第三章 一元一次不等式（六大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版八年级上册

第三章 一元一次不等式 知识点一・不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点二・不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识点三・一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 知识点四・解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 知识点五・含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 知识点六・一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 易错点1·不等式性质应用 易错提醒 1.不等式两边同时乘(除)负数，不等号方向改变，这是本章最高频丢分点。必须分类讨论。 2.未知数系数是字母时，不确定正负，不能直接除， 3.去分母时，常数项不要漏乘;移项一定要变号 【对点训练】1．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 两边减5得，，故A错误． ， 两边乘得，，故B错误． ， 两边除以4得，，故C正确． 当时，不成立，故D错误． 【对点训练】2．若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立； B、由，可得，原不等式不成立； C、由，可得，原不等式成立； D、由于不知道的符号，故由不能得到，原不等式不一定成立． 【对点训练】3．若时，，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴选项中只有D选项的． 【对点训练】4．若，则下列不等式变形不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； C、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形错误，符合题意． 易错点2·解集、整数解、数轴表示 易错提醒 1.空心圆圈代表不含该点(>,<);实心圆点代表包含该点(>,<)2.看清题目要求:正整数解、负整数解、非负整数解(包含 0)、非正整数解。3.求参数范围时，端点值一定要单独检验是否成立，极易漏端点或者多端点。 【对点训练】1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不等式在数轴上表示如下： 【对点训练】2．不等式的非负整数解的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，再根据非负整数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 该不等式的非负整数解为，共个． 【对点训练】3．若关于的不等式的正整数解共有个，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先求解不等式得到的解集，再根据正整数解的个数确定的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：， ， ， ∵不等式的正整数解共有个， ∴正整数解为，，， ∴， ∴． 【对点训练】4．若关于x的不等式的解集是x，则关于x的不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】先根据第一个不等式的解集得到的符号和与的数量关系，再判断所求不等式一次项系数的符号，最后解不等式得到解集． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等号方向改变， ∴，且， 整理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴不等式，两边同时除以，不等号方向改变， ∴， 即的解集为． 易错点3·一元一次不等式组 易错提醒 1.口诀只是辅助，有参数的题目一定要画数轴分析，不要死记口诀. 2.“不等式组无解““有解”“有 n个整数解”是期末必考小题压轴，重点验证边界。 3.多个不等式取公共部分，不要混淆“公共部分”和“全部范围” 【对点训练】1．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为_____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ， 移项得 合并同类项得； （2）解： ， 去分母得， 去括号得 ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）略 （4）略 【对点训练】2．若不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于的不等式，从而求解． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组的解集是， ∴，解得． 【对点训练】3．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式组得解集，根据4个整数解确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：． 解不等式得：． ∴不等式组的解集为． ∵不等式组恰有4个整数解． ∴整数解为． ∴． 【对点训练】4．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组两式相加构造的表达式，代入不等式求解． 【详解】解：， 得：， ∴ ∴， ∴ ∴ ． 易错点4·不等式实际应用题 易错提醒 1.设未知数时，语句不带“至少、最多”;列不等式时，不等号不要写反。 2.人数、物品个数为正整数，求出范围后要筛选符合实际的整数。 3.方案问题:求出取值范围，列举全部可行方案。 【对点训练】1．育才中学计划为羽毛球活动小组购买A，B两种品牌的羽毛球．若购买4个A品牌的羽毛球和3个B品牌的羽毛球需用36元；若购买2个A品牌的羽毛球和5个B品牌的羽毛球需用32元． (1)求每个A品牌的羽毛球和每个B品牌的羽毛球各多少元； (2)育才中学决定购买以上两种品牌的羽毛球共80个，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少个A品牌的羽毛球？ 【答案】(1)每个A品牌羽毛球6元，每个B品牌羽毛球4元． (2)该中学最多可以购买50个A品牌的羽毛球． 【分析】（1）根据两组购买费用的等量关系列二元一次方程组，求解两种羽毛球的单价； （2）根据总费用上限列一元一次不等式，求解A品牌羽毛球的最大购买量． 【详解】（1）解：设每个A品牌羽毛球元，每个B品牌羽毛球元． 由题意得， 解得：， 答：每个A品牌羽毛球6元，每个B品牌羽毛球4元； （2）解：设购买A品牌羽毛球个，则购买B品牌羽毛球个． 由题意得， 解得：． ∵为正整数， ∴的最大值为50． 答：该中学最多可以购买50个A品牌的羽毛球． 【对点训练】2．小亮参加一次知识竞赛，共道题，每道题回答正确得分，回答错误或放弃回答扣分，此次竞赛要求分以上（不含分）的选手才能晋级，那么小亮至少答对多少道题才能顺利晋级？ 【答案】 小亮至少答对道题才能顺利晋级 【分析】设小亮答对道题，则回答错误或放弃回答道题，列不等式求解，并取最小整数解即可． 【详解】解：设小亮答对道题，则回答错误或放弃回答道题， 根据题意可列不等式：， 解得， ∵为整数， ∴最小为． 答：小亮至少答对道题才能顺利晋级． 【对点训练】3．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 【答案】(1)的值为10，的值为14 (2)共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜 【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用元，再列二元一次方程组解答； （2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：依题意，得 ， 解得． 答：的值为10，的值为14． （2）解：依题意，得 ， 解得：． 又∵x为正整数， ∴可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜； 方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜； 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． 【对点训练】4．2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 (1)，两种飞机模型的销售单价分别是多少？ (2)该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 【答案】(1)种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元 (2)方案有三种，方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个；方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个；方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个 (3)该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元 【分析】（1）根据表格中近两天的销售情况，设未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设模型数量，根据总进价上限、数量要求列不等式组，取整数解得到购买方案； （3）先算出单个利润，分别计算各方案利润，对比选出利润最大方案． 【详解】（1）解：设种飞机模型的销售单价为元，种飞机模型的销售单价为元，由题意可得： ， 解得， 答：种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元； （2）解：设购入个种飞机模型，则购入个种飞机模型， 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴或或， ∴方案有三种： 方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个； 方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个； 方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个； （3）解：∵种飞机模型的单个利润为：（元）， 种飞机模型的单个利润为：（元）， ∴方案1的总利润为：（元）， 方案2的总利润为：（元）， 方案3的总利润为：（元）， ∵， ∴该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元． 1．若关于的方程的解是负数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程的解用含的式子表示，再根据解的情况列不等式解答即可． 【详解】解：， 移项合并同类项，得， ∵方程的解是负数， ∴，即， 解得． 2．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵不等式的解集为，两边除以后不等号方向改变， ∴， 解得． 3．如图是a，b两个实数在数轴上的对应点，下列各式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴得出a，b的取值范围及大小关系，再结合不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键，依次判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ， A、B、D正确，C错误． 4．不等式组的整数解有三个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组的整数解有三个，确定出a的范围即可． 【详解】解：不等式组的解集为． ∵整数解有三个， ∴整数解为， ∴． 5．已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需先明确恒为正数，再结合不等式的性质判断各选项． 【详解】解：A. ∵，∴，不符合题意； B. ∵，∴，不符合题意； C. ∵， ∴， 又∵， ∴，符合题意； D. ∵，∴，不符合题意． 6．不等式 的负整数解是_____． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合要求的负整数即可． 【详解】解：移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ， 大于的负整数只有， 因此不等式的负整数解为． 7．课堂上老师给出了这样一道题目：“求关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来无解，不能在数轴上表示．”乙看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子中的数字3抄错了．”通过甲、乙两人的对话，设甲将数字3抄成了数，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设甲将数字抄成，根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：设甲将数字抄成了数字，则甲计算的不等式组为， 解不等式①，两边同乘，得 ， 解得， 解不等式②，得 ， ， 不等式组无解， ， 移项得， 解得． 8．某校机器人社团计划购买一套新的传感器模块用于备赛，社团已筹集到120元资金，并决定剩下的费用从社团经费中节省获得，且从本月起每月从社团经费中节省50元，直到总费用不少于500元．设社团节省经费的时间为个月，则可列不等式为____________________．（不必化简） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据总费用不少于500元的不等关系，结合已有费用和个月节省的费用列出不等式即可． 【详解】解：由题意可知，已有费用120元，个月节省的费用为元，要求总费用不少于500元，因此可列不等式为． 9．解不等式组 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再取解集的公共部分得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 综上所述，原不等式组的解集为． 10．某市自来水公司实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 15 m³ 的部分，按每立方米 2．8 元收费；超过 15 m³ 的部分，按每立方米 4．2 元收费．（某户月用水量超过 15 m³ 时，前 15 m³ 仍按每立方米 2．8 元计算．） (1)设某户月用水量为 （），用含 的代数式表示该户当月的水费； (2)某户某月水费为 63 元，求该户当月的用水量； (3)若某户某月水费不超过 84 元，求该户当月用水量的最大值． 【答案】(1) 元 (2)该户当月用水量为 ． (3)该户当月用水量的最大值为 ． 【分析】（1），水费分成两段：15立方米基础水费，加上超出部分的水费，列式化简得到代数式． （2）先算出15立方米对应的水费，判断实际用水量大于15立方米，代入（1）的代数式列一元一次方程求解． （3）先判断水费84元超过15立方米基础水费，代入代数式列一元一次不等式，求出的取值范围，得到用水量最大值． 【详解】（1）解： 超出的水量： 总费用： 所以当月水费为元． （2）解： ，说明用水量超过，代入（1）的代数式． ； 答：该户当月用水量为． （3）解：，用水量超过，列不等式： ； 答：该户当月用水量的最大值为． 11．阅读素材，解决问题 素材1 篮球赛单循环赛一般按照积分确定名次．胜一场得2分，负一场得1分．若积分相同，再比较相互间的胜负关系． 素材2 某次篮球联赛中，甲队与乙队要争夺一个出线权．甲队目前的战绩是胜负（与乙队无比赛），后面还要比赛5场（其中与乙队有一场比赛），乙队目前的战绩是胜负，后面还要比赛5场． (1)填空：甲队目前获得积分______分，乙队目前获得积分______分． (2)为确保出线，甲队在后面比赛中要胜多少场？ (3)若甲队在后面的比赛中3胜2负，未能出线，那么乙队后续战果如何？ 【答案】(1)52；50 (2)甲队在后面的比赛中要胜4场 (3)当乙队后5场比赛全胜时，将凭借与甲队的胜负关系出线 【分析】（1）利用“胜一场得2分，负一场得1分”算出两队现有积分； （2）先求出乙能达到的最高积分，设甲后续胜场数，列出不等式求出甲获胜场次最小值； （3）先算出甲最终积分，根据甲未出线得到乙的积分下限，列不等式求出乙胜场，再结合“积分相同看两队之间胜负关系”判断结果． 【详解】（1）解：甲队目前获得积分为（分）， 乙队目前获得积分为（分）； （2）解：若乙队剩下的5场全胜（含1场胜甲队），则乙队积分为（分）， 设甲队在后面的比赛中胜场，则负场， 为确保出线，则，解得， 又，故整数， 答：为确保出线，甲队在后面的比赛中要胜4场； （3）解：因为甲队在后面的比赛中3胜2负， 所以积分为（分）未能出线． 设乙队后续5场比赛中胜了场， ①若甲队的3胜中含胜乙队，则，解得，不符合题意； ②若甲队的3胜中不含胜乙队，则，解得， 又，故整数， 答：当乙队后5场比赛全胜时，将凭借与甲队的胜负关系出线． 12．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板161张，长方形纸板340张供选用，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒个． ①根据题意，完成表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)① 纸盒纸板 竖式纸盒 （个） 横式纸盒 （个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个 (2)方案①销售利润最大，最大利润是261元 【分析】（1）①观察图形得到一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板，所以竖式纸盒需要的正方形纸板数是其本身的一倍，横式纸盒需要的长方形纸板数是其本身的三倍，根据这个标准便可填空．