第三章一元一次不等式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

第3章 一元一次不等式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 认识不等式 1.1 不等式的定义 像 ，，，， 这样，用符号”“（或”“）、”“（或”“）、”“连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。 示例：，，， 都是不等式；其中”““”“”“”“”都是不等号。 1.2 不等式在数轴上的表示 表示小于 的全体实数，在数轴上对应点 左边的所有点，不包括点 在内； 表示大于或等于 的全体实数，在数轴上对应点 右边的所有点，包括点 在内；（）表示大于 而小于 的全体实数。 示例： 表示 及其右边的所有点； 表示大于 而小于 的所有点。 2. 不等式的基本性质 2.1 不等式的基本性质 1（传递性） 不等式的基本性质 1：若 ，，则 。这个性质也叫作不等式的传递性。 示例：由 ，，可得 。 2.2 不等式的基本性质 2 不等式的基本性质 2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。若 ，则 ，；若 ，则 ，。 示例：由 ，两边都减去 ，得 。 2.3 不等式的基本性质 3 不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。若 ，且 ，则 ，；若 ，且 ，则 ，。 示例：由 ，两边都除以 ，得 ；由 ，两边都除以 ，得 。 3. 一元一次不等式及其解法 3.1 一元一次不等式的定义 不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫作一元一次不等式。 示例：，， 都是一元一次不等式； 未知数的最高次数是二次，不是一元一次不等式。 3.2 不等式的解与解集 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫作解不等式。 示例：，， 都是 的解； 的解集是 ，表示大于 的实数的全体。 3.3 解一元一次不等式的一般步骤 解一元一次不等式的一般步骤和依据如下： 步骤 依据 去分母 不等式的基本性质 3 去括号 单项式乘多项式法则 移项 不等式的基本性质 2 合并同类项，得 或 （） 合并同类项法则 两边同除以 （或乘 ） 不等式的基本性质 3 示例：解 ，去分母得 ，去括号得 ，移项得 ，合并同类项得 ，两边都除以 得 。 3.4 解不等式时的移项法则 把不等式中的任何一项的符号改变后，再从不等号的一边移到另一边，不等式仍成立。也就是说，在解不等式时，移项法则同样适用。 示例：解 ，移项得 。 注意：当两边同除以负数 时，不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。 4. 一元一次不等式的应用 4.1 用不等式解决实际问题的一般过程 应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些数量不等关系的问题。解决问题的一般过程是： 1. 审题：分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系。 1. 设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 ）。 1. 列不等式：根据不等关系列出不等式。 1. 解不等式：求出未知数的取值范围。 1. 检验：检查求得的取值范围是否正确和符合实际情形，并得出答案。 示例：某商品成本 元，售价 元，税款等其他费用为销售收入的 ，投资 万元，设销售 个，则 ，解得 ，故至少销售 个。 5. 一元一次不等式组 5.1 一元一次不等式组的定义 一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。 示例：由不等式 与 组成的一组不等式就是一元一次不等式组。 5.2 一元一次不等式组的解集 组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共部分时，称这个不等式组无解。 示例：解不等式组中的两个不等式：解 得 ，解 得 ，公共部分为 ，即解集是 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同向不等式的可加性 若 ，，则 ，即两个同向不等式可以相加（异向不等式不能相减）。 1.2 同号两数取倒数后不等号反向 时，； 时，，即两个同号数取倒数后大小关系相反。 1.3 糖水不等式 若 ，，则 ，即真分数 的分子、分母同时加上同一个正数 ，分数的值增大。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 用数轴表示不等式解集的三要素 画数轴 → 标边界点（、 用空心圆圈，、 用实心圆点）→ 按方向画线（大于向右，小于向左）。如 在 处画实心圆点并向右画线。 2.2 解一元一次不等式组的四步法 分别解出每个不等式的解集 → 在同一数轴上表示 → 取公共部分即解集。口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找（无解）。如 与 的公共部分为 （同大取大）。 2.3 求不等式的特殊整数解 先求出解集，再在解集范围内取符合条件的整数（正整数、负整数、非负整数等）。如 的解集为 ，其负整数解为 、。 2.4 含参数不等式的分类讨论 把参数当作已知数求解，系数含参数且符号不定时，须分参数为正、为负、为零三类讨论。如解 ： 时 ， 时 ， 时须单独判断。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 去分母不漏乘 两边同乘各分母的最小公倍数，不含分母的项也要乘 去分母得 移项要变号 从一边移到另一边必须改变符号 移项得 系数化 看符号 除以正数不等号不变，除以负数不等号反向 得 作差法比较大小 比较 、 看 的符号， 则 ，故 数轴找公共部分 两解集重叠部分为解集，无重叠则无解 中 与 的重叠即解集 4. 常见考试模型 4.1 打折、利润问题 公式：设标价为 、进价为 ，打 折则售价 ，利润 ，毛利率 ；按”利润（率）满足题设”列不等式。 限定：售价须高于进价，折扣不超过 折，解出的范围须符合实际。 示例：进价 元、标价 元的服装打折出售，毛利率不低于 ：设打 折，则 ，解得 ，即最低打 折。 4.2 租车、方案选择问题 公式：设某类车租 辆，另一类租 辆，用含 的式子表示总费用、总载客量，由”总费用 （或 ）某值”“总载客量 （或 ）某值”列不等式。 限定：车辆数为非负整数，须满足 且 为整数。 示例：租 型（ 人、 元）、 型（ 人、 元）客车共 辆，费用不超过 元：，得 ，最多租 型 辆。 4.3 三角形三边关系与不等式的综合 公式：三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，可化为不等式（组）求第三边的范围。 限定：第三边为正数，须同时满足”大于两边之差、小于两边之和”。 示例：两根木棒长 、，第三边为 ，则 ，即 ；若第三边长为偶数，则 ，共 种可能。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：两边同除以负数时忘记改变不等号方向 典例：解不等式 。 错解：两边都除以 ，得 。 正解：两边都除以 ，得 。 原因：概念理解错误。不等式的基本性质 3 规定：不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向。学生把解方程时”两边同除以一个数、等号不变”的习惯直接迁移过来，只记得”除”，忘了”负数要反向”。凡两边同乘（或同除）负数，都要先问一句”不等号方向是否已经改变”。 易错点 2：去分母时漏乘不含分母的项 典例：解不等式 。 错解：去分母，得 ，即 ，解得 。 正解：去分母，两边都乘 ，得 ，即 ，解得 。 原因：步骤遗漏。去分母是”不等式的两边都乘同一个数（最小公倍数）“，不含分母的项”“也要乘。学生只盯着含分母的项去乘，漏乘了整数项，使不等式右边整体变小，答案随之出错。去分母时要把左右两边的”每一项”都乘到。 易错点 3：求特殊整数解时漏掉边界值 典例：求不等式 的非负整数解。 错解：解得 ，非负整数解为 。 正解：解得 ，非负整数解为 。 原因：概念理解错误。学生把”非负整数”理解成”正整数”，漏掉了 ；也有学生在列举时漏掉端点 。求特殊解前，要先界定”非负整数（含 ）、正整数（不含 ）、负整数”的范围，再在解集内逐一列举，并确认边界点（含等号）是否可取。 易错点 4：解不等式组时把公共部分理解成”取中间” 典例：解不等式组 与 。 错解：两个解集的公共部分为 。 正解： 与 都要求”大于”，公共部分是 （同大取大）。 原因：思维错误。学生把”公共部分”错误理解为”两个范围之间的空隙”，或记混了口诀。两个不等式都要求大于，公共部分应取较大的下界。解不等式组务必把两个解集画在同一条数轴上，直观寻找重叠部分，而不是凭感觉”取中间”。 易错点 5：含参数不等式漏讨论参数（系数）的符号 典例：解关于 的不等式 （ 为常数）。 错解：两边都除以 ，得 。 正解：当 时，；当 时，；当 时，得 ，不等式无解。 原因：漏分类讨论。参数 的符号未知，两边同除以 时无法确定是否改变不等号方向。学生把参数 默认为正数，直接除过去。凡两边同乘（同除）符号未定的式子，都要按”正、负、零”分类讨论，不能想当然。 易错点 6：实际问题的解不检验，忽略整数、非负等隐含条件 典例：买笔记本（每本 元）和中性笔（每支 元）共 件，总费用不超过 元，最多买多少本笔记本？ 错解：设买笔记本 本，则 ，解得 ，所以最多买 本。 正解：设买笔记本 本，则 ，解得 。因为本数须为正整数，所以 ，最多买 本。 原因：忽略隐含条件。本数必须是整数， 中最大的整数是 。学生把不等式解出的实数范围直接当作答案，忘记”数量必须是整数、非负”这一实际限制。应用题求出范围后，要结合”整数、非负”等实际条件确定最终答案。 学科网（北京）股份有限公司 $