专题02 坐标与图形变换、综合应用（专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题02 坐标与图形变换、综合应用 常考题型·精准突破 【题型 1】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 【题型 2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 【题型 3】坐标与图形轴对称综合作图 【题型 4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 【题型 5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型・1】坐标与图形变换、综合应用 1．在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵点，点的纵坐标相同， ∴线段平行于x轴， ∴． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，直线轴，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】直线轴，则点和点的纵坐标相等，可得 ． 解方程，得 ． 3．已知长方形的三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形对边平行的性质，结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，即可推导D点坐标． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，，， 由已知，， ∴轴， ∴轴， ∵， ∴点横坐标， 又∵，， ∴轴， ∴轴， ∵点纵坐标为， ∴点纵坐标， ∴点坐标为． 4．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 【详解】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 5．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵线段平移得到线段，点A的对应点是， 由坐标可知，线段向右平移4个单位长度，向下平移个1单位长度得到线段， 点B的对应点D的坐标是，即． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．将折线段平移，使点的对应点移动到点处，平移后，轴，轴，记这次平移为一次平移．按上述方式平移次后，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，找到规律即可解答． 【详解】解：根据平移可得 第1次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 第2次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 第次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 则平移次后，点的对应点的坐标为． ◆【题型・2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 7．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 9．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 11．请用我们学过的知识解决下列问题：如图1，平面直角坐标系中，，，，，为的整数部分． (1)________； (2)点为轴上的一个动点，若，求点的坐标； (3)点在一三象限角平分线上，将点向右平移3个单位长度至点，若的面积等于14，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质和无理数的整数部分，求出的值，再代入计算； （2）先求出的面积，再根据面积关系求出的面积，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而确定的坐标； （3）一三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，设，根据平移性质得到，再利用坐标法求的面积，列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 又为的整数部分，且， ， ． （2）解：由（1）可知，，，， 、在轴上，的长度为： ， 以为底，到（轴）的距离为， 所以：， 因为， 所以：， 设点的坐标为，在轴上，到（轴）的距离为， 由三角形面积公式：， ， 解得：，即或， 因此，点的坐标为或． （3）解：因为点在一三象限角平分线上，所以的横、纵坐标相等，设， 将点向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得， ①当点在第一象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得； ②当点在第三象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得， 因此，点的坐标为或． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 【答案】(1) (2) ①当点P在点D右边时，如图，过点M作， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ②当点P在点D左边时， 同理可得， ∴， 即， 故三个角的关系为或． (3)或或 【分析】（1）线段沿轴向右平移个单位，根据“右加左减”原则计算即可； （2）根据点P为射线上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）根据坐标平移的规律，将线段沿x轴向右平移12个单位长度，纵坐标不变，横坐标加，即，． 故，． （2） 略 （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①点P在点A右边，N在正半轴时， 可得， 设，则， ∴， ∴， ∴； N在负半轴时，点C在的下方时， 可得， 设， ∴， ∴， ∴； ②点P在点D右边，点C在的上方时如图，连接， 可得， 设， ∴， ∴， ∴， 故P点的坐标为或或． 【点睛】本题围绕平面直角坐标系中的平移变换展开，综合考查以下知识点：平面直角坐标系与点的平移，平行线的性质与判定，三角形面积计算，分类讨论思想；解题的关键点在于：平移坐标的确定，角度关系的转化，面积公式的应用，分类讨论的实施；易错点在于：平移坐标错误，角度关系推导错误，面积计算错误，分类讨论遗漏． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的坐标特征与点的运动，以及三角形面积计算，解题关键是利用长方形性质确定点坐标，结合路程分析点位置，进而求解． （1）利用长方形对边相等的性质，由、，直接得出点坐标；根据点移动速度和时间算出移动路程，结合长方形边长，确定时在上的位置，从而得到坐标 ． （2）根据移动时间和速度算出时移动路程，对比长方形各边长度和，确定在上，求出长度，再以为底、为高，用三角形面积公式算出面积 ． 【详解】（1）∵四边形是长方形，，，长方形对边相等， ∴点坐标为 ． ∵点速度是每秒个单位长度， ∴点P移动时，移动的路程是个单位． 长方形中，，，点从出发沿移动，长，，即点在上且距离点个单位， 所以坐标为 ． 故答案为：，； （2）解：如图 ∵点移动， ∴移动路程为个单位． 长方形周长为，，， ∴点在上， ∴， ． ◆【题型・3】坐标与图形轴对称综合作图 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 【答案】(1) (2)；点的坐标为 (3)向上平移4个单位 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，写出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质，作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵向下平移4个单位长度得到，和关于轴对称， ∴将向上平移4个单位，即可使与关于轴对称. 15．如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． (1)在图中作出关于直线m对称的，并求出的面积； (2)线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标________； (3)线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标________． 【答案】(1)解：所作如图所示： (2) (3) 【分析】（1）分别作出关于直线m的对称点，再顺次连接即可； （2）由图知，再利用坐标中点公式求出点D的坐标，最后结合轴对称性质求解，即可解题； （3）根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图知， 的坐标为，即， ， 点D关于直线m对称点的坐标为； （3）解：线段上有一点， ， 点M关于直线m对称点的坐标为． 16．如图，在边长为个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形（和为对称点）； (2)如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用轴对称的性质，分别作出、、三点关于直线的对称点、、，依次连接即可； （2）根据直角坐标系直接写出点和的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由直角坐标系可得，点的坐标为，点的坐标为． 17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点、的坐标分别为，，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并直接写出点的坐标为________； (2)请画出与关于轴对称的，并写出点，，的坐标． 【答案】(1) 如图：； (2) 如图所示，△即为所求， ，， 【分析】本题主要考查了作图轴对称变换，画轴对称图形关键是确定组成图形的关键点的对称点位置； （1）根据点坐标确定原点位置，再建立坐标系即可； （2）首先确定、、三点关于轴的对称点，再连接即可． 【详解】（1）解：故答案为：； （2）解：． 18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． (1)作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； (2)连接，则直线与线段的关系是__________； (3)在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； 、、； (2)直线垂直平分线段； (3)． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，线段垂直平分线，轴对称的性质，掌握作轴对称图形的基本作法是解题的关键． （）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接，再根据点的位置写出坐标即可； （）根据轴对称性质即可求解； （）先找出中点，延长，交直线于点，根据网格即可求出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由轴对称性质可知，则直线与线段的关系是直线垂直平分线段， 故答案为：直线垂直平分线段； （3）解：如图，先找出中点，延长，交直线于点， 由网格可得：点的坐标． ◆【题型・4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 19．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 20．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察点的坐标变化，发现纵坐标每5次循环一次，横坐标每5次增加3，根据是的倍数确定点的纵坐标，结合选项即可求解． 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3， ∵， 与的纵坐标相同，即为，横坐标为， ∴点的坐标是， 21．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，每个点为一个循环，分别位于第三、二、一、四象限，根据是的倍数，确定位于第四象限且属于第个正方形即可求解． 【详解】解：由图可知，每个点为一组，对应一个正方形，且顺序依次为第三、二、一、四象限， ， 位于第个正方形的第四象限顶点处， 第个正方形的边长为，中心在原点， 第个正方形顶点的横、纵坐标绝对值均为， 第四象限点的符号特征为， 的坐标为． 22．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，，，……， ∴， ∴， ∵点，，，，……， ∴点与的横坐标相同，纵坐标小2， ∴， ∴点的坐标为． 23．如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点P的坐标变化规律即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得：，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当P点第2020次碰到矩形的边时的坐标与P点第4次反弹碰到矩形的边时的坐标相同， ∴点P的坐标为． 24．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 25．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点的坐标求出四边形各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第21圈的第26个单位长度的位置， ∵从点出发，按的方向绕行，且， ∴细线另一端落在边上，且距离点为26个单位长度， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， 即细线另一端所在位置的点的坐标是． ◆【题型・5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是5，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以3个单位长度的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度的速度沿x轴向右移动，Q到达A点后，P、Q同时停止运动． (1)点B的坐标为___________； (2)当时，点P的坐标为___________，点Q的坐标为___________； (3)当点P，Q满足四边形的面积为30时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且轴， ∴点B的横坐标为9， ∵点B是第一象限的点，且点B到x轴的距离是5， ∴点B的纵坐标为5， ∴点B的坐标为；． （2）解：过点B作x轴的平行线a，动点P从点B出发，以3个单位长度的速度沿直线a向左移动， ∴当时，点P向左移动3个单位长度，且点P的纵坐标为5， ∴点P的坐标为，即； ∵动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度的速度沿x轴向右移动， ∴当时，点Q的坐标为； （3）解：设经过t秒，四边形的面积为30， 此时，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：，此时， ∴点P的坐标为，即． 27．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段平移至线段，其中点A，B的对应点分别为C，D，点C的坐标为，连接． (1)点D的坐标为________； (2)如图①，点分别在线段上（不与线段端点重合），连接，试探究，，之间存在的数量关系； (3)如图②，点P在射线上，点Q的坐标为，当三角形的面积是三角形面积的5倍时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据平移性质求解即可； （2）由平移性质可知，过点M作，根据平行线的性质解答即可； （3）设，分为①当点P在线段上时，连接，根据求出三角形的面积，再根据三角形的面积是三角形面积的5倍，列方程求解即可；②当点P在射线上时，根据求出三角形的面积，同理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵，，，线段平移至线段， ∴平移规则为：横坐标加，纵坐标加， ∴D的坐标为； （2）解：由平移性质可知， 过点M作， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：设，其中， ①当点P在线段上时，连接，此时， ∵， ∴， ∵点Q的坐标为，D的坐标为， ∴ ， ∵三角形的面积是三角形面积的5倍， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； ②当点P在射线上时，此时， ∴， ∵点Q的坐标为，D的坐标为， ∴ ， ∵三角形的面积是三角形面积的5倍， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 28．如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，以，所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)________；________． (2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒． 问：是否存在这样的t，使得与的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)6；8；24； (2)存在时，使得与的面积相等； (3)，证明如下： ∵x轴轴， ∴，， 又∵， ∴， ∵y轴平分， ∴ ∴ ∴， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴，， ∴即． 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：由题意可知，； ∴，， 由时， ∴存在时,使得与的面积相等． （3）略 29．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)如图②，若是射线上的一个动点，连接，，当点在射线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)20 (3)存在，点的坐标为或 (4)当点在线段上时，；当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减，即可得出结果； （2）根据平移的性质，并结合题意计算即可得出结果； （3）由题意可得，，再结合题意求出，从而可得点的横坐标，即可得出结果； （4）分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别结合平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：四边形的面积为； （3）解：由题意可得，， ∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或； （4）解：如图，当点在线段上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 如图，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 综上所述，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是的整数部分，的平方根是． (1)求，的值，并写出点、点的坐标； (2)坐标轴上，两个动点同时出发，点从出发沿轴负方向，以每秒4个单位长度的速度匀速运动；点从原点出发沿轴正方向，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当运动到点时全程停止．已知线段中点坐标为，设运动时间为秒．是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知，点在第二象限，轴平分；点是线段上动点，连接交于点．在运动过程中，探究、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，，， (2)存在，或 (3)解：，证明如下： 过点作， ， ，， ， ， 轴平分， ， ， ， ， ，， ， ． 【分析】（1）根据算术平方根的估算方法及平方根的定义求出，的值，即可求出点、点的坐标； （2）当运动时间为时，，，根据列方程求解即可； （3）过点作，根据题意得到，根据角平分线的定义求出，可知，即，得到，，即． 【详解】（1）解：， ， 的平方根是， ， 解得， ，； （2）解：当运动时间为时，，． ， ， 解得或， ∴当或时，与的面积相等； （3）略． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知每四次变换为一个循环组依次循环，用除以，根据余数确定变换后的点所在的象限及坐标． 【详解】解：由图可知变换规律如下： 第1次关于轴对称，点变为； 第2次关于轴对称，点变为； 第3次关于轴对称，点变为； 第4次关于轴对称，点变为，回到初始位置； 每4次变换为一个循环组； ； 第2026次变换后的位置与第2次变换后的位置相同； 点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察已知点坐标，发现横坐标等于下标，纵坐标呈现周期性变化规律，根据周期性求解即可． 【详解】解：由，，，，及图形可知， 点的横坐标为， 纵坐标依次为， ∴纵坐标每6个数为一个循环周期， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，即为0， ∴的坐标为． 3．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先确定平移方式，然后求解即可 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移时横坐标减3，纵坐标加4. ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为. 4．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 5．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2026个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察点的排列规律，发现完全平方数位置的点坐标具有特定规律，据此推导第2025个点的坐标，进而确定第2026个点的坐标； 【详解】解：观察图形可知： 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ， 当为奇数时，第个点的坐标为， 当为偶数时，第个点的坐标为， ，且45为奇数， 第2025个点的坐标为， 由图可知，第个点（为奇数）的下一个点是向右平移1个单位， 第2026个点的坐标为． 7．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在平面直角坐标系中，且与全等，则点D的坐标是________________． 【答案】或或 【分析】根据全等三角形的性质结合轴对称的性质求解即可. 【详解】解：∵点不与点重合，且与全等， ∴可画图形如下， 当点C、D关于线段的垂直平分线对称时，． 当点C、D关于直线对称时，，. 综上：的坐标为或或. 8．在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的点在第四象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据点的平移得到平移后的点的坐标为，结合第四象限点的符号特点列式计算即可． 【详解】解：由题意得，平移后的点的坐标为， ∵平移后的点在第四象限， ∴， 解得， ∴m的取值范围为． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据点坐标求出矩形周长，计算出循环一周时间，再进行判断秒循环的次数，即可确定坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴矩形周长为， ∵机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度移动， ∴机器人每秒完成一次循环， ∴， ∴机器人处于第圈的第秒的位置， ∴点沿着到达点时，用时秒， 点沿着到达点，用时秒， 点沿着运动时，第秒位置是点向左平移个单位，到达， ∴当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是． 10．小球起始位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图①所示．若小球起始位于处，如图②，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置坐标是_____________． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出小球前几次碰到球桌边时的坐标，观察坐标的变化规律，确定循环周期，利用周期性求解即可； 【详解】解：由题意可知，小球起始位置为，第一次碰到球桌边时的位置坐标是；第二次碰到球桌边时的位置坐标为；第三次碰到球桌边时的位置坐标为；第四次碰到球桌边时的位置坐标为；第五次碰到球桌边时的位置坐标为；第六次碰到球桌边时的位置坐标为；此时小球回到起始位置； 小球碰到球桌边的位置坐标每次为一个循环周期， ， 小球第次碰到球桌边时的位置与第次碰到球桌边时的位置相同， 即坐标为． 11．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． (1)分别求出A，C两点的坐标； (2)当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 【答案】(1)点，点 (2) (3)的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）． 【分析】（1）由点A，点C分别在x轴上，y轴上，可求解； （2）通过计算可得此时点P在上，且，可求点P坐标； （3）分点P在，，，上，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：（1）点在轴上，点在轴上， ， ， 点，点； （2）由（1）可知：点，点， 当点移动了4秒时，移动的路程为：， 此时点在上，且， 点； （3）①如图1所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ②如图2所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ③如图3所示，当点在上时， 的面积为10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ④如图4所示，当点在上时， 的面积是10， ，即，解得， 点的坐标为， 运动时间为（秒）． 综上所述：①的坐标为，运动时间为（秒）；②点的坐标为，运动时间为（秒）；③点的坐标为，运动时间为（秒）；④点的坐标为，运动时间为（秒）． 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒后，轴，此时P，Q两点的横坐标相等，据此列方程求解即可； （4）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，且轴， 点的横坐标为9， 点是第一象限的点，且点到轴的距离是5， 点的纵坐标为5， 点的坐标为； （2）解：过点作轴的平行线，动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动， 当时，点向左移动3个单位长度，且点的纵坐标为5， 点的坐标为，即； 动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动， 当时，点的坐标为； （3）解：设经过t秒，轴，此时P，Q两点的横坐标相等， 由题意可知，P、Q两点的横坐标分别为、t， 则， 解得： （4）解：设经过t秒，四边形的面积为30，此时，， ， ，， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为，即． 13．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将线段向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到对应线段，连接，，． (1)点的坐标为________，点的坐标为________． (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若是射线上的一个动点，连接，，当点运动时，请猜想，，之间的数量关系，并结合图形说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；理由如下： 如图1，当点在线段上时，过点作轴，则． ，． ． 如图2，当点在的延长线上时，过点作轴，则． ，． ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）求出，根据三角形的面积等于三角形面积的一半，即可求解； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，结合平行线的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将线段向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到对应线段， ∴点，，即， ∴点，即； （2）解：存在． 如图，连接， 由（1）可知，点到轴的距离为3，． ， ∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ． ∵，解得． ∴点的坐标为或． （3）略 14．在平面直角坐标系中，点在第一象限，将点向左平移个单位得到点，点，用表示三角形面积． (1)如图，若点在轴上． ①求的值并用含的式子表示点的坐标； ②若，求点的坐标； (2)若，连接，使线段与轴有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，   ② (2)或 【分析】（1）①由在轴上的点的横坐标为，即可求出的值；由平面直角坐标系中点的平移规律：左减右加，上加下减即可求出点的坐标； ②； （2）由题意可知：点、点在轴的异侧或至少有一点在轴上，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， 点向左平移个单位得到点， 点的横坐标减，即； ② ，， ， ， ， 点在第一象限， ； （2）解：由题意可知：，， 点在第一象限， ，解得， 线段与轴有公共点， 点、点在轴的异侧，或至少有一点在轴上， 当点在右侧（含轴）、点在左侧（含轴）时， ，解得， 当点在左侧（含轴）、点在右侧（含轴）时， ，解得， ， ， 综上所述：或． 15．如图1，已知点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，，满足． (1)填空：写出，，三点的坐标：__________，__________，__________； (2)若点在线段上，连接． ①三角形的面积为__________，三角形的面积为__________．（用含，的式子表示） ②求证： (3)如图2，连接，动点从点开始在轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点从点开始在轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动．若经过，三角形与三角形的面积相等，直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①． ②证明：，轴． ． ， ， 即． ． (3)或2 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）①根据三角形的面积公式以及坐标与图形性质可得答案； ②根据，列式计算即可得出答案； （3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，利用面积关系，构建方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段平移至线段，其中点与点对应，点与点对应， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴； （2）解：①如图， ∵点在线段上， ∴三角形的面积为，三角形的面积为； ②略 （3）解：∵动点从点开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动． 当点在线段上时，，， ∵三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得：， ②当点在的延长线上时，，， ∵三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得：， 综上所述，或2． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 坐标与图形变换、综合应用 常考题型·精准突破 【题型 1】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 【题型 2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 【题型 3】坐标与图形轴对称综合作图 【题型 4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 【题型 5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆【题型・1】坐标与图形变换、综合应用 1．在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在平面直角坐标系中，已知点，，直线轴，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知长方形的三个顶点的坐标分别是，，，则第四个顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．将折线段平移，使点的对应点移动到点处，平移后，轴，轴，记这次平移为一次平移．按上述方式平移次后，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． ◆【题型・2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 7．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 8．如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 9．在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形和三角形面积相等，则点C的坐标为______________． 10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 11．请用我们学过的知识解决下列问题：如图1，平面直角坐标系中，，，，，为的整数部分． (1)________； (2)点为轴上的一个动点，若，求点的坐标； (3)点在一三象限角平分线上，将点向右平移3个单位长度至点，若的面积等于14，求点坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，，，将线段沿x轴向右平移12个单位长度得到线段，点P 为射线上一动点． (1)点C 的坐标为_________，点D 的坐标为________； (2)如图①，点M是线段上一点（不与点C，D重合），当点P 在线段上运动时（点P不与点D重合），连接之间有怎样的数量关系？ 请说明理由； (3)如图②，点N是y轴上任意一点，连接，若，三角形的面积等于三角形的面积，求点 P 的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． ◆【题型・3】坐标与图形轴对称综合作图 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出向下平移4个单位长度的；（点，，的对应点分别为，，） (2)作出关于轴对称的（点，，的对称点为，，）并直接写出点的坐标； (3)如何平移才能使它与关于轴对称？ 15．如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． (1)在图中作出关于直线m对称的，并求出的面积； (2)线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标________； (3)线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标________． 16．如图，在边长为个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上． (1)画出关于直线对称的图形（和为对称点）； (2)如果以图中的为原点建立直角坐标系，写出点和的坐标． 17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点、的坐标分别为，，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立恰当的平面直角坐标系，并直接写出点的坐标为________； (2)请画出与关于轴对称的，并写出点，，的坐标． 18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． (1)作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； (2)连接，则直线与线段的关系是__________； (3)在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． ◆【题型・4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 19．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，…那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点．…．按这样的运动规律．点的坐标是（     ） A． B． C． D． 21．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 25．如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． ◆【题型・5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 26．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是5，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以3个单位长度的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度的速度沿x轴向右移动，Q到达A点后，P、Q同时停止运动． (1)点B的坐标为___________； (2)当时，点P的坐标为___________，点Q的坐标为___________； (3)当点P，Q满足四边形的面积为30时，求点P的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段平移至线段，其中点A，B的对应点分别为C，D，点C的坐标为，连接． (1)点D的坐标为________； (2)如图①，点分别在线段上（不与线段端点重合），连接，试探究，，之间存在的数量关系； (3)如图②，点P在射线上，点Q的坐标为，当三角形的面积是三角形面积的5倍时，求点P的坐标． 28．如图，以直角三角形的直角顶点O为原点，以，所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，满足． (1)________；________． (2)已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点D的坐标是，设运动时间为t秒． 问：是否存在这样的t，使得与的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 29．如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求四边形的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (4)如图②，若是射线上的一个动点，连接，，当点在射线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是的整数部分，的平方根是． (1)求，的值，并写出点、点的坐标； (2)坐标轴上，两个动点同时出发，点从出发沿轴负方向，以每秒4个单位长度的速度匀速运动；点从原点出发沿轴正方向，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当运动到点时全程停止．已知线段中点坐标为，设运动时间为秒．是否存在，使得与的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知，点在第二象限，轴平分；点是线段上动点，连接交于点．在运动过程中，探究、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．已知，，，，，⋯，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2026个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D在平面直角坐标系中，且与全等，则点D的坐标是________________． 8．在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度，平移后的点在第四象限，则m的取值范围为______． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 10．小球起始位于点处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图①所示．若小球起始位于处，如图②，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2026次碰到球桌边时，小球的位置坐标是_____________． 11．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． (1)分别求出A，C两点的坐标； (2)当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 12．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是5，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动，到达点后，、同时停止运动． (1)点的坐标为_____； (2)当时，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (3)当点满足时，求的值； (4)当点满足四边形的面积为30时，求点的坐标． 13．如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将线段向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到对应线段，连接，，． (1)点的坐标为________，点的坐标为________． (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若是射线上的一个动点，连接，，当点运动时，请猜想，，之间的数量关系，并结合图形说明理由． 14．在平面直角坐标系中，点在第一象限，将点向左平移个单位得到点，点，用表示三角形面积． (1)如图，若点在轴上． ①求的值并用含的式子表示点的坐标； ②若，求点的坐标； (2)若，连接，使线段与轴有公共点，直接写出的取值范围． 15．如图1，已知点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，，满足． (1)填空：写出，，三点的坐标：__________，__________，__________； (2)若点在线段上，连接． ①三角形的面积为__________，三角形的面积为__________．（用含，的式子表示） ②求证： (3)如图2，连接，动点从点开始在轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点从点开始在轴上以每秒1个单位长度的速度向下运动．若经过，三角形与三角形的面积相等，直接写出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 坐标与图形变换、综合应用 常考题型·精准突破 ◆【题型・1】坐标与图形变换、综合应用 1． 【答案】B 【详解】解：∵点，点的纵坐标相同， ∴线段平行于x轴， ∴． 2． 【答案】B 【详解】直线轴，则点和点的纵坐标相等，可得 ． 解方程，得 ． 3． 【答案】A 【分析】利用长方形对边平行的性质，结合平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，即可推导D点坐标． 【详解】∵四边形是长方形， ∴，，， 由已知，， ∴轴， ∴轴， ∵， ∴点横坐标， 又∵，， ∴轴， ∴轴， ∵点纵坐标为， ∴点纵坐标， ∴点坐标为． 4． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 【详解】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 5． 【答案】B 【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵线段平移得到线段，点A的对应点是， 由坐标可知，线段向右平移4个单位长度，向下平移个1单位长度得到线段， 点B的对应点D的坐标是，即． 6． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，找到规律即可解答． 【详解】解：根据平移可得 第1次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 第2次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 第次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 则平移次后，点的对应点的坐标为． ◆【题型・2】坐标平面内求几何图形面积（割补法） 7． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 8． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 9． 【答案】或或 【分析】先计算出的面积，再分点C在x轴和点C在y轴两种情况讨论，根据两个三角形面积相等求出的长度，结合点C不与B重合的条件，即可得到点C的坐标． 【详解】解：由题意得，， 计算可得． 当点C在x轴上时， ， ， 解得， 点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ， ， 解得， 又点C不与点B重合， 点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 10． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 11． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质和无理数的整数部分，求出的值，再代入计算； （2）先求出的面积，再根据面积关系求出的面积，利用三角形面积公式求出点到的距离，进而确定的坐标； （3）一三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，设，根据平移性质得到，再利用坐标法求的面积，列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， 又为的整数部分，且， ， ． （2）解：由（1）可知，，，， 、在轴上，的长度为： ， 以为底，到（轴）的距离为， 所以：， 因为， 所以：， 设点的坐标为，在轴上，到（轴）的距离为， 由三角形面积公式：， ， 解得：，即或， 因此，点的坐标为或． （3）解：因为点在一三象限角平分线上，所以的横、纵坐标相等，设， 将点向右平移3个单位长度，横坐标加3，纵坐标不变，得， ①当点在第一象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得； ②当点在第三象限， 此时，即， ， 已知，则：， 解得， 因此，点的坐标为或． 12． 【答案】(1) (2) ①当点P在点D右边时，如图，过点M作， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 即 ②当点P在点D左边时， 同理可得， ∴， 即， 故三个角的关系为或． (3)或或 【分析】（1）线段沿轴向右平移个单位，根据“右加左减”原则计算即可； （2）根据点P为射线上一动点，当点P在点D右边时，当点P在点D左边时，利用平行线的性质进行解答即可； （3）根据点N在y轴正半轴或负半轴两种情况，再考虑点P在点A左边或者右边，利用的面积等于的面积列方程即可解答． 【详解】（1）根据坐标平移的规律，将线段沿x轴向右平移12个单位长度，纵坐标不变，横坐标加，即，． 故，． （2） 略 （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①点P在点A右边，N在正半轴时， 可得， 设，则， ∴， ∴， ∴； N在负半轴时，点C在的下方时， 可得， 设， ∴， ∴， ∴； ②点P在点D右边，点C在的上方时如图，连接， 可得， 设， ∴， ∴， ∴， 故P点的坐标为或或． 【点睛】本题围绕平面直角坐标系中的平移变换展开，综合考查以下知识点：平面直角坐标系与点的平移，平行线的性质与判定，三角形面积计算，分类讨论思想；解题的关键点在于：平移坐标的确定，角度关系的转化，面积公式的应用，分类讨论的实施；易错点在于：平移坐标错误，角度关系推导错误，面积计算错误，分类讨论遗漏． 13． (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的坐标特征与点的运动，以及三角形面积计算，解题关键是利用长方形性质确定点坐标，结合路程分析点位置，进而求解． （1）利用长方形对边相等的性质，由、，直接得出点坐标；根据点移动速度和时间算出移动路程，结合长方形边长，确定时在上的位置，从而得到坐标 ． （2）根据移动时间和速度算出时移动路程，对比长方形各边长度和，确定在上，求出长度，再以为底、为高，用三角形面积公式算出面积 ． 【详解】（1）∵四边形是长方形，，，长方形对边相等， ∴点坐标为 ． ∵点速度是每秒个单位长度， ∴点P移动时，移动的路程是个单位． 长方形中，，，点从出发沿移动，长，，即点在上且距离点个单位， 所以坐标为 ． 故答案为：，； （2）解：如图 ∵点移动， ∴移动路程为个单位． 长方形周长为，，， ∴点在上， ∴， ． ◆【题型・3】坐标与图形轴对称综合作图 14． 【答案】(1) (2)；点的坐标为 (3)向上平移4个单位 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，写出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质，作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵向下平移4个单位长度得到，和关于轴对称， ∴将向上平移4个单位，即可使与关于轴对称. 15． 【答案】(1)解：所作如图所示： (2) (3) 【分析】（1）分别作出关于直线m的对称点，再顺次连接即可； （2）由图知，再利用坐标中点公式求出点D的坐标，最后结合轴对称性质求解，即可解题； （3）根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图知， 的坐标为，即， ， 点D关于直线m对称点的坐标为； （3）解：线段上有一点， ， 点M关于直线m对称点的坐标为． 16． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用轴对称的性质，分别作出、、三点关于直线的对称点、、，依次连接即可； （2）根据直角坐标系直接写出点和的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由直角坐标系可得，点的坐标为，点的坐标为． 17． 【答案】(1) 如图：； (2) 如图所示，△即为所求， ，， 【分析】本题主要考查了作图轴对称变换，画轴对称图形关键是确定组成图形的关键点的对称点位置； （1）根据点坐标确定原点位置，再建立坐标系即可； （2）首先确定、、三点关于轴的对称点，再连接即可． 【详解】（1）解：故答案为：； （2）解：． 18． 【答案】(1)如图，即为所求； 、、； (2)直线垂直平分线段； (3)． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，线段垂直平分线，轴对称的性质，掌握作轴对称图形的基本作法是解题的关键． （）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接，再根据点的位置写出坐标即可； （）根据轴对称性质即可求解； （）先找出中点，延长，交直线于点，根据网格即可求出点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由轴对称性质可知，则直线与线段的关系是直线垂直平分线段， 故答案为：直线垂直平分线段； （3）解：如图，先找出中点，延长，交直线于点， 由网格可得：点的坐标． ◆【题型・4】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 19． 【答案】C 【分析】一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为，再结合，，得出（为正整数，即为第几个周期），由此规律计算即可得出结果． 【详解】解：一动点从原点O出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，每六次重复相同的运动轨迹，周期为， ，， 结合图象可得，，，，…， ∴（为正整数，即为第几个周期）， 令，解得， ∴， ∴点的坐标是， ∴点的坐标是． 20． 【答案】C 【分析】观察点的坐标变化，发现纵坐标每5次循环一次，横坐标每5次增加3，根据是的倍数确定点的纵坐标，结合选项即可求解． 【详解】解：由题意知，这些点每5个点循环一次，纵坐标依次为，横坐标每次循环增加3， ∵， 与的纵坐标相同，即为，横坐标为， ∴点的坐标是， 21． 【答案】C 【分析】观察图形可知，每个点为一个循环，分别位于第三、二、一、四象限，根据是的倍数，确定位于第四象限且属于第个正方形即可求解． 【详解】解：由图可知，每个点为一组，对应一个正方形，且顺序依次为第三、二、一、四象限， ， 位于第个正方形的第四象限顶点处， 第个正方形的边长为，中心在原点， 第个正方形顶点的横、纵坐标绝对值均为， 第四象限点的符号特征为， 的坐标为． 22． 【答案】B 【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，，，……， ∴， ∴， ∵点，，，，……， ∴点与的横坐标相同，纵坐标小2， ∴， ∴点的坐标为． 23． 【答案】B 【分析】根据点P的坐标变化规律即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得：，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当P点第2020次碰到矩形的边时的坐标与P点第4次反弹碰到矩形的边时的坐标相同， ∴点P的坐标为． 24． 【答案】B 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 25． 【答案】B 【分析】先根据点的坐标求出四边形各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第21圈的第26个单位长度的位置， ∵从点出发，按的方向绕行，且， ∴细线另一端落在边上，且距离点为26个单位长度， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， 即细线另一端所在位置的点的坐标是． ◆【题型・5】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 26． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且轴， ∴点B的横坐标为9， ∵点B是第一象限的点，且点B到x轴的距离是5， ∴点B的纵坐标为5， ∴点B的坐标为；． （2）解：过点B作x轴的平行线a，动点P从点B出发，以3个单位长度的速度沿直线a向左移动， ∴当时，点P向左移动3个单位长度，且点P的纵坐标为5， ∴点P的坐标为，即； ∵动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度的速度沿x轴向右移动， ∴当时，点Q的坐标为； （3）解：设经过t秒，四边形的面积为30， 此时，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：，此时， ∴点P的坐标为，即． 27． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）根据平移性质求解即可； （2）由平移性质可知，过点M作，根据平行线的性质解答即可； （3）设，分为①当点P在线段上时，连接，根据求出三角形的面积，再根据三角形的面积是三角形面积的5倍，列方程求解即可；②当点P在射线上时，根据求出三角形的面积，同理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵，，，线段平移至线段， ∴平移规则为：横坐标加，纵坐标加， ∴D的坐标为； （2）解：由平移性质可知， 过点M作， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）解：设，其中， ①当点P在线段上时，连接，此时， ∵， ∴， ∵点Q的坐标为，D的坐标为， ∴ ， ∵三角形的面积是三角形面积的5倍， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； ②当点P在射线上时，此时， ∴， ∵点Q的坐标为，D的坐标为， ∴ ， ∵三角形的面积是三角形面积的5倍， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 28． 【答案】(1)6；8；24； (2)存在时，使得与的面积相等； (3)，证明如下： ∵x轴轴， ∴，， 又∵， ∴， ∵y轴平分， ∴ ∴ ∴， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴，， ∴即． 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）先判断出，进而判断出，即可判断出，，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：由题意可知，； ∴，， 由时， ∴存在时,使得与的面积相等． （3）略 29． 【答案】(1)， (2)20 (3)存在，点的坐标为或 (4)当点在线段上时，；当点在的延长线上时， 【分析】（1）根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减，即可得出结果； （2）根据平移的性质，并结合题意计算即可得出结果； （3）由题意可得，，再结合题意求出，从而可得点的横坐标，即可得出结果； （4）分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别结合平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将先向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：四边形的面积为； （3）解：由题意可得，， ∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或； （4）解：如图，当点在线段上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 如图，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ∴，， ∴； 综上所述，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 30． 【答案】(1)，，， (2)存在，或 (3)解：，证明如下： 过点作， ， ，， ， ， 轴平分， ， ， ， ， ，， ， ． 【分析】（1）根据算术平方根的估算方法及平方根的定义求出，的值，即可求出点、点的坐标； （2）当运动时间为时，，，根据列方程求解即可； （3）过点作，根据题意得到，根据角平分线的定义求出，可知，即，得到，，即． 【详解】（1）解：， ， 的平方根是， ， 解得， ，； （2）解：当运动时间为时，，． ， ， 解得或， ∴当或时，与的面积相等； （3）略． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【分析】观察图形可知每四次变换为一个循环组依次循环，用除以，根据余数确定变换后的点所在的象限及坐标． 【详解】解：由图可知变换规律如下： 第1次关于轴对称，点变为； 第2次关于轴对称，点变为； 第3次关于轴对称，点变为； 第4次关于轴对称，点变为，回到初始位置； 每4次变换为一个循环组； ； 第2026次变换后的位置与第2次变换后的位置相同； 点的坐标为． 2． 【答案】B 【分析】观察已知点坐标，发现横坐标等于下标，纵坐标呈现周期性变化规律，根据周期性求解即可． 【详解】解：由，，，，及图形可知， 点的横坐标为， 纵坐标依次为， ∴纵坐标每6个数为一个循环周期， ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标相同，即为0， ∴的坐标为． 3． 【答案】C 【分析】根据题意先确定平移方式，然后求解即可 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移时横坐标减3，纵坐标加4. ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为. 4． 【答案】A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 5． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 6． 【答案】C 【分析】观察点的排列规律，发现完全平方数位置的点坐标具有特定规律，据此推导第2025个点的坐标，进而确定第2026个点的坐标； 【详解】解：观察图形可知： 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ， 当为奇数时，第个点的坐标为， 当为偶数时，第个点的坐标为， ，且45为奇数， 第2025个点的坐标为， 由图可知，第个点（为奇数）的下一个点是向右平移1个单位， 第2026个点的坐标为． 7． 【答案】或或 【分析】根据全等三角形的性质结合轴对称的性质求解即可. 【详解】解：∵点不与点重合，且与全等， ∴可画图形如下， 当点C、D关于线段的垂直平分线对称时，． 当点C、D关于直线对称时，，. 综上：的坐标为或或. 8． 【答案】 【分析】根据点的平移得到平移后的点的坐标为，结合第四象限点的符号特点列式计算即可． 【详解】解：由题意得，平移后的点的坐标为， ∵平移后的点在第四象限， ∴， 解得， ∴m的取值范围为． 9． 【答案】 【分析】根据点坐标求出矩形周长，计算出循环一周时间，再进行判断秒循环的次数，即可确定坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴矩形周长为， ∵机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度移动， ∴机器人每秒完成一次循环， ∴， ∴机器人处于第圈的第秒的位置， ∴点沿着到达点时，用时秒， 点沿着到达点，用时秒， 点沿着运动时，第秒位置是点向左平移个单位，到达， ∴当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是． 10． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出小球前几次碰到球桌边时的坐标，观察坐标的变化规律，确定循环周期，利用周期性求解即可； 【详解】解：由题意可知，小球起始位置为，第一次碰到球桌边时的位置坐标是；第二次碰到球桌边时的位置坐标为；第三次碰到球桌边时的位置坐标为；第四次碰到球桌边时的位置坐标为；第五次碰到球桌边时的位置坐标为；第六次碰到球桌边时的位置坐标为；此时小球回到起始位置； 小球碰到球桌边的位置坐标每次为一个循环周期， ， 小球第次碰到球桌边时的位置与第次碰到球桌边时的位置相同， 即坐标为． 11． 【答案】(1)点，点 (2) (3)的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）． 【分析】（1）由点A，点C分别在x轴上，y轴上，可求解； （2）通过计算可得此时点P在上，且，可求点P坐标； （3）分点P在，，，上，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：（1）点在轴上，点在轴上， ， ， 点，点； （2）由（1）可知：点，点， 当点移动了4秒时，移动的路程为：， 此时点在上，且， 点； （3）①如图1所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ②如图2所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ③如图3所示，当点在上时， 的面积为10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ④如图4所示，当点在上时， 的面积是10， ，即，解得， 点的坐标为， 运动时间为（秒）． 综上所述：①的坐标为，运动时间为（秒）；②点的坐标为，运动时间为（秒）；③点的坐标为，运动时间为（秒）；④点的坐标为，运动时间为（秒）． 12. 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒后，轴，此时P，Q两点的横坐标相等，据此列方程求解即可； （4）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为，且轴， 点的横坐标为9， 点是第一象限的点，且点到轴的距离是5， 点的纵坐标为5， 点的坐标为； （2）解：过点作轴的平行线，动点从点出发，以3个单位长度的速度沿直线向左移动， 当时，点向左移动3个单位长度，且点的纵坐标为5， 点的坐标为，即； 动点从原点同时出发，以1个单位长度的速度沿轴向右移动， 当时，点的坐标为； （3）解：设经过t秒，轴，此时P，Q两点的横坐标相等， 由题意可知，P、Q两点的横坐标分别为、t， 则， 解得： （4）解：设经过t秒，四边形的面积为30，此时，， ， ，， ， ， 解得，此时， 点P的坐标为，即． 13． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；理由如下： 如图1，当点在线段上时，过点作轴，则． ，． ． 如图2，当点在的延长线上时，过点作轴，则． ，． ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）求出，根据三角形的面积等于三角形面积的一半，即可求解； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在的延长线上时，结合平行线的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将线段向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到对应线段， ∴点，，即， ∴点，即； （2）解：存在． 如图，连接， 由（1）可知，点到轴的距离为3，． ， ∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ． ∵，解得． ∴点的坐标为或． （3）略 14． 【答案】(1)①，   ② (2)或 【分析】（1）①由在轴上的点的横坐标为，即可求出的值；由平面直角坐标系中点的平移规律：左减右加，上加下减即可求出点的坐标； ②； （2）由题意可知：点、点在轴的异侧或至少有一点在轴上，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， 点向左平移个单位得到点， 点的横坐标减，即； ② ，， ， ， ， 点在第一象限， ； （2）解：由题意可知：，， 点在第一象限， ，解得， 线段与轴有公共点， 点、点在轴的异侧，或至少有一点在轴上， 当点在右侧（含轴）、点在左侧（含轴）时， ，解得， 当点在左侧（含轴）、点在右侧（含轴）时， ，解得， ， ， 综上所述：或． 15． 【答案】(1)，， (2)①． ②证明：，轴． ． ， ， 即． ． (3)或2 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）①根据三角形的面积公式以及坐标与图形性质可得答案； ②根据，列式计算即可得出答案； （3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，利用面积关系，构建方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵将线段平移至线段，其中点与点对应，点与点对应， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴； （2）解：①如图， ∵点在线段上， ∴三角形的面积为，三角形的面积为； ②略 （3）解：∵动点从点开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点从点开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动． 当点在线段上时，，， ∵三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得：， ②当点在的延长线上时，，， ∵三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得：， 综上所述，或2． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $