件强调“支持农村寄递物流设施共建共享，深化快递进村”．这一举措让小快递助力乡村振兴，跑出加速度．快递员也从“跑腿小哥”成了“乡村纽带”，托起了农村物流网．快递员一天的收益与他们当天取、送快递的数量有关，若一天取快递100件，送快递200件，当天收益为400元；若一天取快递200件，送快递100件，当天收益为500元． (1)快递员每取、送一件快递的收益分别是多少元？ (2)已知快递员甲某天取、送快递共260件，当天所获收益至少为300元，问：快递员甲这天至少取快递多少件？ 【变式4-2】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）第二十届爱知·名古屋亚运会已经在日本落下帷幕，中国运动员取得了骄人的战绩，亚运会上的各种纪念品也深受人们的喜爱，某专卖店准备购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品80个，B种纪念品40个，需要800元；若购进A种纪念品50个，B种纪念品30个，需要550元． (1)求该专卖店购进的A、B两种纪念品的单价是多少元？ (2)该专卖店准备1000元全部用来购进A、B两种纪念品，计划销售每个A种纪念品可获利润4元，销售每个B种纪念品可获利润5元，销售这两种纪念品的总利润不低于602元，那么该专卖店最多购进B种纪念品多少个？ 【变式4-3】（26-27八年级上·重庆九龙坡·期中）国庆假期，不少市民选购鲜花点缀居室，玫瑰、百合十分畅销，某花店同时销售玫瑰、百合两种花束，已知销售3束玫瑰和2束百合共获利120元，销售2束玫瑰和1束百合共获利70元． (1)该花店销售1束玫瑰、1束百合分别获利多少元？ (2)国庆假期前3天，该花店平均每天售出20束玫瑰和15束百合．国庆假期后4天，花店对两种花束进行降价销售，其中每束玫瑰降价元，每束百合降价10元，结果玫瑰平均每天多卖出5束，百合平均每天销量增长，为了使国庆7天假期的总利润至少达到5510元，求的最大值． 【题型五】一元一次不等式实际应用之方案选择问题 【例5】（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 在南宁市交警以“生命，幸‘盔’，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高．某电动自行车店计划分别购进50个高质量的既安全又防晒的头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：头盔80元/个，手套20元/副，现有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． (1)电动自行车店计划购买50个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费______元． (2)电动自行车店计划购买50个安全头盔和副手套（）． 若选择方案一购买，需要花费______元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费______元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买50个安全头盔和副手套（），应该如何选择购买方案更省钱？ 【变式5-1】（26-27八年级上·湖南湘潭·期中）根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元 问题解决： (1)任务一：在活动中，学生共卖出了斤草莓，销售总收入为元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在元以内（含元），请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【变式5-2】（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）某学校组织七年级学生到水上公园游玩，可供租用的船只分为大小两种，七年级一班租用6只大船和4只小船共付租金260元；七年级二班租用7只大船和3只小船共付租金270元． (1)求每只大船和小船的租金分别为多少元． (2)若七年级三班共有46人，每只大船最多只能坐5人，每只小船最多只能坐3人，请你直接写出最省钱的租船方案． 【变式5-3】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）2026年6月，由国家卫生健康委等16个部门启动的“体重管理年”活动迎来两周年，为响应全民健身的号召，某健身器材专卖店推出两种优惠方案（规定只能选择其中一种）： 方案一：所购商品按原价打八折． 方案二：若所购商品原价超过80元，可以使用80元代金券． 设顾客购买的健身器材原价为元． (1)若顾客选择方案一，共花费________元；若顾客选择方案二，需要花费________元； (2)对于方案一和方案二两种不同的优惠方案，顾客怎样选择花费较少？ 【题型六】不等式组实际应用之行程问题 【例6】某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）校运动会前，数学兴趣小组对400米跑道（由两条直道和两个半圆弯道构成）和米接力赛进行了研究． (1)若弯道直径比直道短12米．若跑道内圈周长为400米，取3．求弯道直径（结果保留整数）． (2)若每条跑道宽为米，为使米接力时每队跑的距离都是400米，第2道的起跑线应比第1道前移多少米？（结果保留和） (3)在米接力赛中，接力区总长是30米，前20米为预跑区，后10米为传接棒区．甲匀速冲向接力区，乙在接力区起点处静止．当甲距乙20米时，乙由静止开始匀加速起跑（匀加速运动中，若初速度为0，末速度为，则平均速度为），乙用10米距离加速到恒定速度，之后保持匀速跑．已知甲的速度比乙的恒定速度快2米/秒．为保证在传接棒区内完成交接，求乙的恒定速度的取值范围． 【变式6-2】（25-26九年级下·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库调运一批货物到仓库，途中必须经过中转站．仓库到中转站的距离为千米，中转站到仓库的距离为千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时元，货物需要在中转站停留小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物元． （运输总成本直接运输成本中转操作成本；直接运输成本运输距离运输时间） (1)如果货车的平均行驶速度为千米小时，写出从仓库到仓库的运输时间______小时，直接运输成本______元；运输总成本______元； (2)仓库到中转站路段：货车的平均行驶速度为千米小时；中转站到仓库路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米小时．从仓库到仓库全程用时小时（全程用时运输时间中转站停留时间），求：货车从仓库到中转站的平均行驶速度； (3)在（）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在小时到小时之间（含端点值），记货车从仓库到中转站的平均速度千米小时，请直接写出的取值范围______． 【变式6-4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型七】不等式组实际应用之工程问题 【例7】（25-26八年级上·全国·期中）为实现区域教育均衡发展，重庆市计划今后几年对我区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1300万元．改造一所中学和一所小学共需资金135万元；改造两所中学和一所小学共需资金215万元． (1)改造一所中学和一所小学所需的资金分别是多少万元？ (2)若我区要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学有多少所？ (3)重庆市计划今年对我区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元．请你通过计算求出有哪几种改造方案？ 【变式7-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【变式7-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 【题型八】不等式组实际应用之经济问题 【例8】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图为未来文具店某种铅笔的销售方式． 小明到该店购买这种铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；同样用120元，也可以按批发价付款，可多购买40支． (1)若小明所在学校八年级的学生总数是a人，用含a的式子解决下面的问题： ①一支铅笔的零售价为元，一支铅笔的批发价为元； ②一支铅笔的零售价比批发价多多少元？ (2)小明说，“根据我校八年级人数以及需要，我按批发价购买了336支，与按零售价购买280支的总花费相同”；文具店店长说，“你说的这种情况不可能”．请你判断小明和店长谁说得对，并说明理由． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）为促进淡水养殖业的发展，某地为了将淡水鱼的价格控制在每千克8元到14元之间，决定对淡水鱼提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克．据调查，要使每日市场的淡水鱼供应量与日需求量正好相等，与应满足等式．为使市场价格不高于9元/千克，政府补贴至少应为多少元/千克？ 【变式8-2】（25-26八年级上·广东阳江·期中）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准．“一盔”是驾乘摩托车、电动车佩戴安全头盔．某商场欲购进一批头盔，已知购进1个甲型头盔和2个乙型头盔需要160元，购进3个甲型头盔和4个乙型头盔需要350元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔（要求两种头盔都要购买），总费用不超过10200元，则最少应购进甲型头盔多少个？ 【变式8-3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元． (1)求，两种商品每件进价各为多少元． (2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？ 【变式8-4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； (2)某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 【变式8-5】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包装产品．已知购进盒传统奶豆腐与购进盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食奶片的进价高元． (1)求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？ (2)为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过元的资金购进这两种产品共盒．若传统奶豆腐每盒售价为元，即食奶片每盒售价为元，且全部售出后利润不低于元，则最多可购进传统奶豆腐多少盒？ 【题型九】不等式组实际应用之分配问题 【例9】（25-26八年级上·河南安阳·期中）把一篮苹果分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分5个，则最后一个学生能分到苹果，但最多分3个．用不等式组的知识求出可能有几人和相应的苹果数． 【变式9-1】（25-26八年级上·四川乐山·期中）用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【变式9-2】（25-26八年级上·福建福州·期中）某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【变式9-3】（2026·陕西西安·模拟预测）为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【题型十】不等式组实际应用之方案选择问题 【例10】（26-27八年级上·黑龙江大庆·期中）学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． (1)设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； (2)若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 【变式10-1】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 第13届亚洲体操锦标赛和第19届亚洲青年体操锦标赛于2026年6月15日至29日在遵义市奥体中心体育馆举办，赛事组委会于6月1日在北京举行新闻发布会，发布赛事口号、赛徽、吉祥物和奖牌，其中吉祥物是“辣宝”、“茶宝”、“酱宝”． 素材一 购买1个“辣宝”和1个“茶宝”，共需25元． 购买2个“辣宝”和1个“茶宝”，共需35元． 素材二 轩轩计划购买“辣宝”和“茶宝”共10个，总费用不超过120元，且购买“辣宝”的数量不超过“茶宝”数量的4倍． 完成下列任务： (1)任务一：结合素材一，请求出“辣宝”“茶宝”的单价； (2)任务二：结合素材一和素材二，请帮轩轩求出有几种购买方案． 【变式10-2】（26-27八年级上·湖南长沙·期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 【变式10-3】（26-27九年级上·四川达州·期中）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【题型十一】不等式组实际应用之阶梯收费问题 【例11】（25-26八年级上·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式11-1】为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【题型十二】不等式组与参数解答题综合 【例12】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解是二元一次方程的一组解，求m的值； (2)若此方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【变式12-1】（25-26八年级上·河南周口·期中）已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 【变式12-2】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足且是非负数． (1)求的取值范围； (2)当为整数时，不等式的解集为，求满足所有条件的的值． 【变式12-3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）已知关于x、y的方程组 (1)当时，求的值； (2)若，求a的取值范围． 【变式12-4】（25-26八年级上·河北沧州·期中）已知关于x，y的方程组 (1)若该方程组的解满足，求m的值； (2)若该方程组的解满足x为正数，y为负数，求m的取值范围． 【题型十三】不等式组中新定义类问题 【例13】（25-26八年级上·山东临沂·期中）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“琅琊解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“琅琊解”． (1)是方程和下列不等式_______的“琅琊解”；（填序号） ①；②；③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“琅琊解”，求的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“琅琊解”，且不等式组的正整数解有4个，试求的取值范围． 【变式13-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)若关于的方程的解是不等式组的“内含解”，且该不等式组恰好有4个整数解，求的取值范围． 【变式13-2】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）阅读理解： 定义：若一个未知数的值使方程（组）与不等式（组）同时成立，则称这个未知数的值是该方程（组）与不等式（组）的“关联公共解”．例如：当时，方程与不等式同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联公共解”． 问题解决： (1)方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“关联公共解”_________ ①    ②    ③ (2)若方程组与不等式存在“关联公共解”，求的取值范围． (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“关联公共解”．若且满足条件的整数有且只有2个，求的取值范围． 【变式13-3】（25-26八年级上·北京顺义·期中）若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 【题型一】绝对值不等式模型 模型公式： 解题步骤 1.看绝对值右侧常数，确认 2.根据不等号类型去掉绝对值符号： 小于号：转化为复合不等式，在和之间； 大于号：拆成两个独立不等式，“两头向外”; 3.分别化简不等式； 4.写出最终解集，在数轴验证。 易错提示：a为负数时，无解；解集为全体实数。 【例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 请仔细阅读下面材料并完成相应的任务． 【定义概念】我们定义：形如（为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．利用绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： （ⅰ）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为． （ⅱ）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或． 任务： 【简单运用】 (1)不等式的解集是______； (2)不等式的解集是______； 【拓展探究】 (3)已知绝对值不等式的解集为，则______；______； (4)请求出绝对值不等式的解集 【变式1-1】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川成都·期中）一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．结合数轴观察： 解不等式，x表示到原点的距离小于3的数，如图1所示，不等式解集是； 解不等式，x表示到原点的距离大于3的数，如图2所示，不等式解集是或． 解答下面的问题： (1)的解集为__________，的解集为____________________； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的整数值； 【变式1-3】（25-26八年级上·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【题型二】一元一次不等式解决几何问题（压轴）：几何不等关系模型 【例2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在长方形中，，．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿的方向向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，________； (2)①点在上运动时，________．（用含的代数式来表示） ②若点为线段的中点，的面积为，用含的代数式表示（）． 当时，________． 当时，________． 当时，________．（所填结果均需化简） (3)若点从出发2秒后，点以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，点运动到达点后立即沿着原路原速返回到点．当与在运动的路线上相距不超过1时，请直接写出相应的取值范围． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【变式2-2】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．D为的中点，动点P从A点出发，先以的速度沿运动，到达点B后再以的速度沿向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为． (1)当_____s时，点P运动到点B； (2)当点P在边上运动时，若以P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值； (3)当点P在B、D之间运动时，_____；当点P在D、C之间运动时，_____；（用含t的代数式表示） (4)当时，请直接写出t的取值范围． 【变式2-3】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【题型三】等式组与方程组的结合：方程组+不等式约束模型 1.解二元一次方程组，用含参数的代数式表示出x、y; 2.把x、y代入题干给出的不等关系式(如x+y>0，x-y≤5)； 3.得到只含参数的一元一次不等式； 4.解不等式，求出参数取值范围； 5.检验参数是否会造成方程组无解，排除无效范围。 【例3】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是______． 【变式3-1】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 【变式3-2】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）关于，的方程组，且，令，则的取值范围是________． 【变式3-3】（25-26八年级上·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【变式3-4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 技巧 一句话要点 不等式定义判断——概念辨析法 根据不等号识别不等式，区分等式、代数式，不含等号判断。 不等式性质判断——性质分析法 不等式两边同乘除负数，不等号方向必须改变；注意0的特殊情况。 一元一次不等式识别——定义筛选法 满足只含一个未知数、未知数最高次数为1，且两边都是整式。 一元一次不等式求参——定义限定法 依据一元一次不等式定义，限制未知数次数、系数不为0，求解参数。 解一元一次不等式（数轴）——五步解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，注意变号。 求不等式整数解——筛选取值法 先求出不等式解集，再在解集范围内挑出符合条件的整数。 数轴表示解集——边界画法 大于向右、小于向左；空心圈不含等号，实心点包含等于。 不等式解的最值——边界取值法 观察解集端点，根据是否含等号确定可取的最大/最小值。 绝对值型不等式——分类去绝对值法 按绝对值内式子正负分类去掉绝对值符号，转化普通不等式求解。 列一元一次不等式——文字转译法 抓住“至少、不超过、大于”等关键词，把文字描述翻译成不等式。 不等式实际应用（积分/利润/方案/行程/工程/经济/分配/阶梯收费）——应用题建模法 审题找不等关系，设未知数列出不等式，求解后检验结果符合实际意义。 一元一次不等式几何压轴——几何约束法 结合图形边长、角度限制列出不等关系，求解后检验几何合理性。 一元一次不等式组识别——概念辨析法 由两个及以上含相同未知数的一元一次不等式组合而成。 解一元一次不等式组——同解合并法 分别解每个不等式，再取解集的公共部分，口诀：同大取大，同小取小。 不等式组整数解个数求参——边界估算法 先解不等式组，根据整数解数量锁定参数范围，重点判断端点能否取等。 不等式组有无解求参——公共集判断法 对比两个不等式解集，看是否存在公共部分，临界端点检验等号。 不等式组解集求参数值——解集对比法 将化简后的解集与题干给出解集比对，列等式求参数。 不等式组与方程组结合——代换约束法 先用参数表示方程组的解，代入不等关系，解关于参数的不等式。 含参不等式组综合解答题——分类讨论法 对参数大小分类，分别求解不等式，确定不同情况下的解集。 不等式组新定义问题——定义翻译法 读懂题目新运算规则，将新定义式子转化为不等式（组）求解。 列一元一次不等式组——多关系提取法 找出题目中多处不等关系，列出多个一元一次不等式组成不等式组。 1/49 学科网（北京）股份有限公司 $