②将填表结果与题干信息结合，列出不等式，求出x的具体范围，再结合x所含有的实际意义进行取值，根据取值结果的不同便有不同种的生产方案． （2）根据②的结果分别计算每一个方案的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：①∵一个竖式纸盒需一个正方形纸板，一个横式纸盒需三个长方形纸板， ∴x个竖式纸盒需x个正方形纸板，个横式纸盒需个长方形纸板． ②由题意有，解得， ∵x为正整数， ∴或， ∴有2种方案：①生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；②生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个． （2）解：方案①利润为：（元）， 方案②利润为：（元）， ∵， ∴方案①销售利润最大，最大利润是261元． 13．某景区大门到主景区之间有步行、乘坐环保车或乘坐燃油车三种方式，为倡导低碳环保理念，某数学小组对这三种方式进行了一次数学探究活动． 常见低碳出行方式的碳排放量 出行方式 步行 环保车 燃油车 平均碳排放量（单位：kg/人） 0 经过了解，获得三个旅行团从景区大门进入主景区各一次的部分数据： 每个旅行团均为55人，1团有10人步行，碳排放总量为；2团步行人数和1团乘坐燃油车的人数一样，且2团乘坐燃油车的人数不少于15人；3团乘坐环保车的人数是步行人数的2倍，碳排放总量不超过．解答下列问题： (1)1团乘坐环保车和乘坐燃油车的人数分别是多少人？ (2)若2团乘坐环保车的人数是a人，求a的取值范围． (3)3团步行人数最少有多少人？最低碳排放总量是多少？ 【答案】(1)环保车的人数是25人，乘坐燃油车的人数是20人 (2)且a为整数 (3)最少有17人，最低碳排放总量是 【分析】（1）设1团乘坐环保车的人数是x人，乘坐燃油车的人数是y人，根据“1团有55人，碳排放总量为”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）若2团乘坐环保车的人数是a人，则2团乘坐燃油车的人数是人，根据2团乘坐燃油车的人数不少于15人且乘坐环保车的人数非负，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为整数，即可得出结论； （3）设3团步行人数是m人，则乘坐环保车的人数是2m人，乘坐燃油车的人数是人，根据3团碳排放总量不超过且步行及乘坐燃油车的人数非负，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为整数，可得出各方案，再求出各方案的碳排放总量，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1团乘坐环保车的人数是x人，乘坐燃油车的人数是y人， 根据题意得：， 解得：． 答：1团乘坐环保车的人数是25人，乘坐燃油车的人数是20人； （2）解：若2团乘坐环保车的人数是a人，则2团乘坐燃油车的人数是人， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的取值范围是且a为整数． 答：a的取值范围是且a为整数； （3）解：设3团步行人数是m人，则乘坐环保车的人数是2m人，乘坐燃油车的人数是人， 根据题意得：， 解得：， ∵m为整数， ∴共有2种方案， 方案1：17人步行，34人乘坐环保车，4人乘坐燃油车，碳排放总量为； 方案2：18人步行，36人乘坐环保车，1人乘坐燃油车，碳排放总量为， ∵，， ∴3团步行人数最少有17人，最低碳排放总量是． 答：3团步行人数最少有17人，最低碳排放总量是． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元一次不等式 知识点一・不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点二・不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 知识点三・一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 知识点四・解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 知识点五・含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 知识点六・一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 易错点1·不等式性质应用 易错提醒 1.不等式两边同时乘(除)负数，不等号方向改变，这是本章最高频丢分点。必须分类讨论。 2.未知数系数是字母时，不确定正负，不能直接除， 3.去分母时，常数项不要漏乘;移项一定要变号 【对点训练】1．已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．若，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．若时，，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【对点训练】4．若，则下列不等式变形不正确的是（     ） A． B． C． D． 易错点2·解集、整数解、数轴表示 易错提醒 1.空心圆圈代表不含该点(>,<);实心圆点代表包含该点(>,<)2.看清题目要求:正整数解、负整数解、非负整数解(包含 0)、非正整数解。3.求参数范围时，端点值一定要单独检验是否成立，极易漏端点或者多端点。 【对点训练】1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【对点训练】2．不等式的非负整数解的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【对点训练】3．若关于的不等式的正整数解共有个，则的取值范围是_____． 【对点训练】4．若关于x的不等式的解集是x，则关于x的不等式的解集是___________． 易错点3·一元一次不等式组 易错提醒 1.口诀只是辅助，有参数的题目一定要画数轴分析，不要死记口诀. 2.“不等式组无解““有解”“有 n个整数解”是期末必考小题压轴，重点验证边界。 3.多个不等式取公共部分，不要混淆“公共部分”和“全部范围” 【对点训练】1．解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为_____________________． 【对点训练】2．若不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．关于的不等式组恰有个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】4．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 易错点4·不等式实际应用题 易错提醒 1.设未知数时，语句不带“至少、最多”;列不等式时，不等号不要写反。 2.人数、物品个数为正整数，求出范围后要筛选符合实际的整数。 3.方案问题:求出取值范围，列举全部可行方案。 【对点训练】1．育才中学计划为羽毛球活动小组购买A，B两种品牌的羽毛球．若购买4个A品牌的羽毛球和3个B品牌的羽毛球需用36元；若购买2个A品牌的羽毛球和5个B品牌的羽毛球需用32元． (1)求每个A品牌的羽毛球和每个B品牌的羽毛球各多少元； (2)育才中学决定购买以上两种品牌的羽毛球共80个，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少个A品牌的羽毛球？ 【对点训练】2．小亮参加一次知识竞赛，共道题，每道题回答正确得分，回答错误或放弃回答扣分，此次竞赛要求分以上（不含分）的选手才能晋级，那么小亮至少答对多少道题才能顺利晋级？ 【对点训练】3．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． (1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 【对点训练】4．2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 (1)，两种飞机模型的销售单价分别是多少？ (2)该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 1．若关于的方程的解是负数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（） A． B． C． D． 3．如图是a，b两个实数在数轴上的对应点，下列各式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．不等式组的整数解有三个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 6．不等式 的负整数解是_____． 7．课堂上老师给出了这样一道题目：“求关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来无解，不能在数轴上表示．”乙看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子中的数字3抄错了．”通过甲、乙两人的对话，设甲将数字3抄成了数，则的取值范围是__________． 8．某校机器人社团计划购买一套新的传感器模块用于备赛，社团已筹集到120元资金，并决定剩下的费用从社团经费中节省获得，且从本月起每月从社团经费中节省50元，直到总费用不少于500元．设社团节省经费的时间为个月，则可列不等式为____________________．（不必化简） 9．解不等式组 10．某市自来水公司实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 15 m³ 的部分，按每立方米 2．8 元收费；超过 15 m³ 的部分，按每立方米 4．2 元收费．（某户月用水量超过 15 m³ 时，前 15 m³ 仍按每立方米 2．8 元计算．） (1)设某户月用水量为 （），用含 的代数式表示该户当月的水费； (2)某户某月水费为 63 元，求该户当月的用水量； (3)若某户某月水费不超过 84 元，求该户当月用水量的最大值． 11．阅读素材，解决问题 素材1 篮球赛单循环赛一般按照积分确定名次．胜一场得2分，负一场得1分．若积分相同，再比较相互间的胜负关系． 素材2 某次篮球联赛中，甲队与乙队要争夺一个出线权．甲队目前的战绩是胜负（与乙队无比赛），后面还要比赛5场（其中与乙队有一场比赛），乙队目前的战绩是胜负，后面还要比赛5场． (1)填空：甲队目前获得积分______分，乙队目前获得积分______分． (2)为确保出线，甲队在后面比赛中要胜多少场？ (3)若甲队在后面的比赛中3胜2负，未能出线，那么乙队后续战果如何？ 12．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (1)现有正方形纸板161张，长方形纸板340张供选用，若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒个． ①根据题意，完成表格： 纸盒纸板 竖式纸盒（个） 横式纸盒（个） 需正方形纸板（张） 需长方形纸板（张） ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ (2)若每个竖式纸盒获利2元，横式纸盒获利3元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？ 13．某景区大门到主景区之间有步行、乘坐环保车或乘坐燃油车三种方式，为倡导低碳环保理念，某数学小组对这三种方式进行了一次数学探究活动． 常见低碳出行方式的碳排放量 出行方式 步行 环保车 燃油车 平均碳排放量（单位：kg/人） 0 经过了解，获得三个旅行团从景区大门进入主景区各一次的部分数据： 每个旅行团均为55人，1团有10人步行，碳排放总量为；2团步行人数和1团乘坐燃油车的人数一样，且2团乘坐燃油车的人数不少于15人；3团乘坐环保车的人数是步行人数的2倍，碳排放总量不超过．解答下列问题： (1)1团乘坐环保车和乘坐燃油车的人数分别是多少人？ (2)若2团乘坐环保车的人数是a人，求a的取值范围． (3)3团步行人数最少有多少人？最低碳排放总量是多少？ 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $